Capitalización Simple, Capitalización Compuesta, Descuento Comercial y Descuento Racional

1. OPERACIONES DE
CALCULO
FINANCIERO Y
COMERCIAL

2. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Introducción
Cuando se habla de operaciones de
cálculo financiero, se hace referencia a
operaciones consistentes en la
capitalización y actualización de unos
capitales financieros por otros, en distintos
momentos de tiempo, es decir, aquellas que
tienen en cuenta el valor del dinero en el
tiempo.
En los sistemas económicos actuales se
realizan continuamente dichas operaciones
financieras.

3. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Las operaciones financieras son aquellas
capaces de cambiar la cuantía de un capital
en un periodo de tiempo, aplicando una
determinada ley financiera.
Estas se caracterizan por tener en común unos
elementos que son: el capital, el tiempo y el
tipo de interés.
En cuanto al último elemento, el tipo de interés,
este marcará el régimen de capitalización a
utilizar en el cálculo de las operaciones
financieras, encontrando dos tipos: la
capitalización simple y la compuesta.
Introducción

4. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes financieras
En las operaciones básicas de tesorería
relacionadas con la utilización de intereses
entran en juego el dinero, los cobros y los
pagos.
Dichos elementos son considerados la base
de las finanzas.
Un banco financia a una empresa
otorgándole un préstamo, los adquirientes de
Letras del Tesoro financian el déficit Público,
realizando una inversión financiera en activos
emitidos por el Tesoro Público, etc.

5. Operaciones de cálculo financiero y comercial
En definitiva, en cualquier operación
financiera se tendrá en cuenta la
utilización de los intereses.
Para la valoración de operaciones
financieras, se aplican expresiones
matemáticas, que son leyes financieras.
Una Ley financiera es la expresión
matemática positiva y continua que
permite valorar capitales en el tiempo.
Las dos leyes financieras por excelencia
son la Ley financiera de capitalización
simple y la de capitalización compuesta.
Leyes
financieras

6. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Para poder utilizar estas leyes, es preciso
disponer de una serie d datos previos que
influyen en el cálculo:
! El capital: es el importe de los fondos
que son objeto de derechos y
obligaciones por parte de los sujetos
que intervienen en las operaciones.
! El tiempo: es el plazo durante el cual el
anterior capital va a ser objeto de los
citados derechos y obligaciones. Se
representan mediante una “n”. Toda
operación financiera se define sobre un
plazo de tiempo.
Leyes
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7. Operaciones de cálculo financiero y comercial
! El tipo de interés: determinará la
renta o beneficio percibido or el
propietario del capital invertido. Se
expresa en porcentaje t se
representa mediante una “i”
cuando se expresa en tanto por uno.
Leyes
financieras

8. Operaciones de cálculo financiero y comercial
El valor del dinero en el tiempo y los
capitales financieros
Loa agentes económicos, entendiendo
estos como individuos o economías
domésticas, empresas y el Estado,
participan en la asignación de los recursos
de la economía de un país,
Para que se lleve a cabo esta asignación,
es necesario contar con un soporte
material que permita realizar intercambios
entre dichos agentes, en función de las
necesidades y objetivos de cada uno de
ellos.
Leyes
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9. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Los activos reales y financieros permiten
que el intercambio se posible.
No obstante, es necesario que las partes
implicadas obtengan una compensación
equivalente, en tiempo y cuantía, el
activo que dejan de disponer.
Así, según el principio de subestimación de
las necesidades futuras respecto a las
presentes, cualquier agente económico
prefiere un mismo activo, real o financiero,
hoy a mañana;
Leyes
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10. Operaciones de cálculo financiero y comercial
De manera que a medida que su
disponibilidad se distancia en el tiempo,
ve disminuido su valor por la
incertidumbre de hacerlo efectivo o, lo
que es lo mismo, un inversor asigna
mayor valor y certeza a su dinero o
capital cuanto más cercano se
encuentra el momento en que este se
hace disponible.
Leyes
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11. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Aplicación práctica
D. Manuel Barcelona quiere vender su
aparato de aire acondicionado y tiene
dos ofertas: una de 10.000 euros, a
pagar hoy y otra de 10.200 euros a
pagar dentro de un año. ¿Cuál de ellas
aconsejaría a D. Manuel?
Leyes
financieras

12. Operaciones de cálculo financiero y comercial
El valor del dinero no se mantiene
constante a lo largo del tiempo, por
ejemplo, disponer ahora de 25.000 euros
no es lo mismo que hacerlo dentro de dos
años.
Lo que se adquiere ahora con esa
cantidad, dentro de dos años
seguramente costará mas.
Tampoco es lo mismo cobrar una deuda
hoy que dentro de siete meses. Porque
hay que tener en cuenta que el dinero
decrece con el tiempo.
Leyes
financieras

13. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Para poder comparar capitales en
distintos instantes de tiempo, hay que
buscar alguna formula que permita
valorarlos en un mismo momento
(actual), para lo cual se debe trasladas
al menos uno de ellos a lo largo del
tiempo.
Se puede plantear lo que resultaría mas
interesante: poder disponer de 25.000
euros dentro de un año, o de 50.000
euros dentro de ocho años.
Leyes
financieras

14. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Para contestar a este planteamiento,
habría que calcular a cuanto equivalen
ambos importes colocados en el mismo
instante de tiempo, porque según el
principio elemental “entre dos capitales
de diferente cuantía colocados en el
mismo momento de tiempo, se prefiere el
mayor”.
Es importante decir que: entre dos
capitales de igual cuantía colocados en
diferentes momentos de tiempo, siempre
se elige el mas cercano al momento
actual.
Leyes
financieras

15. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Entre dos capitales colocados en el
mismo momento de tiempo, pero de
diferente cuantía, siempre se prefiere el
de mayor importe.
En los sistemas económicos se realizan
continuamente operaciones
financieras, que consisten en la
sustitución de unos capitales financieros
por otros, en distintos momentos de
tiempo, y aplicando una determinada
ley financiera.
Leyes
financieras

16. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Dichos capitales financieros son los
cobro, pagos o flujos de caja.
Un capital financiero tiene dos
dimensiones: “C” y “t”, siendo el primero
el término el capital y el segundo el
momento del tiempo en que se cobra
o paga.
Así un capital financiero que se cobra o
paga en “t”, se puede expresar como
“Ct”, para “t” = 0, 1, 2…n. Siendo:
Leyes
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17. Operaciones de cálculo financiero y comercial
T= 0: momento presente o actual.
t:= 1: momento de tiempo, periodo después del
momento actual.
T= n: momento final o plazo de una operación
o vencimiento.
Las principales operaciones financieras de los
agentes económicos son:
- Las operaciones financieras de inversión.
Ejemplo: compra de letras del tesoro y
pagarés de empresa.
- Operaciones financieras de financiación.
Ejemplo: Emisión de pagarés de empresa.
Leyes
financieras

18. Operaciones de cálculo financiero y comercial
- Todas las operaciones financieras de
inversión suponen una rentabilidad para el
comprador de activos y las operaciones
financieras de financiación suponen un
coste para el que recibe financiación o
emite un activo financiero.
- La rentabilidad y coste de las operaciones
financieras se estima como porcentaje y se
expresa en un tipo de interés anual.
Las operaciones financieras implican la
intervención de dos partes, la prestación y la
contraprestación.
Leyes
financieras

19. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Dichas operaciones acarrean para
una parte un derecho o activo del que
se espera una rentabilidad, y para la
otra parte una obligación o un pasivo
que le supone un coste.
Para valorar este tipo de operaciones,
e s n e c e s a r i o p l a n t e a r
matemáticamente la equivalencia
financiera de los capitales financieros
“Ct” que entregan ambas partes.
Leyes
financieras

20. Operaciones de cálculo financiero y comercial
En toda operación financiera entran en
juego una serie de elementos, comunes a
todas ellas:
- t0 : origen de la operación financiera
- tn : momento final de la operación
financiera
- n: duración de la operación financiera.
- Prestamista: creedor de la operación
financiera. (quien presta capital).
- Prestatario: deudor de la operación
financiera. (quien recibe el capital).
Leyes
financieras

21. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Dicha equivalencia financiera se
plantea para un tipo de interés de
valoración.
El tipo de interés significará el precio del
dinero, formándose en el cruce de la
rentabilidad exigida por las unidades
económicas que ofertan fondos y el
coste que están dispuestos a asumir los
demandantes de fondos.
Leyes
financieras

22. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Al hablar de las leyes de capitalización
y las leyes de descuento diremos que:
" Las leyes de capitalización: son las
leyes empleadas para el cálculo del
equivalente de un determinado
capital en un momento posterior al
actual.
Leyes
financieras

23. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes de Descuento o Actualización:
son las leyes empleadas en el cálculo
del equivalente de un capital, pero en
un momento de tiempo anterior.
Leyes
financieras

24. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Si las operaciones financieras se realizan
a corto plazo, se utilizan las leyes
simples, de capitalización y descuento;
si son a largo plazo, se aplican leyes
c o m p u e s t a s , t a m b i é n d e
capitalización y descuento.
Pero antes de abordar ampliamente
dichas leyes, se hará una breve
mención a la dimensión financiera de
las capitales financieras.
Leyes
financieras

25. Operaciones de cálculo financiero y comercial
La dimensión financiera de los capitales
financieros
La dimensión financiera de los capitales
financieros que forman una inversión o
financiación es la representación temporal de
los flujos o capitales financieros que se
producen durante un determinado horizonte
temporal “n”.
Por convenio, se considera que los cobros o
entradas de tesorería se representan con una
flecha hacia arriba; y los desembolsos, salidos o
pagos, con una flecha hacia abajo.
Leyes
financieras

26. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Para que un determinado inversor o
prestamista acepte este intercambio, es
necesario que sea idéntica la satisfacción
que le proporciona cualquier de las dos
situaciones.
Cuando se acuerda una operación
financiera, se establece una ley financiera
que permite hacer equivalentes los
compromisos de ambas partes.
Se hace obligado, conocer cuáles son las
leyes financieras que permiten que la suma
de capitales de la prestación o compromiso
contractual de una de las partes sea
equivalente a la contraprestación de la otra.

27. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Una vez estudiadas las leyes financieras más
comunes, se pueden plantear las ecuaciones
de equivalencia financiera para distintos
capitales.
Si se quisiera realizar la evaluación de un
proyecto de inversión – financiación sería
necesario plantear, por un lado, la dimensión
financiera de la inversión, que consiste en
representar en el tiempo las entradas y salidas
monetarias de las variables que corresponden
a la estructura económica, es decir, el coste
invertido (A), los flujos netos de la caja de
explotación (Q) y los valores residuales (VRn).

28. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Quedaría de la siguiente manera:
Por otro lado, se representa la dimensión financiera
de la financiación, que expresa gráficamente en un
determinado horizonte temporal los movimientos
financieros de las variables determinadas de la
estructura financiera, las cuales son la entrada de
recursos financieros, pago e dividendos (di) y cargas
financieras (Cfi), y devolución de los capitales
utilizados en el proyecto (CA).

29. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras

30. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras Utilización del interés simple en
operaciones básicas de tesorería
Las leyes financieras constituyen las
leyes mediante las cuales las partes
deudora y acreedora regulan sus
mutuos derechos y obligaciones, y los
materializan en una corriente de cobros
y pagos que aceptan como justa, y
que, representan dinámicamente a la
operación financiera correspondiente.

31. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras Dichas leyes financieras permiten
comparar capitales a lo largo del
tiempo, de tal manera que se pueda
establecer una relación de preferencia,
la identificación en el tiempo de
aquellos capitales que se consideran
financieramente equivalentes o lo que
es lo mismo, que su valor a lo largo del
tiempo se considera indiferente.

32. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Ley de Capitalización simple
Existe capitalización simple o interés simple
cuando los intereses, generados por el
capital cedido al final de un periodo, no se
suman para producir mas intereses en el
siguiente, es decir, el prestatario reintegra
dichos intereses al finalizar cada periodo
de capitalización, devolviendo al
prestamista la cantidad recibida al
concluir la operación.

33. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
En la formulación de una operación de
capitalización simple es bastante
sencilla.
Se tiene una unidad monetaria situada
en un momento inicial “t0”, y se desea
capitalizarla al futuro, hasta un
momento “t”.

34. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Como el valor del capital es siempre
creciente según transcurre el tiempo,
parece razonable asumir que cada
unidad de tiempo aporta el mismo
interés a la unidad monetaria invertida,
habida cuenta de que no se acumulan
los intereses generados para obtener
nuevos intereses, y que, en una
operación de este tipo, ni siquiera se
pagan hasta el momento “t”.

35. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Ejemplo: se considera que se intervienen
20.000 euros durante 4 años a un tipo de
interés del 10% anual.
Si se quieren calcular los intereses del
primer año, se aplica el porcentaje sobre
la cantidad invertida:
20.000 x 0,1 = 2.000 euros de intereses

36. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Como los intereses generados al final
de cada uno de los 4 años se
reintegran para su libre disposición por
parte del inversor, el calculo de los
mismos es idéntico en cada año.

37. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras Como se puede observar en la figura, si
el inversor, en cada año, reintegra los
intereses generados, estos no forman
parte del capital para el cálculo de los
nuevos intereses, por lo que el resultado
es el mismo para cada periodo.
Al final del cuarto año el inversor
recupera el capital invertido (20.000
euros), que se unirá a los intereses
generados (8.000 euros).

38. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
N o m e n c l a t u r a u t i l i z a d a e n l a
capitalización simple:
# C0: se denomina capital inicial al
importe invertido al inicio de la
operación financiera.
# n: se identifica con esta letra el tiempo
de duración de la operación financiera
(número de periodos), que podrá venir
expresado en años, días, etc.
# I: se identifica a los intereses generados
en un año durante la operación
financiera.

39. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
# i: se llama rédito al tipo de interés anual
en tanto por uno aplicado a la
operación financiera expresado en
porcentaje, es decir, es el rendimiento
obtenido por cada euro invertido en un
periodo de tiempo, y se designa
mediante “r”.
# Sin embargo, en las fórmulas no se
trabaja con el crédito, sino con el tipo
de interés en tanto por uno.
i = r/ 100

40. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras # IT: el interés total representa la suma
de los intereses de cada periodo.
# Cn: el capital final o montante es el
importe obtenido al final de la
o p e r a c i ó n f i n a n c i e r a y
cuantitativamente es la suma del
capital inicial mas los intereses
generados.

41. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Así, como se ha visto en el ejemplo anterior,
los intereses de una operación se obtienen
de la siguiente manera:
I = C0 x i x n
Al aplicar la ley de capitalización simple a
un capital inicial “Co”, con un tipo de
interés determinado “i”, y durante un
tiempo determinado “n”, expresado en las
mismas unidades temporales que “i”, se
obtiene un montante Cn, función que
cono se observa a continuación, es lineal:
Cn= C0 (1 + n x i)

42. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Para calcular el capital final (Cn), los
intereses en cada uno de los periodos
son constantes e iguales:
I1 = I2 = I3= …In= C0 * i
La expresión (1 + n x i) recibe el nombre
de factor de capitalización, pues del
resultado de multiplicar dicho factor por
el capital inicial se obtiene el capital
final o montante.

43. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Aplicación práctica
Una empresa coloca la cantidad de 18.000
euros en un depósito bancario a 3 años, con
una rentabilidad del 5% anual.
El capital invertido será devuelto al final de los 3
años, mientras que los intereses serán
entregados al inversor al finalizar cada año.
Represente la dimensión financiera de la
operación y calcule el capital acumulado al
finalizar el plazo del depósito, así como los
intereses generados durante el plazo de
duración del depósito.

44. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Calculo de interés simple
Su evolución gráfica, en función de los
intereses y el tiempo sería la siguiente:

45. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
De esta forma, si una inversión
cualquiera, se conocen los intereses,
con el tiempo de inversión y el tipo de
interés se puede averiguar el capital
inicial invertido.
Para ello, bastaría con despejarlo de la
siguiente fórmula:
I = C0 x n x i Despejando “C0” se
obtiene: C0 = I/ n x i

46. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
De igual forma, conociendo los
intereses, el capital inicial invertido y el
tiempo de inversión, se podría averiguar
el tipo de interés aplicado a la
operación financiera.
Para ello, basta con despejarlo de la
misma fórmula:
I = C0 x n x i Despejando “i” se obtiene i
= I / n x C0

47. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Si se quisiera calcular el tiempo empleado
en una operación, re realizaría de la misma
manera.
Sin embargo, se podría platear la
operación financiera desde otro punto de
vista, y preguntar: ¿Qué capital es
necesario invertir durante un tiempo
determinado a un tipo de interés pactado
para obtener un montante o capital final
concreto? En este caso, se conocería el
tiempo de la inversión, el tipo de interés
empleado y el capital final obtenido.

48. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras Para ello, se debe determinar una
fórmula que permita calcular el capital
inicial a partir de las variables
conocidas.
Dicha fórmula sería la de la ley de
capitalización, vista anteriormente:
Cn = C0 (1 + n x i) despejando C0 se
obtiene C0 = Cn / 1 + n x i

49. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras Capitalización no anual
Antes de pasar a la capitalización
compuesta, se debe hacer mención al
tipo de interés fraccionado.
Las operaciones financieras no siempre
se realizan durante un número exacto
de años.
En la mayor parte de las ocasiones, son
operaciones que se llevan a cabo en
periodos mensuales o diarios.

50. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras Por ello, es preciso establecer una
concordancia entre los periodos de
capitalización y los tipo de interés.
El tiempo y el tipo de interés han de estar
expresados en las mismas unidades,
adaptándose el tiempo a las unidades en
las que se expresa el tipo de interés, o bien
se adapta el tipo de interés al periodo de
capitalización mediante el cálculo del tipo
de interés equivalente o tanto equivalente.

51. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Por ellos, en la mayoría de operaciones a
corto plazo, es necesario valorar
financieramente con un fraccionamiento
“k” del año, de modo que el año se divide
en “k” partes iguales.
Es frecuente que el tipo de interés venga
expresado en tanto por ciento anual,
mientras que los periodos de capitalización
se refieren a otras unidades de tiempo.
Para transformar un tanto por ciento anual
en el equivalente para otros periodos de
tiempo diferentes se denominan:

52. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
$ i = tipo de interés anual.
$ ik = tipo de interés equivalente de un
periodo fraccionado.
$ K = frecuencia de fraccionamiento
ik= i / k
El tanto fraccionado “ik” es un tanto
proporcional al “i” anual.
De esto se deduce que en el régimen de
capitalización simple los tantos
proporcionales son también equivalentes.

53. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras En las operaciones financieras en las
que el periodo de capitalización esté
referido a fracciones de año, se tendrá
que dividir el tanto anual entre su
frecuencia de fraccionamiento (“k”), es
decir, el número de veces que está
contenido en un año.

54. Nota: el uso de interés fraccionado tiene
como objetivo adecuar la tasa de interés a
la unidad temporal en la que viene definida
la duración de la operación.
Se denomina tipo de interés fraccionado
aplicable a una fracción de ao.
De esta forma se puede referenciar el tipo
de interés anual a todas las posibles
divisiones temporales del año: semestral,
trimestral, etc

55. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Por tanto, el tipo de interés fraccionado
se expresa mediante “ik” donde “k” es
la fracción de año considerado.
En este sentido, se pueden considerar
diferentes periodos dentro del año, los
cuales se muestran en el siguiente
cuadro:

56. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Con la introducción del interés
fraccionado, las fórmulas del interés y
del capital final se redefinen de la
siguiente forma:
Intereses I = C0 x ik x n
Capital final Cn = C0(1 + n x ik)

57. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Aplicación práctica
Juan ha recibido una carta de su entidad
financiera sobre publicidad de productos
financieros, ofreciendo diferentes depósitos.
Uno de ellos consiste en depositar una cantidad
(entre los 8.000 y los 14.000 euros) durante 9
meses, ofreciendo un interés anual del 4,60%.
¿Qué cálculos debe hacer juan para poder
conocer la cantidad que ganará si contrata el
depósito en su entidad financiera?

58. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Aplicación del interés compuesto en
operaciones básicas de tesorería
Cuando los intereses, generados por el
capital cedido al final de un periodo, se
suman para producir mas intereses en
el siguiente, es decir, el prestatario
devuelve al prestamista la cantidad
mas todos los intereses al concluir la
vida de la operación, se estará ante
una operación de capitalización
compuesta.

59. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
La principal diferencia entre la ley de
capitalización simple y la compuesta es
que en la primera los intereses de un
periodo no se acumulan al principal
para producir nuevos intereses en
periodos sucesivos.
En cambio, en la ley de capitalización
compuesta, los intereses de un periodo
se acumulan al principal para producir
nuevos intereses en periodos sucesivos.

60. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
La forma de calcular los intereses del
primer régimen se aplica normalmente
a las operaciones financieras con una
duración inferior al año.
Por el contrario, el segundo régimen de
cálculo se aplica fundamentalmente a
las operaciones con duración superior a
un año.

61. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Ley de capitalización compuesta
Se da cuando los intereses generados
durante un periodo se agregan al
capital para el cálculo de los intereses
en el siguiente periodo de tiempo.
C o n s i s t e e n u n p ro c e s o d e
acumulación de los intereses al capital,
para producir conjuntamente nuevos
intereses hasta llegar al momento final
de la operación financiera.

62. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Nomenclatura utilizada en la
capitalización compuesta:
% C0: se denomina capital al importe
invertido al inicio de la operación
financiera.
% n: mediante esta letra se identifica el
tiempo en duración de la operación
financiera (número de periodos) que
podrá venir expresado en años,
semestres, etc.

63. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
i: Se llama rédito al tipo de interés anual
en tanto por un aplicado a la operación
financiera expresado en porcentaje, es
decir, es el rendimiento obtenido por
cada euro invertido en un periodo de
tiempo y, se designa mediante “r”. Sin
embargo, en las formulas no se trabaja
con el crédito, sino con el tipo de interés
en tanto por uno
I = √Cn / C0 -1
n

64. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
I: por medio de “I” se identifican los
intereses generados en un año durante la
operación financiera.
It: el interés total representa la suma de los
intereses de cada periodo.
Cn: el capital final o montante es el importe
obtenido al final de la operación
financiera, y cuantitativamente es la suma
del capital inicial más los intereses
generados.

65. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Los intereses de una operación de
capitalización compuesta se deben
obtener, a diferencia de la anterior, que
eran los mismos para cada plazo de
tiempo, para cada periodo “t”.
Por tanto, se obtendrían de la siguiente
forma:
It = C0 [(1 + i) n – 1]
Siendo “i” el tipo de interés de la
operación.

66. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
La figura que se muestra a
continuación representa la gráfica de
la capitalización compuesta:

67. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Si, de igual forma ya se hacía, se aplica
la ley de capitalización compuesta a
un capital inicial “C0”, con un tipo de
interés determinado, y durante un
periodo de tiempo determinado “n”, se
obtiene un montante Cn.
La función que se expone a
continuación es exponencial y
creciente:
Cn = Co (1+i)n

68. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
En la fórmula fundamental de la
capitalización compuesta, el capital
final o montante es igual al capital
inicial multiplicado por el factor de
capitalización (1 + i)n

69. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Cálculo de interés compuesto
En el desarrollo de los cálculos de la
capitalización compuesta, se ha
comenzado con el cálculo de los
intereses y del capital final.
En este último, se ha señalado que la
expresión matemática que permite
calcular el capital final o montante da
lugar gráficamente a una función
exponencial, tal y como se mostró en
la gráfica anterior.

70. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
A partir de la expresión mostrada del
capital final, se puede determinar la
inversión inicial despejando “C0” de la
formula:
Cn = C0 (1 + i) despejando “C0”, se
obtiene C0 = Cn / 1 + in
Se podría preguntar también por el
tipo de interés necesario para que un
capital invertido durante un espacio
de tiempo genere un determinado
capital final.

71. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
La fórmula se obtendrá a partir de la
expresión general:
Cn = C0 (1 + i)n ----- Cn / C0 = (1+i)n; por la
propiedad de las potencias se obtiene:
√ Cn / C0 = 1 + i despejando “i” se
obtiene: n √Cn / C0–1
De la misma forma, se podría calcular el
tiempo de una operación necesaria para
que un capital invertido a un tipo de
interés genere un determinado capital
final.

72. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Para ello, se utilizará de nuevo la
misma expresión general y se
despejaría “n”.
Al encontrarse dicha variable en el
exponente, la fórmula necesaria para
despejarla será la que se muestra a
continuación, que se realiza a través
de logaritmos:
Cn = C0 (1 + i)n despejando “n” se
obtiene n= LCn – LC0/ L (1+i)

73. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Tipo de interés nominal anual, tipo de
interés efectivo anual y tipo de interés
fraccionado
Igual que sucedía en la capitalización
simple, es necesario que el tiempo y el
tipo de interés estén referenciados a la
misma unidad temporal.
Sin embargo, los métodos empleados
para el interés simple no son validos
para el compuesto, por lo que se
tratarán, nuevos conceptos.

74. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Para adecuar el tipo de interés a la
fracción de tiempo en la que viene
expresado el periodo de capitalización,
se utilizan los tantos equivalentes en el
interés compuesto.
Por tanto, si en una operación, opr
ejemplo, el periodo de capitalización es
mensual, se debe plantear la siguiente
equivalencia financiera:

75. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Si se simplifica dicha equivalencia, se
obtiene la siguiente:
(1 + i ) = (1+i12)12
Una vez conseguida esta equivalencia,
bastaría con despejar “i12” para
conocer el interés mensual a partir de
interés anual:
I = (1 + i) 1/12 -1

76. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
En cambio, para conocer el interés anual a
partir del interés mensual, se despejaría “i”:
i = (1 + i 12)12-1
Conseguida la expresión que permite
calcular el interés efectivo mensual a partir
del anual, se deduce la fórmula general
aplicable a todos los casos a partir de la
expresión mostrada en el apartado
anterior:
(1+i) = (1+ik)k
ik= (1+i)1/k -1

77. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
El tipo de interés efectivo es un interés real,
pues recoge todos los gastos que origina
una operación financiera.
Como ya se conoce cómo calcular e
interés efectivo correspondiente a
cualquier periodo fraccionado, también se
puede plantear la cuestión inversa, es
decir, conocer el interés efectivo y
determinar su equivalente anual.
Este tipo de interés anual se denomina
tanto anual equivalente (TAE), y se calcula
mediante la siguiente expresión:

78. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
(1+i) = (1+ik)k
i = (1+1k)k-1
Por último, se debe señalar que en la
mayoría de la publicidad que las
entidades financieras realizan sobre sus
productos incluyen un tercer tipo de
tasa: el interés nominal.
Es un tipo de interés que en la práctica
no es operativo, ya que no se puede
utilizar para los cálculos.

79. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
El interés nominal para una fracción de
año será el interés nominal entre el
número de veces que la fracción en
cuestión esté incluida en el año o, lo
que es lo mismo, el interés nominal se
obtendrá multiplicando el número de
períodos del año (m) por el tanto
efectivo fraccionado (im).
Así, quedaría la siguiente expresión:
Im = Jm / m

80. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Aplicación práctica
Manuel tiene un dinero ahorrado y le gustaría
invertirlo para sacarle algo de rentabilidad.
Para ello, acude a su entidad financiera para
comprobar que posibilidades le ofrece esta.
Después de comunicar al gestor de su oficina
que tiene 50.000 euros para poder invertir, este le
ofrece la posibilidad de contratar un depósito
durante 5 años a un tipo de interés compuesto
del 5%.
¿Qué cantidad recibirá Manuela al cabo de los
5 años?

81. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Leyes
financieras
Si Manuel quisiera conseguir, con la
inversión de su dinero ahorrado, unos
70.000 euros, ¿durante cuánto tiempo
debería realizar la inversión para
conseguirlo?
Considere para ello las mismas
condiciones ofrecidas por la entidad.

82. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Descuento simple
Unidades al cálculo de los intereses
simples y compuestos en las operaciones
financieras, se encuentran las
operaciones de descuento.
La cantidad final es una cantidad fija,
cuyo valor hay que actualizar, habida
cuenta de la renuncia a la liquidez que
conlleva cualquier inversión u operación
financiera.

83. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Descuento
simple
Cálculo del Descuento comercial
Las operaciones de descuento
consisten en la actualización de
capitales hacia el pasado.
El descuento comercial (Dc) es aquel
cuyo cálculo se realiza a partir del
nominal (Cn) de la operación.
Su expresión es la siguiente:
C0= Cn (1 – d x n)

84. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Descuento
simple
De esta expresión se puede deducir el
descuento aplicado:
DC= Cn-C0=Cn – (1 – d x n) = Cn x d x n
DC= Descuento comercial
Cn= Nominal
n = tiempo o periodo que va desde la
fecha de descuento hasta el vencimiento.
d = tanto de descuento expresado en un
tanto por uno

85. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Descuento
simple
El descuento no es mas que la cantidad de
dinero a la que se renuncia por poder
disponer de un capital antes de su
vencimiento.
Al descontar un capital, se renuncia a
parte de su valor nominal para obtener
una cantidad de dinero inferior, el efectivo,
antes de la fecha señalada para su
vencimiento.
Nominal = efectivo + descuento
Descuento = nominal - efectivo

86. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Descuento
simple
Se llama:
E: efectivo o cantidad adelantada.
N: Nominal o importe total del cobro
que se adelanta.
D: descuento o diferencia entre el
nominal y el efectivo.
Al igual que se hizo en el estudio de las
leyes de capitalización, se muestra la
nomenclatura utilizada en el desarrollo
de la formulación relativa al descuento.

87. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Descuento
simple
Cuando se está en presencia de una
operación comercial y existe un
aplazamiento de pago, pueden girarse
letras de cambio a favor del vendedor,
que deberá cobrar en una fecha futura
determinada.
Si el vendedor decide no esperar al
vencimiento, puede conseguir los fondos
de forma anticipada a través de una
entidad financiera, en cuyo caso dicha
aplicará una ley financiera específica, en
cuyo caso dicha entidad aplicará una ley
financiera específica, que se conoce
como ley de descuento comercial simple.

88. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Descuento
simple
Cálculo del Descuento racional
La ley de descuento racional o
matemático (Dr) es la inversa de la ley
de capitalización simple, es decir,
aquella que utiliza para su cálculo el
valor efectivo (C0), por lo que su
expresión será la siguiente
Dr = C0 x n x i
Donde:

89. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Descuento
simple
Dr= Descuento comercial
C0= Nominal
n = tiempo o periodo que va desde la
fecha de descuento hasta el vencimiento.
i = tipo aplicado a la operación o tanto de
descuento expresado en tanto por uno.
De la misma forma que las leyes de
capitalización simple y de descuento
comercial, esta ley de descuento racional,
que tiene un decrecimiento no lineal,
remunera por igual a todos los capitales,
razón por la que no se utiliza a largo plazo.

90. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Descuento
simple
Algunos productos financieros que
emplean esta ley son las letras del tesoro
con vencimiento igual o inferior a 365
días, y los pagarés de empresa con
vencimiento inferior al año.
La capitalización simple permite
conocer el valor futuro de un capital
invertido en el presente bajo un tipo de
interés.
Se conoce el capital inicial y se quiere
conocer su valor futuro.

91. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Descuento
simple
El descuento, en cambio, pretende
conocer el valor presente de un capital
futuro a una tasa de descuento pactada.
Aquí se conoce el capital final, a una
fecha futura de vencimiento, y se quiere
conocer su valor presente.
Desde un punto de vista teórico, el
descuento racional parece la forma mas
correcta de calcular el descuento
aplicado a un capital, pero a nivel práctico
tiene sus limitaciones, al operar sobre un
valor en principio desconocido, como es el
efectivo.

92. Operaciones de cálculo financiero y comercial
Descuento
simple
En su lugar, el descuento comercial es el
calculado sobre el nominal.
Como este es un valor conocido, su
aplicación práctica es mayor y, por ello, es
utilizado por las entidades financieras en
este tipo de operaciones.
El descuento comercial es el criterio usado
para el cálculo del descuento.
La aplicación matemática de la ley de
capitalización simple daría otro resultado,
en este caso se hablaría de descuento
racional o matemático.