1. 1
Batlaw: BUT-iïn ärxlägq,däslägq.................... W.Bat-Ärdänä
X¶nasan: Professor .................... B.Dolgorsürän
Lekc 7
Xiqääliïn sädäw: Xawtgaï dax´ ²uluunuudyn xarilcan
baïr²il
1. Xoër ²uluuny xoorondox öncög, ²uluunuudyn
perpendikul¶r ba parallelw baïx nöxcöl
y = k1 x + b1 (I)
gäsän ogtlolcson 2 ²uluun aw³¶. Xoër ²uluuny
y = k2 x + b2 (II)
xoorond xoër ¶nzyn öncög üüsgänä. Ädgäär öncgüüdiïn niïlbär n´ 1800 -
taï täncänä. Änä 2 öncgiïn al´ nägiïg olox tom³ëo garga¶. Al´ näg
öncgiïg ϕ-äär tämdägläwäl nögöö n´ π −ϕ bolno. I ²uluuny Ox tänxlägt
nalsan öncgiïg α1 -äär, (II)-ynxyg α2 -oor tämdägläwäl ϕ = α2 − α1 bolno.
y (II) (I)
α2
ϕ
α1
α1 α2
0 x
tgα2 −tgα1
tgϕ = tg(α2 − α1 ) = 1+tgα1 ·α2
; k1 = tgα1 ; k2 = tgα2 tul
k 2 − k1
tgϕ = (3)
1 + k1 · k 2
Änä n´ 2 ²uluuny xoorondox öncgiïn tangensyg olox tom³ëo bolno.
A1 x + B1 y + C1 = 0
2 ²uluun gäsän erönxiï täg²itgäläär ögögdsön
A2 x + B2 y + C2 = 0

2. 2
A C1
y = − B1 x − B1
bol ädgääriïg öncgiïn koäfficienttäï xälbärt ²iljüülän A
1
C2
y = − B2 x −
2 B2
A A
gäj biqääd k1 = − B1 ; k2 = − B2 -iïg (3)-t
1 2
orluulbal
A1 B2 − B1 A2
tgϕ = (4)
A1 A2 − B1 B2
baïna.
Xäräw (I), (II) ²uluunuud parallel´ bol tgϕ = 0 bolj
(3)-aas k1 = k2
(4)-ääs A1 B2 − A2 B1 = 0 nöxclüüd garna.
Xäräw (I), (II) n´ perpendikul¶r bol tgϕ todorxoï utgagüï bolox uqir
(3)-aas 1 + k1 · k2 = 0 buµu k1 · k2 = −1 (5)
(4)-ääs A1 A2 − B1 B2 = 0 (6) nöxclüüd garna.
Sanamj: (3) tom³ëog 2 ²uluuny al´ näg n´ Ou tänxlägtäï parallel´
baïxad xärägläj boloxgüï.
Ji²ää 1: y=-x+5; y = 1 x + 4 ²uluuny xoorondox öncgiïg ol.
2
1
k1 = −1, k2 = 2 tul tgϕ = 3; ϕ = arctg3 bolno.
Ji²ää 2: 2x+4y+5=0, x+2y-3=0 ²uluunuudyn xoorondox öncgiïg ol.
A1 = 2, B1 = 4, A2 = 1, B2 = 2 uqir tgϕ = −6 = − 3 ; ϕ = arctg(− 5 ).
10 5
3
2. ’uluuny ägäl täg²itgäl
’uluuny täg²itgäliïn koäfficientüüdiïg koordinatyn äxääs ²uluun
däär buulgasan perpendikul¶ryn urt r tüüniï Ox tänxlägtäï üüsgäsän
öncgöör ilärxiïl´e.
x cos α + y sin α − p = 0 (7)
üüniïg ²uluuny ägäl täg²itgäl gänä. Änd
1 A B C
µ = ±√ , cos α = √ , sin α = √ , −p = √ .
A2 +B 2 ± A 2 + B2 ± A 2 + B2 ± A2 + B 2
µ-g ägälqlägq ürjigdxüün gänä. µ-iïn tämdgiïg S-iïn tämdgiïn äs-
rägäär songon awdag. µ-iïn tämdgiïg duraar n´ songon awna.
S=0 bol
Ji²ää n´: 5x+3y−6 = 0, µ = √521+32 = √1 , cos α = √5 , sin α = √3 ,
34 34 34
−6 −6
p = √34 . Ändääs ²uluuny ägäl täg²itgäl n´ √5 x+ √3 y + √34 = 0 bolno.
34 34
3. Cägääs ²uluun xürtläx zaï olox bodlogo

3. 3
M1 (x1 , y1 ) cägääs Ax+By+C=0 täg²itgäläär ögögdsön ²uluun xürtläx
zaïg ol.
’uluun erönxiï täg²itgäläär ögögdsön bol xazaïlt n´
Ax1 + By1 + C
δ= √ (8)
± A2 + B 2
baïna. Düräm: Cägääs ²uluun xürtläx zaïg oloxdoo ²uluuny täg²it-
gäliïg ägäl dürsäd ²iljüülj xuw´sax koordinatyn orond ögögdsön
cägiïn koordinatyg taw´j xazaïltyg olood moduliïg awna.
√
Ji²ää 1 Koordinatyn äxääs x + 2y − 5 = 0 ²uluun xürtläx zaïg
√ √
ol.
µ = √5 ; x+2y− 5 = 0; d = |δ| = − 55 = 1.
1 √
5
√
Ji²ää 2: (1,1) cägiïn 3x+4y-17=0 ²uluunaas xazaïsan xazaïltyg ol.
3x+4y−17
5
= 0, δ = 3·1+4·1−17 = −2.
5
4. 2 ²uluuny xarilcan baïr²il
Xawtgaï däär 2 ²uluun n´ xoorondoo ogtlolcson, dawcsan, parallel´
gurwan ¶nzyn baïrlaltaï baïj bolno.
A1 x + B1 y + C1 = 0
(7) ²uluuny ogtlolclyn cägiïn koordinatyg
A2 x + B2 y + C2 = 0
ol³ë.
B1 C2 −C1 B2 C1 A2 −A1 C
(8) x= A1 B2 −A2 B1
; y = A1 B2 −A2 B2 tom³ëogoor todorxoïlogdox ba 2
1
²uluuny ogtlolclyn cägiïn koordinat n´
A1
A2
= B1 üed A1 = B1 = C2 ba A1 = B2 = C1 2 toxioldol baïj bolno.
B2 A2 B2
C1
A2
B1
C2
A1
A2
= B1 = t gäwäl äxniï toxioldold A1 = A2 · t; B1 = B2 · t; C1 = C2 · t
B2
änä n´ zörqild xürq baïna. Iïnxüü (7) sistem änä toxioldold ²iïdgüï
baïna. Änä n´ ug xoër ²uluun parallel´ gäsän üg µm.
Xoërdugaar toxioldold A1 = A2 · t; B1 = B2 · t; C1 = C2 · t uqraas
²uluunuud dawxcsan baïna.
Ji²ää:
3x + y − 7 = 0 3 1 −7
1. ²uluunuud = 1 = −17 uqir parallel´ baïna.
3x + y − 17 = 0 3
2x + 3y + 6 = 0 2 3 6
2. ²uluunuud
8
= 12 = 24 uqir dawxcana.
8x + 12y + 24 = 0

4. 4
’ugaman algebriïn ädiïn zasag dax´ xäräglää
1. Orlogo, zarlaga toocox bodlogo
Ji²ää 1: Dörwön xäräglägq gurwan törliïn baraanaas daraax´ baïd-
laar xudaldan awqää. 1-r xün nägdügäär törliïn baraanaas 2 nägjiïg,
2-r törliïn baraanaas 5 nägjiïg, 3-r törliïn baraanaas 1 nägjiïg, 2-r
xün 1-r törliïn baraanaas 1 nägjiïg, 2-r törliïn baraanaas 4 nägjiïg,
3-r törliïn baraanaas ogt awaagüï, xarin 3-r xün 1-r törliïn baraanaas
3 nägjiïg, 2-r törliïn baraanaas 3 nägjiïg, 3-r törliïn baraanaas 5
nägjiïg tus tus awsan baïna. Nägdügäär törliïn baraany nägjiïn ünä
210 tögrög, 2-r törliïn baraany nägjiïn ünä 360 tögrög, 3-r törliïn
baraany nägjiïn ünä 400 tögrög baïsan bol xäräglägq büriïn ädgäär
baraanaas xudaldan awaxdaa gargasan zardlyg ol.
Bodolt: Xäräglägqdiïn xudaldan awsan baraany too xämjäägäär daraax´
matricyg üüsgäe. Änä matricyn i-r mör n´ i-r xäräglägqiïn baraa
bürääs xudaldan awsan xämjääg zaana. Ööröör xälbäl
 
2 5 1
A= 1 4 0 
3 3 5
bolno. Mön ädgäär baraanuudyn ünäär daraax´ bagana matricyg baïgu-
ul³¶. Üünd:
 
210
P =  360 
400
i-r xäräglägqiïn gargasan zardlyg ci gäwäl xäräglägqdiïn gargasan zard-
lyn matric daraax´ xälbärtäï baïna.
       
c1 2 5 1 210 2620
C =  c2  = A · P =  1 4 0  ·  360  =  1650 
c3 3 3 5 400 3710
Ändääs ädgäär baraanaas nägdügäär xäräglägq zaagdsan nägjüüdiïg xu-
daldan awaxdaa 2620 tögrög zarcuulsan baïna.
Ji²ää 2: Nägän püüs 4 törliïn baraa üïldwärlädäg. Nägdügäär baraanaas
300 nägjiïg, xoërdugaar baraanaas 350 nägjiïg, gurawdugaar baraanaas
20 nägjiïg tus tus üïldwärläjää. Ädgäär baraanuudaa borluulaxdaa
xoër törliïn üniïn taktik barimtaljää.1-r taktikt nägdügäär baraany
üniïg 500, xoërdugaar baraany üniïg 350, gurawdugaar baraany üniïg

5. 5
670, döröwdügäär baraany üniïg 800 tögrögöör, xarin 2-r taktikt nägdügäär
baraany üniïg 480, xoërdugaar baraany üniïg 380, gurawdugaar baraany
üniïg 700, döröwdügäär baraany üniïg 750 tögrögöör tus tus togtooxoor
boljää. Xäddügäär üniïn taktik n´ püüsd a²igtaï wä? Ööröör xälbäl
xäddügäär taktik püüsd ilüü orlogo oruulax wä?
Bodolt: Bütäägdäxüüniï too xämjäägäär daraax´ bagana matric baïgu-
ul³¶.
 
300
 350 
Q=  130 

50
Baraany ünüüdäär daraax´ matricyg baïguul³¶. Matricyn nägdügäär
mörönd 1-r taktikiïn üniïg, xoërdugaar mörönd 2-r taktikiïn üniïg
aw³¶.
500 350 670 800
P =
480 380 700 750
Odoo olox orlogyg tooc³ë.
 
300
r1 500 350 670 800  350  399600
R= =P ·Q= ·
 130  =

r2 480 380 700 750 405500
50
Änä toxioldold xoërdugaar taktik n´ ilüü a²igtaï baïna.
2. Näg bütäägdäxüüniï xuw´d täncwärt ünä, too xämjää
toocox bodloguud
Ji²ää 3: Nägän bütäägdäxüüniï xuw´d busad xüqin züïl togtmol baïxad
ärält n´ D = a − αp, a, α > 0, niïlüülält n´ S = −b + βp, b, β > 0
funkcüüdäär ilärxiïlägddäg bol änä bütäägdäxüüniï täncwärt ünä, too
xämjääg ol.
Bodolt: Äxlääd bodlogyn ²iïdiïg grafikaar dürsäl´e.
D S
a
-b P

6. 6
Bodlogyn zorilgo ësoor bid p, D, S-g olox ëstoï. Üüniï tuld zax zääliïn
täncwäriïg toocson daraax´ täg²itgälüüdiïn sistemiïg awq üz´e.

 D = a − αp
S = −b + βp
D=S

Änä sistemääs bid xuw´sagqdiïnxaa utgyg olox ëstoï. Däärx sistemiïg
daraax´ xälbäräär biq³e. Üünd:

 1 · D + 0 · S + αp = a
0 · D + 1 · S − βp = −b
1·D−1·S+0·p=0

Änä sistem n´ D, S, p xuw´sagqdiïn xuw´d gurwan xuw´sagqtaï, gurwan
täg²itgäliïn sistem bolno. Tus sistemiïn ²iïd täncwärt ünä, too
xämjää garna. Sistemiïn ²iïdiïg Krameriïn dürmäär olbol:
a 0 α 1 a α
−b 1 −β 0 −b −β
0 −1 0 aβ − αb 1 0 0 aβ − αb
D= = , S= = ,
1 0 α α+β 1 0 α α+β
0 1 −β 0 1 −β
1 −1 0 1 −1 0
1 0 a
0 1 −b
1 −1 0 a+b
p= = α+β
bolno.
1 0 α
0 1 −β
1 −1 0
3. Xoër bütäägdäxüüniï xuw´d täncwärt ba too xämjääg toocox
bodloguud
Ji²ää 4: Näg zax däär niïlüülägdäj buï xoër bütäägdäxüüniï ärält,
niïlüülält busad xüqin züïl togtmol baïxad ünääs xamaarsan daraax´
funkcüüdäär ilärxiïlägddäg bol änä xoër baraany täncwärt ünä ba too
xämjääg ol. Üünd:
D 1 = a0 − a1 p 1 + a2 p 2 D2 = α0 − α1 p1 + α2 p2
S1 = −b0 + b1 p1 + b2 p2 S2 = −β0 + β1 p1 + β2 p2

7. 7
Änd büx koäfficientüüd äeräg baïna. Di n´ i-r bütäägdäxüüniï ärält, Si
n´ i-r bütäägdäxüüniï niïlüülält, pi n´ i-r bütäägdäxüüniï nägjiïn ünä.
Ärältiïn funkcäd tuxaïn bütäägdäxüüniï ööriïn n´ üniïn ömnöx koäf-
ficientiïg xasax tämdägtäï awsan n´ busad xüqin züïl togtmol baïxad
ärält ünääs urwuu xamaardgiïg iltgänä. Xarin nögöö bütäägdäxüüniï
ünääs ²uud xamaaraxaar awsan n´ änä xoër bütäägdäxüün xarilcan bie
bienää oroldog ²injtäï bütäägdäxüün gädgiïg ilärxiïlnä.
Xäräw näg bütäägdäxüüniï ärältiïn funkc däx nögöö bütäägdäxüüniï
üniïn koäfficient sörög baïwal änä xoër bütäägdäxüün bie bienää da-
galdag bütäägdäxüünüüd bolno. Niïlüülältiïn funkciïn üniïn ömnöx
koäfficientüüd äeräg baïgaa n´ al´ q baraany ünä nämägdsän üïldwär-
lägq niïlüülältää ixäsgäx taltaï gädgiïg ilärxiïlnä.
Bodolt: Täncwärt ünüüdiïg oloxdoo bütäägdäxüün tus büriïn ärält,
niïlüülält täncüü baïx nöxcliïg a²iglana. Ööröör xälbäl:
D1 = S1 a0 − a1 p1 + a2 p2 = −b0 + b1 p1 + b2 p2
D2 = S2 α0 − α1 p1 + α2 p2 = −β0 + β1 p1 + β2 p2
(b1 + a1 )p1 + (b2 − a2 )p2 = b0 + a0
(β1 − α1 )p1 + (β2 + α2 )p2 = β0 + α0
Änä xoër xuw´sagqtaï xoër ²ugaman täg²itgäliïn sistemiïg Kramer-
iïn dürmäär bodoj täncwärt ünüüdiïg olno. Olson täncwärt ünüüdää
ärält, niïlüülältiïn funkcäd orluulj, täncwärt ünä too xämjääg todor-
xoïlno.
b 0 + a0 b 2 − a2 b1 + a1 b 0 + a0
β0 + α0 β2 + α2 β1 − α1 β0 + α0
p1 = , p2 =
b 1 + a1 b 2 − a2 b 1 + a1 b 2 − a2
β1 − α1 β2 + α2 β1 − α1 β2 + α2
4. Ündäsniï toocoony täncwäriïn bodloguud
Ji²ää 5: Bid ündäsniï toocoony ündsän adiltgal bolox dotoodyn niït
bütäägdäxüüniï zardlyn zadargaag awq üz´e. Ööröör xälbäl:
Y =C +G+I +E−M
Änd: Y-dotoodyn niït bütäägdäxüün, C-xuwiïn xäräglää,
G-töriïn baïguullaguudyn xäräglää /zasgiïn gazryn xäräglää/,

8. 8
I-xöröngö oruulalt, E-äksport, M-import.
NX=E-M -iïg gadaad xudaldaany täncäl buµu cäwär äksport gädäg. Änä
üzüülält tägääs baga, ix, täncüü ¶marq baïj bolno. Xäräw täg baïwal
tuxaïn ornyg xaalttaï ädiïn zasagtaï oron gänä. Xaalttaï ädiïn za-
sagtaï orny xuw´d Keïnsiïn xäräglääniï funkcäd tulguurlan daraax´
bodlogyg tom³ëolno.
Y = C + G0 + I0
C = C0 + cY
Änd C0 , G0 , I0 , c-ögögdsön togtmoluud, C0 orlogoos ül xamaarax xäräglää,
s (0<c<1) -n´ axiu xärägläx xandlaga, Y, C n´ xuw´sagq. Däär ögögdsön
täg²itgälüüdiïn sistemääs ädgäär xuw´sagqdyg todorxoïl.
Bodolt: Bodoltyg xiïxiïn tuld täg²itgäliïg daraax´ xälbäräär biq´e.
1 · Y − 1 · C = G0 + I0
−c · Y + 1 · C = C0
Änäxüü ²ugaman täg²itgälüüdiïn sistemiïg Krameriïn dürmäär bod³ë.
G0 + I0 −1 1 G0 + I0
C0 1 G0 + I0 + C0 −c C0 C0 + c(I0 + G0 )
Y = = , C= =
1 −1 1−c 1 −1 1−c
−c 1 −c 1
1
Änd
1−c
=s koäfficientiïg ürjüülägq gäj närlädäg.
5. Leont´ewiïn "Zardal-bütäägdäxüün" zagwaryn bodloguud
Ji²ää 6: Makro ädiïn zasagt aj üïldwär, xödöö aj axuï gäsän xoër sal-
bar baïdag gäj üz´e. Ädgäär salbaruudyn xuw´d salbar xoorondyn bal-
ansyn xüsnägt daraax´ baïdlaar ögögdjää. Näg salbaryn bütäägdäxüün
nögöö salbartaa a²iglagdaxaas gadna xäräglägqdäd äcsiïn baïdlaar
a²iglagddag. Salbaryn öörtöö bolon busad salbaruudad xäräglüülj
buï bütäägdäxüüniïg zawsryn bütäägdäxüün gänä.

9. 9
Niïlüülägq Xäräglägq salbaruud Äcsiïn Niït
salbaruud Aj üïldwär Xödöö aj axuï bütäägdäxüün bütäägdäxüün
Aj üïldwär 100 400 500 1000
Xödöö aj axuï 600 240 360 1200
Nämägdsän örtgiïn
älementüüd 300 560
Niït
bütäägdäxüün 1000 1200
a)’uud zardlyn matricyg biq.
b) 1-r salbaryn bütäägdäxüüniïg 10 xuwiar, 2-r salbaryn äcsiïn bütäägdäxüüniïg
5 xuwiar nämägdüülsän üed salbaruudyn niït bütäägdäxüün xädän nägjäär
öörqlögdöx wä?
Bodolt: a) ’uud zardlyn matricyn älementüüdiïg oloxdoo salbaruu-
dyn zawsryn bütäägdäxüüniïg baganyn dund xuwaaj todorxoïlno. ’uud
zardlyn matricyg A gäe.
100 400
1000 1200
0.1 0.33
A= 600 240 =
1000 1200
0.6 0.2
b) Nägdügäär salbaryn äcsiïn bütäägdäxüün balans däärF1 = 500, xoër-
dugaar salbaryn äcsiïn bütäägdäxüün F2 = 360 gäj ögögdsön baïna. Bod-
logyn nöxcöl ësoor nägdügäär salbaryn äcsiïn bütäägdäxüün 10 xuw´
∗
nämägdääd F1 = 550, xoërdugaar salbaryn äcsiïn bütäägdäxüün 5 xuw´
∗
nämägdääd F2 = 378 bolno.
Balansyn ündsän täg²itgäl matrican xälbäräär biqwäl X=AX+F baïdag.
−1
Ändääs X-iïg olbol X = (E − A) · F bolno. Änd E n´ 2-r äräm-
∗
biïn nägj matric. Odoo F äcsiïn bütäägdäxüüniï xuw´d dax´ niït
∗ ∗ −1 ∗
bütäägdäxüüniïg X gäwäl änäxüü üzüülält n´ X = (E−A) ·F täg²it-
gäläär todorxoïlogdono.
1 0 0.1 0.33 0.9 −0.33
E−A = − = , (E − A)−1 =
0 1 0.6 0.2 −0.6 0.8
1.54 0.63
1.15 1.73
x∗ 1.54 0.63 550 1085.14
X ∗ = (E − A)−1 · F ∗ = 1
= · =
x∗
2 1.15 1.73 378 1286.44
Ändääs aj üïldwäriïn salbaryn niït bütäägdäxüün x∗ = 1085.14
1bolj,
xuuqin baïsnaasaa 85.14 nägjäär, xödöö aj axuïn salbaryn niït bütäägdäxüün

10. 10
x∗ = 1286.44
2 bolj, xuuqin baïsnaasaa 86.44 nägjäär tus tus nämägdsän
baïna.
Tölöwlögöö bolowsruulsan bag² .............................. L.Ariunaa