2. Vectores
Elementos
Vectores referidos al origen de coordenadas
Adición y sustracción de vectores
Producto de un escalar por un vector
Módulo de un vector
Producto escalar de dos vectores
3. Elementos
Un vector es un segmento orientado que tiene un origen y un
extremo.
Todo vector esta caracterizado por su dirección, sentido y
módulo.
A)Dirección: la dirección esta dada por la recta que lo incluye
también llamada recta sostén.
B) Sentido: el sentido de un vector esta indicado por la
orientación de las flechas
C) Módulo: el módulo de un vector es la longitud o medida del
vector.
Continuar.
4. Dos vectores se dice que tiene la misma dirección cuando se encuentran
sobre una misma recta sostén o en rectas paralelas.
Dos vectores son colineales si se encuentran sobre la misma recta sostén
Vectores equivalentes o equipolentes:
Son aquellos que tienen la misma dirección, el mismo sentido y el
mismo modulo.
Continuar.
mp // rs // td
m
p
r
s
t
d
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5. Vectores opuestos:
Son aquellos que tienen el mismo modulo, la misma dirección pero
sentido contrario.
Vectores paralelos:
Dos vectores son paralelos si tienen la misma dirección.
t m a
t
am
m
mt y ma
a
b
c
d
e
f
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6. Vectores referidos al origen de
coordenadas
Representante canónico:
Dado un vector ab y se representa un vector equipolente al ab, de
forma tal que el origen de este nuevo vector coincide con el origen
de coordenadas, de esta manera se obtiene un representante
canónico.
Continuar.
y
x
a
b
7. Si se conoce el origen y el extremo de un vector se puede calcular el representante
canónico o también llamado vector referido al origen de coordenadas, aplicando la
siguiente formula.
a= (Xa ; Ya) b=(Xb ; Yb)
V= (Xb-Xa ; Yb-Ya)
Ejemplo:
a=(3;1) b=(7;-6)
V= (7-3 ; -6-1)
V= (4; -7)
Vector nulo:
Es aquel vector en el que coinciden el origen y el extremo, es decir
se representan mediante un punto.
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8. ADICION Y SUSTRACCIÓN DE
VECTORES
Los componentes del vector suma son iguales a la suma de las componentes de
los vectores sumandos.
V=(Vx ; Vy)
W=(Wx ; Wy)
V+W=(Vx+Wx ; Vy+Wy)
Ejemplo:
V=(1 ; 3)
W=(5; 1)
V+W=(1+5 ; 3+1)
V+W= (6;4)
Continuar.
1
2
1
3
4
1 2 3 4 5 6
9. La resta de dos vectores es igual a la suma del opuesto del vector del
sustraendo
V=(Vx ; Vy)
W=(Wx ; Wy)
V+W=(Vx-Wx ; Vy-Wy)
Ejemplo:
V=(1 ; 3)
W=(5; 1)
V+W=(1-5 ; 3-1)
V+W= (-4;2)
1
2
-1
3
4
1 2 3 4 5 6-2-3-4-5-6
-1
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W=(5;1)
W= (-5;-1)
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10. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR
UN VECTOR
El producto de un escalar alfa por un vector V es otro vector W que cumple con las
siguientes condiciones: tiene la misma dirección que V, el sentido es el mismo que
el de V si alfa es mayor que 0 y será opuesto si alfa es menor que 0 y su módulo es
igual al módulo de alfa.
Vectores linealmente dependientes:
Se dice que son linealmente dependientes cuando un vector W puede expresarse
como el producto entre un escalar distinto de 0 y un vector V
W= α . V
≠ 0
Continuar.
11. Paralelismo entre vectores:
Dos vectores V y W son paralelos si tienen igual dirección, por lo tanto son
linealmente dependientes. Dos vectores son paralelos si y solo si sus
componentes homologas son proporcionales.
V= (Vx ; Vy) V // W Vx = Vy
W= (Wx ; Wy) Wx Wy
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12. MÓDULO DE UN VECTOR
El modulo de un vector se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras, y como el
módulo es la longitud de un segmento, entonces resulta siempre que va a ser ≥ 0 .
|+3| = +3
|-3 | = +3
Si le aplicamos el teorema de pitagoras al triangulo rectangulo
Vy
Vx
|V|² = Vx² + Vy²
|V|= Vx² + Vy²
Continuar.
13. Para calcular el módulo de un vector dado su origen y su extremo se deberá
aplicar la siguiente fórmula.
|ab|= (Xb-Xa) ² + (Yb-Ya) ²
Si el módulo de un vector es igual a 1 se dice que es un vector unitario o versor
|V| = 1 V√
El vector del modulo 1 en la dirección del eje X y con sentido positivo se
llama i (versor i) y al vector del modulo 1 en la dirección del eje Y y con
sentido positivo se llama j (versor j).
√
√
√
√
1
1
j
i
y
x
Continuar.Anterior
14. Todo vector puede expresarse utilizando los versores
U= Ux .i + Uy . j
√ √
Ejemplo:
U= (-3 ; 5)
U= -3i ; 5 j
√ √
Para expresar un versor en la dirección de un vector dado se deberá dividir las
componentes del vector por su módulo.
U = Ux ; Uy
|U| |U|
√
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15. PRODUCTO ESCALAR DE DOS
VECTORES
El producto escalar de dos vectores da por resultado un numero real y se
define en función de sus componentes.
V=(Vx;VY) W=(Wx;Wy) V .W= Vx.Wx + Vy.Wyˆ
Si se quiere calcular el ángulo formado por dos vectores:
V . W = arc.cos V . W
|V|.|W|
Dos vectores son perpendiculares si y sólo si su producto
escalar es igual a 0.
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