Modul ini membahas analisis vektor dan sistem koordinat dalam elektromagnetika. Terdapat penjelasan tentang vektor, notasi vektor, sistem koordinat Kartesius, silinder dan bola, transformasi koordinat antar sistem, serta konsep integral garis dan permukaan yang berkaitan dengan vektor.

1. ELEKTROMAGNETIKA I
Modul 02
ANALISIS VEKTOR DAN
SISTEM KOORDINAT
27 November 2012 1

2. Materi :
 2.1 Analisis Vektor dan Fasor
 2.2 Sistem Koordinat
 2.3 Transformasi Koordinat
 2.4 Integral Vektor

3. 2.1 Analisis Vektor
Skalar : Besaran yang hanya memiliki nilai
Contoh : Temperatur, laju, jarak, dll
Vektor : Besaran yangmemiliki nilai dan arah
Contoh : Medan listrik, medan magnet,
Gaya, kecepatan, posisi,
percepatan, dll

4. Notasi Vektor A ditulis dengan A atau
dengan
adalah besar vektor A atau
panjang vektor A
adalah unit vektor A atau
vektor satuan searah A
Vektor satuan atau unit vektor menya-
takan arah vektor, besarnya satu

5. 2.2 Sistem Koordinat
 Lebih mudah menuangkan konsep vektor
menggunakan sistem koordinat
 Tiga sistem koordinat :
- Koordinat Cartesius
- Koordinat Silinder
- Koordinat Bola

6. Koordinat Cartesius
Koordinat Cartesius tersusun atas tiga
sumbu koordinat yang saling tegak lurus
masing-masing sumbu x, y, dan z
z
adalah vektor satuan searah
sumbu x, sumbu y, dan
y Sumbu z
x

7. Koordinat Cartesius
z Dalam koord. Cartesius
sembarang vektor A
ditulis
y
Ax, Ay, Az adalah komponen
x
vektor A dalam arah sb x,
sb y, dan sb z

8. Koordinat Cartesius
Besar vektor A ditulis
Unit vektor A atau vektor satuan
searah A ditulis

9. Contoh
 Tulis dan Gambarkan Vektor A berpangkal di
(0,0,0) dan memiliki komponen 2 ke arah x,
3 ke arah y, dan 4 ke arah z.
 Tulis dan Gambarkan Vektor B berpangkal di
(3,0,0) dan memiliki komponen 1 ke arah x, -2
ke arah y, dan 4 ke arah z.
Diambil dari Hand Out EE2823 Elektromagnetika I (Koredianto Usman, Ir., M.Sc).

10. Gambar kedua Vektor tsb
z
A
A
B 4
2 y
3
x
Diambil dari Hand Out EE2823 Elektromagnetika I (Koredianto Usman, Ir., M.Sc).

11. Contoh 2
Titik A terletak dalam koordinat Carte-
sius (3,4,5), semua koordinat dalam
meter.
Tentukan :
 Gambar vektor posisi A
 Penulisan vektor posisi A
 Besar vektor A
 Unit vektor searah A

12. Elemen perpindahan, luas dan volume
pada Koordinat Cartesius
Elemen kecil perpindahan (displacement
infinitesimal) :
z
P2
Lihat jarak P1 ke P2
dz
P1 dy dx
y
x

13. Elemen kecil luas
 Elemen kecil luas dalam bidang yz
 Elemen kecil luas dalam bidang xz
 Elemen kecil luas dalam bidang xy
Elemen kecil volume

14. Koordinat Silinder
Dalam koord. Silinder
sembarang vektor A
ditulis
z
A , A , Az adalah kompo-
nen vektor A dalam arah
sb , sb , dan sb z

15. Contoh
Gambarkan vektor berikut pada sistem koordinat
silinder
A= 3a + 2a + az berpangkal di M(2, 0, 0)
B= 3a + 2a + az berpangkal di N(2, /2, 0)
Diambil dari Hand Out EE2823 Elektromagnetika I (Koredianto Usman, Ir., M.Sc).

16. Gambar vektor tsb
z
B
az 2a
az
N 3a y
M
2a
A
3a
x
Diambil dari Hand Out EE2823 Elektromagnetika I (Koredianto Usman, Ir., M.Sc).

17.  Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang
sama, namun keduanya menunjuk ke arah berbeda
karena titik pangkal yang berbeda.
 Dalam sistem koordinat kartesian, pembaca dengan
mudah melihat bahwa vektor A ekivalen dengan 3ax
+2ay + az. Dan vektor B ekivalen dengan –2ax + 3ay
+ az.
Diambil dari Hand Out EE2823 Elektromagnetika I (Koredianto Usman, Ir., M.Sc).

18. Elemen kecil perpindahan, luas, dan volume
pada Koordinat Silinder
Elemen kecil perpin-
dahan :
Elemen kecil volume
dz
d d

19. Elemen kecil perpindahan, luas, dan volume
pada Koordinat Silinder
Elemen kecil luas

20. Koordinat Bola
z Vektor A ditulis :
Ar, A , A adalah kompo-
nen vektor A dalam arah
sb r , sb , dan sb
y
x

21. Contoh
Gambarkan vektor berikut pada sistem koordinat bola
A= 3ar + a + 2a berpangkal di M(2, /2, 0)
B= 3ar + a + 2a berpangkal di N(2, /2, /2)
Diambil dari Hand Out EE2823 Elektromagnetika I (Koredianto Usman, Ir., M.Sc).

22. Gambar Vektor tsb
z
2a
3ar
N y
M 2a B
a
a
3ar
x
A
Diambil dari Hand Out EE2823 Elektromagnetika I (Koredianto Usman, Ir., M.Sc).

23.  Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang
sama, namun keduanya menunjuk ke arah berbeda
karena titik pangkal yang berbeda.
 Dalam sistem koordinat kartesian, pembaca dengan
mudah melihat bahwa vektor A ekivalen dengan:
3ax +2ay - az. Dan vektor B ekivalen dengan –2ax
+ 3ay - az.
Diambil dari Hand Out EE2823 Elektromagnetika I (Koredianto Usman, Ir., M.Sc).

24. Elemen kecil perpindahan, luas, dan volume
pada Koordinat Bola
Elemen vektor perpindahan
Elemen vektor luas
Elemen volume

25. 2.3 Transformasi Koordinat
1. Kartesius (x,y,z) ke Silinder ( , ,z)
(x, y, z) (ρ, , z)

26. Contoh 1
Ubahlah vektor A=3 ax+ 4 ay + 5 az dengan
pangkal di (0,1,0) ke koordinat silinder dgn
pangkal yang sama.

27. Contoh 2
Titik P terletak pada koord. kartesian
(3, 4, 5), dan Vektor B = xax+yay terletak
pada bidang kartesian xy.
Tentukan :
 Koordinat titik P pada sistem koordinat
Silinder
 Vektor B dalam koord. Silinder
 Vektor B pada titik x=3 dan y=4

28. 2. Silinder ( , ,z) ke Kartesius (x,y,z)
( , ,z) (x,y,z)

29. Contoh
Vektor A= 3a +4a +5az berada pada sistem
koordinat silinder dengan titik pangkal di
(10, /2,0)
Tentukan penulisan vektor ini pada sistem
koordinat kartesian

30. Transformasi Koordinat
3. Kartesius (x,y,z) ke Bola (r, , )

31. Contoh
Titik P terletak pada koord. kartesian (3, 4, 5),
dan Vektor E = (xax+yay+zaz)/(x2+y2+z2)3/2
Tentukan :
 Koordinat titik P pada sistem koordinat
Bola
 Vektor E dalam koord. Bola

32. Transformasi Koordinat
4. Bola (r,θ, ) ke Kartesius (x,y,z)

33. Contoh
 Vektor A=3ar+5a +4a berada pada sistem
koordinat bola dengan titik pangkal di (10, /2,0)
 Tentukan penulisan vektor ini pada sistem
koordinat kartesian

34. 2.4 Integral
Definisi Integral Garis
dengan l adalah panjang lintasan a sampai b
A(li)
li b
a

35. Contoh
Cari integral garis dari vektor A=yax-xay melalui garis
parabola y=x2 dari titik (-1,1) sampai titik (2,4)
y
4 y=x2
1
-1 2 x
Diambil dari Hand Out EE2823 Elektromagnetika I (Koredianto Usman, Ir., M.Sc).

36. Integral garis lintasan tertutup
Contoh
Tentukan usaha W yang dilakukan oleh
untuk memindahkan benda dari A(0,0) ke
B(2,4) melalui lintasan parabola:
kemudian kembali lagi ke A(0,0) melalui
lintasan garis lurus.
Diambil dari Hand Out EE2823 Elektromagnetika I (Koredianto Usman, Ir., M.Sc).

37. Integral Garis (Vektor Konservatif)
Contoh
Tentukan usaha W yang dilakukan oleh
F=xax
untuk memindahkan material dari A(0,0) ke B(2,4)
melalui lintasan garis lurus kemudian kembali lagi
ke A(0,0) melalui lintasan parabola y=x2
Jika maka F disebut medan
konservatif.
Diambil dari Hand Out EE2823 Elektromagnetika I (Koredianto Usman, Ir., M.Sc).

38. Integral Permukaan
Konsep Vektor Permukaan:
dS
ai bi
dS = vektor permukaan.
Arah : Tegak lurus permukaan
Besar : Sama dengan luas permukaan
yang diwakilinya.
Diambil dari Hand Out EE2823 Elektromagnetika I (Koredianto Usman, Ir., M.Sc).

39. Integral Permukaan
Konsep Vektor Permukaan diperlukan dalam menghitung
total flux vektor yang menembus suatu permukaan
F dSi-1 dSi F
dSi+1 F dSi
ai bi
Fluks medan vektor F menembus dSi adalah :
Diambil dari Hand Out EE2823 Elektromagnetika I (Koredianto Usman, Ir., M.Sc).

40. Contoh
 Tentukan Total Flux F yang menembus permukaan
kubus jika F adalah:
dan permukaan kubus dibatasi oleh
x=[0,1]
y=[0,1]
z=[0,1]
Diambil dari Hand Out EE2823 Elektromagnetika I (Koredianto Usman, Ir., M.Sc).