1. APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU - PROF. CARLINHOS
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
DEFINIÇÃO
Chama-se função do 1.° grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0.
Exemplos:
f(x) = 5x – 3, onde a = 5 e b = – 3 (função afim)
f(x) = 6x, onde a = 6 e b = 0 (função linear)
f(x) = x, onde a = 1 e b = 0 (função identidade)
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1.º GRAU
O gráfico de uma função do 1.º grau é uma reta não-paralela nem ao eixo x nem ao eixo y. Seu domínio é
D(f) = e sua imagem é Im(f) = .
1.º exemplo: Construir o gráfico da função y = 2x + 3 (a = 2 > 0)
Resolução: Sabendo que o gráfico da função y = 2x + 3 é do 1.º grau, precisamos somente conhecer dois
de seus pontos para traçá-lo. Esses dois pontos podem ser obtidos atribuindo-se dois valores arbitrários
para x e determinando suas ../imagens (y).
Para x = 0 y = 3
Para x = – 2 y = -1
Para x = – 1 y = 1
2.º exemplo: Construir o gráfico da função
f (x) = – 2x + 3 (a = – 2 < 0)
Conclusão:
Se a > 0, a função y = ax + b é crescente.
Se a < 0, a função y = ax + b é decrescente.
ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO DO 1.º GRAU
Chama-se zero ou raiz da função do 1.º grau f(x) = ax + b o valor de x para o qual f(x) = 0, logo:
ax + b = 0 ⇒ ax = -b ⇒ x = -
a
b
.
raiz ou zero
-
a
b
Observação: geometricamente, o zero da função do 1.º grau é a abscissa do ponto em que a reta corta o
eixo x. Então, no exemplo, temos:
o x
f(x)
x
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COEFICIENTES ANGULAR E LINEAR DA RETA:
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta, que é o valor da tangente do ângulo do αααα
que reta forma com o eixo 0x, medido do eixo para reta no sentido anti-horário.
O termo constante b, é, chamado coeficiente linear da reta, que é, o valor da ordenada do ponto em que a
reta corta o eixo 0y.
f(x) a = tg α
α
o
x
coeficiente linear (b)
Observando os gráficos dos exemplos anteriores, podemos concluir que:
1º) Quando o coeficiente angular é positivo, ou seja , a>0, a função é crescente.
2º) Quando o coeficiente angular é negativo, ou seja , a<0, a função é decrescente.
Exemplos
1) Determinar a raiz e fazer a representação gráfica das funções:
a) f(x) = 3x+6
Resolução: 3x + 6 = 0 ⇒ 3x = -6 ⇒ x = -2(raiz)
f(x)
6 coeficiente
linear
raiz
-2 o x
b) f(x)= -x+3
Resolução: -x+3=0 ⇒ -x = -3 (-1 ⇒ x = 3(raiz)
f(x)
3 (coef. Linear)
raiz
o 3 x
2) Determine os coeficientes angular e linear das retas representadas pelas funções abaixo e classifique-as
em crescente ou decrescente.
a) f(x) = 5x+9
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Resolução: Coeficiente angular a=5, linear b=9.
a = 5 > 0, logo, é crescente a função.
b) f(x) = -4x+8
Resolução: Coeficiente angular a = -4, linear b = 8.
a = -4 < 0, logo, é decrescente a função.
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DE 1º GRAU
Estudar o sinal da função de 1º grau y = ax + b significa determinar para quais valores de x a função é
positiva , nula ou negativa. No estudo do sinal devemos considerar 2 casos:
1º caso: a > 0 (função crescente)
y
y>0
+
-b/a
_ o x
y<0
• x > -
a
b
⇒ y > 0 • x = -
a
b
⇒ y = 0 • x < -
a
b
⇒ y < 0
y>0
+
_ -b/a x
y<0
2º caso: a < 0 (função decrescente)
y
+
y>0
-b/a
o _ x
y<0
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4
• x < -
a
b
⇒ y > 0 • x = -
a
b
⇒ y = 0 • x > -
a
b
⇒ y < 0
+
y>0
-b/a
_ x
y<0
Exemplo: Estudar o sinal das funções:
a) y = x-4
Resolução: x-4 = 0 ⇒ x = 4
Como a =1> 0, a função é crescente, logo:
y>0
4 +
_ x
y<0
• x > 4 ⇒ y > 0
• x = 4 ⇒ y = 0
• x < 4 ⇒ y < 0
b) y = -2x + 5
Resolução: -2x + 5 =0⇒ -2x = -5 (-1 ⇒ 2x = 5 ⇒ x =
2
5
Como a = -2 < 0, a função é decrescente,logo:
+
y>0
x
2
5
y<0 -
• x < 5/2 ⇒ y > 0
• x = 5/2 ⇒ y = 0
• x > 5/2 ⇒ y < 0
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM
1) Classifique as funções do 1º grau abaixo em afim(A), linear(L) e identidade(I);
a) y = 3x resp: L b) f(x) = x resp: I c) f(x) = 4x - 7 resp: A d) y = =5x +9 resp: A
2) Determine m, de modo que f(x) = (4m + 16)x - 6, seja uma função:
a) constante resp: m = - 4 b) do 1º grau resp: m ≠ -4
3) Determine p, de modo que f(x) = (5p + 15)x + 6, seja uma função do 1º grau:
a) crescente resp: p > - 3 b) decrescente resp: p < - 3
4) Determine o valor de m, de modo que a função f(x) = 5x + ( m - 5), intercepte o eixo
x, no ponto de abscissa 1. resp: m = 0
5) Determine o valor de m, de modo que o coeficiente angular da reta definida pela
função f(x) = (m + 7)x - 8, seja igual a 10. resp: m = 3
6) Determine o valor de p, de modo que o coeficiente linear da reta definida pela função
f(x) = x - (p + 8), seja igual a -1. resp: m = - 7
7) Determine o valor de m, de modo que a raiz da função f(x) = (2m + 7)x - 8, seja
igual a 1. resp: m = 1/2
8) Dada a função f(x)= 4x-8. Determine:
a)Os coeficientes angular e linear da reta. resp: angular a = 4 linear b = -8
b) Se ela é crescente ou decrescente. resp: crescente
c) A raiz. resp: 2
d) O gráfico. resp: y
o 2 x
8
9) Dada a função f(x)= -3x-3. Determine:
a)Os coeficientes angular e linear da reta. resp: angular a = -3 linear b = -3
b) Se ela é crescente ou decrescente. resp: decrescente
c) A raiz. resp: -1
d) O gráfico. resp: y
-1
0 x
-3
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10) Determine a função do 1º grau cujo o gráfico passa pelos pontos A(0; -1) e B(1; 3).
resp: f(x) = 4x - 1
11) O custo de produção de um determinado produto é dado pelo gráfico abaixo:
y (reais) Determine o custo de produção de 15 produtos.
20
5
0 5 x (unidades produzidas) resp: R$ 40,00
12) Estude o sinal da função do 1º grau:
a) y = 3x+9 resp. y>0 para x>-3, y=0 para x=-3 e y<0 para x<-3
b) y = -4x+16 resp: resp. y>0 para x<4, y=0 para x=4 e y<0 para x>4
c) y= 6x-30 resp: resp. y>0 para x>5, y=0 para x=5 e y<0 para x<5
d) y= -2x+1 resp: resp. y>0 para x< 1/2, y=0 para x=1/2 e y<0 para x>1/2
13) Resolva os sistemas:
a)
>+
≥−
106
15154
x
x
resp: S= { x∈ℜ/ x≥ 5} b)
>−
<−
−>−
02
1022
105
x
x
x
resp: S= { x∈ℜ/ 2<x<6}
14) Resolva as inequações:
a) 1<3x-2≤10 resp: S = { x∈ℜ/ 1<x≤4}
b) 2x-5<3x+4<6x+6 resp: S = { x∈ℜ/ x > -2/3}
c) (x+2).(-2x+3) ≥0 resp: S = { x∈ℜ/ -2≤ x ≤ 3/2}
d) (-x+1).( -2x+10).(x+3) >0 resp: S = { x∈ℜ/ -3< x <1 ou x > 5}
e)
2
43
−
−
x
x
< 0 resp: S = { x∈ℜ/ 4/3 < x < 2}
f)
3
)4).(2(
+
−−
x
xx
≥0 resp: S = { x∈ℜ/x < -3 ou 2≤ x ≤4}
15) (Unesp) A unidade usual de medida para a energia contida nos alimentos é kcal
(quilocaloria). Uma fórmula aproximada para o consumo diário de energia (em kcal)
para meninos entre 15 e 18 anos é dada pela função f(h) = 17.h, onde h indica a altura
em cm e, para meninas nessa mesma faixa de idade, pela função g(h) = (15,3).h. Paulo,
usando a fórmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e obteve 2.975
kcal. Sabendo-se que Paulo é 5 cm mais alto que sua namorada Carla (e que ambos têm
idade entre 15 e 18 anos), o consumo diário de energia para Carla, de acordo com a
fórmula, em kcal, é
a) 2501 b) 2601 c) 2770 d) 2875 e) 2970 resp: b
16) (Puc-MG) A receita R, em reais, obtida por uma empresa com a venda de q
unidades de certo produto, é dada por R(q) = 115q, e o custo C, em reais, para produzir
q dessas unidades, satisfaz a equação C(q) = 90q + 760. Para que haja lucro, é
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necessário que a receita R seja maior que o custo C. Então, para que essa empresa tenha
lucro, o número mínimo de unidades desse produto que deverá vender é igual a:
a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 resp: d
17) (Uel 2008) Um consumidor adquiriu um aparelho de telefonia celular que
possibilita utilizar os serviços das operadoras de telefonia M e N. A operadora M cobra
um valor fixo de R$ 0,06 quando iniciada a ligação e mais R$ 0,115 por minuto da
mesma ligação. De modo análogo, a operadora N cobra um valor fixo de R$ 0,08 e mais
R$ 0,11 por minuto na ligação.
Considere as afirmativas a seguir:
I. O custo de uma ligação de exatos 4 minutos é o mesmo, qualquer que seja a
operadora.
II. O custo da ligação pela operadora M será menor do que o custo da ligação pela
operadora N, independentemente do tempo de duração da ligação.
III. Uma ligação de 24 minutos efetuada pela operadora M custará R$ 0,10 a mais do
que efetuada pela operadora N.
IV. O custo da ligação pela operadora N será menor do que o custo da ligação pela
operadora M, independentemente do tempo de duração da ligação.
Assinale a alternativa que contém todas as afirmativas corretas.
a) I e II. b) I e III. c) III e IV. d) I, II e IV. e) II, III e IV. resp: b
18) Uma empresa de táxi E1 cobra R$ 2,00 a "bandeirada", que é o valor inicial da
corrida, e R$ 2,00 por km rodado. Outra empresa E‚ fixa em R$ 3,00 o km rodado e não
cobra a bandeirada. As duas tarifas estão melhor representadas, graficamente, em:
resp: b
19) (Puc_MG) Uma pessoa encontra-se no aeroporto (ponto A) e pretende ir para sua
casa (ponto C), distante 20 km do aeroporto, utilizando um táxi cujo valor da corrida,
em reais, é calculado pela expressão V(x) = 12 + 1,5 x, em que x é o número de
quilômetros percorridos.
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Se B = 90°, C = 30° e o táxi fizer o percurso AB + BC, conforme indicado na figura,
essa pessoa deverá pagar pela corrida:
a) R$ 40,50 b) R$ 48,00 c) R$ 52,50 d) R$ 56,00 resp: c
20) Sejam as funções f e g, definidas por f(x) = ax + b e g(x) = mx + n, representadas no
gráfico. É correto afirmar que (a - m)/(b + n) é igual a
a) -1/3 b) 0 c) 2/3 d) 1 resp: d
Prof. Carlinhos
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
Apostila elaborada pelo :
Prof. Luiz Carlos Souza Santos
