Procedimientos para la planificación en los Centros Educativos tipo V ( multi...
Distribucion normal
1. DISTRIBUCION NORMAL
Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N (μ, σ).
Su gráfica es la campana de Gauss:
El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es
igual a la unidad.
Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual
a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha .
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
Distribución normal estándar
N (0, 1)
La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella
que tiene por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la
unidad, σ =1.
La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto
sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.
2. Tipificación de la variable
Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que
sigue una distribución N (μ, σ) en otra variable Z que siga una
distribución N (0, 1).
Cálculo de probabilidades en distribuciones normales
La tabla nos da las probabilidades de P (z ≤ k), siendo z la variable
tipificada.
Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ (k).
Φ (k) = P (z ≤ k)
3. 1. Determine el área bajo la curva normal
a) Ala derecha de z= -0.85.
b) Entre z = 0.40 y z = 1.30.
c) Entre z =0.30 y z = 0.90.
d) Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45
Estos resultados se obtuvieron con las tablas anexas al final de los problemas
A – 1 – 0.1977 = 0.8023
B – 0.9032 – 0.6554 = 0.2478
C – 0.8159 – 0.3821 = 0.4338
D – 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.7404
2- Las puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen normalmente con
media de 480 y desviación estándar de 90.
a) ¿Cual es la proposición de puntuaciones mayores a 700?
b) ¿Cual es el 25º? ¿Percentil de las puntuaciones?
c) Si la puntuación de alguien es de 600. ¿En que percentil se encuentra?
d) ¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre 420 y 520?
µ = 480 σ = 90
A - Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a la derecha de Z es 0.0073
B – la puntuación de z en el 25 º percentil -0.67
El 25 º percentil es entonces 480 - 0.67 (90) = 419.7
C – z = (600-480)/90 = 1.33 el área a la derecha de z es 0.9082
Por lo que una puntuación de 600 esta en el percentil 91
D - z = (420 - 480)/90 = - 0.67
Z = (520 – 480)/90 = 0.44
El área entre z = - 0.67 y z = 0.44 es 0.6700 – 0.2514 = 0.4186
4. 3- La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente con
media de 10 giga pascales (Gpa) desviación estándar de 1.4 Gpa.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación tenga
resistencia mayor a 12 GPa?
b) Determine el primer cuartil de la resistencia de esta aleación.
c) Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación.
RESULTADOS
µ = 10 σ = 1.4
A) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43 es 1 – 0.9236 = 0.0764
B) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67
El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062 Gpa.
C) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645
El 25 º percentil es entonces 10 + 1.645(1.4) = 12.303 Gpa.
4- La penicilina es producida por el hongo penicillium, que crece en un caldo, cuyo
contenido de azúcar debe controlarse con cuidado. La concentración optima e
azúcar es de 4.9 mg/mL. Si la concentración excede los 6 mg/mL, el hongo muere
y el proceso debe suspenderse todo el día.
a) ¿Si la concentración de azúcar en tandas de caldo se distribuye
normalmente con media 4.9 mg/mL y desviación estándar 0.6 mg/mL
en que proporción de días se suspenderá el proceso?
b) El distribuidor ofrece vender caldo con una concentración de azúcar
que se distribuye normalmente con medida de 5.2 mg/mL y
desviación estándar de 0.4 mg/mL ¿este caldo surtirá efectos con
menos días de producción perdida?
RESULTADOS
A) (6 – 4.9)/0.6 =1.83 1 – 0.9664 = 0.0336
B) Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00 1 – 0.9772 = 0.0228
Con este caldo el proceso se suspendería el 2.28% de los días
5. 5- El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina se distribuye
con media de 12.05 onzas y desviación estándar de 0.03 onzas.
a) ¿Qué proporción de latas contiene menos de 12 onzas?
b) La medida del proceso se puede ajustar utilizando calibración. ¿En que valor
debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?
c) Si la media del procesos sigue siendo de 12.05 onzas. ¿En que valor debe
fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?
RESULTADOS
A) (12 – 12.05)/0.03 = -1.67 la proporción es 0.0475
B) Z= -2.33 entonces -2.33=(12 - µ)/0.03 despejando µ = 12 .07 onzas
C) – 2.33 = (12-12.05)/ σ despejando σ = 0.0215 onzas
