2. Sistemi di numerazione
Sistema di numerazione è un sistema per la
rappresentazione di grandezze numeriche
assegnate un insieme di regole e di cifre
Sistema di numerazione posizionale è un
sistema di numerazione dove ogni cifra
possiede un valore numerico che dipende dalla
posizione.
3. Caratteristiche del sistema decimale
E' posizionale infatti si definiscono unità,
decine, centinaia, ecc per ogni cifra.
Ad esempio 1345= 1x103
+3x102
+4x101
+5x100
La base del sistema è 10 così come le cifre
(0,1,2,3,..,9)
Possiede un insieme di regole ovvero le quattro
operazioni (+,-,x,:) che godono anche di alcune
proprietà come la commutativa, l'associativa, la
distributiva. Inoltre possiedono gli elementi
neutri 0 per addizione e sottrazione e 1 per
moltiplicazione e divisione
4. Esempio di sistema di numerazione
non posizionale
Assegno sempre 10 cifre come insieme
(0,1,2,3,...9)
Impongo che ogni cifra valga 10 qualunque sia
la sua posizione
Definisco le operazioni in modo diverso
in base a queste regole il numero 1345 si
scopone come segue:
1345=1x10+3x10+4x10+5x1=85
5. Definizione di sistema di
numerazione posizionale in base b
Sia data una base b intera, il numero delle cifre
del sistema è b con valori (0,1,2,..,b-1).
In tale sistema ogni cifra vale una potenza di b
che dipende dalla sua posizione.
In altri termini se il numero delle cifre è N e la
base b nel sistema decimale si ha:
a1
a2
a3
...an(b)
=a1
xbn-1
+a2
xbn-2
+....+an
xb0
Se ne deduce che se il numero delle cifre è N
la cifra più significativa vale bn-1
mentre la cifra
meno significativa più a destra vale b0=1
D
8. Codifica e decodifica
Codifica è l'operazione di passaggio da un
sistema decimale ad un in base arbitraria b
Decodifica è l'operazione inversa alla codifica
con conseguente conversione del numero dalla
base b alla base decimale
9. Sistema Binario
Nel calcolatore si utilizza il sistema binario
poiché i segnali elettrici che viaggiano
all'interno del calcolatore sono segnali digitali
ovvero segnali che possono assumere nel
tempo solo due valori o c'è segnale o non c'è
segnale.
l
1
0
Intensità
tempo
In questo diagramma si trasporta un'informazione binaria che vale 101
10. Motivazioni della codifica
Nel calcolatore la codifica binaria nasce dalla
necessità di creare una corrispondenza
biunivoca fra i valori che assumono i segnali
digitali e la codifica delle informazioni.
Tramite questa codifica binaria tutte le
informazioni numeriche, alfanumeriche, e audio
video vengono rappresentate in modi diversi
mediante la stessa.
11. Codifica da Base Decimale a
Binario
Per la codifica viene adoperato un metodo molto semplice basato
sui seguenti passi:
Sia N il numero decimale da convertire, si effettua la divisione
per 2 del numero.
Se il quoziente maggiore o uguale a 2 si procede ad una
nuova divisione per 2 del quoziente
Se il quoziente è già minore di 2 allora il numero binario è
ottenuto assegnando come cifra più significativa l'ultimo
quoziente e i rimanenti resti come cifre successive.
Se il quoziente è già minore di 2 allora il numero binario è
ottenuto assegnando come cifra più significativa l'ultimo
quoziente e i rimanenti resti come cifre successive.
12. Esempio di codifica
Supponiamo di voler codificare il numero 213
Numero N Base 2
213 2
0 53
1 26
0 13
1 6
0 3
Nella prima colonna sono
visualizzati i resti in giallo,
mentre nella seconda colonna
in giallo è visualizzato l'ultimo
quoziente. Pertanto la codifica
è:
11010101(2)
La prova di verifica della nostra operazione è data dalla decodifica che in
base alla formula scritta in precedenza fornisce per il nostro numero:
11010101=1x27
+1x26
+0x25
+1x24
+0x23
+1x22
+0x21
+1x20=
128+64+16+4+1=192+21=213
13. Le operazioni con i numeri binari
Nello svolgimento delle prime operazioni binarie si
ipotizza che il numero è positivo e non ha cifre
decimali. Questo perché la rappresentazione
per i numeri interi e decimali e diversa.
Somma1+1=0 con riporto
0+1=1
1+0=1
0+0=0 101010+
42+
11111=
31=
1001001 73
Riporti
14. Sottrazione Binaria
Le regole della sottrazione binaria sono:
Sottrazione
1-0=1
1-1=0
0-0=0
0-1=1 con prestito
101010 42-
11111=
31=
0001011 11
Prestito
Le cifre che prestano
se sono 0
diventano 1 e
viceversa.
16. Esempio di moltiplicazione binaria
Svolgiamo questa semplice moltiplicazione
101x11
101x
11=
101+
101 =
1111
Nella moltiplicazione si ha che:
101=5
11=3
quindi il risultato della
moltiplicazione è in decimale
deve venire 15 che in binario
è proprio:
1111