Integraalrekening 1 les 5

1. Bespreken: §5.5: 57, 59, 77; review: 13, 22, 67, lesuur 1, les 5
Welkom terug!!!
Bespreken huiswerkopgaven

2. §5.5: 57 (blz. 414)
Bereken
Let op: door de grenzen ook mee te laten veranderen kan het
korter genoteerd worden.
sec2 t
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ dt
0
π
∫
sec2 t
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ dt∫ = sec2
u( )4du∫ =
stel: u =
t
4
, dan:
du
dt
=
1
4
, dus: dt = 4du
4 sec2
u( )du∫ =4 tan(u)+ C[ ]
4 tan
t
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
0
π
= 4 tan
π
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − tan 0( )
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
4 1− 0( )= 4
sec2 t
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ dt
0
π
∫ =

3. §5.5: 59 (blz. 414)
Bereken
Let op: door de grenzen ook mee te laten veranderen kan het
korter genoteerd worden.
e
1
x
x2
dx
1
2
∫ stel: u =
1
x
, dan:
du
dx
=
−1
x2
, dus: dx = −x2
du
e
1
x
x2
dx∫ =
eu
x2
⋅−x2
du∫ = eu
⋅−1du∫ = − eu
du∫ = − eu
+ C⎡⎣ ⎤⎦
− e
1
2
− e1⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = e1
− e
1
2
− e
1
x
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1
2
=
e
1
x
x2
dx
1
2
∫ =

4. §5.5: 77 (blz. 414)
Bereken door deze integraal op te delen in
twee integralen en één van deze integralen als een oppervlakte
te benaderen.
is een oneven grafiek met als symmetriepunt x = 0
dus de integraal op het interval [-2, 2] van deze functie is 0.
(3+ x) 4 − x2
dx
−2
2
∫
(3+ x) 4 − x2
dx
−2
2
∫ = 3 4 − x2
dx +
−2
2
∫ x 4 − x2
dx
−2
2
∫
y = x 4 − x2

5. §5.5: 77 (blz. 414)
Dus:
is een halve cirkel met straal 2. De oppervlakte
hiervan is dus:
Dus:
3 4 − x2
dx +
−2
2
∫ x 4 − x2
dx
−2
2
∫ = 3 4 − x2
dx
−2
2
∫ + 0
y = 4 − x2
y = π ⋅22
⋅
1
2
= 2π
3 4 − x2
dx
−2
2
∫ = 3⋅2π = 6π
(3+ x) 4 − x2
dx
−2
2
∫ = 6π

6. review: 13 (blz. 417)
Bereken
u − 2u2
u
du
1
9
∫
u − 2u2
u
du
1
9
∫ = u
−1
2
− 2udu
1
9
∫ = 2u
1
2
− u2⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1
9
=
2 u − u2
⎡
⎣
⎤
⎦1
9
= 2 9 − 92
( )− 2 1 −12
( )= −75 −1= −76

7. review: 22 (blz. 417)
Bereken
Let op: door de grenzen ook mee te laten veranderen kan
het korter genoteerd worden.
ex
1+ e2x
dx
0
1
∫ stel: u = ex
, dan:
du
dx
= ex
, dus: dx =
du
ex
ex
1+ e2x
dx∫ =
1
1+ u2
du∫ = arctan(u)+ C[ ]
arctan(ex
)⎡⎣ ⎤⎦0
1
=
arctan(e1
)− arctan(e0
) = arctan(e)−
π
4
ex
1+ e2x
dx
0
1
∫ =

8. review: 67 (blz. 418)
Laat zien dat als f’ continu is op [a, b], dat geldt:
Let op: door de grenzen ook mee te laten veranderen kan het korter
genoteerd worden.
2 f (x) f '(x)dx = f (b)( )2
− f (a)( )2
a
b
∫
2 f (x) f '(x)dx =∫
stel: u = f (x), dan:
du
dx
= f '(x), dus: du = f '(x)dx
2 udu =∫ 2
1
2
u2
+ C
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2
1
2
f (x)2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
a
b
=2
1
2
f (b)2
−
1
2
f (a)2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =f (b)2
− f (a)2
2 f (x) f '(x)dx =
a
b
∫

9. lesuur 2-3, les 5
§6.1 Areas Between Curves
Chapter 6 Applications of Integration

10. Voorbeeld 1
Bereken de oppervlakte onder de grafiek van
op het interval [1, 3].f (x) = − 1
2 x2
+ 3x − 2
−
1
2
x2
+ 3x − 2dx =
1
3
∫
−
1
6
x3
+
3
2
x2
− 2x
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
1
3
=
11
3

11. Voorbeeld 2
Bereken de oppervlakte tussen de grafiek van g(x) en de x-as,
op het interval [1, 3], als
− x2
− 5x + 4dx =
1
3
∫
g(x) = (x − 3)2
+ x − 5
− (x − 3)2
+ x − 5dx =
1
3
∫
−
1
3
x3
−
5
2
x2
+ 4x
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
1
3
=
10
3

12. Areas Between Curves
Wat is de oppervlakte tussen de functies uit de voorbeelden op
het interval [1, 3]?
Dat is dus:
f (x)dx +
1
3
∫ − g(x)dx =
1
3
∫
11
3
− −
10
3
=
21
3
= 7

13. Areas Between Curves
Dit geldt altijd zo!
Als je de oppervlakte S tussen twee functies f en g moet
berekenen op een interval [a, b], waarbij f en g continu zijn en
f(x) ≧ g(x) op het hele interval, dan geldt:
(Het is dus altijd de ’bovenste’functie minus de ’onderste’functie.)
(Tip: maak altijd een schets voor jezelf!)
S = f (x)− g(x)dx
a
b
∫ = f (x)dx
a
b
∫ − g(x)dx
a
b
∫

14. Voorbeeld 3
De functies en sluiten een gebied V
in. Bereken de oppervlakte van het gebied.
0,5x = x − 2 +1
f (x) = 0,5x g(x) = x − 2 +1
0,5x −1= x − 2
1
4 x2
− x +1= x − 2
1
4 x2
− 2x + 3 = 0
x2
− 8x +12 = 0
(x − 2)(x − 6) = 0
x = 2 ∨ x = 6
x − 2 +1− 0,5xdx
2
6
∫ = 2
3 (x − 2) x − 2 + x − 1
4 x2
⎡
⎣
⎤
⎦2
6
=
4
3

15. Ook als twee functies elkaar snijden zul je altijd de integraal van
de bovenste functie minus de onderste functie moeten nemen
om de oppervlakte tussen de grafieken te krijgen.
(maar ook deze moet je in delen berekenen!)
V1
V2
V3
g
f
a b c d
Areas Between Curves
V = V1 +V2 +V3 = f (x)− g(x)dx
a
b
∫ + g(x)− f (x)dx +
b
c
∫ f (x)− g(x)dx
c
d
∫
= f (x)− g(x) dx
a
d
∫

16. Voorbeeld 4
Gegeven zijn de functies en
Bereken de oppervlakte die de functies insluiten op [0, π].
Op het interval [0, π] geldt
als
f (x) = sin(x) g(x) = cos(x)+1
f (x) = sin(x)
g(x) = cos(x)+1
sin(x) = cos(x)+1
x = 1
2 π ∨ x = π

17. Voorbeeld 4
Gegeven zijn de functies en
Bereken de oppervlakte die de functies insluiten op [0, π].
Op het interval [0, π] geldt
als
f (x) = sin(x) g(x) = cos(x)+1
sin(x) = cos(x)+1
x = 1
2 π ∨ x = π
V = cos(x)+1− sin(x) dx
0
π
∫ =
cos(x)+1− sin(x)dx +
0
1
2
π
∫ sin(x)− cos(x)−1dx
1
2
π
π
∫ =
sin(x)+ x + cos(x)[ ]0
1
2π
+ −cos(x)− sin(x)− x[ ]1
2π
π
= 2

18. Deze oppervlakte hoeft niet altijd ingesloten te worden op een
horizontaal interval, maar kan ook op een verticaal interval
ingesloten worden:
Areas Between Curves

19. Het boek legt dit op een moeilijkere/andere manier uit.
Om dit soort vraagstukken op te lossen spiegel je eerst de hele
functie in de lijn y = x. Ofwel: Maak van alle x’en een y en
andersom.
En los hem daarna op zoals we nu al continu hebben gedaan.
Areas Between Curves

20. Voorbeeld 5
Gegeven zijn de formules en
Bereken de oppervlakte tussen deze twee functies op het gebied
tussen de lijn y = -1 en y = 1.
x = y2
− 2 x = ey
ex
− (x2
− 2)dx
−1
1
∫ =
ex
− 1
3 x3
+ 2x⎡⎣ ⎤⎦−1
1
=
e1
− 1
3 ⋅13
+ 2⋅1− e−1
− 1
3 ⋅(−1)3
+ 2⋅−1( )=
e −
1
e
− 2
3 + 4 = e −
1
e
+ 31
3

21. Voorbeeld 6
De functies en sluiten een oppervlakte A in.
Bereken voor welke waarde van b de lijn x = b de oppervlakte
verdeelt in twee gelijke stukken.
Direct is te zien dat b = 1 de oplossing is.
f (x) = x2
g(x) = 2x
x2
= 2x x(x − 2) = 0 x = 0 ∨ x = 2
2x − x2
dx
0
2
∫ = x2
− 1
3 x3
⎡⎣ ⎤⎦0
2
= 22
− 1
3 ⋅23
− 0 =
4
3
2x − x2
dx
0
b
∫ =
2
3
b2
− 1
3 ⋅b3
=
2
3

22. Voorbeeld 7 (vraag 45, blz. 428)
De dwarsdoorsnede van een vliegtuigvleugel is hieronder weergeven.
De dikte van de vleugel is op 11 plaatsen gemeten die telkens 20 cm
van elkaar aflagen. Deze diktes zijn: 5,8; 20,3; 26,7; 29,0; 27,6; 27,3;
23,8; 20,5; 15,1; 8,7 en 2,8.
Schat de oppervlakte van deze
dwarsdoorsnede met behulp van een
Riemannsom. Gebruik daarvoor de middensom.
We hebben 10 intervallen, maar weten in die intervallen niet de
middelste waarde. Dus maken we 5 intervallen met een breedte van
40 cm. (Let op er zijn meerdere schattingen juist!)
A =△x ⋅( f (x1)+ f (x2 )+ f (x3 )+ f (x4 )+ f (x5 ))
= 40⋅( f (20)+ f (60)+ f (100)+ f (140)+ f (180))
= 40⋅(20,3+ 29 + 27,3+ 20,5 + 8,7) ≈ 4232 cm2

23. Einde les 5
Huiswerk: §6.1
§6.1: 1, 5, 9, 11, 13, 17, 23, 29, 51;
Nu is het glas half leeg, maar hoe vol zit het nou werkelijk?
Volgende week: volumes berekenen