- La integral es la operación inversa a la derivada y se usa para calcular áreas y volúmenes. Existen dos tipos principales: la integral definida, que calcula el área debajo de una curva entre dos puntos, y la integral indefinida, que encuentra una función cuya derivada es la función dada.
5. • Dada una función continua en un intervalo [a,b]
se define la integral definida entre a y b de la función f como el
área S limitada por las rectas x=a, x=b, el eje de abscisas y la
curva definida por la representación gráfica de f. Se denota por:
6. • Por ejemplo, si f es la función constante f(x)=3, entonces la integral de
f entre 0 y 10 es el área del rectangulo limitado por las rectas x=0,
x=10, y=0 y y=3. El área corresponde al producto de la anchura del
rectángulo por su altura, por lo que aquí el valor de la integral es 30.
• Si se tiene una primitiva (integral indefinida) de la función f:
• entonces, y según la Regla de Barrow
• Siempre y cuando ni la integral ni la función integrada no presenten
singularidades en el intervalo de integración.
• A esta relación entre la integral indefinida y la superficie bajo la
función se le denominaTeorema fundamental del calculo integral
• *tipos
7. Integral Indefinida:
• Dada una función F(x) tal que su derivada es F'(x) = f(x), entonces
decimos que F es la integral o primitiva de f, definiendo así la
integración como la inversa de la derivación. Simbólicamente, se
denota por
• Una función dada no tiene una única integral indefinida. Por ejemplo,
para la función f(x) = x + 2, las siguientes funciones son todas
primitivas de la misma:
• En general, si F(x) es una primitiva de f(x), entonces cualquier función
de la forma F(x)+c, siendo c una constante cualquiera, es también una
primitiva de f(x). *tipos
8. Teorema fundamental del calculo
• Teorema: Si una función f es continua en el intervalo [a,b], entonces
• donde F es cualquier función tal que F’(x) = f(x) para todo x en [a,b].
La función f se llama el integrando y las constantes a y b son los
límites de integración. El proceso de hallar el valor de una integración
definida se llama evaluar el integral.
*precursores
12. A)1.-Area de una región comprendida entre dos curvas
• Si f y g son funciones continuas en el intervalo [a,b] y
• para todo x en [a,b], entonces el área de la región limitada por y = f(x),
y = g(x),
x = a y x = b. es:
13. • Donde f(x) representa la curva de arriba y g(x) representa
la curva de abajo. En la ilustración a continuación, f(x) es
la parábola que abre hacia abajo (observa que es la curva
de arriba en la región limitada por ambas funciones) y g(x)
es la parábola que abre hacia arriba (esta es la curva de
abajo en la región limitada por ambas funciones).
14. Pasos para hallar el área de una región comprendida
por una curva arriba y otra abajo:
1) Dibuja las gráficas. Esto permite visualizar qué curva está
arriba y cuál está abajo.
• 2) Halla los límites de integración, los cuales se leen en el eje x.
• 3) Halla:
15. A)2.-Región limitada por curva derecha y curva
izquierda
• El proceso para calcular el área de una región limitada por una
curva a la derecha y otra a la izquierda es similar al anterior. Se
recomienda dibujar las gráficas para visualizar qué curva está a la
derecha y cuál a la izquierda. Los límites de integración se leen en
el eje y, y se halla de la forma:
• Donde en esta ocasión f(y) representa la curva de la
derecha y g(y) la curva de la izquierda.
*aplicaciones
16. B).-Volúmenes de cuerpos de revolución
• Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región
plana alrededor de ejes. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al
girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al
girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
• El volumen de un cono y de un cilindro se puede calcular por medio de
fórmulas geométricas. Pero existen otros sólidos de revolución como la
paraboloide donde no se dispone de una fórmula para hallar su volumen.
La paraboloide surge al girar una región parabólica alrededor de una recta.
Cono paraboloide
17. B)1.-Volumen de un sólido de revolución cuya rotación
es alrededor del eje x por el método de discos:
• El volumen de un sólido que se genera al
girar la región entre la gráfica de una
función continua y = f(x) y el eje x de x = a
a x = b alrededor del eje x es:
18. B)2.-Volumen de un sólido de revolución cuya rotación es
alrededor del eje y por el método de discos:
• El volumen de un sólido que se genera al
girar la región entre la gráfica de una
función continua y el eje y de y = c a y =
d alrededor del eje y es:
19. B)3.-Volumen de un sólido de revolución que no tiene
borde en el eje de rotación por el método de arandelas:
• Si la región que se gira para generar un sólido no tiene borde
en el eje de rotación, entonces el sólido tiene un agujero. El
volumen se determina por:
• donde R es el radio exterior y r es radio interior.
20. B)4.-Volumen de un sólido de revolución por el método de capas
(cascarones cilíndricos)
• Se conoce como el método de capas o cascarones cilíndricos
porque utiliza capas cilíndricas. Un cascarón cilíndrico es un
sólido acotado por dos cilindros circulares rectos concétricos.
Para hallar el volumen de un sólido de revolución por el método
de capas se utilizan las siguientes fórmulas:
• I.- Si el eje de rotación es horizontal, entonces:
• Donde y representa el radio de la capa cilíndrica y g(y) la altura
de la misma. El intervalo de integración se lee en el eje de y.
21. • II.-Si el eje de rotación es vertical, entonces:
• Donde x representa el radio de la capa cilíndrica y f(x) la
altura de la misma. El intervalo de integración se lee en el
eje de x
*aplicaciones
22. Precursores:
• Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried
Leibniz, fueron los que dieron forma al
Teorema fundamental del calculo
• Isaac Barrow formulo reglas sobre la
integral y se llamaron: reglas de Barrow
23. Teorema de Barrow
• Dada una funcion f continua en el intervalo [a; b]
y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es
decir F' = f
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