O documento apresenta um problema de programação linear para maximizar o lucro total de uma indústria produzindo dois produtos utilizando três materiais sob restrições de estoque. Ele fornece um roteiro de 10 passos para resolver o problema algebraicamente e graficamente, encontrando que a solução ótima é produzir 4 unidades do Produto A e 2 unidades do Produto B.

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Matemática
Aulas 17 e 18 – Matemática
Texto A
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PROBLEMA (problema 3 da aula)
Uma indústria pode produzir dois tipos de produtos, A e B, utilizando três tipos de materiais, I, II e III. O modo como ela opera é descrito na tabela abaixo: Produtos >> Materiais A B Estoque I 1 3 10 II 2 2 12 III 0 1 4 Lucro unitário >> 4 reais 6 reais Lucro Total L
(Para produzir uma unidade de A utilizam-se 1 unidade do material I, 2 unidades do material II e nada do material III; no caso de B, utilizam-se 3 unidades do material I, 2 unidades de II e 1 unidade de III)
Determine quantas unidades devem ser produzidas de A e quantas de B de modo que o Lucro Total seja máximo
ROTEIRO PARA A RESOLUÇÃO
1. Qual a função a ser otimizada? Trata-se da busca de um máximo ou de um mínimo?
Máximo
Lucro Total=Lt =4x +6y
2. Quais as limitações impostas aos valores de x e y, devido à natureza do problema e às condições da produção?

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3. Como se formula o problema proposto sinteticamente, na linguagem matemática?
MAX Lucro Total = Lt =4x +6y
4. Represente no plano cartesiano os pontos (x, y) que satisfazem a restrição x + 3y ≤ 10
5. Represente no plano cartesiano os pontos (x;y) que satisfazem às inequações 2x + 2y ≤ 12 (material II) e y ≤4 (material III)
2x + 2y ≤ 12 é a área hachurada em verde
e y ≤4 é representado pela área hachurada em rosa

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Os pontos são a intersecção entre as áeas rosa e verde.
6. Represente no plano cartesiano a região que corresponde aos pontos (x; y) que satisfazem simultaneamente todas as condições do enunciado.
7. Para escolher entre os pontos de V o que responde a pergunta do problema, ou seja, o par (x; y) que torna o Lucro L máximo, calcule o valor de L = 4x + 6y em um ponto qualquer da região V; por exemplo, no ponto (6; 0).
L=4 *6+ 6*0
L=24
8. Note que o valor de L é 24 ao longo de toda a reta 4x + 6y = 24. Represente tal reta no plano cartesiano, juntamente com a região de viabilidade V.

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9. Calcule o valor de L em outro ponto da região de viabilidade, por exemplo, no ponto (0; 10/3).
L=4 *0+ 6*10/3
L=20
10. Verifique que a reta 4x + 6y = 20, ao longo do qual o lucro L é igual a 20, é paralela à reta 4x + 6y = 24, situando-se abaixo dela. Como o ponto em que a reta 4x + 6y = L corta o eixo Y no ponto (0; L/6), quanto maior o lucro L, mais alto no eixo Y é o ponto em que a reta L = 4x + 6y o corta. Assim, o lucro máximo corresponde à reta L = 4x + 6y que corta o eixo Y no ponto mais alto. Será uma reta paralela a 4x +6y = 20, mas que passa pelo ponto da região V que possibilita o maior valor da ordenada em que corta o eixo Y. Verifique que tal ponto é justamente a interseção das retas I e II. Determine esse ponto e calcule o valor de L correspondente. Esse será o máximo lucro possível, respeitadas as exigências do enunciado.
Para encontar o ponto de intersecção das retas devemos resolver o sistema linear a seguir:
x+3y=10
x+y=6
Y=2 , X=4
O ponto da solução ótima é X=4 e Y=2.