Presentación de la programación lineal para problemas de ingeniería.

1. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ZACATECAS
UNIDAD ACADÉMICA DE CIENCIAS QUÍMICAS
INGENIERÍA QUÍMICA
INGENIERÍA DE PROCESOS II
PROF: J. MANUEL GARCÍA
J. ANDRÉS TAVIZÓN POZOS

2. “Maximizar o minimizar algunas funciones que se encuentran
sujetas a determinadas limitaciones”.

3. • Disponer de una
Algoritmos de herramienta para resolver
optimización problemas usando la
computadora.
• + Heurística
Derivaron • - Matemática
Hoy en día • Poderosas herramientas.
• Definen un marco
Elementos conceptual para el
teóricos desarrollo de los
algoritmos.

4. Programación Lineal (LP)
Automatizar
Modelo fácil Modelos de
el proceso Método Método
de generar, más de 100
generando SIMPLEX. Karmarkar.
resolver y mil
grandes 50’s. 80’s.
analizar. variables.
modelos.

5. Espacio dividido en un :
•Semiespacio factible
(conjunto de punto que verifican
la restricción).
•Semiespacio no factible
(conjunto
de puntos que no verifican la
restricción).
•El conjunto de puntos que
satisface simultáneamente todas
las restricciones.
•La región factible
del LP.

6. Valor máximo
factible (óptimo).
“El óptimo de un
LP cuya región
factible es no
vacía y acotada
estará siempre
asociado a un
punto extremo
(vértice del
poliedro)
de la misma”.

7. Si la región
factible es
vacía. Se dice
que el LP es
infactible.
Particularidades
del LP
La recta de la función Si la región factible
objetivo es paralela a una es no acotada en la
recta de restricción sobre dirección en la cual
la que se encuentra el
extremo óptimo. Se dice la función objetivo
que el LP tiene es optimizada. Se
soluciones óptimas dice que el LP es
alternativas.
no acotado.

8. Restricciones

9. Problema de resolución analítica
Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 8y
sujeto a: 4x + 5y ≤40
2x + 5y ≤30
x ≥0 , y ≥0
4x + 5y = 40 , 2x + 5y = { 4x + 5y = 40 , x = 0 }
Calculamos las 30}. Solución A(5,4) Solución:B (0,8)
soluciones de cada
uno de los seis { 4x + 5y = 40 , y = 0}. { 2x + 5y = 30 , x = 0}
sistemas de dos Solución: C(10,0) Solución: D(0,6)
ecuaciones con dos
incógnitas que se
{ 2x + 5y = 30 , y = 0}. { x = 0, y = 0} Solución:
pueden formar con las
Solución : E(15,0) O(0,0)
cuatro restricciones.

10. Determinar los vértices de la región
factible
Si sustituimos los puntos en cada una de las desigualdades
tenemos que:
•B no cumple la segunda restricción 2x + 5y ≤ 30 , ya que 2·0 + 5·8
= 40 .
Por tanto, el punto B no es un vértice de la región factible.
•E no cumple la primera restricción 4x + 5y ≤40 , ya que 4·15 + 5·0
= 60 .
Por tanto, el punto E no es un vértice de la región factible.
Los puntos A, C, D y O verifican todas las desigualdades, son los
vértices de la región factible.

11. Calcular los valores de la función
objetivo en los vértices
f(A) = f(5,4) = 3·5 + 8·4 = 47 f(C) = f(10,0) = 3·10 + 8· 0 = 30
f(D) = f(0,6) = 3·0 + 8·6 = 48 f(O) = f(0,0) = 3·0 + 8·0 = 0
La solución óptima corresponde
al vértice para el que la función
objetivo toma el valor máximo.
En este caso es el vértice D(0,6).

12. Ejemplo de transporte.
Parece ser que el
transporte de “a” a “d”
es el más barato, sin
embargo es necesario
hacer el análisis lineal.
En este caso, el costo total del transporte sería:
Transporte de 40 t de "a" a "d" = $80
Transporte de 20 t de "c" a "e" = $360
Transporte de 40 t de "b" a "e" = $960
Total =$1.400

13. Con programación lineal
Restricciones de
producción
Restricciones
de consumo

14. Solución y conclusiones del problema
La solución de costo mínimo de transporte diario resulta:
•Xb-d = 40 resultando un costo de 12 x 40 = $480
•Xa-e = 40 resultando un costo de 11 x 40 = $440
•Xc-e = 20 resultando un costo de 18 x 20 = $360
Total =$1.280
•Es discutible la conveniencia de tomar decisiones por consenso en
cuestiones estrictamente técnicas.
•Es discutible la aplicación de la intuición en el caso de problemas con
más de 4 variables.
•Una vez conocida la solución del problema lineal, generalmente le
resulta casi evidente al analista que ésa es la solución correcta, si bien
no la veía antes.

15. Método SIMPLEX
Aplicable a Condición de Condición de Convergencia
todo LP. factibilidad. optimicidad. del método.

16. Aplicaciones de LP
• Optimización de la combinación de diámetros
comerciales en una red ramificada de
distribución de agua.
• Microeconomía y administración de empresas.
• Mezcla de alimentos.
• Planificaciones de campañas de publicidad.
• Recursos humanos y maquinarias.
• Solución de problemas de transporte.

17. Referencias
• Antología de Ingeniería de Procesos II.
• http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matema
ticas/29/matematicas-29.html
• http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%
B3n_lineal