Portafolio de algebra 2014

“Universidad Politécnica Estatal del Carchi”
Facultad de Industrias Agropecuarias y
Ciencias Ambientales

Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario

Portafolio de Algebra
I n g . Oscar Lomas

ALGEBRA

Contenido
SILABO .............................................................................................Error! Bookmark not defined.
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 3
OBJETIVOS ................................................................................................................................. 4
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES .......................................Error! Bookmark not defined.
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES ...................................Error! Bookmark not defined.
EXPONENTES Y RADICALES..........................................................Error! Bookmark not defined.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS .......................................................Error! Bookmark not defined.
¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?...........................................................Error! Bookmark not defined.
Partes de una ecuación ...............................................................Error! Bookmark not defined.
¡Exponente! .................................................................................Error! Bookmark not defined.
PRODUCTOS NOTABLES ..............................................................Error! Bookmark not defined.
FACTORIZACIÓN ..........................................................................Error! Bookmark not defined.
FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO. .....................................Error! Bookmark not defined.
ECUACIONES LINEALES ................................................................Error! Bookmark not defined.

ALGEBRA

INTRODUCCIÓN
El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las
propiedades generales de las operaciones aritméticas y lo números para generar
procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos análogos. Esta
rama se caracteriza por hacer implícitas las incógnitas dentro de la misma
operación; ecuación algebraica.
El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos
usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el
Teorema de Pitágoras.
El Álgebra es el área de las matemáticas donde las letras (como x o y) u otros
símbolos son usados para representar números desconocidos.

Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede resolverse sumando 5 a
ambos lados del signo igual (=), así:

x-5=2
x-5+5=2+5
x+0=7
x = 7 (la respuesta)
Se realizara el estudio tanto de números reales,

números enteros positivos,

negativos , fraccionarios , productos notables, factorización , sistemas de
ecuaciones lineales aplicadas a nuestra carrera.

ALGEBRA

OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Recopilar toda la información de cada tema ya visto en el módulo de
algebra, para que sirva de guía base para nuestro estudio.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Elaborar el portafolio estudiantil
Analizar la información recolectada que servirá de base de estudio para la
evaluación.
Trabajar en forma grupal en la recolección de la información

ALGEBRA

SILABO
I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO
UPEC – MISIÓN

Formar

MISIÓN – ESCUELA

profesionales La Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario

humanistas, emprendedores y contribuye al desarrollo Provincial, Regional y
competentes, poseedores de Nacional,
conocimientos

científicos

tecnológicos;

comprometida investigación

con

la

investigación

y

entregando

profesionales

que

y participan en la producción, transformación,
y

dinamización

del

sector

la agropecuario y agroindustrial, vinculados con la

solución de problemas del comunidad, todo esto con criterios de eficiencia y
entorno para contribuir con el calidad
desarrollo

y

la

integración

fronteriza
UPEC - VISIÓN

ALGEBRA

VISIÓN – ESCUELA

Conjunto de Números Reales
Introducción
Un conjunto es una colección de objetos. Por ejemplo, se puede hablar del conjunto de
números pares entre 5 y 11, a saber 6, 8 y 10. Cada objetivo de un conjunto se denomina
elemento de ese conjunto. No se preocupe si esto sueno un poco circular. Las palabras
conjunto y elemento son semejantes a línea y punto en geometría plana. No puede
pedirse definirlos en términos más primitivos, es sólo con la práctica que es posible
entender su significado. La situación es también parecida en la forma en la que el niño
aprende su primer idioma. Sin conocer ninguna palabra, un niño infiere el significado de
unas cuantas palabras muy simples y termina usándolas para construir un vocabulario
funcional.
Nadie necesita entender el mecanismo de este proceso para aprender hablar. De la
misma forma, es posible aprender matemáticas prácticas sin involucrarse con términos
básico no definidos.
Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal,
incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los
números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos los
fracciones; y todos los números irracionales; aquellos cuyos desarrollos en decimales
nunca se repiten. Ejemplos de números irracionales son:
√ 2 = 1.4142135623730951 . . .

π = 3.141592653589793 . . .

e = 2.718281828459045 . . .

Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como
mostrado aquí.

Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el
punto corresponde a b estará a la derecha del punto que corresponde a a.
Conjunto de los números reales
El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números.
Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos:

ALGEBRA

Conjunto de los números naturales
El conjunto de los números naturales, que se denota por
corrientemente se presenta así:

N o también por

Z

N = {1, 2, 3, 4, 5,...}.
La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.
Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los
sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales.
Conjunto de los números enteros
El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta así:
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.
En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen
solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = –
2.Puede notarse que N ⊂ Z.
Conjunto de los números racionales
El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente
manera

La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la
ecuaciónax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0.
Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b.

Propiedades de los Números Reales

ALGEBRA

Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales. Conocer sus
propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en cualquier
disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias experimentales, ciencias sociales, etc.
Sean

, entonces se verifican las siguientes propiedades:

Propiedad de la cerradura
La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más números
reales, y el resultado será siempre un número real. Por ejemplo:

Importante:La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO
para la división, no se puede dividir entre cero.

Propiedad conmutativa
ALGEBRA

La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar el
orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por
ejemplo:

Importante:La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división, pues
el resultado se altera.

Propiedad asociativa
La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o
multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar o
multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por ejemplo:

Importante:La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el
resultado se altera.

Propiedad distributiva
La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de
adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar las operaciones
aritméticas.

Propiedad de identidad (elemento neutro)
ALGEBRA

La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado elemento
neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma:
25 + 0 = 25 el elemento neutro de la adición es el número CERO.
La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número (llamado
elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el resultado
de la multiplicación:
25 * 1 = 25 el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.
Propiedad del inverso
La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como
sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.
28 + (-28) = 0 el inverso aditivo para esta suma es el número
La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado como
factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.

, el inverso multiplicativo para esta multiplicación es

Operaciones con Números Reales
Suma
Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos)
Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.
La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos números
negativos será un número negativo.
Ejemplo.
-5 + (-9)
Solución:
Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.

ALGEBRA

Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un
signo negativo antes del valor.
Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo)
Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del
número con el valor absoluto más grande.
La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o cero,
el signo de la respuesta será el mismo signo que el número con mayor valor absoluto.
Ejemplo.
3 + (-8)
Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto más
pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto.
Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto mayor
que el número 3, por lo que la suma es negativa.
3 + (-8) = -5
Restar
Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por medio
de la regla siguiente.
a – b = a + (-b)
Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a
Ejemplo.
5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5.
5 – 8 = 5 + (-8) = -3
Multiplicación
Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos,
multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo,
multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplo

ALGEBRA

Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista un
número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un número
par de números negativos.
Propiedad del cero en la multiplicación
Para cualquier número a,
División
Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida
sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus
valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplos.
Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común
reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho
siguiente.

Exponentes y Radicales
La potenciación o exponenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual
que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales.
En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente,
que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que
la base se multiplica por sí misma:
Una de las definiciones de la potenciación, por recurcion, es la siguiente:
x1 = x
Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x•x0. Al dividir los dos términos
de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que
x0=1.
Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en
principio, no está definido. Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos
atenemos a la idea de producto vació o simplemente por analogía con el resto de
números.
Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la base,
es decir que la potencia pasa con exponente positivo.
ALGEBRA

Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciacion son las siguientes:
Potencia de potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual
a la multiplicación de los primeros exponentes.
Multiplicación de potencias de igual base
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a
y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente
igual a la resta de los exponentes respectivos.
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo
es con respecto a la suma ni a la resta.
En general:ab = ba
Si y sólo si a=b.
En particular:
(a + b)m = am + bm
(a − b)m = am − bm
Se cumple en los siguientes casos:
Si m=1.
Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.
Si a y b son iguales a 0 y m≠0.
Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos
en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.
En particular:
ALGEBRA

ab = ba
Si y sólo si a=b.
Potencia de exponente 0
Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.
a0 = 1 si se cumple que
Potencia de exponente 1
Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.
a1 = a
Potencia de base 10
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades
posee el exponente.
101 = 10
como tambien pues ser un conjuntos de numeros potenciados o elevados a un exponente
106 = 1000000
104 = 10000
Gráfico
gráfico de Y = X2El gráfico de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su
extremo está en el punto (0, 0), a menos que el gráfico sea trasladado. Su sentido de
crecimiento es positivo en ambas direcciones.

Radicación
Es el proceso y el resultado de radicar. Este verbo, por su parte, se refiere a lo
que dispone de arraigo en un determinado lugar. Por ejemplo: “La radicación de la
empresa en el polo industrial debe hacerse en la Secretaría de Producción”, “Los hechos
ALGEBRA

muestran que la radicación en suelo australiano no fue una buena idea para la familia
González”,
“Tenemos que luchar contra la radicación de esos hábitos nocivos en nuestra comunidad”.
En el campo de la matemática, se conoce como radicación a la operación que consiste
en obtener la raíz de una cifra o de un enunciado. De este modo, la radicación es el
proceso que, conociendo el índice y el radicando, permite hallar la raíz. Ésta será la cifra
que, una vez elevada al índice, dará como resultado el radicando.

Para comprender estos conceptos, por lo tanto, hay que reconocer las partes que forman
un radical. La raíz es el número que, multiplicado la cantidad de veces que indica el
índice, da como resultado el radicando.
Supongamos que nos encontramos con un radical que muestra la raíz cúbica de 8.
Tendremos el radicando (8) y el índice o exponente (3, ya que es una raíz cúbica). A
través de la radicación, llegamos a la raíz: 2. Esto quiere decir que 2 elevado alcubo (2 x 2
x 2) es igual a 8.
Como puede advertirse, la radicación es una operación que resulta inversa a
la potenciación: retomando el ejemplo anterior, vemos que multiplicando 2 x 2 x
2 (2elevado al cubo) llegamos a la raíz cúbica de 8.

Operaciones con Expresiones Algebraicas
Expresión Algebraica:Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más
operaciones algebraicas.
Término:Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios
símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término son
cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
Grado Absoluto de un Término: Es la suma de los exponentes de sus factores literales.
Grado de un Término con relación a una Letra: Es el exponente de dicha letra.
ALGEBRA

Clases de Términos
El término entero es el que no tiene denominador literal, el término fraccionario es el que
tiene denominador literal. El término racional es el que no tiene radical, e irracional el que
tiene radical.
Términos Homogéneos:Son los que tienen el mismo grado absoluto.
Términos Heterogéneos:Son los de distinto grado absoluto.
Términos Semejantes:Dos términos son semejantes cuando tienen la misma parte
literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.
10 Ejemplos de Términos Semejantes:
1. x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x).
2. xy2 es un término semejante a -3y2x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 =
y2x)
3. 5xyrb es un término semejante con –xyrb
4. 4bx2 no es semejante a 4b2x ya que el literal bx2 no es igual al b2x.
5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk)
6. 4(jk)3 es semejante a 9j3k3 porque (jk)3 = j3k3
7. 5ty es semejante a 3ty
8. 5kl4 es semejante a -2kl4
9. 68lky5 es semejante a -96lky5
10. 378ab3c2 no es semejante a 378a2b3c

CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.

BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos.
ALGEBRA

TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos.

POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término.

GRADO DE UN MONOMIO
Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El monomio
es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado.
El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado
respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.

GRADO DE UN POLINOMIO
Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio:

9.5 ¿Cuál es el grado de:

ALGEBRA

?

9.6 ¿Cuál es el grado de:

?

CLASES DE POLINOMIOS.

Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal;
fraccionario cuando alguno de sus términos tiene letras en el denominador;
racional cuando no contiene radicales; irracional cuando contiene radical;
homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto;
heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado.
POLINOMIO COMPLETO CON RELACIÓN A UNA LETRA.
Es el que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al
más bajo que tenga dicha letra en el polinomio.
POLINOMIO ORDENADO CON RESPECTO A UNA LETRA. Es un polinomio en el cual
los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando o
disminuyendo.
ORDENAR UN POLINOMIO. Es escribir sus términos de modo que los exponentes de
una letra escogida come letra ordenatriz queden en orden descendente o ascendente.
Suma:
Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del
mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del
mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0,
como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2. Y se los suele ordenar
de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado.
También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la
EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras.
Ejemplo 1: (Suma de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x
B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3

2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8
+
ALGEBRA

(el polinomio A ordenado y completo)

-5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10
(el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
-3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18
A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18
En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros.
Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que
quede encolumnado término a término con el otro polinomio.

Ejemplo 2: (Suma de polinomios de distinto grado)
A = -3x2 + 5x - 4
B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1

(grado 2)
(grado 3)

0x3 - 3x2 + 5x - 4


+
4x3 - 5x2 + 2x + 1
____________________
4x3 - 8x2 + 7x - 3

A + B = 4x3 - 8x2 + 7x – 3
La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se ponen
los términos con coeficiente cero.
Ejemplo 3: (Uno de los términos del resultado es cero)
A = 9 + 5x3 - 4x2 + x
B = 4x2 - 3 - 2x

5x3 - 4x2 + x + 9
+
0x3 + 4x2 - 2x - 3
____________________
5x3 + 0x2 - x + 6

A + B = 5x3 - x + 6
ALGEBRA

Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con
un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes. Se puede
observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos polinomios, sin
modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener otro término
semejante.
Ejemplo 4: (No hay términos semejantes)
A = 4x3 + 5
B = -2x + x2

4x3 + 0x2 + 0x + 5
+
0x3 + x2 - 2x + 0
____________________
4x3 + x2 - 2x + 5

A + B = 4x3 + x2 - 2x + 5
Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son
los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma "parte literal").
Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y
sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes
literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los términos de igual
parte literal.
Ejemplo 5: (Suma de polinomios de varias letras)
A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy
B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y
A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) =
-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y =
-3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 =
-9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2

ALGEBRA

Resta:

Ejemplo 1: (Resta de polinomios de igual grado)
A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x
B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8


5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10
______________________________

La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo
polinomio:
9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8
+
-5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10
(el polinomio B con los signos cambiados)
______________________________
4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio
que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que
sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo
grado.
Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer
en la suma.
Ejemplo 2: (Resta de polinomios de distinto grado)
A = 5x - 4 - 3x2
B = 2x + 4x3 - + 1 + 5x2
0x3 - 3x2 + 5x - 4
ALGEBRA

(grado 2)
(grado 3)

4x3 - 5x2 + 2x + 1
____________________

0x3 - 3x2 + 5x - 4
+
-4x3 + 5x2 - 2x - 1
(el polinomio B con los signos cambiados)
____________________
-4x3 + 2x2 + 3x - 5

A - B = -4x3 + 2x2 + 3x – 5

Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros
términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los
polinomios, para que quede en columnado término a término con el otro polinomio.
Multiplicación:
Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se aplica
la Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de aprender
polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones algebraicas", que
son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo:
(x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1
2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1

Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema
"Polinomios". Lo que había que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada
término de una expresión con cada término de la otra:
(x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 =

Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x2 con las x2...". "Juntar
era en realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En este ejemplo
sólo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x. Como otro
número no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de juntar se ve también
ALGEBRA

la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los números con los números..." es en
realidad "sumar los términos semejantes o de igual grado". (ver: suma de polinomios)
= x2 + 2x - 15
Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de la
multiplicación con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se hacía en las
ecuaciones, pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, y tener
muchos términos. Por ejemplo:
A = -9x3 + x + 4x5
B = 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
(-9x3 - x + 4x5).(3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x) =
Se trata, como antes, de multiplicar cada término de uno por todos los términos del otro.

Ejemplo 1: (Multiplicación por un monomio)
A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
B = -5x4
-3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
X
-5x4
______________________________
15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5

A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5

Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la
letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una
multiplicación de potencias de igual base.
También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre
paréntesis y luego aplicando la propiedad distributiva.

ALGEBRA

Ejemplo 2: (Multiplicación de polinomios completos)
A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1
B = 3x - 6
4x3 - 5x2 + 2x + 1


X
3x - 6
____________________
-24x3 + 30x2 - 12x - 6


+
12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x
_________________________
12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6

A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6

A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer
polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan
también completos y ordenados, y es más fácil en columnarlos según su grado, porque
van saliendo en orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los
polinomios. Es un procedimiento similar al de la multiplicación de números de varias
cifras, con la diferencia de que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino que se
baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse
una columna, tal como en la multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que
los
términos
de
igual
grado
queden
en
la
misma
columna.

Ejemplo 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados, completándolos y
ordenándolos)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2

5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)
ALGEBRA

X
-2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado)
______________________________
15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0
0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x
-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
________________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0

A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es más
fácil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque todo va
saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo polinomio, se
puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir cuando uno recién
aprende el tema, pero luego cuando se tiene más práctica se preferirá no completar ni
multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha esta misma multiplicación sin
completar los polinomios.
En el resultado final ya no se ponen los términos con 0.

Ejemplo 4: (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí
ordenándolos)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2

5x4 - 9x2 + x

(polinomio A incompleto pero ordenado)

X
-2x2 + 3
(polinomio B incompleto pero ordenado)
_____________________
15x4
- 27x2 + 3x

ALGEBRA

-10x6 + 18x4 - 2x3
____________________________
-10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
En el resultado de multiplicar por el 3 no hay término con grado 3. Y en el resultado de
multiplicar por -2x2, no hay término de grado 2. Eso obliga a que, para que queden
encolumnados los términos de igual grado, haya que saltearse columnas, borrar para
hacer espacios, etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes prefieren no tener
que ponerse a pensar en dónde ubicar cada término.
EJEMPLO 5: (Multiplicación de polinomios de varias letras)
A = -3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3
B = 5x4y + 8x - 2x3y - 10
A x B = (-3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3).(5x4y + 8x - 2x3y - 10) =
-15x6y4 - 24x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3
- 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 + 60x3y3 =
-15x6y4 + 12x6y4 - 24x3y3 + 60x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x
- 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3
+ 12x6y4 =
-3x6y4 + 36x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 28x5y3 +
70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4

Cuando los polinomios tienen varias letras, no es práctico usar el procedimiento de
ordenarlos, completarlos y ponerlos uno sobre otro. Mejor es multiplicarlos "en el mismo
renglón" aplicando la Propiedad distributiva. En la multiplicación de los términos, hay que
sumar los exponentes de las letras que son iguales, por la Propiedad de las potencias de
igual base. Luego, se "juntan" los términos semejantes (iguales letras con iguales
exponentes). En este ejemplo solamente hubo dos términos semejantes: -24x3y3 con
60x3y3. Los demás quedan como están.
ALGEBRA

Ejemplo 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el
segundo)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2
5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)
-2x2 + 3 (polinomio B completo y ordenado)

X

______________________________
15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0

-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2
________________________________________
-10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0
A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x2 debajo del -27x2,
y es porque al segundo polinomio le falta el término de grado x. Todo lo demás salió
ordenado por grado.
Ejemplo 7: (Sin ordenar ni completar)
A = -9x2 + x + 5x4
B = 3 - 2x2

9x2 + x + 5x4

(polinomio A incompleto y desordenado)

X
3 - 2x2
(polinomio B incompleto y desordenado)
__________________________
- 10x6
+ 18x4 - 2x3
+ 15x4
- 27x2 + 3x
_________________________________________
ALGEBRA

- 10x6

+ 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

A x B = - 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o menos el
espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado que
obtenemos es -10x6, sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas más para los
grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda, dejando a su
derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer en los siguientes
resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio entre -10x6 y este nuevo
término, para los grados intermedios que faltan.
División:
División entre fracciones
En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y
las reglas de división de fracciones de la aritmética.
Se aplica ley de signos
Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el
dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el
divisor de la división (esto se llama división cruzada)
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas
a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.
Ejemplos:

ALGEBRA

División de polinomios entre monomios.
Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio,
esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.
Pasos:
Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.
Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido
por el monomio.
Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizó en el capítulo
anterior.
Se realizan las sumas y restas necesarias.
Ejemplos:

División entre polinomios.
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a
seguir son los siguientes.
Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en
orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los
espacios de los términos que faltan.
El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre
el primer miembro del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca
este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo
parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor.
Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca
este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.

ALGEBRA

Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo
primer término no pueda ser dividido por el primer término del divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el
término que se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.

Factorización
Factores
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto entre sí
(de estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto entre a y a +
b, se obtiene:
a y abe, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores de a2 +
ab de tal manera que:
(X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15
Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15
Métodos para la factorización de polinomios
Todo Polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los
números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
Binomios




Diferencia de Cuadrados
Suma o diferencia de Cubos
Suma o diferencia de potencias impares iguales

Trinomios




Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c

Polinomios


Factor común

ALGEBRA

Factorizar un monomio
Se descompone el término en el producto de factores primos.
Ejemplo:
15ab= 3 x 5 x a x b
Factorizar un polinomio
No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más factores
distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números primos que sólo
son divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay expresiones algebraicas que
sólo son divisibles por la unidad ypor ellas mismas, en consecuencia, no son el producto
de otras expresiones algebraicas. Así a + b nopuede descomponerse en dos factores
distintos de 1 porque sólo es divisible por a + b y por la unidad.
A continuación diferentes casos de descomposición factorial.

Caso I: Factor común
Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
Ejemplos:
a) Descomponer en factores a2 + 2a
a2 y 2a contienen el factor común a. Se escribe este factor común como coeficiente de un
paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes obtenidos de efectuar el
cociente entre a2 y a y 2a ya
Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2)
b) Factorizar 10b - 40ab2
Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque siempre se
escoge el mayor factor común. De las variables, el único factor común es b ya que se
haya en los dos términos del binomio y se toma con su menor exponente. El factor común
será 10b
Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab)
c) Descomponer en factores:
10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2)

ALGEBRA

Factor común de un polinomio
a) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b)
Los dos términos de la expresión tienen como factor común (a+b). Se escribe (a+b) como
coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis se escriben los cocientes de
dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b).
Factorizando se obtiene:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)
x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by
Obteniendo:
x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by
Factor común por agrupación de términos
Se agrupan los términos que tengan factor común, asociándolos entre paréntesis y luego
se extrae el factor común de cada uno.
Ejemplos
a) Factorizar ax + by +ay + by
Los dos primeros términos tienen el factor común x, y los dos últimos tienen el factor
común y, asociando los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos también
en un paréntesis precedido de un signo + ya que el tercer término es positivo se obtiene:
ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by)
ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) extrayendo los factores comunes
ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) factorizando
Nota: La asociación de términos puede hacerse de varios modos y siempre se obtendrá el
mismo resultado.
Trinomio cuadrado perfecto
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales.
Así, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a.
ALGEBRA

En efecto (4a2) = 4a x 4a = 16a2, 4a cantidad que multiplicada por si misma da 16a2, 4a es
la raíz cuadrada de 16a2.
Sin embargo (-4a2) = (-4a)((-4a) = 16a2, luego (-4a) es también raíz de 16a2, por lo que la
raíz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-).
Raíz cuadrada de un monomio
Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se saca la raíz cuadrada de su coeficiente
numérico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2.
Ejemplo: La raíz cuadrada de 25a2b4 es 5ab2
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es el
producto de dos binomios iguales.
Así, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b
Por tanto:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término del trinomio y se separan estas
raíces por el signo del segundo término. El binomio ya formado, que es la raíz cuadrada
del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.
Ejemplo:
a) El trinomio a2 + 8ab + 16b2 es cuadrado perfecto ya que:
raíz cuadrada de a2 = a raíz cuadrada de 16b2 = 4b
Doble producto de las raíces: 2 x a x 4b = 8ab
Trinomios de la forma x2 + bx + c
En el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene un
trinomio de la forma x2 + bx + c, haciendo para ello a + b = b y ab = c
Por tanto:

ALGEBRA

Un trinomio de la forma x2 + bx + q se puede descomponer en el producto de dos
factores: (x + a) y (x + b) si podemos encontrar dos números a y b cuya suma algebraica
sea b y cuyo producto sea c
Regla práctica para factorizar el trinomio
1) El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer término es x, es
decir, la raíz cuadrada del primer término del trinomio.
2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio,
y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo
del 2do término del trinomio y el signo del tercer término del trinomio.
3) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan dos
números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo
producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los
segundos términos de los binomios.
4) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos distintos se buscan dos
números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo
producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números
es el primer término del primer binomio, y el menor, es el segundo término del segundo
binomio.
Ejemplos:
Descomponer en factores:
a) x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5), pues 4 + 5 = 9 y 4 x 5 = 20
b) a2 - 8a + 12 = (a - 6)(a - 2), pues (-6) + (-2) = (-8) y (-6)(-2) = 12
c) b2 + 3b - 28 = (b - 4)(b + 7), pues (-4) + 7 = 3 y (-4) x 7 = -28
Cubo de una suma

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factorizarla como (a + b)3.

Cubo de una diferencia
ALGEBRA

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factorizarla como (a – b)3.
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión
algebraica que lo representa:

Producto notable

Expresión algebraica
2

2

Nombre

2

(a + b)

=

a + 2ab + b

(a + b)3

=

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Binomio al cubo

a2 - b2

=

(a + b) (a - b)

Diferencia
cuadrados

a3 - b3

=

(a - b) (a2 + b2 + ab)

Diferencia de cubos

a3 + b 3

=

(a + b) (a2 + b2 - ab)

Suma de cubos

a4 - b4

=

(a + b) (a - b) (a2 + b2)

Diferencia cuarta

(a + b + c)2

=

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac +
2bc

Trinomio al cuadrado

Binomio al cuadrado

de

MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS
El problema de calcular el máximo común divisor (MCD) de dos polinomios es de
importancia fundamental en álgebra computacional. Estos cálculos aparecen como
subproblemas en operaciones aritméticas sobre funciones racionales o aparecen como
cálculo prominente en factorización de polinomios y en integración simbólica, además de
otros cálculos en álgebra.
En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variación del
algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo atrás, es
fácil de entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista del álgebra
ALGEBRA

computacional, este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales de los sesentas
se han desarrollado algoritmos mejorados usando técnicas un poco más sofisticadas.
EJERCICIOS
Ejemplo a) Hallar el m.c.d. de 4a^2+4ab

y

2a^4-2a^2b^2

1°) Se factorizan las expresiones dadas:
–> 4a^2 + 4ab = 4a(a+b)

(Se aplicó Caso I de Factorización)

–> 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 – b^2) = 2a^2(a+b)(a-b)
Factorización)

(Se aplicó Caso I y IV de

2°) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 4a y 2a^2 son 2a
Factor común de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b)
por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es la Solución.
NOTA: Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de Factores o
Factorización, según el Caso que le corresponda.

Ejemplo b) Hallar el m.c.d. de x^2 – 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4
1°) Se factorizan las expresiones dadas:
–> x^2 -4 = (x -2)(x +2)
–> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2)

Se aplicó el Caso IV de Factorización
Se aplicó el Caso III de Factorización.

–> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2)

Se aplicó el Caso III de Factorización.

Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de las 3 expresiones es = (x +2)
por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4,

x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solución.

Ejercicio 112.
1) Hallar el m.c.d. de 2a^2 +2ab , 4a^2 -4ab
ALGEBRA

Factorizando las expresiones dadas:
–> 2a^2 +2ab = 2a(a +b)

Se aplicó el Caso I de Factorización.

–> 4a^2 -4ab = 2a(2a -2b)

Se aplicó el Caso I de Factorización.

Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 2a(a +b)
por lo tanto el m.c.d. de

y

4a(a -b)

2a^2 +2ab

y

es = 2a
4a^2 -4ab es = 2a

<– Solución.

2) Hallar el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y , 9x^3y^2 +18x^2y^2
6x^3y -6x^2y = 3x^2y(2x -2)
9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6) (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)
Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 3x^2y(2x -2)
por lo tanto el m.c.d. de

y

3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y

6x^3y -6x^2y

3) Hallar el m.c.d. de 12a^2b^3

y

y

9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y

4a^3b^2 -8a^2b^3

–> 12a^2b^3 = 4a^2b^2(3b)
–> 4a^3b^2 -8a^2b^3 = 4a^2b^2(3b)
Factor común de 4a^2b^2(3b)
Por lo tanto el m.c.d. de

4) Hallar el m.c.d. de

y

4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^2

12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 es = 4a^2b^2

ab +b

y

ALGEBRA

(Para ambas expresiones se aplicó el Caso I)

a^2 +a

–> ab +b = b(a +1)
–> a^2 +a = a(a +1)
Factor común de


b(a +1)



y

a(a +1) es

ab +b

x^2 -x

y

= (a +1)

a^2 +a es = a +1

y x^3 -x^2

–> x^2 -x = x(x -1)
–> x^3 -x^2 = x^2(x -1)
Factor común de x(x -1)


y

x^2(x -1) es = x(x -1)

x(x -1)

y x^2(x -1) es = x(x -1)

30ax^2 -15x^3 ,

10axy^2 -20x^2y^2

–> 30ax^2 -15x^3 = 15x^2(2a -x) = (3)(5)(x)(x)(2a -x)
–> 10axy^2 -20x^2y^2 = 10xy^2(a -2x) = (2)(5)(x)(y^2)(a -2x) Se aplicó el Caso I
Factor común de

(3)(5)(x)(x)(2a -x)


ALGEBRA

y

30ax^2 -15x^3 ,

(2)(5)(x)(y^2)(a -2x) es = 5x
10axy^2 -20x^2y^2 es =

5x

Ecuaciones
Ecuaciones Lineales
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido
como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de
ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de
primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema
lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3
que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la
matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de
señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación
lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. a)
ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a
1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
ALGEBRA

4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182

.
Ecuaciones Fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones
algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo
común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)

Ejemplo:
m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12

Ecuaciones Literales

ALGEBRA

Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el
paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
Ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:

Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.
Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones,
esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas.
Gráficamente, la situación es la siguiente

ALGEBRA

Representación Gráfica
Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.
En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano
bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta.
La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas representan a
las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas
las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.
En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional,
siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un
único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la
intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas
soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.
Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que
dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.

Tipos de sistemas

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que
pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:
Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de
soluciones.
Sistema incompatible si no tiene solución.
Quedando así la clasificación:
ALGEBRA

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas
que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por
un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas
compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de
una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de
vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el
determinante de la matriz es diferente de cero:

Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales

Sustitución
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier
incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla
en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por
su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En
ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el
inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo,
supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita Y por ser la de menor coeficiente y
que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la
siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita Y en la otra ecuación, para
así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la X
Al
resolver la ecuación obtenemos el resultado x = 5,y si ahora sustituimos esta incógnita por
su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y = 7
sistema queda ya resuelto.

ALGEBRA

, con lo que el

Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de
sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación
se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si
despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo
que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

.

Una vez obtenido el valor de la incógnita , se sustituye su valor en una de las
ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la .
La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para
despejar x después de averiguar el valor de la y.
Reducción
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los
casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado
para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las
ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos
ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto
signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o
cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita,
donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema:

Método de Gauss
Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!

ALGEBRA

El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para
ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con
sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma
obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con
ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las
incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma
columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.

Es:

Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

Método gráfico

ALGEBRA

Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método
(manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un
espacio de dimensión 2.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se
resuelve en los siguientes pasos:
1. Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones.
2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la
tabla de valores correspondientes.
3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
4. En este último paso hay tres posibilidades:
1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos
valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".
2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las
respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden
ambas. «Sistema compatible indeterminado».
3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los reales pero si en
los complejos.

Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

Se puede ver:

Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres da la
segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes, sino
dos formas de expresar la misma ecuación.

ALGEBRA

Ecuaciones Cuadráticas
Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales.

Las ecuaciones lineales son

ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas de
grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.
Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son
números reales.
Ejemplo:
9x2 + 6x + 10

a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x

a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10

a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones
cuadráticas:
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de
binomios.
Luego,
se
busca
el
valor
de
x
de
cada
binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

ALGEBRA

x2 + 2x – 8 = 0

(x

) (x

a=1

b=2

c=-8

[x ·x = x2]

)=0

( x + ) (x - ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0

4 y –2

4 + -2 = 2

4 · -2 = -8
x+4=0

x–2=0

x+4=0
x=0–4
x = -4

x–2=0
x=0+2
x=2

Estas son las dos soluciones.

Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la
constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la
siguiente forma:

4x2 + 12x – 8 = 0
4
4
4
4

x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.

Ejemplo:
x2 + 2x – 8 = 0
x2 + 2x = 8

ALGEBRA

[Ya está en su forma donde a = 1.]
[ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x2 + 2x + 1

=8+1

x2 + 2x + 1 = 9
(

) (

) =9

Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9
(x + 1)2 = 9
(x + 1) = ±

x+1= ±3
x = -1 ± 3

[Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3
x=2

x = -1 – 3
x = -4

Fórmula General:
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación
cuadrática a la siguiente fórmula:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos
(−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a
identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.

ALGEBRA

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos
resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.
Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2,

b=3 y

c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el –

Así es que las soluciones son

ALGEBRA

Aplicaciones de Ecuaciones Y Desigualdades
Aplicaciones de Ecuaciones
Pasos para la solución de problemas:
1. Leer el problema hasta entenderlo para ser capaz de explicarlo con otras palabras.
2. Identificar la información disponible y qué es lo que se pregunta.
3. Representar la incógnita con un símbolo algebraico, como x.
4. Expresar las demás cantidades en términos de x.
5. Traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas que contengan x.
6. Resolver las expresiones algebraicas siguiendo los métodos adecuados.
7. Analizar la respuesta algebraica para ver si es posible.
8. Traducir la respuesta algebraica al lenguaje común.
Ejemplo
El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte.
¿Cuántos estudiantes practican deporte?
Solución:
Como

, entonces para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por
0,2, es decir: 240 · 0,2 = 48.
Ejemplo
ALGEBRA

Entonces 48 alumnos (de los 240) practican deporte.
En un curso con 200 alumnos, el 55% de las mujeres y el 65% de los hombres aprobaron.
Si en el curso el 30% son mujeres, ¿qué porcentaje de alumnos aprobaron el examen?

Solución:

Cantidad de mujeres: 0,3.200 = 60
Cantidad de mujeres que aprobaron: 0,55.60 = 33
Cantidad de varones: 0,7.200 = 140 (se podría haber hecho 200 – 60 = 140)
Cantidad de varones que aprobaron: 0,65.140 = 91
Total de alumnos que aprobaron: 33 + 91 = 124
Si x representa al porcentaje de alumnos que aprobaron, entonces

Ejemplo
La tía Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo el
doble que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces más que Laura ¿a cuánto le toco cada
uno?
Solución
Laurita=x
Pedro=2x (dos veces más que Laura)
Juanita=5x (cinco veces más que Laurita)
X+2x+5x=160
8x=160
x=160/8
x=20

con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a pedro
40 y a juanita 100 millones.
ALGEBRA

Ejemplos
Los miembros de una fundación desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros que
pagan dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente. ¿Cuánto deberán invertir a cada
tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% de la inversión total?
Solución:
Sea P la cantidad a invertir al 9%, por lo tanto ($18,000 − P) será la cantidad a invertir al
6%.
Establecemos:
(Ingreso devengado al 9%) + (Ingreso devengado al 6%) = Ingreso Total
Sustituimos los valores
(9%) P + (6%)($18,000 − P) = (8%)*($18,000)

Resolvemos para P:
.09P + .06 (18,000 − P) = .08*(18,000)
.09P + 1,080 − .06P = 1,440
.09P − .06P = 1,440 − 1,080
.15P = 360
P = (360) / (.15)
P = 2,400
Los miembros de la fundación deben invertir $2,400 al 9% y $18,000 − $2,400 = $15,600
al 6%.

Desigualdades Lineales
Una desigualdad es un enunciado o ecuación en el que dos expresiones no son iguales,
también son parecidas a las ecuaciones solo que en lugar de tener un signo de igual hay
unos símbolos:<,>,≤,≥. En una definición decimos que:
Suponemos que X y Y pertenecen a los reales donde cumplen con las condiciones
siguientes:


X es mayor que Y



X es menor que Y

ALGEBRA

Desigualdades. Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita La
expresión
,
Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según particulares de "a" y de "b", puede tenerse
, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia
es positiva y
, que se
lee "a" menor que "b", cuando la diferencia
es negativa. Desigualdad "es la
expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra".
Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la
izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los
términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo
mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias,
a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero
Ejemplo:

porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero
Ejemplo:

Porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor

Porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20

Ejemplo 1:

ALGEBRA

Casos Especiales
Cuando el lado de la incógnita queda con signo negativo (–), se debe realizar un arreglo
para eliminar ese signo negativo, ya que la incógnita nunca debe quedar con valor
negativo.
Veamos el siguiente ejemplo:
2x –[x –(x –50)] < x – (800 –3x)
Primero quitamos los paréntesis:
2x –[x –x +50] < x –800 +3x
Reducimos términos semejantes.
2x –[50] < 4x –800
Ahora quitamos los corchetes
2x –50 < 4x –800
Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.
2x –4x < –800 +50
Nuevamente reducimos términos semejantes y llegamos a
–2x < –750

ALGEBRA

Pero sabemos que no puede quedar signo negativo en la parte de la incógnita, entonces
cambiamos de signo a todo (–2x queda 2x y –750 queda 750), y además cambiamos el
sentido de la desigualdad (< lo cambiamos por >).
2x > 750
Despejamos x pasando al 2 a dividir, luego simplificamos.

Aplicación de Desigualdades
Una compañía produce un determinado número de microscopios; Si duplica su
producción y vende 60 le quedan más de 26 pero si bajara su producción a la tercera
parte y vendiera 5, entonces tendría menos de 10 microscopios. ¿Cuántos microscopios
se fabricaron?
Solución

Número de microscopios fabricados: x
La compañía duplica su producción: 2x
Vende 60
: 2x-60
Le quedan más de 26
: 2x-60 > 26……… (I)
Baja su producción a la tercera parte: x/3
Vende 5 microscopios
: x/3 – 5
Tendría menos de 10
: x/3 – 5 < 10…..... (II)
Resolviendo las inecuaciones I y II, tenemos:

mcm:3

Es decir, el numero de microscopios fabricados debe ser “mayor que 43” pero “menor que
45”, resultando x=44.
Rpta. Se fabricaron 44 microscopios.

ALGEBRA

No es muy común encontrar problemas con inecuaciones, pero de todas formas, si nos
encontramos frente a este caso, debemos plantearlo en lenguaje matemático y luego
realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que
deseamos conocer).
Veamos un problema sencillo como ejemplo:
Dentro de cinco años, Ximena tendrá no menos de 18 años. ¿Qué edad tiene actualmente
Ximena?
Tenemos entonces:
x

edad de Ximena

x+5

edad de Ximena en 5 años

Sabemos que la edad de Ximena en cinco años será mayor que 18 años (Dentro de cinco
años, Ximena tendrá no menos de 18 años).
x + 5 > 18
Resolvemos la inecuación:
x + 5 > 18
x > 18 -5
x > 13
Entonces podemos afirmar que Ximena actualmente tiene más de 13 años, pero no
podemos determinar exactamente su edad.
Dos ejemplos de inecuaciones representando la solución en la recta numérica e indicando
el intervalo en el cual se ubica ésta:

a)

X pertenece al intervalo que va entre el menos infinito y el menos un sexto incluido.
ALGEBRA

b)

X pertenece al intervalo que va entre la fracción incluida y el infinito hacia la derecha.

Valor Absoluto
Si el grado de la inecuación es uno (de primer grado), se dice que la inecuación es
lineal.
Esto porque al escribir las desigualdades usamos números y por esto mismo es que
podemos usar la recta numérica para visualizar o graficar dichas desigualdades.

Observa que en la recta de arriba:
4 > –1, porque 4 está a la derecha de –1 en la recta numérica.
–2 < 3, porque –2 está a la izquierda de 3 en la recta numérica
–3 < –1, porque -3 está a la izquierda de –1 en la recta numérica
0 > –4, porque 0 está a la derecha de –4 en la recta numérica
Una inecuación lineal, entonces, es una expresión matemática que describe cómo se
relacionan entre sí dos expresiones lineales.
Por ejemplo: 3 + 5x ≥ 18; y otro, –2(x + 3) < –9.

Como resolver una inecuación
Resolver una inecuación es encontrar el valor de la incógnita para los cuales se cumple
la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión
de intervalos de números reales, por ello es que se puede representar haciendo uso
de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinitos números reales.

ALGEBRA

Las reglas para la resolución de una inecuación son prácticamente las mismas que se
emplean para la resolución de ecuaciones, pero deben tenerse presentes las propiedades
de las desigualdades.
Como ya dijimos, se puede ilustrar la solución de una inecuación con una utilizando la
recta numérica y marcando el intervalo entre los números que dan solución a la
desigualdad. Si la solución incluye algún extremo definido del intervalo, en la gráfica
representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no
incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo en blanco.
Ejemplo: x > 7 (equis es mayor que 7)

Los valores mayores a 7 se representan a la derecha de la recta numérica y no incluyen al
7. En intervalo desde el punto blanco hacia el infinito a la derecha se escribe:
Ejemplo: x ≥ 7 (equis es mayor o igual a 7)

Los valores mayores e iguales a 7 se representan a la derecha de la recta numérica e
incluyen al 7. El intervalo desde el punto negro hacia el infinito a la derecha se
escribe:
Nótese la postura del corchete cuando incluye y cuando no incluye una cifra determinada
dentro del intervalo.

Resolución de inecuaciones lineales (de primer grado) con una incógnita
Veamos algunos ejemplos:
Resolver la inecuación 4x - 3 > 53 (Se lee: cuatro equis menos tres es mayor que 53)
Debemos colocar las letras a un lado y los números al otro lado de la desigualdad (en
este caso, mayor que >), entonces para llevar el –3 al otro lado de la desigualdad, le
aplicamos el operador inverso (el inverso de –3 es +3, porque la operación inversa de la
resta es la suma).
ALGEBRA

Tendremos: 4x − 3 + 3 > 53 + 3
4x > 53 +3
4x > 56
Ahora tenemos el número 4 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo
pasaremos al otro lado de la desigualdad dividiendo (la operación inversa de la
multiplicación es la división).
Tendremos ahora:

x > 56 ÷ 4
x> 14

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" serán todos los números mayores que 14,
no incluyendo al 14.
Gráficamente, esta solución la representamos así:

Esto significa que en la recta numérica, desde el número 14 (sin incluirlo) hacia la derecha
todos los valores (hasta el infinito + ∞) resuelven la inecuación.
Veamos el siguiente ejemplo: –11x -5x +1 < –65x +36
Llevamos los términos semejantes a un lado de la desigualdad y los términos
independientes al otro lado de la desigualdad (hemos aplicado operaciones inversas
donde era necesario).
–11x –5x +65x < 36 –1
Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente
49x < 35
Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.

ALGEBRA

Funciones y Gráficas
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X
(Llamado dominio).
Y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de
Forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del
Codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al
proceso lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo
de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una
encomienda que depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los
de la izquierda en la siguiente lista?:
ALGEBRA

1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
x --------> x2.
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de
función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:
x --------> x2

o

f(x) = x2 .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc.
Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.
Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en
kilos

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama
la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio)
constituye lo que se llama la salida o variable dependiente.
Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos.
Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

ALGEBRA

Ejemplo 2
Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el
mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".
x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3
Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada
uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del
segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento
enX sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo
elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.
Ahora podemos enunciar una definición más formal:
Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X
(dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).
Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una
regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X.
Usualmente X e Y son conjuntos de números.
Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se
anota
f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B

f : X -----> Y) o f(x) = x

Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la
función y B es el codominio o conjunto de llegada.
f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x).
En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es
la preimagen del número 5.
El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles
de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.
ALGEBRA

Ejemplo 3
Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es
B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es
"asignar a cada elemento su cuádruplo".
Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y
recorrido.
Veamos:
A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos
4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento
de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).
Dominio = {1, 2, 3}

Recorrido = {4, 8, 12}

Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}
Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son
funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son,
veamos las siguientes:
Si tenemos los conjuntos
A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}
Podemos establecer las relaciones
f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }
g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }
h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:
Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los
elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que
(1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya
que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).
Ejemplo 4
Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9},
Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de
correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz
cuadrada".
Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.
Veamos:
A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y (
), pero a los números −4 y −1 no les corresponden
elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de
Y, esta relación no es funciónde X en Y.
ALGEBRA

Dominio y rango de una función
Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la
función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable
independiente (la x).
Por ejemplo la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para todo número real (x puede ser
cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los
números reales.

En cambio, la función
tiene como dominio todos los
valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real
diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.
Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los
números reales para los cuales la función tiene sentido.
En el caso de la función
, el dominio de esta función son todos los
números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero
para que exista la raíz cuadrada.
Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo
siguiente:
Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los
números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.
Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+
anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y un entero no negativo), el dominio está
conformado por el conjunto de todos los números reales.
Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está
conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de
cero.
El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es
el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente;
estos valores están determinados además, por el dominio de la función.
Ejemplo
Identificar dominio y rango de la función
Veamos:
Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los
cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son
mayores o iguales a 2.
ALGEBRA

El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto
que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo
la función f.
Funciones Especiales
Dominio y recorrido

El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la
gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje
y. Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y
los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y).
Ejemplo para discusión:
Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:

Ejercicio de práctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica:

ALGEBRA

Funciones crecientes, decrecientes y constantes
Definición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces:
1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.
2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I.
3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.
Ejemplos:

La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.

La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales.

ALGEBRA

La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales.

Gráfica de una Función
Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le
corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe
pertenecer al dominio de definición de la función.
Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una
tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función. Estos
valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica. Uniendo
estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la función.

Las gráficas de x ≥ -2 y y < 3, mostradas arriba no tienen nada de especial. Pudimos
haber representado las dos relaciones en una recta numérica, y dependiendo del
problema que tratamos de resolver, habría sido más fácil hacerlo.
Las cosas se vuelven más interesantes cuando graficamos desigualdades lineales con
dos variables. Empecemos con una desigualdad básica de dos variables: x > y.
ALGEBRA

Graficar otras desigualdades en la forma estándar y = mx + b es bastante simple también.
Una vez que graficamos la línea límite, podemos encontrar cuál es la región a sombrear si
probamos algunos pares ordenados dentro de la región o, en muchos casos, sólo
observando la desigualdad.
La gráfica de la desigualdad y > 4x − 5.5 se muestra abajo. La línea límite es la recta y =
4x − 5.5, y está punteada porque nuestro término y es “mayor que,” no “mayor o igual
que.”

Gráficas en Coordenadas Rectangulares
Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas graduadas, perpendiculares,
que se cortan en un punto O(0,0), llamado origen de coordenadas. A la recta horizontal se
llama eje de abscisas, y a su perpendicular por O, eje de ordenadas.
ALGEBRA

Se puede representar una función en el plano haciendo corresponder a cada par del grafo
un punto determinado, marcando en el eje de abscisas el valor de su variable y en el de
ordenadas, su correspondiente imagen.

Función identidad

La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el
conjunto de los números reales.

ALGEBRA

Función lineal

Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de cero,
m y b son números reales. La restricción m diferente de cero implica que la gráfica no es
una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical. El dominio y el recorrido
(rango) de una función lineal es el conjunto de los números reales.
Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números reales
y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales. El
intercepto en y es (0,b).

Rectas, Parábolas y Sistemas de Ecuaciones
Rectas
Pendiente de una recta
Muchas relaciones entre cantidades pueden ser representadas de manera adecuada por
rectas. Una característica de una recta es su "inclinaci6n". Por ejemplo, en la figura 4.1 la
recta Ll crece más rápido que la recta L2 cuando va de izquierda a derecha. En este
sentido Ll está más inclinada respecto a la horizontal.
Para medir la inclinaci6n de una recta usamos la noci6n de pendiente. En la figura 4.2,
conforme nos movemos a 10 largo de la recta L de (1, 3) a (3, 7), la coordenada x
aumenta desde 1 hasta 3.

ALGEBRA

Definición
Sean (Xl' Y l) Y (X2' Y2) das puntas diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente
de la recta es el numero m dado por

Una recta vertical no tiene pendiente, porque cualesquiera dos puntos sobre ella deben
tener Xl = X2 que da un denominador de cero en la ecuación (1). Para una recta
horizontal, cualesquiera dos puntos deben tener Yl = Y2 Esto da un numerador de cero en
la ecuaci6n (1) y, por tanto, la pendiente de 1a recta es cero.

Ejemplo 1 Relación precio/cantidad
La recta de La figura 4.4 muestra La relación entre el precio p de un artículo (en dólares)
Y La cantidad q de artículos (en miles) que Los consumidores comprarán a ese precio.
Determinar e interpretar la pendiente.

ALGEBRA

Solución: En la fórmula de la pendiente (1) reemplazamos x por q y y por p. En la figura
4.4, cualquier punto puede ser seleccionado como (q" P'). Haciendo (2, 4) (qIpI) Y (8, 1) =
(q2' p2)' tenemos:

La pendiente es negativa, -t. Esto significa que por cada unidad que aumente la cantidad
(un millar de artículos), habrá una disminución de t (d6lar por artículo) en el precio. Debido
a esta disminuci6n, la recta desciende de izquierda a derecha.
• En resumen, podemos caracterizar la orientación de una recta por su pendiente:
Pendiente cero:
recta horizontal
Pendiente indefinida:
recta vertical
Pendiente positiva:
recta que sube de izquierda a derecha
Pendiente negativa:recta que desciende de izquierda a derecha
Observe que entre más cercana a cero es la pendiente, está más cerca de ser horizontal.
Entre mayor valor absoluto tenga la pendiente, la recta estará más cercana a ser vertical.
Notamos que dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente o son
verticales.
Ecuaciones de rectas
Si conocemos un punto y la pendiente de una recta, podemos encontrar una ecuación
cuya gráfica es esa recta. Suponga que la recta L tiene pendiente m y pasa a travésdel
punto (xl' YI)' Si (x, y) es cualquier otro punto sobre L (podemos encontrar una relación
algebraica entre x y y. Utilizando la fórmula de la pendiente con los puntos (XI' y I) y (x, y),
se obtiene

ALGEBRA

Ejemplo 2 Forma punto-pendiente
Determinar una ecuaci6n de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto (I, -3).
Seleccionando (4, - 2) como (x" Y,) darla un resultado equivalente.
Solución: Utilizando una forma punto-pendiente con m = 2 Y (x" Y,) = (I, -3), se obtiene

Ejemplo 4 Forma pendiente-ordenada al origen
Encontrar una ecuación de La recta con pendiente 3 e intercepci6n y - 4.
Solución: Utilizando la forma pendiente-ordenada al origen y = mx + b con 111 ::: 3 y b= 4, se obtiene:

Rectas paralelas y perpendiculares
Como se estableció previamente, existe una regia para rectas paralelas:
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si y s610 si tienen la misma pendiente 0 son verticales.
También existe una regia para rectas perpendiculares. y observe que la recta con
pendiente -+ es perpendicular a la recta con pendiente 2.
EI hecho de que la pendiente de cada una de estas rectas sea el recíproco negativo de la
pendiente de la otra recta, no es coincidencia, como lo establece la siguiente regla.
Ejemplo 5 Rectas paralelas y perpendiculares
Lafigura muestra dos rectas que pasan por (3, - 2). Una es paralela a la recta y = 3x + 1, y
la otra es perpendicular a ella. Determinar las ecuaciones de estas rectas
ALGEBRA

Aplicaciones y Funciones Lineales
Suponga que un fabricante utiliza 100 libras de material para hacer los productos A y B,
que requieren de 4 y 2 libras de material por unidad, respectivamente. Si x y y denotan el
número de unidades producidas de A y B, respectivamente, entonces todos los niveles de
producción están dados por las combinaciones de x y y que satisfacen la ecuación.

Resolviendo para y se obtiene:
de modo que la pendiente es -2. La pendiente refleja la tasa de cambio del nivel de
producci6n B con respecto al de A. Por ejemplo, si se produce una unidad adicional de A,
se requerirán 4libras mas de material, resultando t = 2 unidades menos de B. Por tanto
cuando x aumenta en una unidad, el valor correspondiente de y disminuye en 2 unidades.
Para bosquejar la gráfica de y = -2x + 50, podemos utilizar la intercepción y (0,50) y el
hecho de que cuando x = 10, Y = 30
Curvas de demanda y de oferta
Para cada nivel de precio de un producto existe una cantidad correspondiente de
eseproducto que los consumidores demandaran (esto es, compraran) durante algún
periodo.
Por 10 común, a mayor precio, la cantidad demandada es menor; cuando el precio baja,
la cantidad demandada aumenta. Si el precio por unidad del producto está dado por p y
una cantidad (en unidades) está dada por q. Entonces una ecuación que relaciona p y q
es llamada ecuación de demanda. Su gráfica es la curva de demanda. La Figura 4.14(a)
muestra una curva de demanda.
ALGEBRA

De acuerdo con la práctica de la mayoría de los economistas, el eje horizontal es el eje
q y el eje vertical es el p. Supondremos que el precio por unidad esta dado en dólares
y el periodo es una semana.
Así el punto (a, b) en la Figura 4.14(a) indica que, a un precio de b dólares por unidad, los
consumidores demandaran a unidades por semana. Como precios 0 cantidades negativos
no tienen sentido, a y b deben ser no negativos. Para la mayoría de los productos, un
incremento en la cantidad demandada que corresponde una disminución en el precio. Por
tanto, una curva de demanda en general desciende de izquierda a derecha, como en la
Figura 4. 14(a).

Como respuesta a diferentes precios, existe una cantidad correspondiente de productos
que los productores están dispuestos a proveer al mercado durante algún periodo.
Usualmente, a mayor precio por unidad es mayor la cantidad que los productores están
dispuestos a proveer; cuando el precio disminuye también 10 hace la cantidad
suministrada.
Si p denota el precio por unidad y q la cantidad correspondiente, entonces una
ecuaci6n que relacionap y q es llamadaecuación de oferta y su gráfica es una curva de
oferta.
La figura 4.14(b) muestra una curva de oferta. Si p está en dólares y el periodo esuna
semana, entonces el punto (c, d) indica que a un precio de d d61ares cada una, los
productores proveerán c unidades por semana. Como antes, c y d son no negativos.
Unacurva de oferta por 10 regular asciende de izquierda a derecha, como en la figura 4.
14(b).
Esto indica que un fabricante suministrara más de un producto a precios mayores.
Centraremos la atención ahora en las curvas de oferta y de demanda que son líneas
rectas (figura 4. IS). Son llamadas curvas de oferta linealy de demanda lineal.

ALGEBRA

Tales curvas tienen ecuaciones en las quep y q están linealmente relacionadas. Puesto
que una curva de demanda por 10 regular desciende de izquierda a derecha, unacurva de
demanda lineal tiene pendiente negativa.
Sin embargo, la pendiente de una curva de oferta lineal es positiva ya que la curva
asciende de izquierda a derecha.
Ejemplo 2 Determinación de una ecuación de demanda
Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando el
precio es de $S8 por unidad, y de 200 unidades si son a $SI cada una. Determinar
laecuación de demanda, suponiendo que es lineal.

Solución:
Estrategia:Ya que la ecuación de demanda es lineal, la curva de demanda debe ser una
línea recta. Tenemos que la cantidad q y el precio p están relacionadoslinealmente de tal
modo que p = 58 cuando q = 100, Y P = 51 cuando q =200. Estos datos pueden .ser
representados en un plano de coordenadas q. ppor los puntos (100,58) y (200, 51). Con
estos puntos podemos encontrar una ecuación de la recta, esto es, la ecuación de
demanda.
La pendiente de la recta que pasa por (100, 58) y (200, 51) es

Una ecuación de la recta (forma punto-pendiente) es

Simplificando, da la ecuaci6n de demanda

ALGEBRA

Por costumbre, una ecuación de demanda (así como una ecuación de oferta) expresaP
en términos de q y define una función de q. Por ejemplo, la ecuación (I) define P como
una función de q y es llamada la función de demanda para el producto
Funciones Lineales
En la sección 3.2 se describió una funciónlineal. A continuación se presenta una definición
formal.
Definición
Una función f es unafunción linealsi y solo si f(x) puede ser escrita en laforma f(x)= ax+ b,
en donde a y b son constantes y a≠O.

Ejemplo 3 Graficación de funciones lineales
a. Graficar f(x) = 2x - 1.
Solución: Aquí f es una función lineal (con pendiente 2), de modo que su gráfica es una
recta. Como dos puntos determinan una recta, solonecesitamos graficardos puntos y
después dibujar una recta que pase por ellos.
Observe que uno de los puntos graficados es la intercepción en el eje vertical, -I, que
ocurre cuando x = O.

ALGEBRA

Funciones Cuadráticas
Definición
Una función f es una función cuadrática si y solo si f(x) puede ser escrita en la forma f(x) =
ax2 + bx+ c, donde a, by c son constantes y a"# O.
Por ejemplo: f(x) = x2- 3x + 2 Y F(t) = -3t2 son funciones cuadráticas. Sinembargo, g(x) = 2 no es cuadrática ya que no puede ser escrita en la forma g(x) =ax2 + bx+ c.
La gráfica de la función cuadrática y = f(x) = ax2 + bx+ c es llamada parábola y tiene una
forma parecida a las curvas de la figura 4.19. Si a > 0, la gráfica se extiende hacia arriba
de manera indefinida y decimos que la parábola se abre haciaarriba. Si a < 0, entonces la
parábola se abre hacia abajo.
Cada parábola en la figura 4.19 es simétrica con respecto a una recta vertical, llamada el
eje de simetría de la parábola. Esto es, si la página fuera doblada en unade estas rectas,
las dos mitades de la parábola correspondiente coincidirían. El eje(de simetría) no es
parte de la parábola, pero es una ayuda útil al bosquejarla.
La figura 4.19 también muestra puntos etiquetados como vértice, donde el eje corta a la
parábola. Si a > 0, el vértice es el punto "más bajo" de la parábola. Esto significa que f(x)
tiene un valor mínimo en ese punto. Realizando manipulaciones algebraicas sobre ax2 +
bx+ c (completar el cuadrado), podemos determinar no solo este valor mínimo, sino
también en donde ocurre. Tenemos:

ALGEBRA

Rápidamente podemos bosquejar la gráfica de una funci6n cuadrática localizando primero
el vértice, la intercepción y y unos cuantos puntos más, aquellos en donde la parábola
interseca al eje x. Las intercepciones x se encuentran al hacer y = 0y resolviendo parax.
Una vez que las intercepciones y el vértice han sido 1encontrados,es relativamente fácil
trazar la parábola apropiada a través de estos puntos. Cuando las intercepciones x estén
muy cercanas al vértice, 0 no existan, fijaremos un punto a cada lado del vértice de modo
que podamos dar un bosquejo razonable dela parábola. Tenga en cuenta que una recta
vertical (con Iínea punteada) a través del vértice da el eje de simetría. Graficando puntos
a un lado del eje, podemos obtener por simetría los correspondientes del otro lado.

Ejemplo 1 Graficación de una función cuadrática
Graficar La funci6n cuadrática y = f(x) = _x2 - 4x + 12.

Solución: Aquí a = -I, b = -4 Y c = 12. Como a < 0, la parábola abre hacia abajo y
por tanto tiene un punto más alto. La coordenada x del vértice es b -4- 2a = - 2( - I) = - 2.
La coordenada y es f{ -2) = _(_2)2 - 4(-2) + 12 = 16. Así, el vértice es (-2, 16), de modo
que el valor máximo de f{x) es 16. Ya que c = 12, la intercepci6n y es 12. Para encontrar
las intercepciones x, hacemos yigual a cero en y =I-X2 - 4x + 12 y resolvemos para x.
o = - x2 - 4x + 12,

o = - (x2 + 4x - 12),
o = - (x + 6)(x - 2).
Así x = -6 0 x = 2, de modo que las intercepciones x son -6 y 2. Ahora trazamos el vértice,
el eje de simetría y las intercepciones Como (0, 12) está dos unidades a la derecha del
eje, existe un punto correspondiente dos unidades a la izquierda del eje con la misma
coordenada y. Por tanto, obtenemos el punto (-4.12). Pasando por todos los puntos,
dibujamos una parábola que abra hacia abajo.
ALGEBRA

Graficar p = 2q2.
Solución: Aquí p es una función cuadrática de q, donde a = 2, b = 0 y c = O. Como a>0, la
parábola abre hacia arriba y, por tanto, tiene un punto más bajo. La coordenada q del
vértice es (0,0) en este caso el eje p y la coordenada pes 2(0)2 = O. Así el valor mínimade
p es 0 y el vértice es

En este caso el eje pes el eje de simetría. Una parábola que abre hacia arriba con vértice
en (0, 0) no puede tener ninguna otra intercepción. De aquí que para bosquejar unagráfica
razonable graficamos un punto a cada lado del vértice. Si q = 2, entonces p =8. Esto da el
punto (2,8) y, por simetría, el punto (- 2,8)
Graficar g(x) = x2- 6x + 7.
Solución: Aquí g es una función cuadrática, donde a = 1, b = - 6 y c = 7. La parábola abre
hacia arriba ya que a >O. La coordenada x del vértice (el punto más bajo) es

ALGEBRA

Y g(3) = 32 - 6(3) + 7 = - 2, que es el valor mínimo de g(x) .Por tanto el vértice es (3,2). Ya
que c =7, la intercepción con el eje vertical es 7. Para encontrar lasintercepciones x,
hacemos g(x) = o.

o = x2 .- 6x + 7
El lado derecho no se puede factorizar fácilmente, de modo que usaremos la
fórmulacuadrática al resolver para x,

Graficar y = f(x) = 2x2 + 2x + 3 y encuentre el rango de f
Solución: Esta función es cuadrática con a = 2, b = 2 Y c = 3. Como a>0 la gráfica es una
parábola que se abre hacia arriba. La coordenada x del vértice es

Ylacoordenaday es 2(-t)2 +2(-t)+3=t. Así el vérticees (-t,t)·Como la intercepción y es 3.
Una parábola que abre hacia arriba con su vértice arribaeje x, no tiene intercepciones x.
En la figura 4.23 graficamos la intercepción y, el

Vértice y un punto adicional (-2, 7) ala izquierda del vértice. Por simetría,
tambiénobtenemos el punto (I, 7). Trazando una para bola a través de estos puntos se
obtienela gráfica deseada.
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