1. ANALYSE NUMÉRIQUE
Chapitre I
ÉQUATIONS NON LINÉAIRES

2. EXERCICES DE RÉVISIONS: ANALYSE NUMÉRIQUE-CHAPITRE I
Équation Non Linéaire
Une équation à une inconnue x est dite non linéaire si elle est de la forme f(x) = 0 où:
la fonction f(x) est non linéaire, c’est-à-dire n’est pas de la forme de ax + c:
Une solution r de l’équation f(x)=0 est dite de multiplicité m si f(r)=f0
(r)=...f(m 1)
(r)=0; f(m)
(r) 6= 0.
Une équation f(x) = 0 possède une solution sur un intervalle [a; b] lorsque f(x) est dé…nie et
continue sur [a; b] et f(a)f(b) < 0: Si de plus f0
(x)>0 ou f0
(x)<0 8x 2 [a; b] : la solution est unique.
Méthode de la Bissection (ou Dichotomie)
Pour trouver la solution de l’équation f(x) = 0 dans un intervalle donné [a; b] par cette méthode avec
un critère d’arrêt et le nombre maximum d’itérations N; refaire les étapes ci-dessous au plus N fois:
1. Poser xm = a+b
2 :
2. Si jb aj
2jxmj < ; la solution est xm. Sinon continuer*.
3. Si f(a)f(xm)<0; poser b=xm et retourner à 1. Si f(b)f(xm)<0; poser a=xm et retourner à 1.
Le nombre d’itérations nécessaires pour atteindre une précision " donnée est N > lnjb aj ln "
ln 2 1:
Méthode des Points Fixes
Pour utiliser cette méthode, il faut transformer l’équation f(x) = 0 en une équation de la forme x = g(x).
Pour trouver alors la solution (appelée point …xe) de x = g(x) avec un critère d’arrêt ; le nombre
maximum d’itérations N; et une valeur initiale x0; refaire les étapes ci-dessous au plus N fois:
1. Poser xn+1 = g(xn):
2. Si jxn+1 xnj
jxn+1j < ; la solution est xn+1: Sinon continuer*.
3. Remplacer xn par xn+1 et retourner à 1.
Cette méthode s’applique (converge et possède une solution unique) lorsque:
8x 2 [a; b]; g(x) 2 [a; b]: Et g0
(x) est dé…nie et continue. Et 9k < 1 tel que 8x 2 [a; b]; jg0
(x)j 6 k.
Si jg0
(r)j < 1 et jg00
(r)j 6= 0; la méthode est convergente à l’ordre 1. jg0
(r)j indique la rapidité.
Si jg0
(r)j = 0 et jg00
(r)j 6= 0; la méthode est convergente à l’ordre 2. (convergence quadratique)...etc.
Le nombre d’itérations nécessaires pour atteindre une précision " donnée est N > ln((1 k)") lnjb aj
ln k :
Si la méthode est convergente à l’ordre 1, la méthode de Ste¤enson suivante accélère la convergence:
1. Poser x1 = g(x0) et x2 = g(x1) et xA = x0
(x1 x0)2
x2 2x1+x0
: (Extrapolation d’Aitken)
2. Si jxA x0j
jxAj < ; la solution est xA: Sinon continuer*.
3. Remplacer x0 par xA et retourner à 1.
Méthode de Newton (ou Newton-Raphson)
Soit f(x) une fonction continue et deux fois continûment dérivable sur [a; b]:
Pour trouver la solution de l’équation f(x) = 0 par cette méthode avec un critère d’arrêt ; le nombre
maximum d’itérations N; et une valeur initiale x0, refaire les étapes ci-dessous au plus N fois:
1. Poser xn+1 = xn
f(xn)
f0(xn) :
2. Si jxn+1 xnj
jxn+1j < ; la solution est xn+1: Sinon continuer*.
3. Remplacer xn par xn+1 et retourner à 1.
Si f(a)f(b)<0; f0
(x) 6= 0; f00
(x)<0 ou f00
(x)>0, f(x0)f00
(x0)>0, alors la méthode converge pour x0.
Si f(a)f(b)<0; f0
(x) 6= 0; f00
(x)60 ou f00
(x)>0; jf(a)j
jf0(a)j et jf(b)j
jf0(b)j <jb aj, elle converge 8x0 2 [a; b]:
Sa convergence est en général quadratique mais lorsque m > 1 elle est seulement linéaire (d’ordre 1.)
Méthode de la Sécante
Pour trouver la solution de l’équation f(x) = 0 par cette méthode avec un critère d’arrêt ; le nombre
maximum d’itérations N; et les valeurs initiales x0 et x1, refaire les étapes ci-dessous au plus N fois:
1. Poser xn+1 = xn
(xn xn 1)f(xn)
f(xn) f(xn 1) :
2. Si jxn+1 xnj
jxn+1j < ; la solution est xn+1: Sinon continuer*.
3. Remplacer xn 1 par xn et xn par xn+1 et retourner à 1.
* Le critère d’arrêt est parfois dé…ni aussi par jb aj
2 < ; ou bien jxn+1 xnj < ; ou bien jf(xn+1)j < :
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