Геометрия

1. АналитическаяАналитическая
геометриягеометрия
Часть 2Часть 2
Геометрия в пространствеГеометрия в пространстве

2. Аналитическая геометрия в пространстве.
• Уравнения плоскости.
• 1. Уравнение плоскости по точке и
нормальному вектору.
– Заданы: точка
– и нормальный вектор
– Уравнение плоскости:
0
х
y
z
Q
n
Плоскость Q определена единственным образом,
если задана одна точка и вектор Q.
Вектор Q называют нормальным вектором.
QMo ∈
oM
n
n
Необходимое и достаточное условие того,
что точка М принадлежит плоскости Q.
M
oM
n
MMo
),,( oooo zyxM
0)()()( =−+−+− ooo zzCyyBxxA
Пусть точка
Тогда
QzyxM ∈),,(
nMMo 0=• nMMo
n
{ }CBAn ,,=

3. Аналитическая геометрия в пространстве.
• 2. Общее уравнение плоскости.
– Уравнение вида
– называется общим уравнением плоскости.
– Коэффициенты A,B,C в уравнении определяют
координаты нормального вектора:
0=+++ DCzByAx
Теорема.
Всякое уравнение первой степени
с тремя переменными x,y,z вида
(1)
задает плоскость в пространстве
и наоборот, всякая плоскость
в пространстве может быть задана
уравнением с тремя переменными x,y,z
вида (1).
0=+++ DCzByAx
Q
Q
{ }CBAn ,,=
{ }CBAn ,,=

4. Аналитическая геометрия в пространстве.
• 3. Исследование общего уравнения плоскости.
– 1. Коэффициент D=0 (рис. 1)
– 2. Коэффициент A=0 (рис. 2)
– 3. Коэффициент B=0 (рис. 3)
– 4. Коэффициент C=0 (рис. 4)
QOточка ∈⇒ )0,0,0(
OYQOYCAn ⇒⊥=⇒ ),0,(
OXQOXCBn ⇒⊥=⇒ ),,0(
OZQOZBAn ⇒⊥=⇒ )0,,(
x
y
z
O
x
y
z
O
x
y
z
O
x
y
z
O
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис.4
Q
Q
Q
Q
),,( CBAn =
),,0( CBn = ),0,( CAn =
)0,,( BAn =

5. Аналитическая геометрия в пространстве.
– 5. Коэффициенты A=B=0 (рис. 5)
– 6. Коэффициенты A=C=0 (рис. 6)
– 7. Коэффициенты B=C=0 (рис. 7)
OZQOZCn ⊥⇒=⇒ ),0,0(
x
y
z
O
OXQOXAn ⊥⇒=⇒ )0,0,(
OYQOYBn ⊥⇒=⇒ )0,,0(
x
y
z
O
x
y
z
O
Q
Q
Q
),0,0( Cn =
)0,0,(An =
)0,,0( Bn =
Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7

6. Аналитическая геометрия в пространстве.
8. Коэффициенты A=B=D=0
– 9. Коэффициенты A=C=D=0
– 10. Коэффициенты B=C=D=0
0=⇒ z
0=⇒ x
0=⇒ y
x
y
z
0
Координатные
плоскости
0=y
0=z
0=x

7. Аналитическая геометрия в пространстве.
• Уравнения прямой в пространстве.
• 1. Общее уравнение прямой.
– Аксиома: линия пересечения двух
плоскостей – прямая.
1Q
l
1Q
2Q
)(0
)(0
22222
11111
QDzCyBxA
QDzCyBxA
=+++
=+++
l : (2)
Теорема.
Система уравнений (2) определяет
прямую в пространстве тогда и только
тогда, когда коэффициенты
не пропорциональны коэффициентам
111 ,, CBA
222 ,, CBA
Система уравнений (2) называется общим уравнением прямой.
)(0
)(0
22222
11111
QDzCyBxA
QDzCyBxA
=+++
=+++

8. Аналитическая геометрия в пространстве.
• 2. Канонические уравнения прямой.
• 3. Параметрические уравнения прямой.
),,( oooo zyxM
),,( zyxM
}{ pnms ,,=
l
( )λ=
−
=
−
=
−
p
zz
n
yy
m
xx ooo
pzz
p
zz
nyy
n
yy
mxx
m
xx
o
o
o
o
o
o
λλ
λλ
λλ
+=⇒=
−
+=⇒=
−
+=⇒=
−
pzz
nyy
mxx
o
o
o
λ
λ
λ
+=
+=
+=
l :
параметр−∞−∞  λ
Пусть точка
Тогда
.),,( lzyxM ∈
sMMsMM oo λ=⇔

9. Аналитическая геометрия в пространстве.
• Взаимное расположение плоскостей и прямых в пространстве.
• 1. Условие параллельности плоскостей.
• 2. Условие перпендикулярности плоскостей.
1Q
2Q
}{ 1111 ,, CBAn =
}{ 2222 ,, CBAn =
02121212121 =++⇔⊥⇔⊥ CCBBAAnnQQ
2
1
2
1
2
1
2121
C
C
B
B
A
A
nnQQ ==⇔⇔
1Q
2Q
1n
2n
0:
0:
22222
11111
=+++
=+++
DzCyBxAQ
DzCyBxAQ

10. Аналитическая геометрия в пространстве.
• 3. Условие параллельности прямых.
• 4. Условие перпендикулярности прямых.
1l
2l
{ }1111 ,, pnms =
{ }2222 ,, pnms =
2
1
2
1
2
1
2121
p
p
n
n
m
m
ssll ==⇔⇔
1l
2l { }2222 ,, pnms =
{ }1111 ,, pnms =
02121212121 =++⇔⊥⇔⊥ ppnnmmssll

11. Аналитическая геометрия в пространстве.
• 5. Условие параллельности прямой и плоскости.
• 6. Условие перпендикулярности прямой и плоскости.
}{ pnms ,,=
l Q
l
Q
{ }CBAn ,,=
{ }CBAn ,,=
}{ pnms ,,=
00 =++⇔=⇔⊥⇔ CpBnAmnsnsQl
C
p
B
n
A
m
nsQl ==⇔⇔⊥