Vlakke meetkunde 2 les 5

1. VLAKKE MEETKUNDE 2
studiejaar 1, periode 2, week 5

2. HUISWERK
Bespreken uit extra oefening E-3 & E-5

3. Huiswerk extra oefening
opdracht E-3
PuntMishetmiddelpunt vandeomgeschrevencirkelvandriehoekABC.De
hoogtelijnCQenBPsnijdenelkaarinH.ARiseenmiddellijnvandecirkel.
BewijsdatCHBReenparallellogramis.
∠ACR = 90∘
(Thales)
∠APB = 90∘
(gegeven)
∠ABR = 90∘
(Thales)
∠AQC = 90∘
(gegeven)
Uit [1] en [2] volgt CHBR is een parallellogram
(twee paar evenwijdige zijden).
}⇒ PB//CR (F-hoek) [1]
}⇒ BR//QC (F-hoek) [2]

4. VierhoekABCDiseengelijkbenigtrapeziummetAB//CD.OpzijdeADligt
puntPenopzijdeBCligtpuntQzodanigdatPQCDeenkoordenvierhoekis.
MaakeentekeningenbewijsdatookABQPeenkoordenvierhoek.
∠A = ∠B (eigenschap gelijkbenig trapezium) [1]
∠C = ∠D (eigenschap gelijkbenig trapezium)
⇒∠A + ∠C = 180∘
(hoekensom vierhoek) [2]
∠P1 + ∠P2 = 180∘
(gestrekte hoek)
∠P1 + ∠C = 180∘
(koordenvierhoek)
⇒∠P2 = ∠C [3]
Uit [1], [2] en [3] volgt: ∠P2 + ∠B = 180∘
Dus ABQP is een koordenvierhoek.
Huiswerk extra oefening
opdracht E-5
}⇒
}⇒

5. OP NAAR HET CENTRUM
5-1 Voronoi-diagrammen & 5-2 Redeneren met Voronoi

6. Wat is de meetkundige plaats van alle punten die even ver van punt
A als punt B afliggen?
Juist, een middelloodlijn.
Als we een gebied met twee centra willen verdelen volgens het recht
van nabijheid, dan tekenen we de middelloodlijn tussen deze twee
punten.
Maar wat als er meer dan twee centra (lees: punten) zijn?
Dan tekenen we ook gewoon meer middelloodlijnen.
De gebieden die zo ingesloten worden noemen we Voronoi-cellen.
De tekening die zo ontstaat noemen we een Voronoi-diagram.
Voronoi-diagrammen

7. Gegeven zijn de centra A t/m E. Teken het Voronoi-diagram binnen
het gegeven kader. (Let op: laat minimaal en maximaal één keer de
constructie van de middelloodlijn zien.)
Voorbeeld 1

8. Gegeven zijn de centra A t/m E. Teken het Voronoi-diagram binnen
het gegeven kader. (Let op: laat minimaal en maximaal één keer de
constructie van de middelloodlijn zien.)
Voorbeeld 1

9. Gegeven zijn de centra A t/m E. Teken het Voronoi-diagram binnen
het gegeven kader. (Let op: laat minimaal en maximaal één keer de
constructie van de middelloodlijn zien.)
Voorbeeld 1

10. Gegeven zijn de centra A t/m E. Teken het Voronoi-diagram binnen
het gegeven kader. (Let op: laat minimaal en maximaal één keer de
constructie van de middelloodlijn zien.)
Voorbeeld 1

11. Gegeven zijn de centra A t/m E. Teken het Voronoi-diagram binnen
het gegeven kader. (Let op: laat minimaal en maximaal één keer de
constructie van de middelloodlijn zien.)
Voorbeeld 1

12. •Teken een aantal (drie of vier) middelloodlijnen.
•Bepaal welke delen van de middelloodlijnen tot het Voronoi-
diagram behoren.
•Teken een aantal nieuwe middelloodlijnen met zo veel mogelijk
nieuwe punten.
•Bepaal van deze nieuwe middelloodlijnen de delen die tot het
Voronoi-diagram behoren.
•Herhaal dit proces indien nodig.
•In een Voronoi-diagram komen altijd minimaal 3 lijnen (of delen
daarvan) samen.
•Zorg dat er uiteindelijk evenveel Voronoi-cellen als centra zijn.
Het tekenen van Voronoi-
diagrammen

13. Wat gaat er fout in het onderstaande Voronoi-diagram?
De middelloodlijn van DE is niet gebruikt en die moet vanuit het
snijpunt onder worden getrokken.
Het tekenen van Voronoi-
diagrammen

14. Wat gaat er fout in het onderstaande Voronoi-diagram?
De middelloodlijn van DE is niet gebruikt en die moet vanuit het
snijpunt onder worden getrokken.
Het tekenen van Voronoi-
diagrammen

15. In een Voronoi-diagram zien we alleen maar snijpunten met
minimaal 3 (delen van) lijnen.
Deze punten noemen we drielandenpunten.
Het drielandenpunt is een middelpunt van de omgeschreven cirkel.
De centra A, C en D liggen dus alle drie even ver van het
drielandenpunt F af.
Dit geldt dus voor ieder snijpunt
in het Voronoi-diagram.
Redeneren met Voronoi-
diagrammen

16. Gegeven zijn de centra A t/m D. Teken het Voronoi-diagram binnen
het gegeven kader.
Voorbeeld 2

17. Gegeven zijn de centra A t/m D. Teken het Voronoi-diagram binnen
het gegeven kader.
Voorbeeld 2

18. Er ontstond een vierlandenpunt in voorbeeld 2.
Dit kwam omdat de punten A t/m D op één cirkel liggen.
Redeneren met Voronoi-
diagrammen

19. We redeneren veelal bij Voronoi-diagrammen met behulp van cirkels.
Het begrip grootste lege cirkel komen we dan vaak tegen.
Dit is een cirkel in het Voronoi-diagram waarbij in de cirkel geen
enkel centrum ligt en op de rand ligt minimaal één centrum.
Hieronder zijn er twee voorbeelden van getekend:
Redeneren met Voronoi-
diagrammen

20. EEN PITTIGE KEGELSNEDE
5-3 Parabool

21. Conflictlijnen bij punten en
lijnen
DeconflictlijnvantweepuntenAenBis
demiddelloodlijnvanhetlijnstukAB.
Deconflictlijnvantweeevenwijdigelijnenis
demiddenparallel.
Deconflictlijnvantweesnijdendelijnenzijn
debissectrices.

22. Maar wat is de conflictlijn tussen een punt en een lijn?
Ik heb een lijn r en een punt F. Alle punten P waarvoor geldt dat
d(P, r) = d(P, F) liggen op een parabool.We noemen de lijn r ook wel
de richtlijn en het punt F de focus of het brandpunt.
Maar hoe construeer je nu die parabool?
De eerste drie punten zijn altijd redelijk goed te vinden:
•Het eerste punt vindt je door vanuit F een loodlijn te tekenen op r.
het middelste punt van deze lijn is het eerste punt.
•Het tweede en derde punt vindt je door door F een evenwijdige lijn
te tekenen aan r. Laat deze lijn snijden door de cirkel (F, d(F, r)). De
twee snijpunten die zo ontstaat zijn het tweede en derde punt.
Conflictlijnen tussen een punt
en een lijn

23. Gegeven is de richtlijn r en het brandpunt F. Teken de drie punten die
zojuist bedoeld werden:
De eerste drie punten:
•Het eerste punt vindt je door
vanuit F een loodlijn te tekenen
op r. het middelste punt van
deze lijn is het eerste punt.
•Het tweede en derde punt
vindt je door door F een
evenwijdige lijn te tekenen aan r. Laat deze lijn snijden door de cirkel
(F, d(F, r)). De twee snijpunten die zo ontstaat zijn het tweede en
derde punt.
Voorbeeld 3

24. Voorbeeld 3

25. Maar hoe teken je na deze drie punten nog bijvoorbeeld twee andere
punten?
We moeten als het ware een gelijkbenige driehoek tekenen. En we
weten dat de middelloodlijn van de basis door de top gaat.
Daar maken we gebruik van bij het construeren van een parabool:
•Kies een punt A op de richtlijn r.
•Teken de loodlijn op r in A.
•Teken de lijn FA en de middelloodlijn van FA.
•Het snijpunt van de loodlijn en de middelloodlijn is een punt P van de
parabool.
•Herhaal deze handeling 5 keer en schets de parabool door de punten.
Conflictlijnen tussen een punt
en een lijn

26. Teken een parabool door vijf keer de net geleerde constructie uit te
voeren:
Constructie van een parabool:
•Kies een punt A op de richtlijn r.
•Teken de loodlijn op r in A.
•Teken de lijn FA en de
middelloodlijn van FA.
•Het snijpunt van de loodlijn
en de middelloodlijn is een punt P van de parabool.
Voorbeeld 4

27. Voorbeeld 4

28. Huiswerk
Maken:
§5-1 opdrachten 1, 2 en 4.
§5-2 opdrachten 5abc, 6 t/m 9.
§5-3 opdrachten 10 t/m 13 en 15.