SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 8
Downloaden Sie, um offline zu lesen
Propiedades de la Transformada de Laplace
W. Colmenares
Universidad Sim´on Bol´ıvar, Departamento de Procesos y Sistemas
Resumen
En estos apuntes demostramos algunas de las propiedades de la transformada de
Laplace y hacemos algunos ejemplos de su aplicaci´on.
1. Definici´on de la transformada de Laplace
Uno de los elementos importantes cuando se habla de la Transformada de
Laplace es definir claramente de cu´al de ellas se est´a hablando. Las propiedades
y, sobre todo, las aplicaciones dependen de ello.
Existen dos tipos de transformadas, la bilateral y la unilateral. Esta ´ultima se
usa, casi exclusivamente, para el an´alisis de sistemas lineales e invariantes en
el tiempo, en la que es particularmente ´util, y es a la que nos referiremos en
estas notas.
Otro elemento importante, cuando trabajamos con la transformada unilateral
es que, en general, las se˜nales de entrada a los sistemas son se˜nales que son
cero para t < 0.
La definici´on de la Transformada de Laplace unilateral es:
X(s) = L{x(t)} =
∞
0
x(t)e−st
dt
donde s = σ + jω, σ es una constante (que puedo elegir para hacer que la
integral de Laplace converja) y ω es la variable de transformaci´on.
Preprint submitted to PS2315 24 de junio de 2008
1.1. Algunos ejemplos de transformada
Calculemos la transformada de Laplace de una exponencial que comienza en
t = 0 (x(t) = eat
u(t)).
L{eat
u(t)} =
∞
0
eat
u(t)e−st
dt =
∞
0
e−(s−a)t
dt =
1
(s − a)
.
Observe que no hemos colocado ninguna restricci´on en el valor de a y, en
particular, podr´ıa asumir valores reales positivos, negativos, valores complejos
o ser simplemente cero.
Como corolario, es inmediato que la transformada de Laplace del escal´on u(t)
es (a = 0):
L{u(t)} =
1
s
Apliquemos ahora el resultado anterior al c´alculo de la transformada del coseno
que comienza en t = 0 (x(t) = cos(ωt)u(t))
Recordemos que por la identidad de Euler:
cos(ωt) =
ejωt
+ e−jωt
2
entonces
L{cos(ωt)} =
1
2
∞
0
(ejωt
+ e−jωt
)u(t)e−st
dt =
1
2
(
1
s − jω
+
1
s + jω
) =
s
s2 + ω2
.
Es f´acil derivar la del seno recordando la identidad de Euler:
sin(ωt) =
ejωt
− e−jωt
2j
lo que resulta en:
L{sin(ωt)} =
ω
s2 + ω2
.
Observe que hemos usado la propiedad de linealidad de la transformada de
Laplace, que a´un no hemos demostrado.
2
2. Propiedades de la Transformada de Laplace
En esta secci´on presentamos algunas de las propiedades de la Transformada
de Laplace (TL).
2.1. Linealidad
Si X(s) = L{x(t)} y Y (s) = L{y(t)} entonces:
L{ax(t) + by(t)} = aX(s) + bY (s)
Prueba:
L{ax(t)+by(t)} =
∞
0
(ax(t)+by(t))e−st
dt = a
∞
0
x(t)e−st
dt+b
∞
0
y(t)e−st
dt = aX(s)+bY (s).
Un ejemplo de la aplicaci´on de la linealidad fue el c´alculo de la transformada
del coseno.
2.2. Cambio de escala
Si X(s) = L{x(t)} entonces, con a > 0:
L{x(at)} =
1
a
X(
s
a
)
Prueba:
L{x(at)} =
∞
0
x(at)e−st
dt
si cambiamos de variable λ = at entonces:
L{x(at)} =
∞
0
x(at)e−st
dt =
1
a
∞
0
x(λ)e− s
a
λ
dλ =
1
a
X(
s
a
).
Ejemplo: Supongamos que queremos la transformada inversa de:
L−1
{
1
104s2 + 102s + 1
} = L−1
{
1
( s
10−2 )2 + ( s
10−2 ) + 1
}
3
observe que:
1
s2 + s + 1
=
2
√
3
√
3
2
(s + 1
2
)2 + (
√
3
2
)2
y entonces
L−1
{
1
s2 + s + 1
} =
2
√
3
e− 1
2
t
sin(
√
3
2
t)u(t)
por lo que
L−1
{
1
( s
10−2 )2 + ( s
10−2 ) + 1
} =
2
100
√
3
e− 1
200
t
sin(
√
3
200
t)u(t)
2.3. Multiplicaci´on por exponencial. Desplazamiento en frecuencia
Si X(s) = L{x(t)} entonces,
L{eλt
x(t)} = X(s − λ)
Prueba:
L{eλt
x(t)} =
∞
0
eλt
x(t)e−st
dt =
∞
0
x(t)e−(s−λ)t
dt = X(s − λ).
Observe que no hemos impuesto ninguna restricci´on a λ
Ejemplo: Tal como vimos antes en el ejemplo del coseno,
L{ejωt
u(t)} =
1
s − jω
Otro Ejemplo: Se desea la expresi´on en el tiempo de la funci´on de transfer-
encia:
s + 1
s2 + s + 1
Observe que:
s + 1
s2 + s + 1
=
s + 1
2
(s + 1
2
)2 + (
√
3
2
)2
+
1
√
3
√
3
2
(s + 1
2
)2 + (
√
3
2
)2
En el primer t´ermino reconocemos a un coseno multiplicado por una expo-
nencial y, en el segundo, se encuentra un seno multiplicado por la misma
exponencial.
4
En resumen
L−1
{
s + 1
s2 + s + 1
} = e− 1
2
t
cos(
√
3
2
t) +
1
√
3
e− 1
2
t
sin(
√
3
2
t)
2.4. Desplazamiento en el tiempo. Multiplicaci´on exponencial en frecuencia
Si X(s) = L{x(t)u(t)} entonces (a > 0),
L{x(t − a)u(t − a)} = e−as
X(s)
Prueba:
L{x(t − a)u(t − a)} =
∞
0
x(t − a)u(t − a)e−st
dt =
∞
a
x(t − a)e−st
dt
si cambiamos la variable λ = t − a resulta
∞
a
x(t − a)e−st
dt =
∞
0
x(λ)e−s(λ+a)
dλ = e−as
X(s).
Ejemplo: Calculemos la transformada de Laplace de la funci´on pulso unitario:
p(t) =



1 0 < t < 1
0 todo lo dem´as
Note que p(t) = u(t) − u(t − 1) luego:
P(s) =
1
s
−
e−s
s
=
1 − e−s
s
Nota: Observe que hemos definido esta propiedad s´olo para retrasos de la
se˜nal original. Pudi´eramos usar esta propiedad para adelantos de la funci´on
siempre que el adelanto no implique que la se˜nal se desplaza m´as all´a del origen
(hacia los tiempos negativos). En ese caso, a la parte de tiempo negativo no
se le har´ıa la transformada y, por ende, no tendr´ıamos la equivalencia.
5
2.5. Multiplicaci´on por t
Sea X(s) = L{x(t)} entonces,
L{tx(t)} = −
dX(s)
ds
Prueba: Si X(s) = ∞
0 x(t)e−st
dt entonces:
dX(s)
ds
=
d
ds



∞
0
x(t)e−st
dt



como la derivada es en la variable s podemos meterla dentro de la integral
resultando
d
ds



∞
0
x(t)e−st
dt



=
∞
0
x(t)
d
ds
e−st
dt = −
∞
0
tx(t) e−st
dt = −L{tx(t)}.
El resultado anterior puede generalizarse:
L{tn
x(t)} = (−1)n dn
X(s)
dsn
Ejemplo: Calculemos la transformada de Laplace de t2
e−2t
cos(3t)u(t).
Si vamos por etapas:
L{cos(3t)u(t)} = s
s2+32
L{e−2t
cos(3t)u(t)} = s+2
(s+2)2+32
L{t2
e−2t
cos(3t)u(t)} = d2
ds2
s+2
(s+2)2+32 = 2(s+2)(s2+4s−23)
(s2+4s+13)3
2.6. Transformada de la derivada
Sea X(s) = L{x(t)} entonces,
L{
dx(t)
dt
} = sX(s) − x(0)
6
Prueba: Usaremos la integraci´on por partes para resolver la integral de Laplace.
L{
dx(t)
dt
} =
∞
0
dx(t)
dt
dx
e−st
y
dt = x(t)e−st
|∞
0 + s
∞
0
x(t)e−st
dt = x(0) + sX(s).
El resultado obtenido se puede generalizar a cualquier derivada de la forma:
L{
dn
x(t)
dtn
} = sn
X(s) − sn−1
x(0) − sn−2
x′
(0) − . . . − sxn−2
(0) − xn−1
(0)
2.7. Transformada de la integral
Sea X(s) = L{x(t)} entonces,
L{
t
0
x(τ)dτ} =
X(s)
s
Prueba: De nuevo usaremos la integraci´on por partes para resolver la integral
de Laplace.
L{
t
0
x(τ)dτ} =
∞
0
t
0
x(τ)dτ
y
e−st
dx
dt = −
t
0
x(τ)dτ
e−st
s
|∞
0 +
1
s
∞
0
x(t)e−st
dt =
X(s)
s
.
Tenemos que hacer dos observaciones, la primera que hemos supuesto que la
funci´on x(t) no tiene impulsos en t = 0, la segunda es que si en lugar de
integrar la funci´on desde t = 0 la hubi´esemos integrado desde t = −∞ el
resultado final hubiese sido:
L{
t
−∞
x(τ)dτ} =
X(s)
s
+
q(0)
s
donde q(0) = 0
−∞ x(τ)dτ.
2.8. Teoremas del valor inicial y final
A partir del resultado de la derivada podemos extraer las tendencias de las
funciones en t = 0 y t = ∞ cuando esos l´ımites existen.
7
De la transformada de la derivada sabemos que:
∞
0
dx(t)
dt
e−st
dt = sX(s) − x(0)
si tomamos el l´ımite con s → 0:
l´ım
s→0
∞
0
dx(t)
dt
e−st
dt = x(∞) − x(0) ⇒ l´ım
t→∞
x(t) = l´ım
s→0
sX(s)
si, por el contrario, tomamos el l´ımite con s → ∞:
l´ıms→∞
∞
0
dx(t)
dt
e−st
dt = 0 ⇒ l´ım
t→0
x(t) = l´ıms→∞
sX(s)
8

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Ss clase 3
Ss   clase 3Ss   clase 3
Ss clase 3
 
Ss clase 2
Ss   clase 2Ss   clase 2
Ss clase 2
 
Unidad 2 control 2 /FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PULSO
Unidad 2 control 2 /FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PULSOUnidad 2 control 2 /FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PULSO
Unidad 2 control 2 /FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PULSO
 
Señales digitales tran z
Señales digitales tran zSeñales digitales tran z
Señales digitales tran z
 
Funciones De Transferencia
Funciones De TransferenciaFunciones De Transferencia
Funciones De Transferencia
 
Utp pds_s9y10_transformada z
 Utp pds_s9y10_transformada z Utp pds_s9y10_transformada z
Utp pds_s9y10_transformada z
 
Aplicaciones La Transformada De Laplace
Aplicaciones La Transformada De LaplaceAplicaciones La Transformada De Laplace
Aplicaciones La Transformada De Laplace
 
Transformada Zeta
Transformada ZetaTransformada Zeta
Transformada Zeta
 
S11 funcion delta_de__dirac_-_series_de_fourier
S11 funcion delta_de__dirac_-_series_de_fourierS11 funcion delta_de__dirac_-_series_de_fourier
S11 funcion delta_de__dirac_-_series_de_fourier
 
Apuntes capitulo 3._transformada_de_laplace
Apuntes capitulo 3._transformada_de_laplaceApuntes capitulo 3._transformada_de_laplace
Apuntes capitulo 3._transformada_de_laplace
 
Unidad 3 c3-control /FUNCION DE TRANFERENCIA PULSO
Unidad 3 c3-control /FUNCION DE TRANFERENCIA PULSOUnidad 3 c3-control /FUNCION DE TRANFERENCIA PULSO
Unidad 3 c3-control /FUNCION DE TRANFERENCIA PULSO
 
Sistemas lineales tablas
Sistemas lineales tablasSistemas lineales tablas
Sistemas lineales tablas
 
3er parcial Biocontroladores
3er parcial Biocontroladores3er parcial Biocontroladores
3er parcial Biocontroladores
 
TRANSFORMADA ZETA
TRANSFORMADA ZETATRANSFORMADA ZETA
TRANSFORMADA ZETA
 
Semana14
Semana14Semana14
Semana14
 
Cálculo numérico 7 corrección
Cálculo numérico 7 correcciónCálculo numérico 7 corrección
Cálculo numérico 7 corrección
 
transformada z
transformada ztransformada z
transformada z
 
11 transformada de_laplace
11 transformada de_laplace11 transformada de_laplace
11 transformada de_laplace
 
Matematica4
Matematica4Matematica4
Matematica4
 
Ejercicios transformada z
Ejercicios transformada zEjercicios transformada z
Ejercicios transformada z
 

Ähnlich wie Transformada de laplace propiedades

Ähnlich wie Transformada de laplace propiedades (20)

Transformada jonathan v 9 7-16
Transformada jonathan v 9 7-16Transformada jonathan v 9 7-16
Transformada jonathan v 9 7-16
 
Función de transferencia
Función de transferenciaFunción de transferencia
Función de transferencia
 
Transformada de laplace
Transformada de laplaceTransformada de laplace
Transformada de laplace
 
definición, aplicación e importancia de la transformada de Laplace en la inge...
definición, aplicación e importancia de la transformada de Laplace en la inge...definición, aplicación e importancia de la transformada de Laplace en la inge...
definición, aplicación e importancia de la transformada de Laplace en la inge...
 
5.Transformada_de_Laplace.pdf
5.Transformada_de_Laplace.pdf5.Transformada_de_Laplace.pdf
5.Transformada_de_Laplace.pdf
 
11 transformada de_laplace
11 transformada de_laplace11 transformada de_laplace
11 transformada de_laplace
 
11 transformada de_laplace (2)
11 transformada de_laplace (2)11 transformada de_laplace (2)
11 transformada de_laplace (2)
 
11 transformada de_laplace
11 transformada de_laplace11 transformada de_laplace
11 transformada de_laplace
 
Laplace
LaplaceLaplace
Laplace
 
Transformada de laplace
Transformada de laplaceTransformada de laplace
Transformada de laplace
 
Laplace
LaplaceLaplace
Laplace
 
Laplace(1)
Laplace(1)Laplace(1)
Laplace(1)
 
Transformada de laplace_1
Transformada de laplace_1Transformada de laplace_1
Transformada de laplace_1
 
Transformada de laplace_1[1]
Transformada de laplace_1[1]Transformada de laplace_1[1]
Transformada de laplace_1[1]
 
Transformada de laplace_1
Transformada de laplace_1Transformada de laplace_1
Transformada de laplace_1
 
Transformada de-laplace
Transformada de-laplaceTransformada de-laplace
Transformada de-laplace
 
Transformada de laplace
Transformada de laplaceTransformada de laplace
Transformada de laplace
 
Refresco laplace[1]
Refresco laplace[1]Refresco laplace[1]
Refresco laplace[1]
 
Transformada fourier almira
Transformada fourier almiraTransformada fourier almira
Transformada fourier almira
 
Tema 4: Transformada de Laplace
Tema 4: Transformada de LaplaceTema 4: Transformada de Laplace
Tema 4: Transformada de Laplace
 

Kürzlich hochgeladen

DERECHO ROMANO DE JUSTINIANO I EL GRANDE.pptx
DERECHO ROMANO DE JUSTINIANO I EL GRANDE.pptxDERECHO ROMANO DE JUSTINIANO I EL GRANDE.pptx
DERECHO ROMANO DE JUSTINIANO I EL GRANDE.pptxSilverQuispe2
 
cgm medicina interna clinica delgado.pdf
cgm medicina interna clinica delgado.pdfcgm medicina interna clinica delgado.pdf
cgm medicina interna clinica delgado.pdfSergioSanto4
 
mecanismo de acción de los ANTIVIRALES.pptx
mecanismo de acción de los ANTIVIRALES.pptxmecanismo de acción de los ANTIVIRALES.pptx
mecanismo de acción de los ANTIVIRALES.pptxGeovannaLopez9
 
infarto agudo al miocardio con y sin elevacion st
infarto agudo al miocardio con y sin elevacion stinfarto agudo al miocardio con y sin elevacion st
infarto agudo al miocardio con y sin elevacion stJosAlbertoHernandez1
 
Informe Aemet Tornados Sabado Santo Marchena Paradas
Informe Aemet Tornados Sabado Santo Marchena ParadasInforme Aemet Tornados Sabado Santo Marchena Paradas
Informe Aemet Tornados Sabado Santo Marchena ParadasRevista Saber Mas
 
Tema 1. Generalidades de Microbiologia Universidad de Oriente
Tema 1. Generalidades de Microbiologia Universidad de OrienteTema 1. Generalidades de Microbiologia Universidad de Oriente
Tema 1. Generalidades de Microbiologia Universidad de OrienteUnaLuzParaLasNacione
 
Gribbin, John. - Historia de la ciencia, 1543-2001 [EPL-FS] [2019].pdf
Gribbin, John. - Historia de la ciencia, 1543-2001 [EPL-FS] [2019].pdfGribbin, John. - Historia de la ciencia, 1543-2001 [EPL-FS] [2019].pdf
Gribbin, John. - Historia de la ciencia, 1543-2001 [EPL-FS] [2019].pdffrank0071
 
Codigo rojo manejo y tratamient 2022.pptx
Codigo rojo manejo y tratamient 2022.pptxCodigo rojo manejo y tratamient 2022.pptx
Codigo rojo manejo y tratamient 2022.pptxSergioSanto4
 
RX DE TORAX normal jornadas .............
RX DE TORAX normal jornadas .............RX DE TORAX normal jornadas .............
RX DE TORAX normal jornadas .............claudiasilvera25
 
TEST BETA III: APLICACIÓN E INTERPRETACIÓN.pptx
TEST BETA III: APLICACIÓN E INTERPRETACIÓN.pptxTEST BETA III: APLICACIÓN E INTERPRETACIÓN.pptx
TEST BETA III: APLICACIÓN E INTERPRETACIÓN.pptxXavierCrdenasGarca
 
Ensayo ENRICH (sesión clínica, Servicio de Neurología HUCA)
Ensayo ENRICH (sesión clínica, Servicio de Neurología HUCA)Ensayo ENRICH (sesión clínica, Servicio de Neurología HUCA)
Ensayo ENRICH (sesión clínica, Servicio de Neurología HUCA)s.calleja
 
Aborto Enzootico Ovino.pptx La clamidiosis ovina (aborto enzoótico de las ove...
Aborto Enzootico Ovino.pptx La clamidiosis ovina (aborto enzoótico de las ove...Aborto Enzootico Ovino.pptx La clamidiosis ovina (aborto enzoótico de las ove...
Aborto Enzootico Ovino.pptx La clamidiosis ovina (aborto enzoótico de las ove...JhonFonseca16
 
conocer los modelos atómicos a traves de diversos ejemplos y características
conocer los modelos atómicos a traves de diversos ejemplos y característicasconocer los modelos atómicos a traves de diversos ejemplos y características
conocer los modelos atómicos a traves de diversos ejemplos y característicasMarielaMedinaCarrasc4
 
Características emociones y sentimientos
Características emociones y sentimientosCaracterísticas emociones y sentimientos
Características emociones y sentimientosFiorelaMondragon
 
Harvey, David. - Paris capital de la modernidad [2008].pdf
Harvey, David. - Paris capital de la modernidad [2008].pdfHarvey, David. - Paris capital de la modernidad [2008].pdf
Harvey, David. - Paris capital de la modernidad [2008].pdffrank0071
 
Fowler, Will. - Santa Anna, héroe o villano [2018].pdf
Fowler, Will. - Santa Anna, héroe o villano [2018].pdfFowler, Will. - Santa Anna, héroe o villano [2018].pdf
Fowler, Will. - Santa Anna, héroe o villano [2018].pdffrank0071
 
Holland, Tom - Milenio. El fin del mundo y el origen del cristianismo [2010].pdf
Holland, Tom - Milenio. El fin del mundo y el origen del cristianismo [2010].pdfHolland, Tom - Milenio. El fin del mundo y el origen del cristianismo [2010].pdf
Holland, Tom - Milenio. El fin del mundo y el origen del cristianismo [2010].pdffrank0071
 
Diálisis peritoneal en los pacientes delicados de salud
Diálisis peritoneal en los pacientes delicados de saludDiálisis peritoneal en los pacientes delicados de salud
Diálisis peritoneal en los pacientes delicados de saludFernandoACamachoCher
 
Mata, S. - Kriegsmarine. La flota de Hitler [2017].pdf
Mata, S. - Kriegsmarine. La flota de Hitler [2017].pdfMata, S. - Kriegsmarine. La flota de Hitler [2017].pdf
Mata, S. - Kriegsmarine. La flota de Hitler [2017].pdffrank0071
 
Viaje al centro de la Ciencia 6 DOC_WEB.pdf
Viaje al centro de la Ciencia 6 DOC_WEB.pdfViaje al centro de la Ciencia 6 DOC_WEB.pdf
Viaje al centro de la Ciencia 6 DOC_WEB.pdfssuser576aeb
 

Kürzlich hochgeladen (20)

DERECHO ROMANO DE JUSTINIANO I EL GRANDE.pptx
DERECHO ROMANO DE JUSTINIANO I EL GRANDE.pptxDERECHO ROMANO DE JUSTINIANO I EL GRANDE.pptx
DERECHO ROMANO DE JUSTINIANO I EL GRANDE.pptx
 
cgm medicina interna clinica delgado.pdf
cgm medicina interna clinica delgado.pdfcgm medicina interna clinica delgado.pdf
cgm medicina interna clinica delgado.pdf
 
mecanismo de acción de los ANTIVIRALES.pptx
mecanismo de acción de los ANTIVIRALES.pptxmecanismo de acción de los ANTIVIRALES.pptx
mecanismo de acción de los ANTIVIRALES.pptx
 
infarto agudo al miocardio con y sin elevacion st
infarto agudo al miocardio con y sin elevacion stinfarto agudo al miocardio con y sin elevacion st
infarto agudo al miocardio con y sin elevacion st
 
Informe Aemet Tornados Sabado Santo Marchena Paradas
Informe Aemet Tornados Sabado Santo Marchena ParadasInforme Aemet Tornados Sabado Santo Marchena Paradas
Informe Aemet Tornados Sabado Santo Marchena Paradas
 
Tema 1. Generalidades de Microbiologia Universidad de Oriente
Tema 1. Generalidades de Microbiologia Universidad de OrienteTema 1. Generalidades de Microbiologia Universidad de Oriente
Tema 1. Generalidades de Microbiologia Universidad de Oriente
 
Gribbin, John. - Historia de la ciencia, 1543-2001 [EPL-FS] [2019].pdf
Gribbin, John. - Historia de la ciencia, 1543-2001 [EPL-FS] [2019].pdfGribbin, John. - Historia de la ciencia, 1543-2001 [EPL-FS] [2019].pdf
Gribbin, John. - Historia de la ciencia, 1543-2001 [EPL-FS] [2019].pdf
 
Codigo rojo manejo y tratamient 2022.pptx
Codigo rojo manejo y tratamient 2022.pptxCodigo rojo manejo y tratamient 2022.pptx
Codigo rojo manejo y tratamient 2022.pptx
 
RX DE TORAX normal jornadas .............
RX DE TORAX normal jornadas .............RX DE TORAX normal jornadas .............
RX DE TORAX normal jornadas .............
 
TEST BETA III: APLICACIÓN E INTERPRETACIÓN.pptx
TEST BETA III: APLICACIÓN E INTERPRETACIÓN.pptxTEST BETA III: APLICACIÓN E INTERPRETACIÓN.pptx
TEST BETA III: APLICACIÓN E INTERPRETACIÓN.pptx
 
Ensayo ENRICH (sesión clínica, Servicio de Neurología HUCA)
Ensayo ENRICH (sesión clínica, Servicio de Neurología HUCA)Ensayo ENRICH (sesión clínica, Servicio de Neurología HUCA)
Ensayo ENRICH (sesión clínica, Servicio de Neurología HUCA)
 
Aborto Enzootico Ovino.pptx La clamidiosis ovina (aborto enzoótico de las ove...
Aborto Enzootico Ovino.pptx La clamidiosis ovina (aborto enzoótico de las ove...Aborto Enzootico Ovino.pptx La clamidiosis ovina (aborto enzoótico de las ove...
Aborto Enzootico Ovino.pptx La clamidiosis ovina (aborto enzoótico de las ove...
 
conocer los modelos atómicos a traves de diversos ejemplos y características
conocer los modelos atómicos a traves de diversos ejemplos y característicasconocer los modelos atómicos a traves de diversos ejemplos y características
conocer los modelos atómicos a traves de diversos ejemplos y características
 
Características emociones y sentimientos
Características emociones y sentimientosCaracterísticas emociones y sentimientos
Características emociones y sentimientos
 
Harvey, David. - Paris capital de la modernidad [2008].pdf
Harvey, David. - Paris capital de la modernidad [2008].pdfHarvey, David. - Paris capital de la modernidad [2008].pdf
Harvey, David. - Paris capital de la modernidad [2008].pdf
 
Fowler, Will. - Santa Anna, héroe o villano [2018].pdf
Fowler, Will. - Santa Anna, héroe o villano [2018].pdfFowler, Will. - Santa Anna, héroe o villano [2018].pdf
Fowler, Will. - Santa Anna, héroe o villano [2018].pdf
 
Holland, Tom - Milenio. El fin del mundo y el origen del cristianismo [2010].pdf
Holland, Tom - Milenio. El fin del mundo y el origen del cristianismo [2010].pdfHolland, Tom - Milenio. El fin del mundo y el origen del cristianismo [2010].pdf
Holland, Tom - Milenio. El fin del mundo y el origen del cristianismo [2010].pdf
 
Diálisis peritoneal en los pacientes delicados de salud
Diálisis peritoneal en los pacientes delicados de saludDiálisis peritoneal en los pacientes delicados de salud
Diálisis peritoneal en los pacientes delicados de salud
 
Mata, S. - Kriegsmarine. La flota de Hitler [2017].pdf
Mata, S. - Kriegsmarine. La flota de Hitler [2017].pdfMata, S. - Kriegsmarine. La flota de Hitler [2017].pdf
Mata, S. - Kriegsmarine. La flota de Hitler [2017].pdf
 
Viaje al centro de la Ciencia 6 DOC_WEB.pdf
Viaje al centro de la Ciencia 6 DOC_WEB.pdfViaje al centro de la Ciencia 6 DOC_WEB.pdf
Viaje al centro de la Ciencia 6 DOC_WEB.pdf
 

Transformada de laplace propiedades

  • 1. Propiedades de la Transformada de Laplace W. Colmenares Universidad Sim´on Bol´ıvar, Departamento de Procesos y Sistemas Resumen En estos apuntes demostramos algunas de las propiedades de la transformada de Laplace y hacemos algunos ejemplos de su aplicaci´on. 1. Definici´on de la transformada de Laplace Uno de los elementos importantes cuando se habla de la Transformada de Laplace es definir claramente de cu´al de ellas se est´a hablando. Las propiedades y, sobre todo, las aplicaciones dependen de ello. Existen dos tipos de transformadas, la bilateral y la unilateral. Esta ´ultima se usa, casi exclusivamente, para el an´alisis de sistemas lineales e invariantes en el tiempo, en la que es particularmente ´util, y es a la que nos referiremos en estas notas. Otro elemento importante, cuando trabajamos con la transformada unilateral es que, en general, las se˜nales de entrada a los sistemas son se˜nales que son cero para t < 0. La definici´on de la Transformada de Laplace unilateral es: X(s) = L{x(t)} = ∞ 0 x(t)e−st dt donde s = σ + jω, σ es una constante (que puedo elegir para hacer que la integral de Laplace converja) y ω es la variable de transformaci´on. Preprint submitted to PS2315 24 de junio de 2008
  • 2. 1.1. Algunos ejemplos de transformada Calculemos la transformada de Laplace de una exponencial que comienza en t = 0 (x(t) = eat u(t)). L{eat u(t)} = ∞ 0 eat u(t)e−st dt = ∞ 0 e−(s−a)t dt = 1 (s − a) . Observe que no hemos colocado ninguna restricci´on en el valor de a y, en particular, podr´ıa asumir valores reales positivos, negativos, valores complejos o ser simplemente cero. Como corolario, es inmediato que la transformada de Laplace del escal´on u(t) es (a = 0): L{u(t)} = 1 s Apliquemos ahora el resultado anterior al c´alculo de la transformada del coseno que comienza en t = 0 (x(t) = cos(ωt)u(t)) Recordemos que por la identidad de Euler: cos(ωt) = ejωt + e−jωt 2 entonces L{cos(ωt)} = 1 2 ∞ 0 (ejωt + e−jωt )u(t)e−st dt = 1 2 ( 1 s − jω + 1 s + jω ) = s s2 + ω2 . Es f´acil derivar la del seno recordando la identidad de Euler: sin(ωt) = ejωt − e−jωt 2j lo que resulta en: L{sin(ωt)} = ω s2 + ω2 . Observe que hemos usado la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace, que a´un no hemos demostrado. 2
  • 3. 2. Propiedades de la Transformada de Laplace En esta secci´on presentamos algunas de las propiedades de la Transformada de Laplace (TL). 2.1. Linealidad Si X(s) = L{x(t)} y Y (s) = L{y(t)} entonces: L{ax(t) + by(t)} = aX(s) + bY (s) Prueba: L{ax(t)+by(t)} = ∞ 0 (ax(t)+by(t))e−st dt = a ∞ 0 x(t)e−st dt+b ∞ 0 y(t)e−st dt = aX(s)+bY (s). Un ejemplo de la aplicaci´on de la linealidad fue el c´alculo de la transformada del coseno. 2.2. Cambio de escala Si X(s) = L{x(t)} entonces, con a > 0: L{x(at)} = 1 a X( s a ) Prueba: L{x(at)} = ∞ 0 x(at)e−st dt si cambiamos de variable λ = at entonces: L{x(at)} = ∞ 0 x(at)e−st dt = 1 a ∞ 0 x(λ)e− s a λ dλ = 1 a X( s a ). Ejemplo: Supongamos que queremos la transformada inversa de: L−1 { 1 104s2 + 102s + 1 } = L−1 { 1 ( s 10−2 )2 + ( s 10−2 ) + 1 } 3
  • 4. observe que: 1 s2 + s + 1 = 2 √ 3 √ 3 2 (s + 1 2 )2 + ( √ 3 2 )2 y entonces L−1 { 1 s2 + s + 1 } = 2 √ 3 e− 1 2 t sin( √ 3 2 t)u(t) por lo que L−1 { 1 ( s 10−2 )2 + ( s 10−2 ) + 1 } = 2 100 √ 3 e− 1 200 t sin( √ 3 200 t)u(t) 2.3. Multiplicaci´on por exponencial. Desplazamiento en frecuencia Si X(s) = L{x(t)} entonces, L{eλt x(t)} = X(s − λ) Prueba: L{eλt x(t)} = ∞ 0 eλt x(t)e−st dt = ∞ 0 x(t)e−(s−λ)t dt = X(s − λ). Observe que no hemos impuesto ninguna restricci´on a λ Ejemplo: Tal como vimos antes en el ejemplo del coseno, L{ejωt u(t)} = 1 s − jω Otro Ejemplo: Se desea la expresi´on en el tiempo de la funci´on de transfer- encia: s + 1 s2 + s + 1 Observe que: s + 1 s2 + s + 1 = s + 1 2 (s + 1 2 )2 + ( √ 3 2 )2 + 1 √ 3 √ 3 2 (s + 1 2 )2 + ( √ 3 2 )2 En el primer t´ermino reconocemos a un coseno multiplicado por una expo- nencial y, en el segundo, se encuentra un seno multiplicado por la misma exponencial. 4
  • 5. En resumen L−1 { s + 1 s2 + s + 1 } = e− 1 2 t cos( √ 3 2 t) + 1 √ 3 e− 1 2 t sin( √ 3 2 t) 2.4. Desplazamiento en el tiempo. Multiplicaci´on exponencial en frecuencia Si X(s) = L{x(t)u(t)} entonces (a > 0), L{x(t − a)u(t − a)} = e−as X(s) Prueba: L{x(t − a)u(t − a)} = ∞ 0 x(t − a)u(t − a)e−st dt = ∞ a x(t − a)e−st dt si cambiamos la variable λ = t − a resulta ∞ a x(t − a)e−st dt = ∞ 0 x(λ)e−s(λ+a) dλ = e−as X(s). Ejemplo: Calculemos la transformada de Laplace de la funci´on pulso unitario: p(t) =    1 0 < t < 1 0 todo lo dem´as Note que p(t) = u(t) − u(t − 1) luego: P(s) = 1 s − e−s s = 1 − e−s s Nota: Observe que hemos definido esta propiedad s´olo para retrasos de la se˜nal original. Pudi´eramos usar esta propiedad para adelantos de la funci´on siempre que el adelanto no implique que la se˜nal se desplaza m´as all´a del origen (hacia los tiempos negativos). En ese caso, a la parte de tiempo negativo no se le har´ıa la transformada y, por ende, no tendr´ıamos la equivalencia. 5
  • 6. 2.5. Multiplicaci´on por t Sea X(s) = L{x(t)} entonces, L{tx(t)} = − dX(s) ds Prueba: Si X(s) = ∞ 0 x(t)e−st dt entonces: dX(s) ds = d ds    ∞ 0 x(t)e−st dt    como la derivada es en la variable s podemos meterla dentro de la integral resultando d ds    ∞ 0 x(t)e−st dt    = ∞ 0 x(t) d ds e−st dt = − ∞ 0 tx(t) e−st dt = −L{tx(t)}. El resultado anterior puede generalizarse: L{tn x(t)} = (−1)n dn X(s) dsn Ejemplo: Calculemos la transformada de Laplace de t2 e−2t cos(3t)u(t). Si vamos por etapas: L{cos(3t)u(t)} = s s2+32 L{e−2t cos(3t)u(t)} = s+2 (s+2)2+32 L{t2 e−2t cos(3t)u(t)} = d2 ds2 s+2 (s+2)2+32 = 2(s+2)(s2+4s−23) (s2+4s+13)3 2.6. Transformada de la derivada Sea X(s) = L{x(t)} entonces, L{ dx(t) dt } = sX(s) − x(0) 6
  • 7. Prueba: Usaremos la integraci´on por partes para resolver la integral de Laplace. L{ dx(t) dt } = ∞ 0 dx(t) dt dx e−st y dt = x(t)e−st |∞ 0 + s ∞ 0 x(t)e−st dt = x(0) + sX(s). El resultado obtenido se puede generalizar a cualquier derivada de la forma: L{ dn x(t) dtn } = sn X(s) − sn−1 x(0) − sn−2 x′ (0) − . . . − sxn−2 (0) − xn−1 (0) 2.7. Transformada de la integral Sea X(s) = L{x(t)} entonces, L{ t 0 x(τ)dτ} = X(s) s Prueba: De nuevo usaremos la integraci´on por partes para resolver la integral de Laplace. L{ t 0 x(τ)dτ} = ∞ 0 t 0 x(τ)dτ y e−st dx dt = − t 0 x(τ)dτ e−st s |∞ 0 + 1 s ∞ 0 x(t)e−st dt = X(s) s . Tenemos que hacer dos observaciones, la primera que hemos supuesto que la funci´on x(t) no tiene impulsos en t = 0, la segunda es que si en lugar de integrar la funci´on desde t = 0 la hubi´esemos integrado desde t = −∞ el resultado final hubiese sido: L{ t −∞ x(τ)dτ} = X(s) s + q(0) s donde q(0) = 0 −∞ x(τ)dτ. 2.8. Teoremas del valor inicial y final A partir del resultado de la derivada podemos extraer las tendencias de las funciones en t = 0 y t = ∞ cuando esos l´ımites existen. 7
  • 8. De la transformada de la derivada sabemos que: ∞ 0 dx(t) dt e−st dt = sX(s) − x(0) si tomamos el l´ımite con s → 0: l´ım s→0 ∞ 0 dx(t) dt e−st dt = x(∞) − x(0) ⇒ l´ım t→∞ x(t) = l´ım s→0 sX(s) si, por el contrario, tomamos el l´ımite con s → ∞: l´ıms→∞ ∞ 0 dx(t) dt e−st dt = 0 ⇒ l´ım t→0 x(t) = l´ıms→∞ sX(s) 8