Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.
BAØI TAÄP
OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC
GV: HOÀNG THÁI VI T
ĐH BÁCH KHOA ĐÀ N NG
HS:.................................
Trang 1
1. Hai ư ng th ng song song
a) nh nghĩa:
a b P
a b
, ( )
a bÇ = Æ
ì Ì
Û
î
íP
b) Tính ch t
( ) ( ) ( )
·
P Q R
( ) ...
Trang 2
1. Hai ư ng th ng vuông góc
a) nh nghĩa: ^ Û ¶( ) 0
a b =, 90
b) Tính ch t
· u v . 0a b u v^ Û =
r r r r
·
b c
a b...
Trang 3
· S d ng các tính ch t c a hình h c ph ng (như nh lí Pi–ta–go, …).
b) Ch ng minh ư ng th ng vuông góc v i m t ph n...
Trang 4
1. H th c lư ng trong tam giác
a) D
· AB AC BC+ = · AB BC BH AC BC CH= = ·. , . = +
· AB BC C BC B AC C AC B= = = ...
Trang 5
1. Th tích c a kh i h p ch nh t:
V abc= a, b, c
2. Th tích c a kh i chóp:
1
V ñaùyS h= . S áy h
3. Th tích c a kh ...
Trang 6
Þ
xy
V x y2 2
12
= - -4
Baøi 4.
1
AP AQ AR. .
Þ V a b c b c a c a b2 2 2 2 2 2 2 2 22
= + - + - + -( )( )( )
12
Ba...
Trang 7
Baøi 1. ASB =· a
a
cot -
a
HD: a) S =xq a cot c) V =
a 1
a cot -
a
Baøi 2.
a
b
a b
HD: a) SBA BSD= =;· ·a b
c) S =...
Trang 8
a
a
Baøi 7.
a a
Baøi 8.
a
a
h tan
tan -
a
a (tan )-
Baøi 9. £
£
h
a
2 2 2
x y a+ =
x
ay x( a)+
1
a
Baøi 10.
a b
a
...
Trang 9
Baøi 14.
^ = a
^ Î ^
Baøi 15.
Baøi 16.
Baøi 17. ¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢ ¢ a
a
^ ^
a sin
sin
HD: a) C BI
a
a
·¢ ¢ v i I là trun...
Trang 10
¢ ¢ ¢
¢ ¢
7
( )+
Baøi 24. ¢ ¢ ¢
¢ ¢
¢ ¢ a a
a
·A AB¢ a
b ¢ ¢
b a
1
a a sin+
Baøi 25. ¢ ¢ ¢ ¢
a
·BAA¢
a
Baøi 26. ¢...
Trang 11
HD: a) S = 2xq S S+ b) V =
S S
S S-
Baøi 29. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
a ¢ ¢ b
.
· ·CAC vaø AC Ba b¢ ¢= =
a b cos( ).cos( )+ -a b...
Trang 12
I. M t c u – Kh i c u:
1. nh nghĩa
· M t c u: { }S O R M OM R( ; ) = = · Kh i c u: { }V O R M OM R( ; ) = £
2. V ...
Trang 13
V N 1: M t c u – Kh i c u
Baøi 1. SA ABC
R =
^
SC
AB = a
Baøi 2.
·BAC 6=
Baøi 3. SA ABCD^
SA = a
Baøi 4.
CD = a
B...
Trang 14
Baøi 11.
Baøi 12.
Baøi 13.
Baøi 14. ^
Baøi 15. a ^
V N 2: M t tr – Hình tr – Kh i tr
Baøi 1. ¢
¢
Baøi 2. ¢
¢
Baøi...
Trang 15
Baøi 8.
Baøi 9. R
Baøi 10.
¢ ¢ x
¢ y
h, x, y
Baøi 11.
Baøi 12.
h = R
(
(
(
)a
a
a
)
)
R
V N 3: M t nón – Hình nón...
Trang 16
Baøi 5.
Baøi 6.
·SAO 3= SAB=6·
Baøi 7.
Baøi 8.
Baøi 9.
Baøi 10.
a
a
Baøi 11. SAB =
·
a a
Baøi 12. a
= ( )<<
BÀI T...
Trang 17
Baøi 1.
Baøi 2.
Baøi 3. a
tana
Baøi 4.
Baøi 5. ¢
¢
x (0 < x < 2R).
R, x.
x
¢ ¢ ¢
Baøi 6.
a
Baøi 7.
¢ ¢
¢ ¢ ¢
¢ ¢
...
Trang 18
Baøi 12.
Baøi 13. R
Baøi 14.
Baøi 15.
Baøi 16.
Baøi 17.
Baøi 18.
·ASB , ( )= < <a a
Baøi 19.
Baøi 20.
a
a
a
BÀI T...
Trang 19
Baøi 1. ^
ACM = a
^ ^
HD: a) Quĩ tích i m H là m t cung tròn. MaxV
·
SAHC=
a
b) AK =
asin
+ sin
a
a
, SK =
sin+
a...
Trang 20
a
a
a
tan
a
a a
cosa
æ ö
+ç ÷
è ø
atan
cos
a
a
Baøi 6.
·ASB
( )Rh 2R h–
Baøi 7.
^
a x a
a x+
- æ öa a
x - +ç ÷
è ...
Trang 21
Î Î
°
HD: a) V = 3
2a 2 m n a mn– + + =p b)a 6
Baøi 12. SA ABCD^
( )2
SA a= =ACM SN CM^
AH SC SC AHK^^ AK SN^
· a...
Trang 22
SABcos =· 1 a
Baøi 17. A =µ
Baøi 18.
1V
V
=
·BAD =
¢
a
Baøi 19.
Baøi 20. ·BAD =
Chân thành c m ơn các b n ng nghi...
Trang 23
1. nh nghĩa và các phép toán
·
·
Qui t c ba i m: AB BC AC+ =
uuuur uuur uuur
Qui t c hình bình hành: AB AD AC+ =
...
Trang 24
1. H t a êcac vuông góc trong không gian:
i j k, ,
r r r
Chú ý i j k= = =
r r r
i j i k k j. . .= = =
r r r r r r...
Trang 25
A B C D A B C D A B C Cx x x x y y y y z z z z
G ; ;
æ ö+ + + + + + + + +
ç ÷
è ø
4. Tích có hư ng c a hai vectơ:...
Trang 26
V N 1: Các phép toán v to c a vectơ và c a i m
Baøi 1.
a i j= - +
r rr
b i k= -
r rr
d i j k= - +c k= -
rr r rr r...
Trang 27
a b a b
X a b
= = ^, ,ì
í
= -î
r rr r
rr
a b a b
Y a b
= - - = - =( ; ; ), ,ì
í
= +î
r rr r
rr
( )a b a b
X a b Y...
Trang 28
V N 2: Xác nh i m trong không gian. Ch ng minh tính ch t hình h c.
Di n tích – Th tích.
· AB AC,Û
uuuur uuur
AB k...
Trang 29
A B; ,- -; ; ; A B( ; ; ), ( ; ; )- - A B( ; ; ), ( ; ; )-
A B( ; ; ), ( ; ; )- - A B( ; ; ), ( ; ; )- - - A B( ;...
Trang 30
V N 3: Phương trình m t c u
tâm I bán kính R
D ng 1:
(S): ( ) ( ) ( )x a y b z c R- + - + - =
D ng 2:
D ng 3:
A B...
Trang 31
Baøi 4.
I A( ; ; ), ( ; ; )- I A( ; ; ), ( ; ; )- I A( ; ; ), ( ; ; )- -
I A( ; ; ), ( ; ; )- - I A( ; ; ), ( ; ;...
Trang 32
V N 5: T p h p i m là m t c u – T p h p tâm m t c u
1. T p h p i m là m t c u
( ) ( ) ( )x a y b z c R- + - + - =...
Trang 33
1. Vectơ pháp tuy n – C p vectơ ch phương c a m t ph ng
· a n an ¹
rr r
· a b, a
rr
a
Chú ý: N u n là m t VTPT c ...
Trang 34
V N 1: Vi t phương trình m t ph ng
i m VTPTa a
D ng 1: a ( ) = ( )
r
a ( ( () ) )- + - + - =
D ng 2: a ( ) a b,
r...
Trang 35
Baøi 1. n
= -M 3;1;1 , n 1;1;2 - =M 2;7;0 , n 3;0;1 - - =M 4; 1; 2 , n 0;1;3
- =M 2;1; 2 , n 1;0;0 = - -M 3;4;5 ,...
Trang 36
M P x y z Q : x y z; ; , : ,- - + - = - + - =
M P x y z Q : x y z; ; , : ,- - + = - + + =
M P x y z Q x y z; ; , ...
Trang 37
V N 3: Kho ng cách t m t i m n m t m t ph ng.
Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song.
Hình chi u c a m t i m tr...
Trang 38
ì - + + = ì - + + = ì + - + =x y z x y z x y z
x y z- + + = x y z+ - - = x y z+ - + =
Baøi 8.
A Q x y z; ;– , ( )...
Trang 39
V N 5: V trí tương i gi a m t ph ng và m t c u.
Phương trình m t ph ng ti p xúc v i m t c u
Cho m t ph ng ( ) và ...
Trang 40
Bài t p ôn: Phương trình m t ph ng
Baøi 1.
·
·
·
·
·
· ¢ ¢ ¢ ¢
·
·
·
·
A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; A B C D; ; , ...
Trang 41
1. Phương trình tham s c a ư ng th ng
· Phương trình tham s M x y z( ; ; )
a a a a= ;( ; )
r
o
o
o
ì = +x x a t
(...
Trang 42
3. V trí tương i gi a m t ư ng th ng và m t m t ph ng
a Ax By Cz D+ + + = d
ì = +x x ta
y y ta= +
z z ta= +
ï
ï
í...
Trang 43
V N 1: L p phương trình ư ng th ng
l p phương trình ư ng th ng d ta c n xác nh m t i m thu c d và m t VTCP c a nó...
Trang 44
– Vì d d và d d nên m t VTCP c a d có th là:^ ^1 2 d dé ùa a a= ,
ë û
r r r
.
– L p phương trình m t ph ng (P) ch...
Trang 45
Baøi 6.
d , d1 2
ì ì= + = -
ï ï
= - = +í í
ï ï= + = -î î
x t x t '
A d y t d y t( ; ; ), : , : '
z t z t'
ì ì= + ...
Trang 46
x y z
x y z
d
x y z
d :
:
:
D
ì - -
= =ï
ïïï -
+ -
= =í
ï -
- + +ï = =
ïî
x y z
x y z
d
x y z
d :
:
:
D
ì - -
= =...
Trang 47
Baøi 15. ==
--
-
-x y z
d
==
-
-
--x y z
d
Baøi 16. A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - -
D
Baøi 17. S A B C( ;...
Trang 48
V N 2: V trí tương i gi a hai ư ng th ng
xét VTT gi a hai ư ng th ng, ta có th s d ng m t trong các phương pháp s...
Trang 49
{ {d x t y t z m t d x t y t z t: ; : '; '; '= - = + = + = + = + = -; ;
x y z x y mz
d d
x y x y z
: ; :
ì ì+ - -...
Trang 50
V N 4: V trí tương i gi a ư ng th ng và m t c u
xét VTT gi a ư ng th ng và m t c u ta có th s d ng các phương phá...
Trang 51
V N 5: Kho ng cách
1. Kho ng cách t i m M n ư ng th ng d
· Cách 1: Cho ư ng th ng d i qua M và có VTCP a .0
r
M M...
Trang 52
x y z x y z
d d: ; :
- - - - + -
= = = =
- -
x y z x y z
d d
x y z x y z
: ; :
ì ì- + - = + - + =
í í
+ - + = - +...
Trang 53
x y z x y z
d d
x z
: ; :
- + + ì + - - =
= = í
+ - =î
x y z
d :
+ - -
= = d2
x y z x y z
d d
x y z x y z
: ; :
ì...
Trang 54
V N 7: M t s v n khác
1. Vi t phương trình m t ph ng
· D ng 1: M t ph ng (P) i qua i m A và ư ng th ng d:
– Trên ...
Trang 55
Baøi 1. (P) d
ì = + ìx t= -x t
A d( ; ; ), : y t- = - A d( ; ; ), : y t- = - +
z t= + z t= -
ï ï
ï ï
í í
î î
x y ...
Trang 56
x t
M d y t
z t
ì
( ; ; ), :- = -í
ï = - +
=
ï
î
x t
M d y t
z t
ì
( ; ; ), :
= -
- = +í
ï =
ï
î
x y z
M d( ; ; )...
Trang 57
x y z –+ + = x y z– –+ =
x y z- - +
= =
-
d
x y z+ + -
= =
d
x y+ + =
x y z– – – =
D
x y z+ - -
= =
x y
= = +z
x ...
Trang 58
Bư c 1: Ch n h tr c t a Oxyz thích h p
Bư c 2:
Bư c 3:
Chú ý: Thông thư ng ta d a vào các y u t ư ng th ng vuông ...
Trang 59
abc
t
a b b c c a
Þ =
+ +
ab c a bc a b c
H
a b b c c a a b b c c a a b b c c a
; ;
æ ö
Þ ççç ÷÷÷
+ + + + + +è ø
...
Trang 60
Ví d 2:
j
a
Gi i:
1
OD OH
BC a
AH BC
a
OD BC
Þ ^
= Þ =
Þ = =
O D H a S a( ; ; ), ; ; , ( ; ), ( ; ; )
aæ ö
ç ÷
è ...
Trang 61
a. Tính SMNPQ:
a a
AB a; ; ( ; ; )
æ ö
= =ç ÷
è ø
uuuur a a
AC a; ; ( ; ; )
æ ö
= - = - -ç ÷
è ø
uuur
a a
SB a a;...
Trang 62
¥ ¥
a
- + +m am a ¥ ¥
a
a a
MNPQÞ £ =S .
a a
MNPQS khi mmax( ) .= =
Cách khác MNPQ
coâsi
a
a m m
a a
S a m m
( )
...
Trang 63
bc ac ab
OMPn OM OP( ) [ , ] ; ;
æ ö
= = - -ç ÷
è ø
uuur uuurr
OMN OMPOMN OMP n n( ) ( )Þ ^ Û =( ) ( ) .
r r
b c ...
Trang 64
S a kmax = Û =
S a k amin = Û = .
b/ d(KD, BC)
KD BC DC a k a a
a k aKD BC
[ , ] [ ; ; ), ( ; ; )]( ; ; )
[ ; ; )...
Trang 65
Þ - -C a D a( ; ; ), ( ; ; )
1. Tâm I và R c a (S) ngo i ti p chóp S.ABCD
I OS I zÎ Þ ( ; ; )
x y z z z d+ + - + ...
Trang 66
Ví d 6:
£ £m a)
Gi i:
Þ £ £C a b M m m a( ; ; ), ( ; ; ) ( )
MBCn MB MC b m a( ) = =[ , ] ( ; ; )
uuur uuurr
SD b...
Trang 67
ab a
S mmax
+ +( )
Þ = Û =
ab a
S mmin
- -( )
= Û =
3. Tìm v trí M
1
S BCNM S ABCDV V. .=
a ma
d S MBC
m a
( , ( ...
Trang 68
Cách khác:
A C AB A C AB/ / / /
A C AB D
A C AD
/ / /
A C AD
.
/ /
ì
( )
/ /
ì
.
ï ï= ^
Þ Þ ^í í
= îï ^ïî
uuuur u...
Trang 69
Gi i:
a a a
M N; ; , ; ;
æ ö æ ö
Þ ç ÷ ç ÷
è ø è ø
1. Tính R:
x y z x y z d+ + - - - + =a b g
C D M N S, , , ( )Î...
Trang 70
a a a a a a
I I; ; , ; ;/æ ö æ ö
Þ ç ÷ ç ÷
è ø è ø
JC II^ /
II CI
r d C II
II
/
/
/
[ , ]
Þ = =( , )
uur uur
a a ...
Trang 71
BÀI T P
Baøi 1. OABC OBC O OB a OC a a
OA a M BC AB
OM
HD: Ch n h tr c t a sao cho: O A a B a C a( ; ; ), ( ; ; )...
Trang 72
HD: Ch n h tr c to sao cho: O(0; 0; 0), A ; ;
æ ö
ççç ÷÷÷
è ø
1
B ; ;
æ ö
- -ççç ÷÷÷
è ø
1
C ; ;
æ ö
-ççç ÷÷÷
è ø...
Trang 73
S: a/ AH SB AK SD. .= =
uuur uur uuur uuuur
b/ BD n BD HK. = =;
3
a
uuur r uuur uuur
;
c/ HG GK/ / ; d/
a
Baøi 14...
Trang 74
S: a/
3
sin = b/j a c/
a
.
Baøi 19. ^ ( )a Oz ABCD
a
b
S: a/ a .sin b/ cos .
Baøi 20. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
¢ AM mAD BN mBB/
...
Trang 75
S SI IC R= =; max , .S x= =
3
Baøi 25.
CMF SIB( ) ( )^
S
a a
; .
Baøi 26. ¢ ¢ ¢ ¢
BAD = ¢ ¢
¢
¢ ¢
· o
S a .
Chân ...
Trang 76
THI T T NGHI P
Baøi 1.
a 3
V a 2=
1 3
3
Baøi 2.
a3
6
Baøi 3.
a3
2
3
Baøi 4.
^ ^ Þ ^
a3
11
24
Baøi 5.
a 3
a3
3
2
a...
THI I H C
Baøi 1.
S =
a
Baøi 2.
a
MP C N.^
Baøi 3.
6 34
Baøi 4.
· · ·BAC CA DAB= = =D 60
Baøi 5.
Baøi 6.
Baøi 7.
a b g
0
0...
Trang 78
a .
Baøi 12.
a a
R AH= =; .
Baøi 13.
B CD 90=· 0
Baøi 14. ¢ ¢ ¢
BAC 120= ¢ ¢
¢ ¢
· 0
Baøi 15. ¢ ¢ ¢ ¢
¢ ¢
Baøi 16...
Baøi 22. ¢
¢
¢
V =
a
Baøi 23.
= ^
^
V =
a
Baøi 24.
^
a
V =
Baøi 25.
a ·BAD =
^
V =
a
Baøi 26.
a
10 3
V a=
Baøi 27.
·BAD = ...
Trang 80
2 a b
a b
V .=
-
Baøi 30. ¢ ¢ ¢ ¢
¢ a a
2
a a
V V= =;
Baøi 31.
^
V =
a
Baøi 32.
^
a
d =
Baøi 33.
· ·ABC BAD= = ^ ...
V =
R
Baøi 38.
V =
a
Baøi 39.
^
a
d =
Baøi 40.
1a
V ; cos= =j
Baøi 41.
a
V ; cos= =j
Baøi 42.
¢
a a
V d= =;
Baøi 43. · ·BA...
Trang 82
¢ ·BAC =
¢
¢
Baøi 46. ¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢ ¢
¢
a
a a
Baøi 47. a 2
a3
6
48
Baøi 48.
a 3
5 3a3
24
2 3a
19
Baøi 49. ¢ ¢ ¢
¢ ¢...
THI T T NGHI P
Baøi 1. x y z –1 0+ + =a
x y -
= =
-
Baøi 2.
= + -
a
a
uuur r r r
= + -
uuur r r r
  


a
4
3
x
y t
z ...
Trang 84
x y z
OG :
1 2 0
= = x y z x y2 2 2
+ + - - =2 2 0 x y+ - ± =2 3 10 0
Baøi 6.
D
ABC x y z( ):3 2 6 0+ + - = ABCS ...
ì = +x t1 2
y t= - +3
z t= -6
x y z2 0+ - = x t y t z t= + = = +1 2 ; ; 2 3
Baøi 11.
x y z2 3 6 35 0- + + =
ï
ï
í
î
{
x y ...
Trang 86
x y z2 2 2
( 1) ( 2) ( 2) 36- + - + - = x y z+ + + =2 2 18 0
x t y t z t= + = + = +1 2; 2 ; 2 2{
x y z1 2 3
2 1 1...
THI I H C
Baøi 1.
ì - + - =x y z
x y z+ - + =
:
î
D
x t
í
ì = +
: y t= +
z t= + .
D
D
D
( ): - =P x z H( ; ; ).
Baøi 2. x ...
Trang 88
AC (0;6;0)=
uuur
Baøi 9.
x ky z
kx y z
3 2 0
1 0
ì + - + =
í
- + + =
x y z- - + =2 5 0
Baøi 10.
î
x y z
1d :
1
1 ...
d SA BM
2 6
( , ) =
3 S ABMN S ABM S AMNV V V
2 2 2
. . . 2
3 3
= + = + =
Baøi 17.
x t
y t
z t
3 2
1
1 4
ì = - +
= -í
ï = ...
Trang 90
bc
b c+ =
Baøi 23.
¢
Baøi 24.
2
ì + =x y 0
2 2 0x z
í
- - =î
¢
Baøi 25.
x y z1 3 3
d :
1 2 1
- + -
= = x y z2 2 9...
y z 0- = M
2 2 2
; ;
3 3 3
æ ö
ç ÷
è ø
x y z2 2 2
+ - + - =( 1) ( 1) 2
Baøi 29.
x y z2 2 2
( 1) ( 2) ( 2) 9- + - + - =
Baø...
Trang 92
1
2 2
x y z2 1 0- + - = x y z- - + =2 1 0
Baøi 35.
x y z1 1
2 1 1
- +
x t
= = y t
-
1
z t
ì = +
= - -1 2
= +2
ï
ï...
D
D
x y z2 7 5
5 8 4
+ - -
= =
- -
Baøi 42.
D
D
x y z
6 3 4
= = x y z- + + = x y z6 3 4 0 6 3 4 0+ - =
Baøi 43.
x y z1 2
2...
Trang 94
x y z 0+ + =
Î
Baøi 49.
x y+ =2 – 9 0
º
x y z
1
2 3 3
+ + =
x y z2
1
2 3 6
- - =
Baøi 50.
x y z3 2 1
2 1 1
- + +
...
P y z( ): 0- =
2 2 2
, ,
3 3 3
M
æ ö
ç ÷
è ø
( ) ( )
2 22
x y z+ - + - =1 1 2
Baøi 56.
x y z2 2 2
( 1) ( 2) ( 2) 9- + - + ...
Trang 96
x y z- + - = M(1; 1;3)-2 6 0 M
5 5 7
; ;
3 3 3
æ ö
- -ç ÷
è ø
Baøi 62.
x y z2 2 4 0- - - =
x y z x y z
.
2 2 2
+ ...
6
D
x y z2 2 5
2 3 2
+ - +
= = D
D
( , ) 3= S x y zd M P( ,( )) = d A
1
6
D 2 2 2
( ) : ( 2) 25+ + + =
Baøi 67.
y z 1 0- +...
Nächste SlideShare
Wird geladen in …5
×
Nächste SlideShare
Cách học tốt môn lý 12
Weiter
Herunterladen, um offline zu lesen und im Vollbildmodus anzuzeigen.

7

Teilen

Herunterladen, um offline zu lesen

BAI TAP HINH HOC 12 NĂM 2013 - 2014 HOANG THAI VIET

Herunterladen, um offline zu lesen

ON LUYEN THI DAI HOC
DUNG CHO HOC SINH , SINH VIEN DAY KEM + GIAO VIEN THAM KHAO

BAI TAP HINH HOC 12 NĂM 2013 - 2014 HOANG THAI VIET

  1. 1. BAØI TAÄP OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC GV: HOÀNG THÁI VI T ĐH BÁCH KHOA ĐÀ N NG HS:........................................... TRƯ NG................................. .................................................. ĐÀ N NG 2013 - 2014
  2. 2. Trang 1 1. Hai ư ng th ng song song a) nh nghĩa: a b P a b , ( ) a bÇ = Æ ì Ì Û î íP b) Tính ch t ( ) ( ) ( ) · P Q R ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) ì P Q a a b c ñoàng qui P R b a b c Q R c ¹ ¹ éÇ = Þ ê ïïï í Ç = ë Ç =ïî ï P P · ( ) ( ) ( ) ,( ) P Q d d a b ( ) P a Q b d a d b a b ì Ç = É É Þí ï é ê º ºëïî P P P · a b , a b ì a c b c ¹ Þ î í P P P 2. ư ng th ng và m t ph ng song song a) nh nghĩa: d // (P) d (P) =Û Ç Æ b) Tính ch t · ( ), ' ( ) ( ) d P d P ' d P ì d d Ë Ì Þ î í P · P ( ) ( ) ,( ) ( ) d P d a ì Q d Q P aÉ Ç = Þí î P P · ( ) ( ) ( ) ,( ) P Q d d a ì P a Q a Ç = Þ î í P P P 3. Hai m t ph ng song song a) nh nghĩa: (P) // (Q) (P) (Q) =Û Ç Æ b) Tính ch t · ( ) , ( ) ( ) ( ), ( ) P a b a b M P Q a Q b Q ì É Ç = Þí ï ï î P P P · ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q P R P Q ï Þ Q R ì ¹ í î ï P P P · ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q R P Q a a b P R b ì Ç = Þí ï Ç = ï î P P 4. Ch ng minh quan h song song a) Ch ng minh hai ư ng th ng song song · Ch ng minh 2 ư ng th ng ó ng ph ng, r i áp d ng phương pháp ch ng minh song song trong hình h c ph ng (như tính ch t ư ng trung bình, nh lí Talét o, …) · Ch ng minh 2 ư ng th ng ó cùng song song v i ư ng th ng th ba. · Áp d ng các nh lí v giao tuy n song song. b) Ch ng minh ư ng th ng song song v i m t ph ng ch ng minh ( )d P , ta ch ng minh d không n m trong (P) và song song v i m tP ư ng th ng d nào ó n m trong (P).¢ c) Ch ng minh hai m t ph ng song song Ch ng minh m t ph ng này ch a hai ư ng th ng c t nhau l n lư t song song v i hai ư ng th ng trong m t ph ng kia. CHƯƠNG 0 ÔN T P HÌNH H C KHÔNG GIAN 11 I. QUAN H SONG SONG BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  3. 3. Trang 2 1. Hai ư ng th ng vuông góc a) nh nghĩa: ^ Û ¶( ) 0 a b =, 90 b) Tính ch t · u v . 0a b u v^ Û = r r r r · b c a b ì ¤¤ í a c Þ ^ ^î 2. ư ng th ng và m t ph ng vuông góc a) nh nghĩa: d (P) d a, a (P)^ Û ^ " Ì b) Tính ch t · i u ki n ư ng th ng ^ m t ph ng: a b P a b O d P , ( ),ì d a d b ( ) , Ì Ç = Þ ^í ^ ^î · a b P b P a ( ) ì ( ) Þ ^ ·í a b ^ a b î P ì a P b P^ ^( ), ( ) ¹ î Þí P · P Q a Q ( ) ( )ì a P ( ) ( ) Þ ^ ·í P Q ^ P Q î P ( ) ( ) P a Q a ( ) ) ì ( ) ,( ) ¹ Þ (í ^ ^î P · a P b a ( ) b P( ) ì Þ ^ ·í a P ^ a P î P ( ) a b P b,( ) Þ ( )í ì Ë ^ ^î P · M t ph ng trung tr c · nh lí ba ư ng vuông góc a P b P^ Ì ¢ ^ Û ^ ¢( ), ( ) 3. Hai m t ph ng vuông góc a) nh nghĩa: ^ Û ·( )( ),( ) =P Q b) Tính ch t · i u ki n hai m t ph ng vuông góc v i nhau: ( ) ( ) ( ) P a ( ) P Q ì a Q É Þ ^í ^î · ( ) ( ),( ) ( ) ( ) P Q P Q c ( ), a Q ì a P a c ^ Ç = Þ ^í ( ) ( ) Ì ^ · î P Q ( ) ( ) , ( ) ì A P a P a A a Q ^ Î Þ Ìí ï ' ^ ï î ( ) ( ) · ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q a P R a R Q R ì Ç = ^ Þ ^í ï ^ ï î 4. Ch ng minh quan h vuông góc a) Ch ng minh hai ư ng th ng vuông góc d a^ · · · d b^ b aP · · II. QUAN H VUÔNG GÓC BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  4. 4. Trang 3 · S d ng các tính ch t c a hình h c ph ng (như nh lí Pi–ta–go, …). b) Ch ng minh ư ng th ng vuông góc v i m t ph ng ^ · Ch ng minh d vuông góc v i hai ư ng th ng a, b c t nhau n m trong (P). · Ch ng minh d vuông góc v i (Q) và (Q) // (P). · Ch ng minh d // a và a (P).^ · Ch ng minh d (Q) v i (Q) (P) và d vuông góc v i giao tuy n c c a (P) và (Q).Ì ^ · Ch ng minh d = (Q) (R) v i (Q) (P) và (R) (P).Ç ^ ^ c) Ch ng minh hai m t ph ng vuông góc ^ · Ch ng minh trong (P) có m t ư ng th ng a mà a (Q).^ · Ch ng minh ( ),( ) 90P Q =·( ) 0 1. Góc a) Góc gi a hai ư ng th ng: Þ , ', 'a b a b=¶( ) ·( ) Chú ý: £ a b, £¶( ) b) Góc gi a ư ng th ng v i m t ph ng: · ^ ,( )d P·( ) · d P^ ,( )( ) d P , 'd d ¢·( ) ·( ) Chú ý: £ ,( )d P £·( ) c) Góc gi a hai m t ph ng ( ) · ¶( ) ( )( ),( ) , a Pì ( ) P Q a b ^ í b Q Þ = ^î · Ç Î ( ),a ( ), P a c b Q b c ì Ì ^ Ì ^ Þ ( ),( ) ,P Q a b=í î ·( ) ¶( ) Chú ý: ·( )0 0 0 ( ),( ) 90£ £P Q d) Di n tích hình chi u c a m t a giác ¢ ¢ j ( ),( )P Q S = S.cos·( ) ¢ j 2. Kho ng cách a) Kho ng cách t m t i m n ư ng th ng (m t ph ng) b ng dài o n vuông góc v t i m ó n ư ng th ng (m t ph ng). b) Kho ng cách gi a ư ng th ng và m t ph ng song song b ng kho ng cách t m t i m b t kì trên ư ng th ng n m t ph ng. c) Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song b ng kho ng cách t m t i m b t kì trên m t ph ng này n m t ph ng kia. d) Kho ng cách gi a hai ư ng th ng chéo nhau b ng: · dài o n vuông góc chung c a hai ư ng th ng ó. · Kho ng cách gi a m t trong hai ư ng th ng v i m t ph ng ch a ư ng th ng kia và song song v i ư ng th ng th nh t. · Kho ng cách gi a hai m t ph ng, mà m i m t ph ng ch a ư ng th ng này và song song v i ư ng th ng kia. III. GÓC – KHO NG CÁCH BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  5. 5. Trang 4 1. H th c lư ng trong tam giác a) D · AB AC BC+ = · AB BC BH AC BC CH= = ·. , . = + · AB BC C BC B AC C AC B= = = =.sin .cos .tan .cot b) D · 2 2 2 a =b c 2bc cosA; b c a ca B c a b ab C+ = + - = + -– .cos .cos. ; · = = = · b c a c a b a b c a b cm m m; ; + + + = - = - = - 2. Các công th c tính di n tích a) Tam giác · = ·== = == 1 1 1 1 1 1 · abc = · ·= ( )( )( )S p p a p b p c= - - - · D S AB AC BC AH= =. . · D S = a b) Hình vuông c) Hình ch nh t d) Hình bình hành: AB AD sinBAD. .´ · e) Hình thoi: S AB AD sinBAD AC BD= =. . .· 1 f) Hình thang: ( )= + 1 g) T giác có hai ư ng chéo vuông góc: S AC BD= . 1 IV. Nh c l i m t s công th c trong Hình h c ph ng BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  6. 6. Trang 5 1. Th tích c a kh i h p ch nh t: V abc= a, b, c 2. Th tích c a kh i chóp: 1 V ñaùyS h= . S áy h 3. Th tích c a kh i lăng tr : ñaùyV S h= . S áy h 4. M t s phương pháp tính th tích kh i a di n a) Tính th tích b ng công th c · Tính các y u t c n thi t: dài c nh, di n tích áy, chi u cao, … · S d ng công th c tính th tích. b) Tính th tích b ng cách chia nh Ta chia kh i a di n thành nhi u kh i a di n nh mà có th d dàng tính ư c th tích c a chúng. Sau ó, c ng các k t qu ta ư c th tích c a kh i a di n c n tính. c) Tính th tích b ng cách b sung Ta có th ghép thêm vào kh i a di n m t kh i a di n khác sao cho kh i a di n thêm vào và kh i a di n m i t o thành có th d tính ư c th tích. d) Tính th tích b ng công th c t s th tích Ta có th v n d ng tính ch t sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không ng ph ng. V i b t kì các i m A, A’ trên Ox; B, B' trên Oy; C, C' trên Oz, ta u có: OABC OA B C V OA OB OC V OA OB OC' ' ' . . ' ' ' = * B sung · Di n tích xung quanh b ng t ng di n tích các m t bên · Di n tích toàn ph n b ng t ng di n tích xung quanh v i di n tích các áy. Baøi 1. a a HD: Tính h = atan 1 a Þ V a3 = atan 1 6 Baøi 2. 5 ¢ ¢ ¢ ¢ HD: Ghép thêm kh i S.ABC'D' vào kh i ADD'.BCC' thì ư c kh i SABCD Þ 5 3a3 V = 6 Baøi 3. HD: Chia kh i SABC thành hai kh i SIBC và AIBC (I là trung i m SA) CHƯƠNG I KH I A DI N VÀ TH TÍCH C A CHÚNG BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  7. 7. Trang 6 Þ xy V x y2 2 12 = - -4 Baøi 4. 1 AP AQ AR. . Þ V a b c b c a c a b2 2 2 2 2 2 2 2 22 = + - + - + -( )( )( ) 12 Baøi 5. ^ 16SAMN SABC V SA SM SN SA V SA SB SC SB æ ö = = =. . ççç ÷÷÷ è ø Þ 3 3a3 V = 50 Baøi 6. ^ 3 Baøi 7. Baøi 8. ^ Baøi 9. ¢ ¢ ¢ ¢ D ¢ 6 Baøi 10. Baøi 11. 2 ^ ^ Baøi 12. ^ BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  8. 8. Trang 7 Baøi 1. ASB =· a a cot - a HD: a) S =xq a cot c) V = a 1 a cot - a Baøi 2. a b a b HD: a) SBA BSD= =;· ·a b c) S =tp a a sin (sin sin ) cos sin cos sin b a b a b a b + + - - V = a sin .sin (cos sin ) a b a b- Baøi 3. ^ HD: b) K thu c ư ng tròn ư ng kính HD c) SK = a a ax x a x - + + Baøi 4. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ HD: 8SAB C SABC V V ¢ ¢ V= Þ SAB C D¢ ¢ ¢ = a Baøi 5. ¢ ¢ ¢ ¢ SA SC SB SD SA SC SB SD + = + ¢ ¢ ¢ ¢ HD: S d ng tính ch t t s th tích hình chóp Baøi 6. ^ ÔN T P KH I A DI N BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  9. 9. Trang 8 a a Baøi 7. a a Baøi 8. a a h tan tan - a a (tan )- Baøi 9. £ £ h a 2 2 2 x y a+ = x ay x( a)+ 1 a Baøi 10. a b a cos sin-a b a sin .sin (cos sin ) a b a b- Baøi 11. ^ ^ ^ Baøi 12. Baøi 13. ^ D D BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  10. 10. Trang 9 Baøi 14. ^ = a ^ Î ^ Baøi 15. Baøi 16. Baøi 17. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ a a ^ ^ a sin sin HD: a) C BI a a ·¢ ¢ v i I là trung i m c a A B¢ ¢ ¢ Baøi 18. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ a HD: V = h tan - , S =a xq h tan - Baøi 19. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ a ^ ^ ¢ CAC¢ a a a a . · HD: b) V = sin sinb a- ab a a c) = arctana Baøi 20. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ HD: V = a3 ; S = 4a2 xq Baøi 21. a HD: S = 4h2 xq cos cos Baøi 22. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ a ¢ AJI a a a - . · HD: b) V = tan - a a ; S = 3a2 xq tan - Baøi 23. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ a . BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  11. 11. Trang 10 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 7 ( )+ Baøi 24. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ a a a ·A AB¢ a b ¢ ¢ b a 1 a a sin+ Baøi 25. ¢ ¢ ¢ ¢ a ·BAA¢ a Baøi 26. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ j ¢ ¢ ¢ a ¢ ¢ a j a j d tan tan - j j a tan -j j Baøi 27. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ a ¢ ¢ a ¢ ¢ ¢ a D ^ ¢ ·AHK a cot a Baøi 28. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ a ·BA D¢ BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  12. 12. Trang 11 HD: a) S = 2xq S S+ b) V = S S S S- Baøi 29. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ a ¢ ¢ b . · ·CAC vaø AC Ba b¢ ¢= = a b cos( ).cos( )+ -a b a b a b ¢ ¢ a b ¢ ¢ a b HD: c) 2(cos – sin ) = 1 ; V2 2 maxa b = d khi = = 300 a b (dùng Côsi). Baøi 30. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ µA HD: a) 600 b) V = ; S = a2 xq a . Baøi 31. ¢ ¢ ¢ ¢ ·BAD ¢ ¢ ¢ a ¢ a ¢ ¢ ¢ ¢ b ABB A ABCD,·( )¢ ¢ a a b HD: a) Chân ư ng cao là tâm c a tam giác u ABD. p b) SBDD B¢ ¢ = a sina ; S ACC A¢ ¢ = a2tan c) = arctana a - Chân thành c m ơn các b n ng nghi p và các em h c sinh ã c t p tài li u này. transitung_tv@yahoo.com BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  13. 13. Trang 12 I. M t c u – Kh i c u: 1. nh nghĩa · M t c u: { }S O R M OM R( ; ) = = · Kh i c u: { }V O R M OM R( ; ) = £ 2. V trí tương i gi a m t c u và m t ph ng · r R d= - · · 3. V trí tương i gi a m t c u và ư ng th ng D D · D · D D · D 4. M t c u ngo i ti p – n i ti p M t c u ngo i ti p M t c u n i ti p Hình a di n Hình tr Hình nón 5. Xác nh tâm m t c u ngo i ti p kh i a di n · · D D D II. Di n tích – Th tích C u Tr Nón S Rh= S R= tp xq ñaùy p p xq xq S S S= + S Rl= p tp xq ñaùyS S S= + 4 V R= p V R h= p 1 V R h= p CHƯƠNG II KH I TRÒN XOAY BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  14. 14. Trang 13 V N 1: M t c u – Kh i c u Baøi 1. SA ABC R = ^ SC AB = a Baøi 2. ·BAC 6= Baøi 3. SA ABCD^ SA = a Baøi 4. CD = a Baøi 5. SMK SOAD D: Baøi 6. IS = R Baøi 7. Baøi 8. Baøi 9. Baøi 10. BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  15. 15. Trang 14 Baøi 11. Baøi 12. Baøi 13. Baøi 14. ^ Baøi 15. a ^ V N 2: M t tr – Hình tr – Kh i tr Baøi 1. ¢ ¢ Baøi 2. ¢ ¢ Baøi 3. ¢ ¢ ¢ Baøi 4. Baøi 5. Baøi 6. ¢ ( )h a h R> < + Baøi 7. BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  16. 16. Trang 15 Baøi 8. Baøi 9. R Baøi 10. ¢ ¢ x ¢ y h, x, y Baøi 11. Baøi 12. h = R ( ( ( )a a a ) ) R V N 3: M t nón – Hình nón – Kh i nón Baøi 1. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ Baøi 2. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ Baøi 3. Baøi 4. BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  17. 17. Trang 16 Baøi 5. Baøi 6. ·SAO 3= SAB=6· Baøi 7. Baøi 8. Baøi 9. Baøi 10. a a Baøi 11. SAB = · a a Baøi 12. a = ( )<< BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  18. 18. Trang 17 Baøi 1. Baøi 2. Baøi 3. a tana Baøi 4. Baøi 5. ¢ ¢ x (0 < x < 2R). R, x. x ¢ ¢ ¢ Baøi 6. a Baøi 7. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ Baøi 8. ·BDC = Baøi 9. ASB ASC =BSC= = Baøi 10. ^ · · · a a ·BAC = ·BAC = ·BAC = Baøi 11. ÔN T P KH I TRÒN XOAY BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  19. 19. Trang 18 Baøi 12. Baøi 13. R Baøi 14. Baøi 15. Baøi 16. Baøi 17. Baøi 18. ·ASB , ( )= < <a a Baøi 19. Baøi 20. a a a BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  20. 20. Trang 19 Baøi 1. ^ ACM = a ^ ^ HD: a) Quĩ tích i m H là m t cung tròn. MaxV · SAHC= a b) AK = asin + sin a a , SK = sin+ a a , V = a sin ( sin )+ Baøi 2. D BAC 2= a a a · ^ ^ a x= AK AI HD: a) AH = a.cos cos + a a b) SMNPQ = a x x a( – )sin . Baøi 3. æ ö ççç ÷÷÷ è ø 2 0 < x < 2 ^ HD: b) V = x x- ; MaxV = khi x = Baøi 4. xy a= 3 a 4 HD: a) MN = a x y+ - b) V =( ) ( )x y+ , (x, y) = a; æ öa a ç ÷ è ø ho c a; æ öa ç ÷ è ø . Baøi 5. ÔN T P T NG H P HÌNH H C KHÔNG GIAN BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  21. 21. Trang 20 a a a tan a a a cosa æ ö +ç ÷ è ø atan cos a a Baøi 6. ·ASB ( )Rh 2R h– Baøi 7. ^ a x a a x+ - æ öa a x - +ç ÷ è ø a a Baøi 8. ¢ ¢ Baøi 9. 1V V = 3 a a Baøi 10. = AM MD ¢ ¢ ¢ a a Baøi 11. BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  22. 22. Trang 21 Î Î ° HD: a) V = 3 2a 2 m n a mn– + + =p b)a 6 Baøi 12. SA ABCD^ ( )2 SA a= =ACM SN CM^ AH SC SC AHK^^ AK SN^ · a a a HD: a) N thu c ư ng tròn ư ng kính AC c nh, V = a sin a b) HK = + Baøi 13. a a a AB AC AM AN + = HD: a) SG = 1 a b c b) V = abc+ + Baøi 14. SCB = ° 1 · a a HD: a) d(BC, SD) = a b) S = a Baøi 15. x (0 x a)£ £ ^ HD: b) d(M, (SAC)) = x c) V = ya a x+ 1 d) MaxV = khi x = a a Baøi 16. ·ABC = BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  23. 23. Trang 22 SABcos =· 1 a Baøi 17. A =µ Baøi 18. 1V V = ·BAD = ¢ a Baøi 19. Baøi 20. ·BAD = Chân thành c m ơn các b n ng nghi p và các em h c sinh ã c t p tài li u này. transitung_tv@yahoo.com BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  24. 24. Trang 23 1. nh nghĩa và các phép toán · · Qui t c ba i m: AB BC AC+ = uuuur uuur uuur Qui t c hình bình hành: AB AD AC+ = uuuur uuur uuur Qui t c hình h p: ¢ ¢ ¢ ¢ AB AD AA AC+ + =' ' uuuur uuur uuur uuuuur Hêï th c trung i m o n th ng: IA IB+ = uu uur r r OA OB OI+ = uuuur uuuur uur H th c tr ng tâm tam giác: GA GB GC OA OB OC OG+ + = + + =; uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuurr H th c tr ng tâm t di n: GA GB GC GD OA OB OC OD OG+ + + = + + + =; uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuurr i u ki n hai vectơ cùng phương: a vaø b cuøng phöông a k R b ka( :¹ Û$ Î =) ! rr rr r r i m M chia o n th ng AB theo t s k ¹ OA kOB MA kMB OM= =; - k - u uuur uuuur uuur uuur uuur 2. S ng ph ng c a ba vectơ · · i u ki n ba vectơ ng ph ng: a b c, , rr r a vaø b rr a b c, , rr r Û $ Î c ma nb= + rr r · a b c, , rr r x r $ Î x ma nb pc= + + rr r r 3. Tích vô hư ng c a hai vectơ · Góc gi a hai vectơ trong không gian: · ·AB u AC v u v BAC BAC= = Þ = £ £, ( , ) ( ) uuuur uuurr r r r · Tích vô hư ng c a hai vectơ trong không gian: u v, ¹ rr r u v u v u v. . .cos( , )= r r r r r r u hoaëc v= = r rr r u v. = r r u v u v^ Û =. r r r r u u= r r CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TO TRONG KHÔNG GIAN I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  25. 25. Trang 24 1. H t a êcac vuông góc trong không gian: i j k, , r r r Chú ý i j k= = = r r r i j i k k j. . .= = = r r r r r r 2. T a c a vectơ: a) nh nghĩa: u x y z u xi y j zk= Û = + +; ;( ) r r r r r b) Tính ch t: a a a a b b b b k R= = Î( ; ), ( ; ),; ; r r · a b a b a b a b± = ± ± ±( ; ; ) rr · ka ka ka ka= ( ; ; ) r · a bì a b a b a b = = Û = ï ï = í î r r · = = = =( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )i j k r rr r · a b b )( ¹ Û a kb k R= Î( ) r r rr r r a kb a a a a kb b b b b b b a kb ì Û = Û = = ¹, ( , , ) = í ï ï =î · a b a b a b a b. . . . ·= + + rr a b a b a b a b^ Û + + = r r · a a a a= + + · r a a a a= + + r · a b a b a ba b a b a b a a a b b b . cos( , ) . . + + = = + + + + rrr r r r a b ¹, rrr 3. T a c a i m: a) nh nghĩa: M x y z OM x y z( ; ; ) ( ; ; )Û = uuur Chú ý: · Î Û Î Û Î Û · Î Û Î Û Î Û b) Tính ch t: A A A B B BA x y z B x y z( (; ; ), ; ; ) · B A B A B AAB x x y y z z= - - -( ; ; ) uuuur · B A B A B AAB x x y y z z= - + - + -( ) ( ) ( ) · A B A B A Bx kx y ky z kz M k k k ; ; æ ö- - - ç ÷ - - -è ø · A B A B A Bx x y y z z M ; ; æ ö+ + + ç ÷ è ø · A B C A B C A B Cx x x y y y z z z G ; ; æ ö+ + + + + + ç ÷ è ø · II. H TO TRONG KHÔNG GIAN BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  26. 26. Trang 25 A B C D A B C D A B C Cx x x x y y y y z z z z G ; ; æ ö+ + + + + + + + + ç ÷ è ø 4. Tích có hư ng c a hai vectơ: (Chương trình nâng cao) a) nh nghĩa: Cho a a a a= ( , , ) r b b b b= ( , , ) r [ ] ( ) a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b , ; ; ; ; æ ö = Ù = ç ÷ = - - - ç ÷ è ø r rr r Chú ý: Tích có hư ng c a hai vectơ là m t vectơ, tích vô hư ng c a hai vectơ là m t s . b) Tính ch t: · i j k j k i k i j, ; ;, ,[ ]é ùé ù = = =ë û ë û r r rr r r r r r · a b a a b b[ , ] ; [ , ]^ ^ r r r r r r · ( )[ , ] . .sin ,a b a b a b= r r r rr r · a b, r r Û =[ , ]a b r r r c) ng d ng c a tích có hư ng: · i u ki n ng ph ng c a ba vectơ: a b, r r c Û [ , ]. =a b c r r r r · Di n tích hình bình hành ABCD: ABCDS AB AD,é ù= ë ûY uuuur uuur · Di n tích tam giác ABC: 1 ABCS AB AC,D é ù= ë û uuuur uuur · Th tích kh i h p ABCD.A B C D :¢ ¢ ¢ ¢ ABCD A B C DV AB AD AA. ' ' ' ' = [ , ]. ' uuuur uuur u uuur · Th tích t di n ABCD: 1 ABCDV AB AC AD= [ , ]. uuuur uuur uuur Chú ý: – Tích vô hư ng c a hai vectơ thư ng s d ng ch ng minh hai ư ng th ng vuông góc, tính góc gi a hai ư ng th ng. – Tích có hư ng c a hai vectơ thư ng s d ng tính di n tích tam giác; tính th tích kh i t di n, th tích hình h p; ch ng minh các vectơ ng ph ng – không ng ph ng, ch ng minh các vectơ cùng phương. a b a b^ Û . = [ ]a vaø b cuøng phöông a bÛ , = [ ]a b c ñoàng phaúng a b c, , ,Û =. r rr r rr rr r r rr r r r 5. Phương trình m t c u: · I(a; b; c) R ( ) ( ) ( )x a y b z c R- + - + - = · x y z ax by cz d+ + + + + + = a b c d+ + - > I(–a; –b; –c) R = a b c d+ + - . BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  27. 27. Trang 26 V N 1: Các phép toán v to c a vectơ và c a i m Baøi 1. a i j= - + r rr b i k= - r rr d i j k= - +c k= - rr r rr r Baøi 2. xi yj zk+ + rr r a ; ; æ ö ç ÷= è ø r b ( ; ; )= - r 4 c ; ; æ ö ç ÷= è ø r 1 d ; ;p æ ö ç ÷= è ø Baøi 3. a b c= = =; ; ; ; ; ;- -, , r ( ) ( ) ( ) rr r u u a b c= - + r 1 rr r r u a b c= - - rr r r u b c= - + 2rr r u a b c= - + rr r r 1 4 u a b c= - - rr r r 3 2 u a b c= - - rr r r Baøi 4. x a x+ = r rr r a ;= - ; a x a+ =( )r r r r a ;= - ; a x b+ = ( )r rr r a ; ;= - b ;= - ; Baøi 5. a ( ; ; )= - b y z= a( ; ; ) c a vaø c ( )r ( ) r r r r r r r c a= r r Baøi 6. a b c= - = - = -; ,; ; ; , ; ;( ) ( ) ( ) rr r a b c.( ) rr r a b c.( ) rr r a b b c c a+ + r rr r r r a a b b c b- +.( ) r r rr r r a c b c. + - rr r r Baøi 7. a b a b= = -; ; , ; ; a b= = -; ; , ; ; r r ( ) ( ) rr ( ) ( ) rr a b= - = -( ; ; ), ( ; ; ) rr a b= = -( ; ; ), ( ; ; ) rr a b= - = -( ; ; ), ( ; ; ) a b= - = -( ; ; ), ( ; ; ) Baøi 8. u rr rr r a b c= - = - = -( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) a u u b u c. , . , .= - = - = ì î í rr r rr r r r r a b c= - = - = -( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) u a u b u c^ ^ = -, , . ì î í rr r rr r r r r a b c= = - - = -( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) a u b u c u. , . , .= = = ì î í rr r rr r r r r a b c= - = - = -( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) a u b u c u. , . , .= = = - ì î í rr r rr r r r r a b c= = - = -( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) a u b u c u. , . ,= - = - ^ ì î í rr r rr r r r r Baøi 9. a b, rr a b= - = -( ; ; ), ( ; ; ) u a mb vaø v ma b vuoâng goùc= + = - ì í î rr r rr r r r a b= - = -( ; ; ), ( ; ; ) u ma b vaø v a mb vuoâng goùc= - = + ì î í rr r rr r r r a b= - = -( ; ; ), ( ; ; ) u ma b vaø v a mb cuøng phöông= - = + ì î í rr r rr r r r Baøi 10. a b, rr BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  28. 28. Trang 27 a b a b X a b = = ^, ,ì í = -î r rr r rr a b a b Y a b = - - = - =( ; ; ), ,ì í = +î r rr r rr ( )a b a b X a b Y a b = = =, , , = - = +, ì í î r rr r r rr r ( )a b a b X a b Y a b = - - = =( ; ; ), , , = - = +, ì í î r rr r r rr r Baøi 11. a b c, , rr r m, n c a b= ,[ ] rr r a b m c= - - = =; ; , ; ; , ; ;( ) ( ) ( ) rr r a m b n c= - = - =; ; , ; ; , ; ;( ) ( ) ( ) rr r a b c m n= = =; ; , ; ; , ; ;( ) ( ) ( ) rr r Baøi 12. a b c, , rr r a b c= - = =; ,; ; ; , ; ;( ) ( ) ( ) rr r a b c= = - =; ; , ; ; , ; ;( ) ( ) ( ) rr r a b c= - - = = -; ; , ; ; , ; ;( ) ( ) ( ) rr r a b c= = =; ; , ; ; , ; ;( ) ( ) ( ) rr r a b c= = - = -( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) rr r a b c= - = - = -( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) rr r a b c= - = - = -( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) rr r a b c= - = - - = -( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) rr r Baøi 13. m a b c, , rr r a m b m c m= = + = -; ; , ; ; , ; ;( ) ( ) ( ) rr r a m m b m m c m m= + - = + + = +( ; ; ); ( ; ; ), ( ; ; ) rr r a m m m b m m m c= + - = - + =; , ; ; ,; ; ;( ) ( ) ( ) rr r a b m m m c m= - = + - - = -; , ; , ;; ; ;( ) ( ) ( ) rr r Baøi 14. a b c u, , , rr r r a b c, , rr r a b c, ,u r rr r ( ( (a b c= = - = -; ; , ; ; , ; ; u = -( ; ; ) ) ) )ì î í rr r r ( ( (a b c 2= - = - = -; , ; ,; ; ; ; u = - -( ; ; ) ) ) )ì î í rr r r ( ( (a b c= = - =; ; , ; ; , ; ; u = -( ; ; ) ) ) )ì î í rr r r ( ( (a b c= = - = -; ; , ; ; , ; ; u = - -( ; ; ) ) ) )ì î í rr r r ( ( (a b c= - = - = -; ,; ; ; , ; ; u = ( ; ; ) ) ) )ì î í rr r r ( ( (a b c= - = - = - -; , ; ,; ; ; ; u = -( ; ; ) ) ) )ì î í rr r r Baøi 15. a b c d, , , r rr r a b c d= - - = - - = - - = - -; , ; ; , ; , ( ;; ; ; )( ) ( ) ( ) r rr r a b c d= - = - = - = -; ; , ; ; , ; ; , ( ; ; )( ) ( ) ( ) r rr r Baøi 16. a b c, , rr r d b c d ma nb, , = + r r r rr r m, n ≠ 0) a c d ma nb, , = + r rr r r m, n ≠ 0) a b d ma nb pc, , = + + r r rr r r m, n, p ≠ 0) b c d ma nb pc, , = + + r r rr r r m, n, p ≠ 0) a c d ma nb pc, , = + + r rr r r r m, n, p ≠ 0) BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  29. 29. Trang 28 V N 2: Xác nh i m trong không gian. Ch ng minh tính ch t hình h c. Di n tích – Th tích. · AB AC,Û uuuur uuur AB k AC=Û uuuur uuur Û AB AC,é ù =ë û uuuur uuur r · AB DC=Û uuuur uuur · D D EB EC= - . AB AC uuuur uuur AB FB FC= . AC uuuur uuur · AB AC AD, ,Û uuuur uuur uuur AB AC AD, .Û é ù ¹ë û uuuur uuur uuur Baøi 1. · · M( ; ; ) M( ; ; )- M( ; ; )- - M( ; ; )- M( ; ; )- M( ; ; )- M( ; )- ; M( ; ; ) Baøi 2. ¢ · · · M( ; ; ) M( ; ; )- M( ; ; )- - M( ; ; )- M( ; ; )- M( ; ; )- M( ; )- ; M( ; ; ) Baøi 3. A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - Baøi 4. · · D · · D · D · D D A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - A B C; ; , ; ; , ; ; A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - Baøi 5. A( ; ; ) B( ; ; )- A B( ; ; ), ( ; ; )- A B( ; ; ), ( ; ; )- A B( ; ; ), ( ; ; )- - A B( ; ; ), ( ; ; )- - - A B( ; ; ), ( ; ; )- - Baøi 6. A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - Baøi 7. · · ( ) ( ) ( ) BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  30. 30. Trang 29 A B; ,- -; ; ; A B( ; ; ), ( ; ; )- - A B( ; ; ), ( ; ; )- A B( ; ; ), ( ; ; )- - A B( ; ; ), ( ; ; )- - - A B( ; ; ), ( ; ; )- - Baøi 8. · · · · · A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ;- - A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - Baøi 9. · · A B D C; ; , ; ; , ; ; , ' ; ;- - A B C A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )- - - - A B D A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ;), '( ; ; )- - A B C C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )- - - Baøi 10. ^ ^ ^ Baøi 11. ^ ^ ^ ^ ¢ ¢ Baøi 12. OI AG, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) uur uuur OA OC OD, , uuuur uuur uuur BI uur FE FG FI, , uuuur uuur uur Baøi 13. AE uuur AC AF AH, , uuur uuur uuur AG uuur AC AF AH, , uuur uuur uuur Baøi 14. ¢ ^ ¢ Baøi 15. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ x (0 < x < 1) ¢ BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  31. 31. Trang 30 V N 3: Phương trình m t c u tâm I bán kính R D ng 1: (S): ( ) ( ) ( )x a y b z c R- + - + - = D ng 2: D ng 3: A B A B A B I I I x x y y z z x y z; ; + + + = = = AB D ng 4: x y z ax by cz d+ + + + + + = Þ D ng 5: D ng 6: ¢ Chú ý: x y z ax by cz d+ + + + + + = a b c d+ + - > a b c d+ + - Baøi 1. x y z x y+ + - + + = x y z x y z+ + + + - - = x y z x y z+ + - - + = x y z x y z+ + - + - - = x y z x y z+ + - + - + = x y z x y z+ + - - + + = x y z x y z+ + - + + - = x y z x y+ + - + = x y z x y z+ + + - + - = x y z x y z+ + - + - + = Baøi 2. a x y z m x my mz m+ + - + + - + + =( ) x y z m x m y mz m+ + - - - + - + + =( ) ( ) x y z x y z+ + + + - - + + =(cos ) cos . cosa a a x y z x y z+ + + - + - + + + =( cos ) (sin ) cosa a a x y z t x y z t+ + - + - + + =ln . ln x y z t x t y t z t+ + + - + + + + + =( ln ) ln . (ln ) ln Baøi 3. I R( ; ; ),- = I R( ; ; ),- = I R( ; ; ),- = I R( ; ; ),- = BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  32. 32. Trang 31 Baøi 4. I A( ; ; ), ( ; ; )- I A( ; ; ), ( ; ; )- I A( ; ; ), ( ; ; )- - I A( ; ; ), ( ; ; )- - I A( ; ; ), ( ; ; )- - - Baøi 5. A B( ; ; ), ( ; ; )- A B( ; ; ), ( ; ; )- - A B( ; ; ), ( ; ; )- - A B( ; ; ), ( ; ; )- - A B( ; ; ), ( ; ; )- - A B( ; ; ), ( ; ; )- - Baøi 6. A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - Baøi 7. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ì - - ìA B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) ( ) ( )P Oxzº ( ) ( )P Oxyº Baøi 8. í í î î ì -I( ; ; ) ( ) :T x y z x y z+ + - + - + = í î ì -I( ; ; ) ( ) :T x y z x y z+ + - + - + = í î V N 4: V trí tương i gi a hai m t c u Cho hai m t c u S (I , R ) và S (I , R ).1 1 1 2 2 2 · I I R R< - (S ), (S ) trong nhauÛ ·1 2 I I R R> + (S ), (S ) ng i nhauÛ 1 2 · I I R R= - (S ), (S ) ti p xúc trongÛ ·1 2 I I R R= + (S ), (S ) ti p xúc ng iÛ 1 2 · R R I I R R- < < + (S ), (S ) c t nhau theo m t ư ng tròn.Û 1 2 Baøi 1. x y z x y z+ + - + - - =ì x y z x y z+ + + - - + = í î ï ï x y x y z z x y z ( ) ( ) ( )ìï + + - + - = + + - - - - = í îï x y z x y z+ + - + - + = x y z x y z+ + - - + - = ì í î ï ï x y z x y z+ + - + - - = x y z+ + + - - + =x y z ì í î ï ï x y z x y z+ + - - + + = x y z x y z+ + - + - - = ì í î ï ï x y z x y z x y z x y z ìï + + + - + - = í + + - + - - =ï Baøi 2. m î ( ) ( ) ( )x y z- + - + + =ì ( ) ( ) ( ) ( )x y z m- + + + - = + í î ï ï x y x y z z m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ìï - + + + + = í - + - + - = -ïî ( ) ( ) ( )x y z+ + - + - = ( ) ( ) ( ) ( )x y z m+ + + + + = - ì í î ï ï x y x y z z m ( ) ( ) ( )+ + + + + = ( ) (- + - + - = +) ( ) ( ) ì í î ï ï BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  33. 33. Trang 32 V N 5: T p h p i m là m t c u – T p h p tâm m t c u 1. T p h p i m là m t c u ( ) ( ) ( )x a y b z c R- + - + - = x y z ax by cz d+ + + + + + = 2. Tìm t p h p tâm m t c u ì =x f t( ) y g t= ( ) z h t= ( ) ï ï í î Baøi 1. =MA MB+ = MA MB MA MB k k+ = >( ) Baøi 2. MA MB+ = MA MB = ·AMB = MA MB k k+ = + >( ) ( ) Baøi 3. x y z x y m z m+ + - - + - + - =( ) x y z m x y z m+ + + - + - + + =( ) x y z x y m z m+ + + - + + + + =( ) x y z m x m y z m+ + - + - + - + + =( cos sin cos) ( ) x y z m x m y z m+ + + - - + - - - =( ) ( sin ) sincos BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  34. 34. Trang 33 1. Vectơ pháp tuy n – C p vectơ ch phương c a m t ph ng · a n an ¹ rr r · a b, a rr a Chú ý: N u n là m t VTPT c a ( ) thì kn (k ≠ 0) cũng là VTPT c a ( ).· a a r r · N u a b là m t c p VTCP c a ( ) thì n a b, ,= rr a [ ] rr r là m t VTPT c a ( ).a 2. Phương trình t ng quát c a m t ph ng Ax By Cz D vôùi A B C+ + + = + + > · a Ax By Cz D+ + + = n A B C= a( ; ; ) r · M x y z( ; ; ) n A B C= ( ; ; ) r A x x B y y C z z( ( (- + - + - =) ) ) 3. Các trư ng h p riêng Chú ý: N u trong phương trình c a ( ) không ch a n nào thì ( ) song song ho c ch a· a a tr c tương ng. · Phương trình m t ph ng theo o n ch n: x y z a b c + + = ( ) c t các tr c to t i các i m (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)a 4. V trí tương i c a hai m t ph ng a b a A x B y C z D+ + + = b A x B y C z D+ + + = · a( ), ( ) c t nhaub Û A B C A B C: : : :¹ · a( ) // ( )b Û A B C D A B C D = = ¹ · a º b Û( ) ( ) A B C D A B C D = = = · a ^ b Û( ) ( ) A A B B C C+ + = 5. Kho ng cách t i m M (x ; y ; z ) n m t ph ng ( ): Ax + By + Cz + D = 00 0 0 0 a ( ) Ax By Cz D d M A B C ,( )a + + + = + + III. PHƯƠNG TRÌNH M T PH NG Các h s Phương trình m t ph ng (a) Tính ch t m t ph ng (a) Ax By Cz+ + = a By Cz D+ + = a a É Ax Cz D+ + = a a É Ax By D+ + = a a É Cz D+ = a a º By D+ = a a º Ax D+ = a a º BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  35. 35. Trang 34 V N 1: Vi t phương trình m t ph ng i m VTPTa a D ng 1: a ( ) = ( ) r a ( ( () ) )- + - + - = D ng 2: a ( ) a b, rr n a b= ,a [ ] rr r D ng 3: a ( ) b a ( ( () ) )- + - + - = D ng 4: a n AB AC,a é ù= ë û uuuur uuurr D ng 5: a u r n AM u,a é ù= ë û uuurr r D ng 6: a u r a D ng 7: a a b, rr n a b= ,a [ ] rr r Þ Î a D ng 8: a a b, rr n a b= ,a [ ] rr r Þ Î a D ng 9: a a b, rr n a b= ,a [ ] rr r D ng 10: ba u n r b r b é ùn u n= ,a bë û r r r Þ Î a D ng 11: b ga n n,b g r r b g n u n,a b gé ù= ë û r r r D ng 12: a + + = (a )+ + ¹ . Î Þ Î a d M k( ,( )) =a D ng 13: a n IH=a uurr Chú ý: BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  36. 36. Trang 35 Baøi 1. n = -M 3;1;1 , n 1;1;2 - =M 2;7;0 , n 3;0;1 - - =M 4; 1; 2 , n 0;1;3 - =M 2;1; 2 , n 1;0;0 = - -M 3;4;5 ,n 1; 3; 7 = -M 10;1;9 , n 7;10;1 Baøi 2. A B( ; ; ), ( ; ; )- - A B( ; ; ), ( ; ; )- - A B( ; ; ), ( ; ; )- - r ( ) ( ) r ( ) ( ) r ( ) ( ) r ( ) ( ) r ( ) ( ) r ( ) ( ) r 1 1 A ; 1;0 , B 1; ;5 2 2 æ ö æ ö - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø 2 1 1 A 1; ; , B 3; ;1 3 2 3 æ ö æ ö ç ÷ ç ÷- è ø è ø A B( ; ; ), ( ; ; )- - - Baøi 3. a b, M a b( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- = = - M a b( ; ; ), ; ; ), ( ; ; )- = - - = M a b( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- = = M a b( ; ; ), ( ; ; ); ( ; ; )- = - = Baøi 4. a b M Oxy; ; , = M x y; ; , :- - + = M x y z- - + - =; ; , : M x z; ; , :- - + - = M x y z( ; ; ), ( ) :- + - + = M x y z( ; ; ), ( ): - + - = Baøi 5. a M ; ; M ;- ; ; ;M - M ; ;- M( ; ; )- M( ; ; ) M( ; ; )- M( ; ; )- Baøi 6. a A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - Baøi 7. a A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - Baøi 8. a b rr rr rr rr rr ( ) ( ) ( ) ( )b b b b b b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ì - - ì - - - ì - - -A B( ; ; ), ( ; ; ) A B( ; ; ), ( ; ; ) A B( ; ; ), ( ; ; ) ( ): x y z- + - = ( ): x y z+ - + = ( ): x y z+ - - =b b b í í í î î î ì - - -A B( ; ; ), ( ; ; ) ( ): x y z- - + = Baøi 9. a b g M x y z x y z( ; ; ), : , :- - + - + = - + + = b í î ( ) ( )b g M x y z x y z( ; ; ), : , :- + - - = - - - =( ) ( )b g M x y z x y z( ; ; ), : , :- + - + = + - - =( ) ( )b g M x y z x y z( ; ; ), : , :- + + = - + - =( ) ( )b g Baøi 10. a M P x y z Q : x y z; ; , : ,- - + - = - + - =( ) ( ) ( ) BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  37. 37. Trang 36 M P x y z Q : x y z; ; , : ,- - + - = - + - = M P x y z Q : x y z; ; , : ,- - + = - + + = M P x y z Q x y z; ; , : , :- + - = - - - = Baøi 11. a ( ): , ( ): , ( ) :P y z Q x y z R x y z+ - = + - - = + + - = ( ): , ( ): , ( ) :P x y z Q y z R x y- + - = + - = - + = ( ): , ( ): , ( ) :P x y z Q x y R x z- + - = + - = - + = Baøi 12. a ( ): , ( ): , ( ):P x y Q y z R x y z+ - = - - = + - - = ( ): , ( ): , ( ):P y z Q x y z R x y z+ - = + - + = + + - = ( ): , ( ): , ( ):P x y z Q x y z R x y z+ - - = + + + = - - + = ( ): , ( ): , ( ) :P x y z Q x y R x z- + - = + - = - + = Baøi 13. a ( ): , ( ): , ( ; ; ),P x y Q x y z M k- - = - + = = ( ) ( ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) V N 2: V trí tương i c a hai m t ph ng Baøi 1. ì + - + = ì - + + =x y z x y z x y z+ - - = x y z- + - = í í î î ì + - - =x y z x y z+ - + = í î ì - - + =x y z x y z- - - = í î 25 ì - - + =x y z x y z- - + = ï î í ï ì - - - =x y z x y z- - + = í î Baøi 2. · · · ì + - - = ì - + - =x my z x y mz nx y z+ - + = x ny z+ + - = í í î î ì + + - =x my z nx y z- - + = í î ì - + - =x y mz x ny z+ + - = í î ì + + - =x y z mx y z- - - = í î ì - + - =x y mz x y z+ - + = í î ì + - + = ì - + - =x my z x ny z x y nz+ + - = x y mz- + - = í í î î x m y z- - + - =( ) m x y mz+ - + - =) ì ( í î Baøi 3. x y mz- + + = x y z+ - + = ì î í m x my z- - + + =) mx m y z+ - + - =( ) ì( î í ì + + - =mx y mz x my z+ + + = í î ì - - + - =x m y( ) ( )m x y+ - + - = z mz í î x y z- - = + - - =y z ì mx í î ì - + -x y mz x y z+ + + = = í î BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  38. 38. Trang 37 V N 3: Kho ng cách t m t i m n m t m t ph ng. Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song. Hình chi u c a m t i m trên m t ph ng . i m i x ng c a m t i m qua m t ph ng. · Kho ng cách t i m M (x ; y ; z ) n m t ph ng ( ): Ax + By + Cz + D = 00 0 0 0 a ( ) Ax By Cz D d M A B C ,( )a + + + = + + · Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song b ng kho ng cách t m t i m b t kì trên m t ph ng này n m t ph ng kia. Chú ý: N u hai m t ph ng không song song thì kho ng cách gi a chúng b ng 0. · i m H là hình chi u c a i m M trên (P) Û MH n cuøng phöông, H PÎ( ) ì î í uuuur r · i m M i x ng v i i m M qua (P)¢ Û MM MH¢ = uuuuuur uuuur Baøi 1. · · · ¢ ( ): , ( ; ; )P x y z M- + - = - ( ): , ( ; ; )P x y z M+ + - = - - ( ): , ( ; ; )P x y z M- + + = - ( ): , ( ; ; )P x y z M- + + = - ( ): , ( ; ; )P x y z M- + - = - ( ): , ( ; ; )P x y z M- + - = Baøi 2. ì - + + = ì - + + =x y z x y z x y z- + + = x y z- + - = í í î î ì - + + =x y z x y z+ - - = í ì - + + = ì - + + = ì + - + =x y z x y z x y z x y z- + + = x y z+ - - = x y z+ - + = î í í í î î î Baøi 3. k x y z k- + - = =, x y z k- - + = =, x y z k- + + = =, x y z k- + - = =, Baøi 4. ì - + + = ì - + + =x y z x y z x y z- + + = x y z- + - = í í î î ì - + + =x y z x y z+ - - = í ì - + + = ì - + + = ì + - + =x y z x y z x y z x y z- + + = x y z+ - - = x y z+ - + = î í í í î î î Baøi 5. k ì + - - = ì - + + =x y z x y z x y z+ - + = x y z- + - = 2 1 î î k = k = ïïï ïïï ïïï ì + - - =x y z íí ïï ï ï x y z+ - + = 4 î í k = Baøi 6. Ox (Oy, Oz) ( ): , ( ; ; )P x y z N+ + - = - ( ): , ( ; ; )P x y z N+ + - = - - ( ): , ( ; ; )P x y z N- + + = - ( ): , ( ; ; )P x y z N- + + = - ( ): , ( ; ; )P x y z N- + - = - ( ): , ( ; ; )P x y z N- + - = Baøi 7. Ox (Oy, Oz) ï ï ì + - + = ì + - + =x y z x y z x y z- + - = x y z+ + - = í í î î ì - + + =x y z x y z+ - - = í î BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  39. 39. Trang 38 ì - + + = ì - + + = ì + - + =x y z x y z x y z x y z- + + = x y z+ - - = x y z+ - + = Baøi 8. A Q x y z; ;– , ( ) : - - + = A Q x y z; ;– , ( ): - + + = Baøi 9. k ( ): , ( ; ; ),Q x y z A k+ - + = - = ( ): , ( ; ; ),Q x y z A k- + + = - = í í í î î î ( ) ( ) Baøi 10. k ( ): ,Q x y z k- + - = = ( ): ,Q x y z k+ - + = = V N 4: Góc gi a hai m t ph ng Cho hai m t ph ng ( ), ( ) có phương trình: ( ):a b a A x B y C z D+ + + = ( ):b A x B y C z D+ + + = Góc gi a ( ), ( ) b ng ho c bù v i góc gi a hai VTPTa b n n, r r . ( ) n n A A B B C C n n A B C A B C . cos ( ),( ) . . a b + + = = + + + + r r r r Chú ý: · ·( )£ £ .( ),( )a b · ( ) ( )^ Û + + =A A B B C Ca b Baøi 1. ì + - + = ì + - + =x y z x y z x y z- + - = x y z+ + - = í í î î ì x y z- + + = x y z+ - - =î í ì + - + =x y z x z+ - = í î ì - - + =2x y z y z+ + = í î x y z- + + = x y z+ + - = Baøi 2. m a ì - - + + = ì + + - = ì + + - + =( )m x my z mx y mz ( )m x my mz mx m y z+ - + - =( ) x my z+ + + = mx m y z+ - + - =( ) = = = ì - + + =mx y mz ( ) ( ) ( )m x m y m z+ + - + - - = = Baøi 3. ì í î a a a ï ï ï ï ï ï í í í î î î ï ïa a b g í î + + =a b g BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  40. 40. Trang 39 V N 5: V trí tương i gi a m t ph ng và m t c u. Phương trình m t ph ng ti p xúc v i m t c u Cho m t ph ng ( ) và m t c u (S) có tâm I, bán kính R.a · a( ) và (S) không có i m chung d I R( ,( )) >Û a · a( ) ti p xúc v i (S) d I R( ,( )) = (( ) là ti p di n)Û a a Khi ó ti p i m H c a ( ) và (S) là hình chi u c a I trên m t ph ng (P).a · a( ) c t (S) theo m t ư ng tròn d I R( ,( )) <Û a Khi ó tâm H c a ư ng tròn giao tuy n là hình chi u c a I trên m t ph ng (P). Bán kính r c a ư ng tròn giao tuy n: r R IH= - Baøi 1. ì + + - =( ):P x y z ( ) :S x y z x y z+ + - - + + = í î ì - + - =( ):P x y z ( ) :( ) ( ) ( )S x y z- + - + + = ì + - - =( ):P x y z í î ( ) :S x y z x y z+ + + - - + = í î ì - + + =( ):P x y z ( ) :S x y z x y z+ + - - - + = ( ): 2 2 0P x y z S x y z x y z í î ì + + = P z 2 2 2 ( ): 3 0 ( ) : 6 2 2 10 0+ + - + - + = S x y z x y z í î ì - = 2 2 2 ( ) : 6 2 16 22 0+ + - + - + = Baøi 2. m í î ( ): ; ( ): ( )P x y z S x y z m x my z m- - - = + + - - + + + = ( ): ; ( ) :( ) ( ) ( ) ( )P x y z S x y z m- + - = - + + + - = - ( ): ; ( ) :( ) ( ) ( ) ( )P x y z S x y z m+ - + = - + - + + = + ( ): ; ( ): ( )P x y z S x y z mx m y z m m- + - = + + + - + - + + + - = Baøi 3. I P x y z( ; ; ), ( ):- - - - + = I P x y z( ; ; ), ( ): + - + = I P x y z( ; ; ), ( ): + + + = I P x y z( ; ; ), ( ):- + - + = Baøi 4. S x y z2 2 2 ( ) :( 3) ( 1) ( 2) 24- + - + + = M( ; ; )- S x y z x y z2 2 2 ( ) : 6 2 4 5 0+ + - - + + = M( ; ; ) ( ) :( ) ( ) ( )S M( ; ; )x y z- + + + - = - ( ) : + + - - - - =S x y z x y z x y z- + + = ( ) : + + - + + - =S x y z x y z x z+ - = ( ) : + + - - + =S x y z x y z x y z+ + + = ( ) : + + - + + + =S x y z x y z d x t y t z t: , ,= + = + = + x + zy + z - x + y + - = x y z d : + - + = = - x y z d : + + - = = - BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  41. 41. Trang 40 Bài t p ôn: Phương trình m t ph ng Baøi 1. · · · · · · ¢ ¢ ¢ ¢ · · · · A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - Baøi 2. Baøi 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  42. 42. Trang 41 1. Phương trình tham s c a ư ng th ng · Phương trình tham s M x y z( ; ; ) a a a a= ;( ; ) r o o o ì = +x x a t ( ): ( )d y y a t t R= + Î z z a t= + ï ï í î · a a a ¹ x x y y z z d a a a ( ): - - - = = phương trình chính t c 2. V trí tương i gi a hai ư ng th ng ¢ ì = +x x ta y y ta= + z z ta= + d : ï ï x x t a í î ¢ ¢ ¢ì = + d y y t a: z z t a ï ¢ ¢ ¢ ¢= + ï í ¢ ¢ ¢= +î · ¢ Û a a cuøng phöông¢ì , x ta x t a heä y ta y t a aån t t voâ nghieäm( , ) z ta z t a ïïï ¢ ¢ ¢ì + = + í ¢ ¢ ¢ ¢ ï + = + ï í ¢ ¢ ¢ ï + = +ï îî r r Û a a cuøng phöôngì , M x y z d( ; ; )Ï ¢ ¢í î r r Û a a cuøng phöôngì , a M M khoâng cuøng phöông, ¢ í î ¢ r r uuuuuurr Û [ ]a a, = a M M, ì í ¢ é ù ï ¢ ¹ïë ûî rr r uuuuuur rr · º ¢ Û x ta x t a¢ ¢ ¢ì + = + heä y ta y t a aån t t coù voâ soá nghieäm( , ) z ta z t a ï ¢ ¢ ¢ ¢+ = + ï í ¢ ¢ ¢+ = +î Û a a cuøng phöôngì , M x y z d( ; ; )Î ¢ ¢í î r r Û a a M M ñoâi moät cuøng phöông, ,¢ ¢ uuuuuurr r Û [ ]a a a M M, ,é ù¢ ¢= =ë û uuuuuur rr r r · ¢ Û ¢ ¢ ¢ì + = +x ta x t a y ta y t a z ta z t a ï ¢ ¢ ¢+ = + ï í ¢ ¢ ¢+ = +î ¢ Û a a khoâng cuøng phöôngì , a a M M ñoàng phaúng, , ¢ í ¢ ¢î r r uuuuuurr r Û [ ] [ ] a a¢ ¹, a a M M, . ì í ï ¢ ¢ =ïî rr r uuuuuurr r · ¢ Û a a khoâng cuøng phöông¢ì , x ta x t a heä y ta y t a aån t t voâ nghieäm( , ) z ta z t a ïïï ¢ ¢ ¢ì + = + í ¢ ¢ ¢ ¢ ï + = + ï í ¢ ¢ ¢ ï + = +ï îî r r Û a a M M khoâng ñoàng phaúng, ,¢ ¢ uuuuuurr r Û [ ]a a M M, .¢ ¢ ¹ uuuuuurr r · ^ ¢ Û a a¢^ r r Û a a. ¢ = r r IV. PHƯƠNG TRÌNH Ư NG TH NG
  43. 43. Trang 42 3. V trí tương i gi a m t ư ng th ng và m t m t ph ng a Ax By Cz D+ + + = d ì = +x x ta y y ta= + z z ta= + ï ï í î A x ta B y ta C z ta D( ( (+ + + + + + = t) ) ) · d // ( ) (*) vô nghi ma Û · d c t ( ) (*) có úng m t nghi ma Û · Ì a Ûd ( ) (*) có vô s nghi m 4. V trí tương i gi a m t ư ng th ng và m t m t c u d ì = +x x ta y y ta= + (S) z z ta= + ï ï í î ( ) ( ) ( )x a y b z c R- + - + - = d (S) · d và (S) không có i m chung (*) vô nghi m d(I, d) > RÛ Û · d ti p xúc v i (S) (*) có úng m t nghi m d(I, d) = RÛ Û · d c t (S) t i hai i m phân bi t (*) có hai nghi m phân bi t d(I, d) < RÛ Û 5. Kho ng cách t m t i m n m t ư ng th ng (chương trình nâng cao) d M a0 r M M a d M d)( , a ,é ù ë û = uuuuur r r 6. Kho ng cách gi a hai ư ng th ng chéo nhau (chương trình nâng cao) d d1 2 d M a d M a1 1 2 2 r r a a M M d d d a a , . ( , ) , é ùë û = é ùë û uuuuuurr r r r Chú ý: Kho ng cách gi a hai ư ng th ng chéo nhau d , d b ng kho ng cách gi a d v i m t1 2 1 ph ng ( ) ch a d và song song v i d .a 2 1 7. Kho ng cách gi a m t ư ng th ng và m t m t ph ng song song Kho ng cách gi a ư ng th ng d v i m t ph ng ( ) song song v i nó b ng kho ng cách t m ta i m M b t kì trên d n m t ph ng ( ).a 8. Góc gi a hai ư ng th ng Cho hai ư ng th ng d , d l n lư t có các VTCP1 2 a a, r r . Góc gi a d , d b ng ho c bù v i góc gi a1 2 a a, r r . ( ) a a a a a a . cos , = . r r r r r r 9. Góc gi a m t ư ng th ng và m t m t ph ng Cho ư ng th ng d có VTCP a a a a= và m t ph ng (( ; ) ) có VTPT n A B C; ( ; ; )= . r a r Góc gi a ư ng th ng d và m t ph ng ( ) b ng góc gi a ư ng th ng d v i hình chi u d c aa ¢ nó trên ( ).a ·( ) Aa Ba Ca d A B C a a a sin ,( ) . a + + = + + + + BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  44. 44. Trang 43 V N 1: L p phương trình ư ng th ng l p phương trình ư ng th ng d ta c n xác nh m t i m thu c d và m t VTCP c a nó. D ng 1: d M x y z( ; ; ) a a a a= ;( ; ) r o o o x x a t d y y a t t R z z a t ì ( ): ( ) = + = + Î ï ï í = +î D ng 2: d A, B M t VTCP c a d là AB u ruuu . D ng 3: d M x y z( ; ; ) D Vì d // nên VTCP c a cũng là VTCP c a d.D D D ng 4: d M x y z( ; ; ) Vì d (P) nên VTPT c a (P) cũng là VTCP c a d.^ D ng 5: d · Cách 1: Tìm m t i m và m t VTCP. – Tìm to m t i m A d: b ng cách gi i h phương trìnhÎ P Q ( ) ( ) ì (v i vi c ch n giá tr î í cho m t n) – Tìm m t VTCP c a d: P Q é ùa n n= , ë û r r r · Cách 2: Tìm hai i m A, B thu c d, r i vi t phương trình ư ng th ng i qua hai i m ó. D ng 6: d M x y z( ; ; ) d , d :1 2 Vì d d , d d nên m t VTCP c a d là:^ ^1 2 d dé ùa a a= , ë û r r r D ng 7: d M x y z( ; ; ) .D · Cách 1: G i H là hình chi u vuông góc c a M trên ư ng th ng .0 D Hì M H a ÎD í ^î uuuuur V r Khi ó ư ng th ng d là ư ng th ng i qua M , H.0 · Cách 2: G i (P) là m t ph ng i qua A và vuông góc v i d; (Q) là m t ph ng i qua A và ch a d. Khi ó d = (P) (Q)Ç D ng 8: d M x y z( ; ; ) d , d :1 2 · Cách 1: G i M d , M d . T i u ki n M, M , M th ng hàng ta tìm ư c M , M . T ó1 1 2 2 1 2 1 2Î Î suy ra phương trình ư ng th ng d. · Cách 2: G i (P) = ( , ), (Q) =M d ( , ). Khi ó d = (P)M d (Q). Do ó, m t VTCP c a dÇ có th ch n là P Q é ùa n n= , ë û r r r . D ng 9: d d , d :1 2 Tìm các giao i m A = d (P), B = d (P). Khi ó d chính là ư ng th ng AB.1 2Ç Ç D ng 10: d D d , d :1 2 Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a và d , m t ph ng (Q) ch a và d .D D1 2 Khi ó d = (P) (Q).Ç D ng 11: d d , d1 2 · Cách 1: G i M d , N d . T i u ki nÎ Î MN d 1 2 ì MN d^ ^ , ta tìm ư c M, N.í î Khi ó, d là ư ng th ng MN. · Cách 2: BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  45. 45. Trang 44 – Vì d d và d d nên m t VTCP c a d có th là:^ ^1 2 d dé ùa a a= , ë û r r r . – L p phương trình m t ph ng (P) ch a d và d , b ng cách:1 + L y m t i m A trên d .1 + M t VTPT c a (P) có th là: P dé ùn a a= , ë û r r r . – Tương t l p phương trình m t ph ng (Q) ch a d và d .2 Khi ó d = (P) (Q).Ç D ng 12: d D · L p phương trình m t ph ng (Q) ch a và vuông góc v i m t ph ng (P) b ng cách:D – L y M Î D. – Vì (Q) ch a và vuông góc v i (P) nênD Q P é ùn a n= ,Dë û r r r . Khi ó d = (P) (Q).Ç D ng 13: d d d1 2 · Cách 1: G i N là giao i m c a d và d . T i u ki n MN d , ta tìm ư c N.2 1^ Khi ó, d là ư ng th ng MN. · Cách 2: – Vi t phương trình m t ph ng (P) qua M và vuông góc v i d .1 – Vi t phương trình m t ph ng (Q) ch a M và d .2 Khi ó d = (P) (Q).Ç Baøi 1. a M a(1;2; 3), ( 1;3;5)- = - M a(0; 2;5), (0;1;4)- - = -= M a(1;3; 1), (1;2; 1) M a(3; 1; 3), (1; 2;0)- - - - = - M a= M a(3; 2;5), ( 2;0;4) (4;3; 2), ( 3;0;0)- = - Baøi 2. A , B; ; ; ;- A , B; ; ; ;- A , B; ; ; ;- - A , B; ; ; ; A , B; ; ; ;- A , B- -; ; ; ; Baøi 3. D A , Ox; ;- º A ñi qua M N; ,- -; ( ; ; ), ( ; ; ) r r r r r r r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D( ) ì = -x t A y t( ; ; ), :- = + z t= - D ï ï í î x y z A( ; ; ), :D + - - - = = ì = +x t A y t( ; ; ), :- = - z t= - D ï ï í î x y z A( ; ; ), :D + - + - = = Baøi 4. A , (P) x y z- - + + =; ; : A , P caùc mp toaï ñoä; ):- ; ( A P x y; ; , ( ) : - + = A P x y z( ; ; ), ( ):- - + + = Baøi 5. ( ) ( ) ( ) ì + + + = ì - + - = ì + - + =( ):P x y z ( ):P x y z ( ):P x y z ( ):Q x y z- - - = ( ):Q x y z+ - + = ( ):Q x y z+ + - = í í í ì + - + = ì + - = ì + + - =( ):P x y z ( ):P x z ( ):P x y z ( ):Q x y z+ + - = ( ) :Q y - = ( ) :Q x z+ - = î î î í í í î î î BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  46. 46. Trang 45 Baøi 6. d , d1 2 ì ì= + = - ï ï = - = +í í ï ï= + = -î î x t x t ' A d y t d y t( ; ; ), : , : ' z t z t' ì ì= + = + ï ï - = - + = - +í í ï ï= = +î î x t x t' A d y t d y t( ; ; ), : , : ' z z t' ì ì= - = ï ï - = - - = - +í í ï ï= - = +î î x t x A d y t d y t( ; ; ), : , : ' z t z t' ì ì= - + = + ï ï = - = - +í í ï ï= + = - -î î x t x t' A d y t d y t( ; ; ), : , : ' z t z t' ì ì= + = ï ï - - = + = - +í í ï ï= - + = -î î x t x t' A d y t d y t( ; ; ), : , : ' z t z t ' ì ì= = ï ï - = - = -í í ï ï= - =î î x t x t' A d y t d y t( ; ; ), : , : ' z t z Baøi 7. D ì = ì = - +x t x t A y t( ; ; ), :- = - A y t( ; ; ), :- - = - z t= z t= - + ì = + ì =x t x t A y t( ; ; ), : ( ; ; ), :- - = + A y t- = - z t= - + z t= - ì = - ì = +x t x t A y t( ; ; ), :- = - - A y t( ; ; ), :- = - + z t= - z = Baøi 8. d , d D D ï ï ï ï í í î î ï ï ï ïî î ï ï ï ï 1 2 D Dí í î î D Dí í ì ì= + = - ï ï = - = +í í ï ï= + = -î î x t x t ' A d y t d y t( ; ; ), : , : ' z t z t' ì ì= + = + ï ï - = - + = - +í í ï ï= = +î î x t x t' A d y t d y t( ; ; ), : , : ' z z t' ì ì= - + = + ï ï - - = - - = - +í í ï ï= - = -î î x t x t' A d y t d y t( ; ; ), : , : ' z t z t' ì ì= + = - ï ï - = - + =í í ï ï= - + =î î x t x t' A d y t d y t( ; ; ), : , : ' z t z t' ì ì= + = - + ï ï - = - = +í í ï ï= + = - +î î x t x t' A d y t d y t( ; ; ), : , : ' z t z t' ì ì= - + = + ï ï - = + = -í í ï ï= + = -î î x t x t ' A d y t d y t( ; ; ), : , : ' z t z t ' Baøi 9. (P) d , d1 2 P y z x t x y z d d y t z ( ): : , : ì + = ïïï ì = - = = = + ï ï- ï í ï í =- îî ì + + + = ì ì= + = -ïïï ï ï = - = + í í í ï ï ï = + = -ï î îî ( ):P x y z x t x t' d y t d y t: , : ' z t z t' ì - + - = ì ì= - + = +ïïï ï ï = - = - + í í í ï ï ï = + = - -ï î îî ( ):P x y z x t x t' d y t d y t: , : ' z t z t' ì + - + = ì ì= - =ïïï ï ï = - - = - + í í í ï ï ï = - = +ï î îî ( ):P x y z x t x d y t d y t: , : ' z t z t' Baøi 10. D d , d1 2 BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  47. 47. Trang 46 x y z x y z d x y z d : : : D ì - - = =ï ïïï - + - = =í ï - - + +ï = = ïî x y z x y z d x y z d : : : D ì - - = =ï ïïï - - + - = =í ï + +ï = = ïî - + -ì D = =ï ï - + -ï = =í ï + +ï = =ï î x y z x y z d x y z d x y z x y z d x y z d : : : D ì + + - = =ï - - ïïï - + - = =í ï - - -ï = = ïî - Baøi 11. d , d1 2 t x tx d y ì- = + + = -t d y t, : ' = - + = -t z t ' ì = : = z ' ì ìx t x t= + = - + ' ï ï ï ï í î í î d y t d y t: , : ' z t z t' ï ï = - + = +í í ï ï= + = - +î î ì ìx t x t= + = + ' d y t d y t: , : ' z t z t' ï ï = + = +í í ï ï= - = +î î ì ìx t x t= + = - + ' d y t d y t: , : ' z t z t' ï ï = - - = -í í ï ï= + = +î î Baøi 12. d D x y z ( ):P x y z :D ì + - - ï = = í ï - - + + =î x y z ( ):P x y z :D ì - - + ï = = í ï - + - + =î x y z ( ):P x y z :D ì + - - ï = = í ï - - + - =î x y z ( ):P x y z : = =D ì - ï ï í + - + = - î x y z ( ):P x y z :D ì - + - ï = = í ï + + + =î x y z ( ):P x y z :D ì - - ï = = í - - ï - - + = ì - - - = ì - - - =x y z x y z x z+ - = x z+ - = ( ):P x y z- + - = ( ):P x y z+ - - = Baøi 13. d d î : :ï ï î î ï ï 1 2 ì ì î î D Dí í í í x x y z A d d y t z t ì = - ( ; ; ), : , : ï- - = = =í ï = +î x x y z A d d y t z t ì = ( ; ; ), : , : ï- + = = = +í ï- = - -î x y z x y z A d d( ; ; ), : , : + - - + - - - = = = = - - - Baøi 14. BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  48. 48. Trang 47 Baøi 15. == -- - -x y z d == - - --x y z d Baøi 16. A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - - D Baøi 17. S A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - Baøi 18. S A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  49. 49. Trang 48 V N 2: V trí tương i gi a hai ư ng th ng xét VTT gi a hai ư ng th ng, ta có th s d ng m t trong các phương pháp sau: · Phương pháp hình h c: D a vào m i quan h gi a các VTCP và các i m thu c các ư ng th ng. · Phương pháp i s : D a vào s nghi m c a h phương trình các ư ng th ng. Baøi 1. d , d1 2 {x y z d d x t y t z t: ; : ; ; - + - = = = - + = - = - + - { {d x t y t z t d: ; := + = - = - x t y t z t= + '; '; '; ; = - - = - { {d x t y t z d x y t z t: ; : ; '; '= + = - + = = = + = -; ; x y z x y z d d: ; : - - - - - - = = = = x y z x y z d d: ; : - + - - + + = = = = x y z x y z d d: ; : - + - - = = = = - - - x y z x y z d d x y z x y z : ; : ì ì- + - = + - + = í í + - + = - + - =î î { x y z d x t y t z t d x y z : ; ; ; : ì - - - = = = = - í - + + = Baøi 2. î { {d x t y t z t d x t y t z t: ; : '; '; '= - = + = - - = = + = -; ; { {d x t y t z t d x t y t z: ; : '; ';= + = - = - = = - =; ; { {d x t y t z t d x t y t z t: ; : '; '; '= - = + = - = + = - = -; ; - + - + = = = = - x y z x y z d d: ; : - - - - - - = = = = - - x y z x y z d d: ; : - - - - + - = = = = - - x y z x y z d d: ; : ì ì- + - = + - + = í í x y z x y z + - + = - + - = d d î îx y z x y z : ; : Baøi 3. d và d1 2 { {d x t y t z t d x: ; := = - = + = + = = +; ; t y t z t'; '; ' { {d x t y t z t d x t y t z t: ; : '; '; '= = + = - - = + = - + = -; ; { {d x t y t z t d x t y t z t: ; := = +; ; ; ;= - - = + = - - = x y x y z d d x y z x y : ; : ì ì+ + = + - + = í í - + - = - + =î î Baøi 4. m d và d1 2 { {d x mt y t z t d x t y t z t: ; : '; '; '= + =; ; = - + = - = + = - BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  50. 50. Trang 49 { {d x t y t z m t d x t y t z t: ; : '; '; '= - = + = + = + = + = -; ; x y z x y mz d d x y x y z : ; : ì ì+ - - = + + - = í í + - = + + - =î î V N 3: V trí tương i gi a ư ng th ng và m t ph ng xét VTT gi a ư ng th ng và m t ph ng, ta có th s d ng m t trong các phương pháp sau: · Phương pháp hình h c: D a vào m i quan h gi a VTCP c a ư ng th ng và VTPT c a m t ph ng. · Phương pháp i s : D a vào s nghi m c a h phương trình ư ng th ng và m t ph ng. Baøi 1. d và (P) d x t y t z t P x y z: ; ( ):= = - = + + + - =; ; d x t y t z t P x y z: ; ; ; ( ):= - = - = - - - - = { { x y z d P x y z: ; ( ): - - - = = + - - = x y z d P x y z: ; ( ): + - = = - + - = x y z d P x y z: ; ( ): - - - = = + - + = x y z d P x z x y z : ; ( ) : ì + + + = - - =í - + - =î x y z d P y z x y z : ; ( ): ì + + - = + + =í + + + = Baøi 2. d và (P) m, n d (P). d (P) d ^ (P). d Ì (P). î x y z d P x y z m m : ; ( ): - + + = = + - - = - x y z d P x y z m m : ; ( ): + - - = = + + - = - x y z d P x y m z x y z : ; ( ) : ( ) ì - + + = - + + - =í - + + = d x t y t z t P m x y z n: ; ( ):( )= + = -; ; = - + - + - + - = d x t y t z t P m x n y z: ; ( ) :( ) ( )= + = - = - + + + + - =; ; Baøi 3. d và (P) m, n d x m t y t z t: = + = - =; ; ( ): - + - =P x y z î { { { ì - - =x y y z+ + = d : ( ): + + - =P x y z m î í ì + - =x y x z- - = d : ( ): + + + =P x y z m î í BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  51. 51. Trang 50 V N 4: V trí tương i gi a ư ng th ng và m t c u xét VTT gi a ư ng th ng và m t c u ta có th s d ng các phương pháp sau: · Phương pháp hình h c: D a vào kho ng cách t tâm m t c u n ư ng th ng và bán kính. · Phương pháp i s : D a vào s nghi m c a h phương trình ư ng th ng và m t c u. Baøi 1. d và (S) x y z d S x y z x z: ; ( ) : - - = = + + - + + = - x y z d S x y z x z : ; ( ):( ) ( ) ì + - - = - + - + =í - - =î x y z d S x y z x y x y : ; ( ): ì - - - = + + - + - =í + + =î x y z d S x y z x y z x y : ; ( ) : ì - - - = + + + - - - =í + + =î {d x t y t z t S x y z x y z: ;= - - = = - + + - - + - =; ; ( ): {d x t y t z t S x y z x y z: ;= - = + = + + + - - + - =; ; ( ): {d x t y t z S x y z x y z: ;= - = - = + + - - + - =; ; ( ): Baøi 2. m, d và (S) x y z m d S x y z x y : ; ( ):( ) ( ) ( ) ì - - + = - + - + + =í + + =î {d x t y m t z t S x y z x z: ;= - = + = + + + - + + =; ; ( ) : x y d S x y z x y z m x z : ; ( ): ì - - = + + + - + + =í + - = Baøi 3. (S) I d I d x t y t z t( ; ; ); : ; ;- = + = - = - I d x t y z t( ; ; ); : ; ;- = - = = î { { x y z I d( ; ; ); : - + - - = = x y z I d( ; ; ); : - - - = = - x y I d( ; ; ); : ì - - = z - = Baøi 4. (S) d (S) d Î (S) a ( ; ; )= d Î (S) ( ): .x y z- + + = Baøi 5. - î í r a BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  52. 52. Trang 51 V N 5: Kho ng cách 1. Kho ng cách t i m M n ư ng th ng d · Cách 1: Cho ư ng th ng d i qua M và có VTCP a .0 r M M a d M d)( , a ,é ù ë û = uuuuur r r · Cách 2: – Tìm hình chi u vuông góc H c a M trên ư ng th ng d. – d(M,d) = MH. · Cách 3: – G i N(x; y; z) d. Tính MN2 theo t (t tham s trong phương trình ư ng th ng d).Î – Tìm t MN2 nh nh t. – Khi ó N H. Do ó d(M,d) = MH.º 2. Kho ng cách gi a hai ư ng th ng chéo nhau Cho hai ư ng th ng chéo nhau d và d .1 2 · Cách 1: d i qua i m M và có VTCP a , d i qua i m M và có VTCP a1 1 2 2 r r a a M M d d d a a , . ( , ) , é ùë û = é ùë û uuuuuurr r r r · Cách 2: G i A d , B d .Î Î1 2 AB là ư ng vuông góc chung Û AB a^ AB a^ ì í ï ï î uuuur r uuuur r . T ó ta tìm ư c A, B. d d d AB( , ) = Chú ý: Kho ng cách gi a hai ư ng th ng chéo nhau d , d b ng kho ng cách gi a d v i m t1 2 1 ph ng ( ) ch a d và song song v i d .a 2 1 3. Kho ng cách gi a hai ư ng th ng song song b ng kho ng cách t m t i m thu c ư ng th ng này n ư ng th ng kia. 4. Kho ng cách gi a m t ư ng th ng và m t m t ph ng song song Kho ng cách gi a ư ng th ng d v i m t ph ng ( ) song song v i nó b ng kho ng cách t m ta i m M b t kì trên d n m t ph ng ( ).a Baøi 1. d ì = - ì = +x t x t A d y t( ; ; ), : = + A d y t( ; ; ), :- = - z t= - z t= - ï ï ï ï í í î î x y z A d( ; ; ), : - - = = x y z A d( ; ; ), : + - + = = - x y z A d( ; ; ), : + - + - = = - x y z A d x y z ( ; ; ), : ì + - - = + + + = - î í Baøi 2. d , d1 2 { {d x t y t z t d x t y t z t: ; : '; '; '= - = +; ; = - - = = + = - { {d x t y t z t d x t y t z: ; : '; ';= + = - = - = = - =; ; { {d x t y t z t d x t y t z t: ; : '; '; '= - = + = - = + = - = -; ; x y z x y z d d: ; : - + - + = = = = - x y z x y z d d: ; : - - - - - - = = = = - - BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  53. 53. Trang 52 x y z x y z d d: ; : - - - - + - = = = = - - x y z x y z d d x y z x y z : ; : ì ì- + - = + - + = í í + - + = - + - =î î Baøi 3. d , d1 2 { {d x t y t z t d x t y t z t: ; : ', ', '= + = + = + = + = + = +, , x y z x y z d d: ; : - + - + - + = = = = - - - x y z x y z d d: ; : - - + + + - = = = = x y zx y z d d x y z : ; : + - -ì + - - = = =í - - - = Baøi 4. d d x t y t z t P x y z: ; ; ; ( ):= - = - = - - - - = d x t y t z t P x z: ; ( ) := - = = + + + =; ; -î { { x y z d P x y z x y z : ; ( ): ì - + + = - + + =í + - - =î x y z d P x y z x y z : ; ( ): ì - + + = - - - =í - + + =î V N 6: Góc 1. Góc gi a hai ư ng th ng Cho hai ư ng th ng d , d l n lư t có các VTCP1 2 a a, r r . Góc gi a d , d b ng ho c bù v i góc gi a1 2 a a, r r . ( ) a a a a a a . cos , = . r r r r r r 2. Góc gi a m t ư ng th ng và m t m t ph ng Cho ư ng th ng d có VTCP a a a a= và m t ph ng (( ; ) ) có VTPT n A B C; ( ; ; )= . r a r Góc gi a ư ng th ng d và m t ph ng ( ) b ng góc gi a ư ng th ng d v i hình chi u d c aa ¢ nó trên ( ).a ·( ) Aa Ba Ca d A B C a a a sin ,( ) . a + + = + + + + Baøi 1. { {d x t y t z t d x t y t z t: – ; := + = + = + = = + = +, , – ', – ', ' x y z x y z d d: ; : - + - + - + = = = = - - {x y z d d x t y t z t x y z : ; : ; ; – ì - - - = = = = +í - + + = { î x z d d x t y z t x y z : ; : ; – ; – ì - + = = + = =í - + - =î BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  54. 54. Trang 53 x y z x y z d d x z : ; : - + + ì + - - = = = í + - =î x y z d : + - - = = d2 x y z x y z d d x y z x y z : ; : ì ì- + - = - + - = í í - + + = + + =î î x y z x y z d d x y z x y z : ; : ì ì- + - = + - + = í í + - + = - + + =î î Baøi 2. x z x y z d d y z x y : ; : ì ì- - = - - - = í í + + = - - =î î Baøi 3. m a { {d x t y t z t d x t y t z mt: ; ; ; : '; ' ; ';= - + = - = + = + = + = + =a Baøi 4. d (P) x y z d P x y z: ; ( ): – – – - - + = = = - {d x y t z t P x z: ; ; ; ( ):= = + = + + + = x y z d P x y z x y z : ; ( ): – ì + - + = + + =í + - =î x y z d P x y z x y z : ; ( ): – – ì + - + = + =í - + + = Baøi 5. Baøi 6. Baøi 7. î BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  55. 55. Trang 54 V N 7: M t s v n khác 1. Vi t phương trình m t ph ng · D ng 1: M t ph ng (P) i qua i m A và ư ng th ng d: – Trên ư ng th ng d l y hai i m B, C. – M t VTPT c a (P) là: n AB AC,é ù= ë û uuuur uuurr . · D ng 2: M t ph ng (P) ch a hai ư ng th ng song song d , d :1 2 – Xác nh VTCP a c a d (ho c d ). r 1 2 – Trên d l y i m A, trên d l y i m B. Suy ra A, B (P).1 2 Î – M t VTPT c a (P) là: n a AB,é ù= ë û uuuurr r . · D ng 3: M t ph ng (P) ch a hai ư ng th ng c t nhau d , d :1 2 – L y i m A d (ho c A d ) A (P).Î Î Þ Î1 2 – Xác nh VTCP a c a d , b c a d . r 1 2 r – M t VTPT c a (P) là: n a b= ,[ ] rr r . · D ng 4: M t ph ng (P) ch a ư ng th ng d và song song v i ư ng th ng d (d , d chéo1 2 1 2 nhau): – Xác nh các VTCP a b, c a các ư ng th ng d , d . rr 1 2 – M t VTPT c a (P) là: n a b= ,[ ] rr r . – L y m t i m M thu c d1 Þ ÎM (P). · D ng 5: M t ph ng (P) i qua i m M và song song v i hai ư ng th ng chéo nhau d , d :1 2 – Xác nh các VTCP a b, c a các ư ng th ng d , d . rr 1 2 – M t VTPT c a (P) là: n a b= ,[ ] rr r . 2. Xác nh hình chi u H c a m t i m M lên ư ng th ng d · Cách 1: – Vi t phương trình m t ph ng (P) qua M và vuông góc v i d. – Khi ó: H = d (P)Ç · Cách 2: i m H ư c xác nh b i: d ì ÎH d MH a^ í î uuuur r 3. i m i x ng M' c a m t i m M qua ư ng th ng d · Cách 1: – Tìm i m H là hình chi u c a M trên d. – Xác nh i m M sao cho H là trung i m c a o n MM .¢ ¢ · Cách 2: – G i H là trung i m c a o n MM . Tính to i m H theo to c a M, M .¢ ¢ – Khi ó to c a i m M ư c xác nh b i:¢ dMM a' ^ H dÎ ì í î uuuuuur r . 4. Xác nh hình chi u H c a m t i m M lên m t ph ng (P) · Cách 1: – Vi t phương trình ư ng th ng d qua M và vuông góc v i (P). – Khi ó: H = d (P)Ç · Cách 2: i m H ư c xác nh b i: P ì ÎH P( ) MH n cuøng phöông, í î uuuur r 5. i m i x ng M' c a m t i m M qua m t ph ng (P) · Cách 1: – Tìm i m H là hình chi u c a M trên (P). – Xác nh i m M sao cho H là trung i m c a o n MM .¢ ¢ · Cách 2: – G i H là trung i m c a o n MM . Tính to i m H theo to c a M, M .¢ ¢ – Khi ó to c a i m M ư c xác nh b i: P ¢ ì ÎH P( ) MH n cuøng phöông, í î uuuur r . BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  56. 56. Trang 55 Baøi 1. (P) d ì = + ìx t= -x t A d( ; ; ), : y t- = - A d( ; ; ), : y t- = - + z t= + z t= - ï ï ï ï í í î î x y z A d( ; ; ), : - + - - = = x y z A d( ; ; ), : + + - - = = x y z A d x y z ( ; ; ), : ì - + - = + + + = - î í x y z A d x y z ( ; ; ), : ì + - + = - + - = - î í Baøi 2. (P) d , d : { 1 2 x y z d x t y t z t d: ; :; ; + - + = + = + = - = = x y z x y z d d: , : - + - + - - = = = = x y z x y z d d: ; : - + - + - + = = = = - - - x y z x y z d d: ; : - - + + + - = = = = Baøi 3. (P) d , d :1 2 { {d x t y t z t d x t y t z t: ; : '; '; '= = - = + = + = = +; ; {x y z d d x t y t z t x y : ; : ; ; ì + + + = = + = - + = -í - + =î x y z x z d d x y z y z : ; : ì ì- - - = - - = í í + + + = + + =î î x y x y z d d x y z x y : ; : ì ì+ + = + - + = í í - + - = - + =î î Baøi 4. d , d d d 1 2 1 2 { {d x t y t z t d x t y t z t: ; : '; '; '= - = + = - - = = + = -; ; { {d x t y t z t d x t y t z: ; : '; ';= + = - = - = = - =; ; { {d x t y t z t d x t y t z t: ; : '; '; '= - = + = - = + = - = -; ; - + - + = = = = - x y z x y z d d: ; : - - - - - - = = = = - - x y z x y z d d: ; : - - - - + - = = = = - - x y z x y z d d: ; : ì ì- + - = + - + = í í x y z x y z + - + = - + - = d d î îx y z x y z : ; : Baøi 5. d ¢ d ì = + ì = -x t x t M d y t( ; ; ), :- = - M d y t( ; ; ), : = + z t= - z t= - ï ï ï ï í í î î BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  57. 57. Trang 56 x t M d y t z t ì ( ; ; ), :- = -í ï = - + = ï î x t M d y t z t ì ( ; ; ), : = - - = +í ï = ï î x y z M d( ; ; ), : - + - - = = x y z M d( ; ; ), : + + - = = - x y z M d x y z ( ; ; ), : ì - - = + - - = - í î y z M d x y z ( ; ; ), : ì + - = - - + = Baøi 6. (P) ¢ (P) ( ): , ( ; ; )P x y z M- + - = - ( ): , ( ; ; )P x y z M+ + - = - - ( ): , ( ; ; )P x y z M- + + = - ( ): , ( ; ; )P x y z M- + + = - ( ): , ( ; ; )P x y z M- + - = - ( ): , ( ; ; )P x y z M- + - = - í î BÀI T P ÔN PHƯƠNG TRÌNH Ư NG TH NG Baøi 1. D + = = -x y z ( ): - - =x y z Baøi 2. Baøi 3. a a a D x y z = = - Baøi 4. Oxza a Baøi 5. D - - = = +-x y z ì D ï = + í = - - ï x t = + z tî y t Baøi 6. x y z d : + - - = = - d d Baøi 7. Oxyz MA MB MC MD+ - + = uuur uuur uuur uuuuur r Oz x y z+ =– BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  58. 58. Trang 57 x y z –+ + = x y z– –+ = x y z- - + = = - d x y z+ + - = = d x y+ + = x y z– – – = D x y z+ - - = = x y = = +z x y z– – + = d x y z- - = = d x y z- - = = 1 5 x y t z t= - = - + =; ;í î x y z+ =– D x y z– + + = ì ¢ ¢ ¢G A G B G C+ + (S) x y z x y z+ + - - - - = (S) x y z x y z+ + - + - + = BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  59. 59. Trang 58 Bư c 1: Ch n h tr c t a Oxyz thích h p Bư c 2: Bư c 3: Chú ý: Thông thư ng ta d a vào các y u t ư ng th ng vuông góc v i m t ph ng ch n h tr c Oxyz sao cho d xác nh to các i m liên quan. Ví d 1: D D OH OA OB OC = + + OAB ABC OBC BCA OAC ACB= = =( ),( ) , ( ),( ) , ( ),( )· ·( ) ( ) ·( )a b g cos cos cos .+ + =a b g Gi i: 1. Ch ng minh DABC có ba góc nh n: AB AC a b a c a. ( ; ; )( ; ; )= - - = > uuuur uuur Þ BAC· · ·ABC ACB, D 2. Ch ng minh H là tr c tâm DABC: x y z bcx acy abz abc a b c + + = Û + + - = OH ABCOH ABC u n bc ac ab( )^ Þ = =( ) ( ; ; ) r r ì =x bct Þ y act t R= Î( ) z abt= ï ï í î ( )b c a c a b t abc+ + = V. GI I TOÁN HÌNH H C KHÔNG GIAN B NG PHƯƠNG PHÁP TO M T S VÍ D z C H B A x y O BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  60. 60. Trang 59 abc t a b b c c a Þ = + + ab c a bc a b c H a b b c c a a b b c c a a b b c c a ; ; æ ö Þ ççç ÷÷÷ + + + + + +è ø a AH ab ac bc b c a b b c c a b BH ac a b bc a c a b b c c a ( ; ; ) ( ; ; ) ì = - -ï ï + + ï Þ í = - - ï + +î uuur uuur a AH BC ab ac bc b c b c a b b c c a b BH AC ac a b bc a c a c a b b c c a . ( ; ; )( ; ; ) . ( ; ; )( ; ; ) ì = - - - =ï ï + + ï Þ í = - - - = ï + +î uuur uuur uuur uuur ì ^AH BC BH AC Þ Þ D î í ^ 3. Ch ng minh OH OA OB OC = + + abc OH d O ABC a b b c c a = =( , ( )) - + + a b b c c a OH a b c + + Þ = a b b c c a OA OB OC a b c a b c + + + + = + + = OH OA OB OC Þ = + + 4. Ch ng minh cos cos cos .+ + =a b g ·( ) ( )OAB ABCOAB ABC n n( ) ( )cos cos ( ), ( ) cos ,= =a r r ABCn n bc ac ab( )= = ( ; ; ) r r OAB OBC OACn n k n n i n n j( ) ( ) ( )= = = = = = = = =( , , ); ( , , ); ( , , ) r r rr r r r r r Þ + + = + +cos cos cos cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )n n n n n na b g r r r r r r a b b c a c a b b c c a a b b c c a a b b c c a = + + + + + + + + cos cos cos .+ + =a b g BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  61. 61. Trang 60 Ví d 2: j a Gi i: 1 OD OH BC a AH BC a OD BC Þ ^ = Þ = Þ = = O D H a S a( ; ; ), ; ; , ( ; ), ( ; ; ) aæ ö ç ÷ è ø a a A a B a C a( ; ; ), ; ; , ; ; æ ö æ ö Þ - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø 1. Tính cosj : BE SA Þ ^ SA BCE BEC^ Þ =( ))^ CE SA SA a a a= =( ; ; ) ( ; ; ) ·j uur ì =x y a t t R= - + Î( ) z t= y a 2z– + = ï ï í î ( ) - + + = Þ =a t t t a a a E ; ; æ ö Þ -ç ÷ è ø a a a a EB a a a a EC ; ; ( ; ; ) ; ; ( ; ; ) ì æ ö- = = -ï ç ÷ ï è ø æ ö Þ ï í = - - = - -ç ÷ï è øî uuuur uuur 35 a a EB EC a . ( ; ; )( ; ; ) cos cos( , )j - - - Þ = = = = æ ö ç ÷ è ø uuuur uuur cos =j 2. Ta có: I(0; m; 0), OH a( ; ; )= uuur Þ z S E j N Q A a I D M x B yH C P2a m O BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  62. 62. Trang 61 a. Tính SMNPQ: a a AB a; ; ( ; ; ) æ ö = =ç ÷ è ø uuuur a a AC a; ; ( ; ; ) æ ö = - = - -ç ÷ è ø uuur a a SB a a; ; ( ; ; ) æ ö = - = -ç ÷ è ø uur a a SC a a; ; ( ; ; ) æ ö = - - = - -ç ÷ è ø uur x t y a t t R= - + Î( ) z = ì = ï ï í î a m M AB MNPQ M m( ) ; ; æ ö+ = Ç Þ ç ÷ è ø x t y a t t R= - - Î( ) z = ì = ï ï í î a m N AC MNPQ N m( ) ; ; æ ö- - = Ç Þ ç ÷ è ø x t y t t R z a t = Î( ) ï ì = ï í = -î Q SB MNPQ Q m a m( ) ; ; mæ ö = Ç Þ -ç ÷ è ø x t y t t R z a t = - Î( ) ï ì = ï í = +î P SC MNPQ P m a m( ) ; ; mæ ö = Ç Þ - -ç ÷ è ø Þ m a a m a m MQ a m MP a m MN; ; ; ; ; ; ; ; æ ö æ ö æ ö- - - - - = - = - =ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø uuur uuur uuuuur ( )1 1 MNPQ MNPQ S MQ MP MP MN m m a m a m a m a m a a m m S m am a [ , ] [ , ] ( ) ; ; ; ; ( ) ( ) = + æ öæ öæ ö- - ç ÷= + ÷÷÷ç ÷ çççç ÷è ø è øè ø æ ö- - = + = - + +ççç ÷÷÷ è ø Þ = - + + uuur uuur uuur uuuuur b/ Tìm m (SMNPQ max) : BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  63. 63. Trang 62 ¥ ¥ a - + +m am a ¥ ¥ a a a MNPQÞ £ =S . a a MNPQS khi mmax( ) .= = Cách khác MNPQ coâsi a a m m a a S a m m ( ) ( ) ( ) é ùæ ö ê ú- + +ç ÷ æ ö ê úè ø= - + £ =ç ÷ ê úë ûè ø a a a MNPQS a m m mmaxÞ = Û - = + Û =( ) . Ví d 3: a b c Û = + Gi i: 1. Tính r: I AOB I OBC I OCA I ABC OABCV V V V V. . . .+ + + = r abc OAB OBC OCA ABC( ) .S S S SD D D DÞ + + + = 1 1 1 ABCS AB AC a b a c a b b c c a r abc ab bc ca a b b c c a [ , ] [( ; ; ), ( ; ; )] ( ) ( ) D = = - - = + + Þ + + + + + = uuuur uuur abc r ab bc ca a b b c c a+ + + + + 2. Ch ng minh ^ = a b c Û = + b c a c a b M N P; ; , ; ; , ; ; æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø bc ac ab OMNn OM ON( ) [ , ] ; ; æ ö = = -ç ÷ è ø uuur uuurr z C yb P a x B A O c N M BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  64. 64. Trang 63 bc ac ab OMPn OM OP( ) [ , ] ; ; æ ö = = - -ç ÷ è ø uuur uuurr OMN OMPOMN OMP n n( ) ( )Þ ^ Û =( ) ( ) . r r b c a c a b a c b b c a b c Û - + + = Û + = Û = +( ) . Ví d 4: Az ABCD^ ( ) a ( )£ £k a a Gi i: 1. AK k K k k a= Þ £ £( ; ; ), n KC KD a k a= =[ ], ( ; ; ) uuur uuur a r ( ): ( )k y a az ky az ak- + = Û + - = SB a( ; ; )= - a uur ì = +x a t y t R= Î( ) z t= - k ï ï í î ( ) ; ;SB L L a k æ ö a Ç = Þ -ç ÷ è ø a/ SCDKL = SDCKL + SDCKD: ( )1 1 CK CL CK CD k a a k a k a a k a a k a k a k a a k a k [ , ] [ , ] [( ; ; , ; ; ] [( ; ; ,( ; ; )] = + æ ö = - - - - + - - - è ç ÷ ø æ ö- - = + + + = +ç ÷ è ø uuur uuuur uuur uuur a k k ak a f k a k f k k a / ( ) ( ) - - + - = + Þ = < + ¥ ¥ a z S a B C x yD N K k A M L 2a I BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  65. 65. Trang 64 S a kmax = Û = S a k amin = Û = . b/ d(KD, BC) KD BC DC a k a a a k aKD BC [ , ] [ ; ; ), ( ; ; )]( ; ; ) [ ; ; ), ( ; ; ][ , ] - = = - uuur uuur uuur uuur uuur Chú ý c/ Tính k 1 S CDKL S ABCDV V. .= a ak d S k a ( , ( )) =a - + 1 1 S CDKL CDKL S ABCD ABCD a a k a k V d S S a V SA S a a k a k a k a do k a . . ( ) ( , ( )). . ( )( ) ( ) ( ) a - - Þ = = = = - - Þ = Û = - £ 2. Qu tích I: a s s S Az S s s M a N a( ; ; ), ; ; , ; ; æ ö æ ö Î Þ > Þ ç ÷ ç ÷ è ø è ø 1 1 BM a a s AN a s= - - - =( ; ; ); ( ; ; ) uuur uuur Þ ì = +x a at y at t R= - Î( ) z st= - ï ï í î xì = y at t R= Î( ) z st= I AN BM I a s= Ç Þ( ) ( ) ( ; ; ) ID s ID AS= - Þ( ; ; ) / / . ï ï í î uur uur uur Dt ABCD^ ( ) Ví d 5: ·a ASB; .= a a Gi i: BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  66. 66. Trang 65 Þ - -C a D a( ; ; ), ( ; ; ) 1. Tâm I và R c a (S) ngo i ti p chóp S.ABCD I OS I zÎ Þ ( ; ; ) x y z z z d+ + - + = a d A S S h z h d d a h a z h h a h a h a I R a h h h , ( ) ; ; , ìï + = Î Þ - + = ì í ï = - Þ = î ï -í ï î æ ö æ ö- - + Þ = + =ç ÷ ç ÷ è ø è ø SA SB a h a h h SA SB a h a h . ( ; ; )( ; ; ) cos . a - - = = = + + uur uur a cos h cos a a Þ = a D - cos ( cos ) a R a a = - a( cos ) OI cos ( cos ) a a a - = - 2. Tâm J và r c a (S/) n i ti p chóp S.ABCD: J OS J r OJ rÎ Þ =( ; ; ), 1 S ABCD tp S ABCD xp SAB tp xp ABCD r a h V S V h a S S SA SB a h S S S a h a aa h r a a h . .. ; . ( ) . . sin ( )sin ( )sin cos ( cos ) sin cos( )sin D a a a a a a aa = = = = = = + Þ = + = + + - Þ = = + -+ + a OJ r cos ( cos ) . sin cos a a a a - = = + - 3. Tìm a I º J aa I J OI OJ cos ( cos )( cos ) sin coscos ( cos ) ( cos )( sin cos ) cos ( cos ) a aa a aa a a a a a a -- º Û = Û = + - Û - + - = - ( cos ) (sin cos ) (sin cos )(sin cos )sin sin cos ( sin cos )do o (do nhoïn) - a a a a a a a a a a a a a a Û - + - = Û - - + = Û = + - > Û = oI J .º Û =a z S x A 2 3 B y h D CO a a BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  67. 67. Trang 66 Ví d 6: £ £m a) Gi i: Þ £ £C a b M m m a( ; ; ), ( ; ; ) ( ) MBCn MB MC b m a( ) = =[ , ] ( ; ; ) uuur uuurr SD b a= -( ; ; ) u uuur Þ mx az ma+ - = ì =x y b bt t R= + Î( ) z at= - ï ï í î ab mb N SD MBC N m( ) ; ; a æ ö- = Ç Þ ç ÷ è ø 1. Hình tính và di n tích BCMN ab mb MN BC b MB a m; ; ; ( ; ; ); ( ; ; ) a æ ö- = = = -ç ÷ è ø uuuuur uuur uuur MN BC BCMN ì BC MB Þ Þ î í ^ P BCMN MB a m ab mb ab mb S MN BC b a m a a ( ) æ ö+ - - = + = + = +ç ÷ è ø 2. Tìm v trí M SBCNM l n nh t: mS a m m a a b ( ) = - +( ) m b a m m b m am a S m a a am a m a / ( ) é ù( )- - + - Þ = - + + = .ê ú ê ú+ +ë û a S m/ ( )m ( )± = Û = ¥ a( )- a( )+ ¥ / ( )mS ( )mS ab + ab - ab a A b N D y B C x S z 2a M m BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  68. 68. Trang 67 ab a S mmax + +( ) Þ = Û = ab a S mmin - -( ) = Û = 3. Tìm v trí M 1 S BCNM S ABCDV V. .= a ma d S MBC m a ( , ( )) = - + 1 S BCNM S ABCD a ma ab mb b a m a m V m a am a a b V a ab . . ( )( ) . . . . . - - - - Þ = + = + = = ( )( )a m a m- - Û = a Û - + = Û = - £m am a m a (vì m 2a)( ) AM a= -( ) . Ví d 7: ¢ ¢ ¢ ¢ A C AB D/ / / ^ j ¢ ¢ ¢( ) ( )< <k a ¢ Gi i: k k k k M N a; ; , ; ; æ ö æ ö Þ -ç ÷ ç ÷ è ø è ø 1. Ch ng minh A C AB D/ / / ^( ) A C a a a= -( ; ; ) AB a a= ( ; ; ) AD a a= ( ; ; ) ì / ïïï / /ï ï í î uuuur uuuur uuuur AB D AB D AB D n AB AD a a a A C n a a a a a a A C n / / / / / / / / ( ) / ( ) / ( ) Þ = = - -, ( ; ; ) , ( ; ; ), ( ; ; )é ù é ù= - - - =ë ûê úë û Þ uuuuur uuuur r uuuur uuuur P rr r A C AB D/ / / ^ ( ) z A D/ / B C/ / M k A D B z C k y N a BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  69. 69. Trang 68 Cách khác: A C AB A C AB/ / / / A C AB D A C AD / / / A C AD . / / ì ( ) / / ì . ï ï= ^ Þ Þ ^í í = îï ^ïî uuuur uuuur uuuur uuuur j n DA DC a a= =[ , ] ( ; ; )/ uuuurr uuur n n jABB A/ /= = = ( ; ; )( ) r r r n n a an n . Þ = = =cosj r r r r .= 2. a. Ch ng minh MN // (A D BC): o / / j A D BC MN k a k k n n BA BC a/ / / ( ) ( ; ; ) [ , ] ( ; ; ) = - - = = = - uuuuur uuuuur uuurr r MN n k k. ( )= - = -auuuuur r MN A D BC do M A D BC/ / / / Þ Ï( ) ( ( ) b/ Tìm k MN : P min 1 MN k ak a= - +( ) ¥ a ¥a a a a MN kminÞ = Û = a k = MN ( ; ; )= - auuuuur a MN AD a a MN AD a MN BD MN BD a a / . ( ; ; )( ; ; ) / . ( ; ; )( ; ; ) ì = - = ìïïï ^Þ Þí í îï ^ = - - = ïî uuuuruuuuur uuuuur uuur Ví d 8: BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  70. 70. Trang 69 Gi i: a a a M N; ; , ; ; æ ö æ ö Þ ç ÷ ç ÷ è ø è ø 1. Tính R: x y z x y z d+ + - - - + =a b g C D M N S, , , ( )Î/ a a a d a a a d a a d a a a d ( ) ( ) ( ) ( ) a b b g a b g ì - - + = - - + = ï - + = ï ï í ï ï - - + =ï î a g a ( ) a ( ) a g b Þ = = Þ = Þ a a a x y z x y z a+ + - - - + = a a a aæ ö R a æ ö æ ö = + + - =ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø R .= 2. Tính r: ¢ a x y z x y z d/ / / / a b g+ + - - - + = A B C D S/ / / / , , , ( ),Î a a d a a d a a a a d a a d / / / / / / / / / / g a a b g b ì - + = ï ï - + = - - - + = ï í ï - + = a î d/ / / / Þ = = = =,a b g Þ + + - - - =( ):S x y z ax ay az/ a S C CÎ Þ Î( ) ( ) I I J, , R/ = / / A/ D z / L C/ N D B/ A a C x B y K M I/ R/ (C) C (S) I R rJ BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  71. 71. Trang 70 a a a a a a I I; ; , ; ;/æ ö æ ö Þ ç ÷ ç ÷ è ø è ø JC II^ / II CI r d C II II / / / [ , ] Þ = =( , ) uur uur a a a a a a II CI; ; ; ;/ æ ö æ ö- - = - =ç ÷ ç ÷ è ø è ø uur uur Þ = -[ , ] ( ; ; )II CI a/ uur uur 14 Þ =r a 3. Tính S: a CMNn CM CN( ) = =- -[ , ] ( ; ; ) uuur uuurr Þ x y z a- + - = ì =x ¢ y t R= Î( ) z t= ì =x ¢ y a t R= Î( ) z t= K CMN AA L CMN DD ï ï í î ï ï / / í î = Ç = Ç( ) , ( ) ( )1 CMKL a a K L a S S CM CK CK CL a a a a a a a a a a ; ; , ; ; [ , ] [ , ] ; ; , ; ; ; ; , ; ; æ ö æ ö ç ÷ ç ÷Þ è ø è ø Þ = = + æ öé ù é ùæ ö æ ö æ ö æ ö = - - - - + - - -ççç ÷÷÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ê ú ê ú è ø è ø è ø è øë û ë ûè ø uuur uuur uuur uuuur a Þ =S . BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  72. 72. Trang 71 BÀI T P Baøi 1. OABC OBC O OB a OC a a OA a M BC AB OM HD: Ch n h tr c t a sao cho: O A a B a C a( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ). Þ a 15 d AB OM) =( ; Baøi 2. O.ABC HD: Ch n h tr c t a sao cho: O A a B b C c( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ). 1 2 3 1 a b c Þ Vmin = Û = = = Baøi 3. S ABC SA ABC C SA AC BC M AB H C M SHB SBC HD: Ch n h tr c to sao cho: A B C S H Baøi 4. S.ABC ABC A AB AC a a S G DABC SG x x x HD: Ch n h tr c to sao cho: A B C a a a a a D G S x; ; , ; ; æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ è ø è ø Þ x .= Baøi 5. S ABC a M N SB SC a DAMN AMN SBC a HD: Ch n h tr c to sao cho: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), a A ; 0; 0 æ ö ççç ÷÷÷ è ø (SO = h). Þ 1 AMN SBC AMN a a AMN SBC n n h S AM AN( ) ( )( ) ( ) . ,D é ù^ Þ = Þ = Þ = = ë û r r uuur uuur Baøi 6. ABC A B C a D F BC C B A B B C HD: Ch n h tr c to sao cho: a a a a a a a a A B C A a B a C a( ; ; ), ; ; , ; ; , '( ; ; ), ' ; ; , ' ; ; æ ö æ ö æ ö æ ö - -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø Þ ( ) a d A B B C' .' ; ' = Baøi 7. ABCD AB AC AD AB AC AD A BCD HD: Ch n h tr c to sao cho: A B C D Baøi 8. SABC DABC I S H I SB IH G DSAC BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  73. 73. Trang 72 HD: Ch n h tr c to sao cho: O(0; 0; 0), A ; ; æ ö ççç ÷÷÷ è ø 1 B ; ; æ ö - -ççç ÷÷÷ è ø 1 C ; ; æ ö -ççç ÷÷÷ è ø S ; æ ö ççç ÷÷÷ è ø I ; ; æ ö ççç ÷÷÷ è ø 1SBCM SABC V V ( ) ( ) Þ = Baøi 9. ABCD A B C a AA a ABC D BB M AA MC D HD: Ch n h tr c to sao cho: A B a A a a a C ; ; a æ ö ççç ÷÷÷ è ø D a a Þ Giá tr l n nh t DC M a S = khi M Aº Baøi 10. D SA ABC^ ( ) AH SB^ AK SC^ HK SC.^ I HK BC.= Ç j S: a/ HK SC. ;= uuur uur c/ ; d/ a SJ JC R= =, Baøi 11. D SA ABC^ ( ) SA a= a a S: a/ a a A Bd d= = b/; a d/ Baøi 12. D d ABC^ ( ) SBC^ D D( ) D D S: a/ a h+ ah ; b/ Tr ng tâm ABC d/D a a h; .= Baøi 13. SA ABCD^ ( ) SA a= SC( ) ^ AH SB AK SD^ ^, . a a BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  74. 74. Trang 73 S: a/ AH SB AK SD. .= = uuur uur uuur uuuur b/ BD n BD HK. = =; 3 a uuur r uuur uuur ; c/ HG GK/ / ; d/ a Baøi 14. SA ABCD^ ( ) . ·cos =CMN S: a/ a ab a b ; ; b/ + a b+ b ; c/ a b V; .= = Baøi 15. Az ( )^ a a ( ) ( )^ SBC ( ) ( )^ SCD AH SI^ D D S: a/ MA h AB NA h AD= , = ; uuur uuuur uuur uuur b/ h hæ ö I AC- - Î; ; ;ç ÷ è ø c/ AH SMN MN SH SM AH^ ^ ^ d/( ); ; ; . Baøi 16. SA ABCD^ ( ) SAM SMN( ) ( )^ S: a/ 16 a a x y axy x y x y- + + + - = b/( ) ( ) x ax ay- + = Baøi 17. a a S: a/ a a V OI R= = = b/; a c/ . a Baøi 18. BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  75. 75. Trang 74 S: a/ 3 sin = b/j a c/ a . Baøi 19. ^ ( )a Oz ABCD a b S: a/ a .sin b/ cos . Baøi 20. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ AM mAD BN mBB/ = =, a a uuuuuruuur uuur uuur ( )£ £m ¢ ¢ ¢ S: a/ b/ [ =IN IJ IM, ]. 12 uur uuur uuuur c/ K R( ; ; ), ;= d/ Baøi 21. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ . S: a/ MN n MN d. = = =; ; ; uuuuur r b/ oV ; ;= = c/j Baøi 22. ¢ ¢ D ¢ a . D S: a/ a h< b/ Va b a b h a S Vh a b a h b h a( ) ; + + = = + + - Baøi 23. SC ABC^ ( ) a S: a/ a a MN t at a t= - + = = b/ MN AM MN CN; min , ^ ^, . Baøi 24. SA ABC^ ( ) BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  76. 76. Trang 75 S SI IC R= =; max , .S x= = 3 Baøi 25. CMF SIB( ) ( )^ S a a ; . Baøi 26. ¢ ¢ ¢ ¢ BAD = ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ · o S a . Chân thành c m ơn các b n ng nghi p và các em h c sinh ã c t p tài li u này. transitung_tv@yahoo.com BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  77. 77. Trang 76 THI T T NGHI P Baøi 1. a 3 V a 2= 1 3 3 Baøi 2. a3 6 Baøi 3. a3 2 3 Baøi 4. ^ ^ Þ ^ a3 11 24 Baøi 5. a 3 a3 3 2 a 13 2 Baøi 6. BAC 120=· 0 a3 2 36 Baøi 7. 0 60 a3 6 6 Baøi 8. I. KH I A DI N – KH I TRÒN XOAY BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  78. 78. THI I H C Baøi 1. S = a Baøi 2. a MP C N.^ Baøi 3. 6 34 Baøi 4. · · ·BAC CA DAB= = =D 60 Baøi 5. Baøi 6. Baøi 7. a b g 0 0 60 cos cos cos 3+ + £a b g Baøi 8. a 6 2= Baøi 9. a 6 2 Baøi 10. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ Baøi 11. BAD = o o· BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  79. 79. Trang 78 a . Baøi 12. a a R AH= =; . Baøi 13. B CD 90=· 0 Baøi 14. ¢ ¢ ¢ BAC 120= ¢ ¢ ¢ ¢ · 0 Baøi 15. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ Baøi 16. j 0 0 (0 90 )< <j Baøi 17. AMBS a=D Baøi 18. 2S ( )³ + +abc a b c Baøi 19. j ( )< < j j j a V.tan ; .tan=j j Baøi 20. ^ ABC 120=· 0 Baøi 21. m n m a2 ( )- = BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  80. 80. Baøi 22. ¢ ¢ ¢ V = a Baøi 23. = ^ ^ V = a Baøi 24. ^ a V = Baøi 25. a ·BAD = ^ V = a Baøi 26. a 10 3 V a= Baøi 27. ·BAD = ^ V = a Baøi 28. a a a b a- a a b a- Baøi 29. V = BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  81. 81. Trang 80 2 a b a b V .= - Baøi 30. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ a a 2 a a V V= =; Baøi 31. ^ V = a Baøi 32. ^ a d = Baøi 33. · ·ABC BAD= = ^ = d = a Baøi 34. ·BAC = ^ a d = Baøi 35. ( ),( ) =SBC ABC·( ) a d = Baøi 36. ^ = ^ V = a Baøi 37. (SAB) SBC,( ) =·( ) BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  82. 82. V = R Baøi 38. V = a Baøi 39. ^ a d = Baøi 40. 1a V ; cos= =j Baøi 41. a V ; cos= =j Baøi 42. ¢ a a V d= =; Baøi 43. · ·BAD ABC 90= = 0 a3 3 Baøi 44. a Baøi 45. ¢ ¢ ¢ ¢ BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  83. 83. Trang 82 ¢ ·BAC = ¢ ¢ Baøi 46. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ a a a Baøi 47. a 2 a3 6 48 Baøi 48. a 3 5 3a3 24 2 3a 19 Baøi 49. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢0 60 3 3a3 8 7a 12 Baøi 50. AC 4 a3 14 48 Baøi 51. a3 5 6 Baøi 52. Baøi 53. Baøi 54. . BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  84. 84. THI T T NGHI P Baøi 1. x y z –1 0+ + =a x y - = = - Baøi 2. = + - a a uuur r r r = + - uuur r r r      a 4 3 x y t z t D 2 4 2 1 ì = = -í ï = - + ï î 5 sin = 5 j x y z x y z2 2 2 + + - - - + =3 6 2 7 0 z z 21 2 21 2 1 2( ): 0; ( ): 0 2 2 a a - + + = - = Baøi 3. ¢ ¢  x y z x y z2 2 2 + + - - - + = x y z5 2 2 1 0 3 4 2 1 0+ + + = Baøi 4. x y z x y z2 2 2 + + - + + - = D2 2 4 3 0 x y2 2 0 x z2 0 ì + - = - = Dí î x y z1 1 1 1 - = = - - P y z P y z1 2( ): 3 3 2 0; ( ): 3 3 2 0+ + + = + + - = Baøi 5. II. PHƯƠNG PHÁP TO TRONG KHÔNG GIAN BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  85. 85. Trang 84 x y z OG : 1 2 0 = = x y z x y2 2 2 + + - - =2 2 0 x y+ - ± =2 3 10 0 Baøi 6. D ABC x y z( ):3 2 6 0+ + - = ABCS 3 14=D 2 2 x y z 1 1 492 ( 1) 3 2 36 æ ö æ ö - + - + - =ç ÷ ç ÷ è ø è ø D MB MC= -2 uuur uuur AB x t y z t: 1 ; 1; 2= - + = = -{ x y z- + - =3 0 28 3 Baøi 7. x y z2 1 1 1 2 3 - + - = = x y z- + + =3 2 0 x z3 5 0- - = Baøi 8. x y z+ - - =2 4 0 x y z+ - + =2 2 0 x t y t z t= - + = - + = -1 1 2; ; x y z+ - + =2 2 6 0 D x y z { 2 2 2 + + = 4 : 1 2x t y t z t= + = + = -; 2 ; 3 2 Baøi 9. {D ¢ x y z1 2 1 d : 1 2 1 - + - x t = = d y t ì : 1 2 z t1 3 = - +1 ¢ ï = -í ï = - +î ¢ ¢ x y z- + - =2 3 8 0 Baøi 10. x y z2 2 2 ( 1) ( 4) ( 5) 44- + + + - = x y z+ + - =3 5 0 BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  86. 86. ì = +x t1 2 y t= - +3 z t= -6 x y z2 0+ - = x t y t z t= + = = +1 2 ; ; 2 3 Baøi 11. x y z2 3 6 35 0- + + = ï ï í î { x y z1 2 3 2 3 6 - - - = = d M P( ,( )) 7= - Baøi 12. x y z2 2 1 0- + - = ì = +x t3 2 y t= - -2 2 z t= - +2 ï ï í î d A P( ,( )) = Q x y z( ): 2 2 6 0- + + = Q x y z( ): 2 2 8 0- + - = 7 3 y z+ - =2 2 0 Baøi 13. x y z1 1 2 1 2 - + = = - x y z2 2 9 0- + + = Baøi 14. x y z2 2 7 0+ + - = x y z1 2 MN : 2 3 1 - + = = d I P( ,( )) 2= - x y z- - - =2 2 10 0 d A P( ; 2 ; 3 2,( )) 4= x t y t z t= + = - - = -2 1 Baøi 15. { BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  87. 87. Trang 86 x y z2 2 2 ( 1) ( 2) ( 2) 36- + - + - = x y z+ + + =2 2 18 0 x t y t z t= + = + = +1 2; 2 ; 2 2{ x y z1 2 3 2 1 1 + - + = = - x y z2 3 0+ - + = d A d) 5 2( , = x y z2 2 2 ( 1) ( 2) ( 3) 50- + + + - = Baøi 16. y z- + =2 3 0 I 1 3 ;1; 2 2 æ ö ç ÷ è ø D x y z1 1 2 2 1 + - = = - D D d O( , ) 1= x y z+ + =2 2 0D Baøi 17. BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  88. 88. THI I H C Baøi 1. ì - + - =x y z x y z+ - + = : î D x t í ì = + : y t= + z t= + . D D D ( ): - =P x z H( ; ; ). Baøi 2. x y2 – 2 0+ = D ï ï í î ì + + - + - =( ) ( )m x m y m mx m z m+ + + + =( ) í î m .= - Baøi 3. 1 ì - - + =2 2 1 0x y z x y z+ - - =2 2 4 0 í x y z x y m î 2 2 2 + + + - + =4 6 0 Baøi 4. ì - - = ì + - =x az a 0 ax y3 3 0 y z- + =1 0 x z+ - =3 6 0 Baøi 5. D D d : d : î î 1 2í í ì + + + =2 1 0x y z x y z+ + + =2 0 í x y z4 2 1 0- + - = î D Baøi 6. x y z 3 0- + + = A B( 1; 3; 2), ( 5;7;12)- - - - Baøi 7. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ a b ¢ a b a ¢ 2 1= Baøi 8. 4 b BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  89. 89. Trang 88 AC (0;6;0)= uuur Baøi 9. x ky z kx y z 3 2 0 1 0 ì + - + = í - + + = x y z- - + =2 5 0 Baøi 10. î x y z 1d : 1 1 2 1 + = = x z 2 x y d 3 1 0 2 1 0 : ì - + = í + - =î D x y z1 7 3 1 4 2 - - - = = - Baøi 11. A(2;3;2) B(6; 1; 2) C( 1; 4;3) D(1;6; 5)- - - - - Baøi 12. ( )A a0;0; 3 B a( ;0;0) ( )C a0; 3;0 Baøi 13. I(0;0;1) K(3;0;0) Baøi 14. x y z m m2 2 3 0+ + - - = x y z 0 30 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 9- + + + - = Baøi 15. A(2;1;1) B(0; 1;3)- x y y z 3 2 11 0 3 8 0 ì - - = + - = x y z 1 0+ - + = Baøi 16. í î ( )S 0;0;2 2 BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  90. 90. d SA BM 2 6 ( , ) = 3 S ABMN S ABM S AMNV V V 2 2 2 . . . 2 3 3 = + = + = Baøi 17. x t y t z t 3 2 1 1 4 ì = - + = -í ï = - + ï D î D x y z4 2 4 3 2 1 + + - = = - Baøi 18. a b 4+ = x y z 2 0+ + - = ab d B C AC a b 1 1 2 2 ( , ) = + max 2 2d khi a b= = = x y z2 2 2 ( 1) ( 1) 1- + + - = Baøi 19. ( )A 0;0; 21 Baøi 20. ( )A 2; 1;0- - ( )B 2; 1;0- Baøi 21. x y z3 6 1 2 2 1 - - - = = - D Baøi 22. ¢ BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  91. 91. Trang 90 bc b c+ = Baøi 23. ¢ Baøi 24. 2 ì + =x y 0 2 2 0x z í - - =î ¢ Baøi 25. x y z1 3 3 d : 1 2 1 - + - = = x y z2 2 9 0+ - + = - D D I I1 2 ì =x t ( 3;5;7), (3; 7;1)- - y = -1 z t= +4 Baøi 26. D ï ï í î x y z2 2 2 576 + + + =( 3) 25 x y z+ - + =4 2 12 0 17 2 Baøi 27. x y z1 2 1 3 1 2 - + + = = - x y zì + - - =2 0 x y+ - =3 12 0 í î x y z15 11 17 10 0+ - - = Baøi 28. BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  92. 92. y z 0- = M 2 2 2 ; ; 3 3 3 æ ö ç ÷ è ø x y z2 2 2 + - + - =( 1) ( 1) 2 Baøi 29. x y z2 2 2 ( 1) ( 2) ( 2) 9- + - + - = Baøi 30. x y z 1d : 1 1 2 ì = - -x t1 2 = = d y t: = z t= +1 ï 2 î x y z 0- + = í ï 2 M N 4 4 8 1 4 3 ; ; , ; ; 7 7 7 7 7 7 æ ö æ ö -ç ÷ ç ÷ è ø è ø Baøi 31. x y z2 2 – 1 0+ + = x y z1 1 5 2 1 6 - - - = = - x y z+ + - =4 10 0 Baøi 32. x y z2 2 2 ( 1) ( 2) ( 2) 9- + - + - = 2 5 3 Baøi 33. d d 2 1 2 2 = Baøi 34. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ a 1 cos = 6 a BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  93. 93. Trang 92 1 2 2 x y z2 1 0- + - = x y z- - + =2 1 0 Baøi 35. x y z1 1 2 1 1 - + x t = = y t - 1 z t ì = + = - -1 2 = +2 ï ï í î x y z+ + - =3 5 13 0 Baøi 36. x y z2 2 3 2 1 1 - + - = = - x y z1 1 1 1 2 1 - - + = = - ¢ D ¢ D x y z1 2 3 1 3 5 - - - = = - - Baøi 37. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ y z 0- =¢ ì + + - =x y z 4 0 y z- = 0 Baøi 38. x y z3 2 4 0+ - + = í î K 1 1 3 ; ; 4 2 4 æ ö -ç ÷ è ø Baøi 39. D D ì = +x t1 D y t= - -1 D z = 2 ï ï í î x y z3 1 1 2 1 - - = = - D D D D x y z 2 0+ - + = Baøi 40. x y z2 5 0+ - + = ¢ ¢ ì - + + =2 2 5 0x y z 2 3 4 0x y z- + - = í x y z x y z î 2 2 2 + + - - - =2 2 4 0 Baøi 41. x y z4 3 11 26 0- + - = x y z3 1 1 2 3 - + = = - x y z4 3 1 1 2 - - = = BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  94. 94. D D x y z2 7 5 5 8 4 + - - = = - - Baøi 42. D D x y z 6 3 4 = = x y z- + + = x y z6 3 4 0 6 3 4 0+ - = Baøi 43. x y z1 2 2 1 1 - + ì = - +x t1 2 = = y t= +1 - x y z7 4 0+ - = ï z 3= í ïî x y z2 1 7 1 4 - + = = - Baøi 44. x y z x y z2 2 2 + + - + + - = x y z2 4 2 3 0 2 2 14 0- + - = y z- =2 0 Baøi 45. D x y z1 2 1 1 2 - + = = - D MA MB2 2 + x y z2 2 d : 2 1 1 - - = = - Baøi 46. x y z2 1 0- + + = Î x y z2 5 11 0+ + - = Baøi 47. ì - + =6 3 2 0x y z 6 3 2 24 0x y z+ + - = D í î D ì + + - =6 3 2 12 0x y z 3 3 0x y z- + = í î Baøi 48. BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  95. 95. Trang 94 x y z 0+ + = Î Baøi 49. x y+ =2 – 9 0 º x y z 1 2 3 3 + + = x y z2 1 2 3 6 - - = Baøi 50. x y z3 2 1 2 1 1 - + + = = x y z 2 0+ + + = - D D ^ D 42 D x y z5 2 5 2 3 1 - + + = = - D x y z3 4 5 2 3 1 + + - = = - Baøi 51. x y z– 2 2 –1 0+ = x y z 1d 1 3 : 2 3 2 - - = = - x y z 2d 5 5 : 6 4 5 - + = = - ^ Î Î x y z2 2 8 0+ + - = Baøi 52. x y z1 2 2 1 2 - - = = a a x y z- + - =4 3 0 Baøi 53. x y z2 2 3 0+ + - = x y z+ - + =2 4 6 0 Baøi 54. x y z x y z a 2 2 2 + + - - - =3 3 3 0 Baøi 55. BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  96. 96. P y z( ): 0- = 2 2 2 , , 3 3 3 M æ ö ç ÷ è ø ( ) ( ) 2 22 x y z+ - + - =1 1 2 Baøi 56. x y z2 2 2 ( 1) ( 2) ( 2) 9- + - + - = A ( 2;4;4)- Baøi 57. 1 x y z 1 : 1 1 2 1 2 d = = : x t 2 1 ì d y t z t = - - =í ï = + ï î 0x y z- + = 2 M N 4 4 8 1 4 3 ; ; , ; ; 7 7 7 7 7 7 æ ö æ ö ç ÷ ç ÷- è ø è ø Baøi 58. 2 2 1 0x y z+ - + = . x y z1 1 5 d : 2 1 6 - - - = = - M (1; 2; 1)- - 4 10 0x y z+ + - = . Baøi 59. 1 S x y z2 2 2 ( ) :( 1) ( 2) ( 2) 9- + - + - = KN 2 5 3 = . Baøi 60. d 2 d 2 1 2 = . Baøi 61. x y z 1 1 1 2 - = = - BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  97. 97. Trang 96 x y z- + - = M(1; 1;3)-2 6 0 M 5 5 7 ; ; 3 3 3 æ ö - -ç ÷ è ø Baøi 62. x y z2 2 4 0- - - = x y z x y z . 2 2 2 + + - - - - =2 4 6 11 0 x y z- + - =2 2 1 0 D x y z1 9 1 1 6 + + = = D x y z1 3 1 2 1 2 - - + = = - D D M 18 53 3 ; ; 35 35 35 æ ö ç ÷ è ø Baøi 63. x y z- + - =2 2 5 0 P x y z( ): 4 2 7 15 0+ + - = x z2 3 5 0+ - = x y z3 1 : 26 11 2 D + - = = - Baøi 64. x y z 20 0+ + - = D x y z2 2 1 1 1 + - = = - x y z+ - + =2 3 4 0 D D 5 1 ; ; 1 2 2 æ ö -ç ÷ è ø ì = - +x t3 d y t: 1 2= - z t= -1 ï ï í î Baøi 65. x y z+ + + =2 3 4 0 x y z3 2 1 0+ - + = D ì = - +x t1 x y z4 5 2 1 0- + - = y t= +3 z = -4 Baøi 66. D D ï ï í î x y z1 2 2 1 1 - + = = - x y z- + = D D2 0 BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  98. 98. 6 D x y z2 2 5 2 3 2 + - + = = D D ( , ) 3= S x y zd M P( ,( )) = d A 1 6 D 2 2 2 ( ) : ( 2) 25+ + + = Baøi 67. y z 1 0- + = 1 3 D x y z1 2 1 2 - = = D b c= = 1 2 Baøi 68. x y z 3 0+ + - = x y z 1 0- + - = ì = +x t3 D y t= D z t= ï ï í î x y z2 1 2 1 2 - - = = D D x z 2 2 0- ± = Baøi 69. x y z 4 0+ + + = H( 1; 4;1)- - AB x y z2 2 2 1 ( 4) ( – 3) ( 2)+ + + + = 3 x y z2 2 2 1 ( 6) ( 5) ( 4)+ + - + + = 3 z- = = - x y z2 2 2 0- + - = x y+ = M(0;1;0)2 – 2 0 BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875
  • GiangBch

    Sep. 18, 2020
  • ThinnMai

    Mar. 23, 2020
  • QunhHong23

    Jun. 18, 2018
  • phuonglam98622

    Aug. 10, 2017
  • ssusercae94d

    Jun. 30, 2017
  • PhuongPhuong33

    Mar. 25, 2016
  • quysam

    Jan. 11, 2014

ON LUYEN THI DAI HOC DUNG CHO HOC SINH , SINH VIEN DAY KEM + GIAO VIEN THAM KHAO

Aufrufe

Aufrufe insgesamt

970

Auf Slideshare

0

Aus Einbettungen

0

Anzahl der Einbettungen

1

Befehle

Downloads

61

Geteilt

0

Kommentare

0

Likes

7

×