PUNIM SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!! EKUACIONET, INEKUACIONET Nënçeshtjet: Ekuacionet e njëvlershme Ekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore Ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore, formulat e Vietës Ekuacioni në formë prodhimi dhe ekuacionet thyesore Sisteme ekuacoinesh të fuqisë parë me dy ndryshore Inekuacionet e njëvlershme Inekuacionet me një ndryshore Inekuacionet e fuqisë së parë me një ndryshore #MesueseAurela

2. ____

3. EKUACIONET, INEKUACIONET
 Nënçeshtjet:
 Ekuacionet e njëvlershme
 Ekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore
 Ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore,
formulat e Vietës
 Ekuacioni në formë prodhimi dhe ekuacionet
thyesore
 Sisteme ekuacoinesh të fuqisë parë me dy
ndryshore
 Inekuacionet e njëvlershme
 Inekuacionet me një ndryshore
 Inekuacionet e fuqisw së parw me një
ndryshore
#MesueseAurela

4.  Barazimi me një ndryshore quhet
ekuacion nëse kërkohen vlerat e
ndryshores që e kthejnë atë në barazim
numerik të vërtetë.
 Çdo vlerë e tillë e ndryshores quhet rrënjë
e ekuacionit.
 Dy ekuacione me të njëjtën ndryshore
quhen të njëvlershme në bashkësinë E
nëse ata kanë të njëjtën bashkësi
#MesueseAurela

5.  Për të kaluar nga një ekuacion në një tjetër, të
njëvlershëm me të në R, përdorim këto teorema:
 TEOREMË 1: Nëse në njërën anë të ekuacionit
me një ndryshore kryejmë shndërrime identike në
R, marrim një ekuacion të njëvlershëm me të.
 TEOREMË 2: Nëse kalojmë një kufizë nga njëra
anë e ekuacioni në tjetrën, duke i ndryshuar
shenjën në të kundërt, marrim ekuacion të
njëvlershëm me të parin në R.
 TEOREMË 3: Nëse të dyja anët e një inekuacioni
shumëzohen me të njëjtin numër, të ndryshëm
nga 0, merret një ekuacion i një ekuacion i
njëvlershëm me të parin në R.
#MesueseAurela

6.  SHEMBULL: 5 x + 7 = x – 2 ; 4 x + 9 =
0. A ja në të njëvlershme këto
ekuacione?
 ZGJDHJE: Zbatojmë teoremën 2. 5 x
+ 7 – x + 2 = 0
 Reduktojmë kufizat e ngjashme 5 x –
x = 4 x ; 7 + 2 = 9 kështu marrim
ekuacionin 4 x + 9 = 0 dhe themi që
këto dy ekuacione janë të
#MesueseAurela

7.  Një ekuacion quhet i fuqisë së parë me
një ndryshore nëse trajta kanonike e itij
është
 ax + b = 0. Për të zgjidhur ekuaconin e
fuqisë. së parë ax + b = 0 do të kryejmë
shndërrime të njëvlershme Ekuacioni i
fuqisë së parë ax + b = 0 mund të ketë
rrënjë:
 1) për a ≠ 0 ka një rrënjë të vetme
 2) për a = 0, b ≠ 0 ekuacioni nuk ka
rrënjë
 3) për a = b = 0 ekuacioni ka një
pafundësi rrënjësh.
#MesueseAurela

8.  SHEMBULL: Të zgjidhet ekuacioni 4x –
12 = 0
 ZGJIDHJE: 4x – 12 = 0 4x = 12 x =
3
 PËRGJIGJE: Bashkësia e zgjidjeve të
ekuacionit është: A = { 3 }.
#MesueseAurela

9.  SHEMBULL: Të zgjidhet ekuacioni – 2x2
+ 5x – 2 = 0.
 ZGJIDHJE: Duke shumëzuar të dyja e
ekuacionit me ( - 1 ) e sjellim në
ekuacionin
 2x2 – 5x + 2 = 0. Kemi a = 2; b = - 5; c
= 2
 D = ( - 5 )2 -4 • 2• 2 = 9; 9 > 0 D = 3
Ekuacioni ka dy rrënjë reale:
 1) x1= = = x2 = = 2
 2) x = = =
#MesueseAurela

10.  Ekuacioni i trajtës ax2 + bx + c = 0, ku x
është ndryshorja, kursë a, b, c janë numra
realë dhe a ≠ 0, quhet ekuacion i fuqisë
së dytë me një ndryshore. Dallor të
ekuacioni ax2 + bx + c = 0 kemi quajtur b2
– 4ac, që e kemi shënuar me shkronjën
D. D = b2 – 4ac.
 Nqs. D > 0 ekuacioni ka dy rrënjë reale
x1= x2 =
 Nqs. D = 0 ekuacioni ka një rrënjë reale,
numrin
#MesueseAurela

11.  Formulat e Vietës na lejojnë të gjejmë
shumën dhe prodhimin e rrënjëve reale
të ekuacionit të fuqisë së dytë.
 Këto formula janë:
 x1 + x2 = –
 x1 * x2 =
 Teoremë: Nëse numrat m, n e kanë
shumën S dhe prodjimin P, atëherë këta
numra janë rrënjë të ekuacionit x2 – Sx +
P = 0.

12.  SHEMBULL: Të shkruhet ekuacioni i
fuqisë së dytë, që ka për rrënjë numrët
5 dhe 7.
 ZGJIDHJE: S = x1 + x2 = 5 + 7 = 12;
P = x1 * x2 = 5 * 7 = 35.
 Ekuacioni që kërkohet është: x2 – 12x
+ 35 = 0.
#MesueseAurela

13. Ekuacione në trajtë prodhimi
 Ekuacioni me trajtë kanonike f(x) * g(x) =
0, quhet ekuacion në trajtë prodhimi.
Bashkësia e rrënjëve të këtijekuacioni
është bashkimi i bashkësivetë rrënjëe të
ekuacioneve f(x) = 0 dhe g(x) = 0.
 Çdo rrënjë e ekuacionit f(x) * g(x) = 0,
është rrënjë e ekuacionit f(x) = 0 ose e
ekuacionit
 g(x) = 0.
 Çdo rrënjë e ekuacionit f(x) = 0, që nuk
është vlerë e palejuar për g(x), është
edhe rrënjë e ekuacionit f(x) * g(x) = 0.
#MesueseAurela

14.  Shënim: Kushti që rrënja e f(x) = 0,
për të qënë rrënjë e ekuacionit f(x) *
g(x) = 0, duhet të mos jetë vlerë e
palejuar e g(x) është thelbësor.
Cënimi i tij bën që rrënja e f(x) = 0 të
mos jetë rrënjë e ekuacionit f(x) * g(x)
= 0.
 Nëse A është bashkësia e rrënjëve të
ekuacionit f(x) = 0, për të cilat ka
kuptim g(x) dhe B është bashkësia e
rrënjëve të ekuacinit g(x) = 0, për të
cilat ka kuptim f(x), atëherë bashkësia
e rrënjëve të ekuacionit f(x) * g(x) = 0
është AB.
#MesueseAurela

15.  SHEMBULL: Të zgjidhet ekuacioni:
( x2 + 7x – 8 )( x2 – 6x -7 ) = 0
 ZGJIDHJE: Zgjidhim secilin nga
Ekuacionet: x2 + 7x – 8 = 0 ; a =
1; b = 7; c = -8
 D = 72 – 4 * 1* ( - 8 ) = 81 81 = 9; x1 =
1; x2 = -8
 x2 – 6x – 7 = 0 ; a = 1; b =-6; c = -7
 D = (-6)2 - 4 * 1* ( -7 ) = 64 x1 = 7 ;
x2 = -1
 PËRGJIGJE: Bashkësia e rrënjëve të
ekuacionit është bashkësia: A = { -8, -1, 1,
7 }.

#MesueseAurela

16.  Nëse e panjohura është në thyesën e një
ekuacioni, ky ekuacion quhet thyesor.
 Para se të zgjidhet një ekuacion thyesor duhet:
 1. Të gjendet emëruesi i përbashkët
 2. Të gjenden bashkësia e vlerave të lejuara të
ndryshores
 SHEMBULL: Të zgjidhet ekuacioni = 5
 ZGJIDHJE: Emëruesi i përbashkët është x- i. Ky
emërues duhet të jetë i ndryshëm nga zero.
Shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me x.
 X * = x * 5 ; 6x – 3 = 5x ; 6x – 5x = 3 ; x = 3
 Meqenëse 3 ≠ 0, atëherë x = 3 është rrënjë e
ekuacionit.
#MesueseAurela

17.  quhen sistem ekuacionesh të fuqisë së parë
me dy të panjohura.
 Zgjidhje të sistemit quhen të gjitha çiftet ( x, y
), që po të zëvëndësohen kthehen në
barazime numerike të vërteta.
 Të zghjidhësh një sistem do të thotë të gjesh
të gjitha zgjidhjet e sistemit. Për të zgjidhur
një sistem përdorim tre metoda që janë:
 A) metoda e zëvëndësimit
#MesueseAurela

18.  SHEMBULL: Të zgjidhet sistemi:
 1. Nga ekuacioni parë nxjerrim x = 6 – 2y
 2. Në ekuacionin e dytë zëvëndësojmë x me 6 – 2y
dhe marrim 3( 6 – 2y ) + y = 8
 3. Kemi 18 – 6y + y = 8 → - 5y = - 10 → y = 2
 4. x = 6 – 2 * 2 = 2 → x = 2
 5. Zgjidhja e sistemit është çifti ( 2; 2 )
 B) metoda e mbledhjes
 SHEMBULL: Të zgjidhet sistemi:
 1. Shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit të parë me 3
dhe dy anët e ekuacionit të dytë
 me – 2. Kështu përftojmë sistemin
 2. Kemi: ( 6x + 9y ) + ( - 6x +8y ) = 21 – 4
 3. Mbasi kryejmë veprimet marrim 17 y = 17, nga ku y
= 1
 4. Duke zëvëndësuar y me 1 në ekuacioni fillestar,
gjejmë x
 2x+3 * 1= 7; x = 2
#MesueseAurela

19. Inekuacionet me një
ndryshore
 Zgjidhje e ekuacionit me një ndryshore
quhet çdo vlerë e ndryshores që e
kthen inekuacionin në mosbarazim
numerik të vërtetë me të njëjtim kah.
 Dy inekuacione me të njëjtën
ndryshore quhen të njëvlershme në
bashkësinë E, nëse kanë të njëjtën
bashkësi zgjidhjesh në E. Në këtë rast
lidhen me shenjën <=>.
#MesueseAurela

20.  TEOREMË 1: Nëse marrim në njërën anë të
inekuacionit f(x) > g(x) kryejmë shndërrime
identike në R, atëherë marrim një inekuacion
të njëvlershëm me të në R.
 TEOREMË 2: Nëse kalojmë kufizën nga
njëra anë e ekuacionit në anën tjetër, duke
ndërruar shenjën e saj, marrim një
inekuacion të njëvlershëm me të parin në R.
 TEOREMË 3 : Nëse të dyja anët e një
inekuacioni i shumëzojmë me të njëjtin
numër pozitiv, atëherë marrim një inekuacion
të njëvlershëm me të parin në R.
 TEOREMË 4: Nëse të dyja anët e një
inekuacioni i shumëzojmë me të njëjtin
numër negativ dhe ndryshojmë kahun,
atëherë marrim një inekuacion të
njëvlershëm me të parin në R.
#MesueseAurela

21.  Inekuacionet më të thjeshta me një
ndryshore janë inekuacionet e trajtave të
mëposhtme ku
 c – ja është numër real i dhënë.
 x > c. Bashkësia e zgjidhjeve në R është ]
c, + ∞ [.
 x< c. Bashkësia e zgjidhjeve në R është ] -
∞, c [.
 x c. Bashkësia e zgjidhjeve në R është [
c,+ ∞ [.
 x c. Bashkësia e zgjidhjeve në R është ]-
∞, c ].
#MesueseAurela

22.  Çdo inekuacion me një ndryshore që sillet me
shndërrime të njëvlershme në një nga këto
trajta: ax + b > 0; ax + b < 0, a dhe b janë
numra realë dhe a ≠ 0 quhet inekuacion i
fuqisë së parë me një ndryshore.
 SHEMBULL: Të zgjidhet në R inekuacioni –
≥
 ZGJIDHJE: Emëruesi i përbashkët është 12
dhe shumëzojmë të dyja anët ( teorema 4 ). 12
( – ) ≥ 12
 4 ( 2x – 1 ) –6x ≥ 3x – 3; 8x – 4 – 6x – 3x +
3 ≥ 0; -x – 1 ≥ 0; - x ≥ 1; x ≤ - 1
 PËRGJIGJE: Bashkësia e zgjidhjeve të
inekuacionit në R është ]- ∞, - 1 ].
#MesueseAurela