Este documento presenta los conceptos fundamentales de electrostática relacionados con problemas que involucran valores en la frontera. Explica las ecuaciones de Poisson y Laplace, el teorema de unicidad, y los procedimientos generales para resolver estas ecuaciones. También cubre temas como resistencia, capacitancia, y el método de imágenes, ilustrando estos conceptos con varios ejemplos.

1. Problemas de electrostática con
valor en la frontera
Teoría de Campos Electromagnéticos
Francisco A. Sandoval
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2. Agenda
 Flashback
 Introducción
 Ecuaciones de Poisson y de Laplace
 Teorema de Unicidad
 Procedimiento general para resolver la ecuación de
Poisson o de Laplace
 Resistencia y capacitancia
 Método de imágenes
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3. Quadrinho
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4. Introducción
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5. Introducción
 Considerar problemas prácticos de electrostática, sólo se
conocen condiciones electrostáticas (carga y potencial)
en algunas fronteras y se desea hallar 𝑬 y 𝑉 en toda la
región (problemas con valor en la frontera).
 Ecuación de Poisson o Laplace
 Método de imágenes
 Deducir resistencia y capacitancia
 Ecuación de Laplace.
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6. Ecuaciones de Poisson y de
Laplace
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7. Ecuaciones de Poisson y Laplace
 Se deducen de ley de Gauss (caso medio material lineal)
 Y
 Para un medio no homogéneo
 En una región sin carga
Ecuación de Poisson
Ecuación de Laplace
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8. Operador Laplaciano
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9. Teorema de Unicidad
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10. Teorema de Unicidad
 Las diversas soluciones que es posible obtener de la
ecuación de Laplace son diferentes entre sí?
 Si una solución de la ecuación de Laplace satisface un conjunto
dado de condiciones en la frontera, ¿ Es la única solución
posible?
 Si, solo hay una solución
 El teorema de unicidad se comprueba por contradicción.
Se parte del supuesto de que dos soluciones 𝑉1 y 𝑉2 de la
Ec. de Laplace satisfacen las condiciones en la frontera
prescrita.
Teorema de unicidad: Si se puede determinar que una solución de la ecuación
de Laplace satisface las condiciones en la frontera, esa solución es la única.
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11. Teorema de Unicidad
 Cosas que describen inequívocamente a un problema:
 La ecuación diferencial apropiada (para este caso, de Laplace o
Poisson)
 La región de la solución
 Las condiciones en la frontera
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12. Procedimiento general para
resolver la ecuación de Poisson
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13. Procedimiento general para resolver la
ecuación de Poisson
1. Se resuelve la ec. de Laplace (si 𝜌 𝑣 = 0) o la de Poisson
(si 𝜌 𝑣 ≠ 0) mediante:
1. Integración directa cuando 𝑉 es una función de una variable.
2. Separación de variables cuando 𝑉 es una función de más de
una variable.
2. Se aplican las condiciones en la frontera para
determinar la solución única de 𝑉.
3. Se halla 𝑬 mediante 𝑬 = −𝛻𝑉 y 𝑫 mediante 𝑫 = 𝜀𝑬
4. Si se desea, se calcula 𝑄 inducida en un conductor
mediante 𝑄 = 𝜌𝑠 𝑑𝑆, donde 𝜌𝑠 = 𝐷 𝑛 y 𝐷 𝑛 es la
componente de 𝑫 normal al conductor.
 La capacitancia entre dos conductores 𝐶 = 𝑄/𝑉
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14. Ejemplo 1: Máquina fotocopiadora
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15. Ejemplo 2: Planos conductores semiinfinitos
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16. Ejemplo 3: Dos conos conductores de
extensión infinita
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17. Ejercicio 4: Potencial dependiente de 𝑥 y 𝑦
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18. Resistencia y Capacitancia
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19. Resistencia
 El cálculo de la resistencia de un conductor de sección
transversal no uniforme puede considerarse un problema
con valor en la frontera.
Pasos para hallar la resistencia de un conductor:
1. Se elige el sistema de coordenadas apropiado.
2. Se presupone 𝑉0 como la diferencia de potencial entre las terminales del
conductor.
3. Se resuelve la ecuación de Laplace 𝛻2 𝑉 para obtener 𝑉. Después se calcula 𝑬
a partir de 𝑬 = −𝛻𝑉 e 𝐼 a partir de 𝐼 = 𝜎𝑬 ∙ 𝑑𝑺.
4. Se obtiene 𝑅 como 𝑉0 𝐼
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20. Capacitor I
 Un capacitor consta de dos (o más) conductores
portadores de cargas iguales pero de signo contrario.
 Todas las líneas que salen de un conductor deben
terminar necesariamente en la superficie del otro.
 Las placas (conductores) pueden estar separadas por el
vacío o un dieléctrico.
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21. Capacitor II
 Conductores se mantiene a diferencia de potencial:
𝑬 es el campo eléctrico
que existe entre
conductores (normal a
la superficie)
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22. Capacitor III
 La capacitancia del capacitor es la razón de la magnitud
de la carga en una de las placas a la diferencia de
potencial entre ellas.
 La capacitancia 𝐶 es una propiedad física del capacitor,
medida en farads (F).
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23. Capacitor IV
 Métodos para obtener 𝐶
1. Se presupone 𝑄 y se calcula 𝑉 en términos de 𝑄 (implica ley de Gauss)
2. Se presupone 𝑉 y se calcula 𝑄 en términos de 𝑉 (implica ecuación de Laplace)
Primer Método: Pasos
1. Se elige el sistema de coordenadas apropiado.
2. Se acepta que las dos placas conductoras portan cargas +𝑄 y −𝑄.
3. Se determina 𝑬 con base en la ley de Coulomb o de Gauss y se halla 𝑉 a partir
de 𝑉 = 𝑬 ∙ 𝑑𝒍 . El signo negativo puede ignorarse en este caso, ya que lo que
nos interesa es le valor absoluto de 𝑉.
4. Se obtiene 𝐶 a partir de 𝐶 = 𝑄/𝑉.
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24. Ejemplo 1: Capacitor de placas paralelas
Considere un capacitor de placas paralelas. Cada placa posee un área 𝑆 y que están
separadas por una distancia 𝑑. Las placas 1 y 2 portan respectivamente cargas +𝑄 y
− 𝑄 distribuidas de manera uniforme.
Capacitor de placas paralelas
Efecto de borde debido a un capacitor de
placas paralelas
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25. Ejemplo 1: Capacitor de placas paralelas
 Puede demostrarse que la energía almacenada en un capacitor
está dada por:
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26. Ejemplo 2: Capacitor coaxial
Considérese la longitud 𝐿 de los dos conductores coaxiales de radio interno 𝑎 y
radio externo 𝑏 (𝑏 > 𝑎). El espacio entre los conductores está ocupado por un
dieléctrico homogéneo con permitividad 𝜀. Los conductores 1 y 2 portan
respectivamente +𝑄 y −𝑄 distribuidas de manera uniforme.
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27. Ejemplo 2: Capacitor coaxial
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28. Ejemplo 3: Capacitor esférico
Dos conductores esféricos concéntricos. Considérese la esfera interna de radio 𝑎 y la
esfera externa de radio 𝑏 (𝑏 > 𝑎) separadas por un medio dieléctrico con
permitividad 𝜀. Suponer cargas +𝑄 y −𝑄 en las esferas interna y externa,
respectivamente.
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29. Ejemplo 3: Capacitor esférico
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30. Capacitores en Serie y Paralelo
Capacitores en serie
Capacitores en paralelo
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31. Tiempo de relajación
 El producto de estas expresiones es el tiempo de
relajación 𝑇𝑟 del medio que separa a los conductores.
Válida para medios homogéneos
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32. Tiempo de relajación
 Capacitor de placas paralelas
 Capacitor cilíndrico
 Capacitor esférico
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33. Ejercicios
 Ejemplo 6.10, pág. 234
 Ejercicio 6.10, pág 236
 Ejemplo 6.12, pág 238
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34. Método de imágenes
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35. Método de imágenes
La teoría de las imágenes establece que una configuración de carga dada sobre un
plano conductor perfecto e infinito conectado a tierra puede reemplazarse por la
propia configuración de carga, su imagen y una superficie equipotencial en sustitución
del plano conductor.fralbe.com

36. Método de imágenes
Condiciones para aplicación del método de imágenes
1. La carga o cargas de imágenes deben situarse en la región conductora.
2. La carga o cargas de imágenes deben situarse de tal forma que en la superficie o
superficies conductoras el potencial sea de cero o constante.
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37. Carga puntual sobre un plano conductor a
tierra
 El campo eléctrico en el punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧):
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38. Carga puntual sobre un plano conductor a
tierra
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39. Carga puntual sobre un plano conductor a
tierra
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40. Referencias
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41. Bibliografía y Referencias
 Sadiku, Matthew N. O. «Elementos de Electromagnetismo»,
Editorial Alfaomega, Oxford University Press, 2010.
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