Trabajo de estructura discreta

1. FREDDY BARRETO
C.I: 17306081

2. PROPOSICIONES
 Una proposición o enunciado es una oración que puede
ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. Las
proposiciones se notan con letras minúsculas, p, q, r . . .
 Ejemplo:
6 es un numero primo
La tierra es redonda
Las proposiciones pueden ser simples y compuestas.
La simple constan de una sola proposicion mientras que
las compuestas cuentan de varias proposiciones y están
acompañadas de conectivos.

3.  Ejemplos:
La tierra es redonda (Simple)
A Carlos le gustan los carros y las motos (compuesta)
Conectivos entre Proposiciones:
Usando las proposiciones p, q
 La Conjunción.
será “p y q” y la representaremos (p Λ q)
Esta proposición será verdadera únicamente en el
caso de que ambas proposiciones lo sean.
 Disyunción:
será “p o q” y la representaremos (p V q)
Esta proposición será verdadera si al menos una de
las dos p ó q lo es.

4.  Negación.
Será verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p sea
verdadera y representaremos ¬p.
 Ejemplos:
los carros no contaminan (negación ¬p)
Marianny baila y canta (conjunción p Λ q)
Te gusta cantar o bailar (disyunción p V q)
 Proposiciones condicionales.
Son aquella que está formada por dos proposiciones
simples (o compuesta).
Sera “p entonces q” y se representara p → q
“Si como mucho, entonces engordo”

5.  Proposición bicondicional
la proposición compuesta “p si y sólo si q”
y se representa por p ←→ q
“Voy a clases si y solo si sale el sol”

6. Tabla de la verdad
Negacion Conjucion Disyuncion
Condicional Bicondicional

7. Implicaciones Lógicas
 Adición.
P =⇒ (P ∨ Q)
 Simplificación.
(P ∧ Q) =⇒ P
 Ley del Modus Ponendo Ponens (Modus Ponens). Dado un condicional y afirmando
(“Ponendo”) el antecedente, se puede afirmar (“Ponens”) el consecuente.
 [(P −→ Q) ∧ P] =⇒ Q
 Ley del Modus Tollendo Tollens (Modus Tollens). Dado un condicional y negando
(“Tollendo”)el consecuente, se puede negar (“Tollens”) el antecedente.
[(P −→ Q) ∧ ¬Q] =⇒ ¬P
 Leyes de los Silogismos Hipotéticos.
[(P −→ Q) ∧ (Q −→ R)] =⇒ (P −→ R)
[(P ←→ Q) ∧ (Q ←→ R)] =⇒ (P ←→ R)
 Leyes de los silogismos disyuntivos.
[¬P ∧ (P ∨ Q)] =⇒ Q
[P ∧ (¬P ∨ ¬Q] =⇒ ¬Q
 Ley del Dilema Constructivo.
[(P −→ Q) ∧ (R −→ S) ∧ (P ∨ R)] =⇒ (Q ∨ S)
 Contradicción.
P −→ C) =⇒ ¬P

8. Equivalencias Lógicas
 Idempotencia de la conjunción y la disyunción.
(P ∧ P) ⇐⇒ P
(P ∨ P) ⇐⇒ P
 Conmutatividad de la conjunción y la disyunción.
(P ∧ Q) ⇐⇒ (Q ∧ P)
(P ∨ Q) ⇐⇒ (Q ∨ P)
 Asociatividad de la conjunción y la disyunción. .
[(P ∧ Q) ∧ R] ⇐⇒ [P ∧ (Q ∧ R)]
[(P ∨ Q) ∨ R] ⇐⇒ [P ∨ (Q ∨ R)]
 Distributividad de ∧ respecto de ∨ y de ∨ respecto de ∧.
[P ∧ (Q ∨ R)] ⇐⇒ [(P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)]
[P ∨ (Q ∧ R)] ⇐⇒ [(P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)]
 Leyes de De Morgan.
¬(P ∨ Q) ⇐⇒ (¬P ∧ ¬Q)
¬(P ∧ Q) ⇐⇒ (¬P ∨ ¬Q)
 Leyes de dominación.
P ∨ T ⇐⇒ T
P ∧ C ⇐⇒ C
 Doble negación.
¬¬P ⇐⇒ P