1. Dokumen tersebut membahas tentang matriks dan determinan.
2. Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi yang terdiri atas baris dan kolom.
3. Determinan merupakan nilai karakteristik untuk setiap matriks bujur sangkar.
1. MATRIKS DAN DETERMINAN
Pendahuluan
Banyak persoalan dalam matematika murni maupun terapan yang disajikan dalam sistem
persamaan linear. Misalnya, penerapan Hukum Kirchhoff dalam rangkaian listrik biasanya akan
menghasilkan sistem persamaan linear dengan variabel arus listrik. Untuk menyelesaikan sistem
persamaan linear dengan dua variabel biasanya digunakan metode substitusi atau eliminasi. Akan
tetapi, untuk sistem persamaan linear yang melibatkan tiga variabel atau lebih, metode ini
ternyata tidak efisien.
Untuk menyelesaian sistem persamaan linear dengan tiga variabel atau lebih, kita akan
membahas metode reduksi baris atau eliminasi Gauss dan aturan Cramer. Sebelum membahas
kedua metode ini, kita akan membicarakan konsep matriks dan determinan.
Definisi
Diandaikan kita memiliki sistem persamaan linear berikut:
๐ฅ + 2๐ฆ + 3๐ง = 7
4๐ฅ โ ๐ฆ โ 6๐ง = 1
2๐ฅ + 2๐ฆ โ 3๐ง = โ4
}
Koefien-koefisien x, y, dan z dapat dituliskan sebagai
๐ด = (
1 2 3
4 โ1 โ6
2 2 โ3
).
Sistem bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom ini dikenal dengan sebutan matriks.
Matriks ๐ ร ๐ adalah suatu susunan bilangan berbentuk persegi yang terdiri atas m baris dan n
kolom. Sebuah matriks A biasanya dituliskan dalam bentuk
๐ด = (
๐11 ๐12 ๐13 โฆ ๐1๐
๐21 ๐22 ๐23 โฆ ๐2๐
โฆ
๐๐1
โฆ
๐๐2
โฆ
๐๐3
โฆ
โฆ
โฆ
๐๐๐
).
Setiap bilangan ๐๐๐ pada matriks disebut unsur atau elemen, dengan indeks i dan j berturut-turut
menunjukkan unsur yang terletak pada baris ke-j dan kolom ke-k matriks yang bersangkutan.
Jika banyaknya baris m sama dengan banyaknya kolom n, dikenal matriks bujur sangkar
berukuran ๐ ร ๐ atau berorde n. Sebuah matriks yang hanya terdiri satu baris dinamakan matriks
baris. Sebaliknya, sebuah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom dinamakan matriks kolom.
Aljabar Matriks
2. 1. Kesamaan Matriks
Dua matriks ๐ด = (๐๐๐) dan matriks ๐ต = (๐๐๐) yang berukuran sama (memiliki jumlah
baris dan kolom yang sama), dikatakan sama jika dan hanya jika ๐๐๐ = ๐๐๐. Sebagai
contoh,
(
๐ฅ ๐ ๐ข
๐ฆ ๐ ๐ฃ) = (
2 0 8
โ1 4 3
),
jika dan hanya jika x = 2, y = ๏ญ1, r = 0, s = 4, u = 8, dan v = 3.
2. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua buah matriks A dan B yang berukuran sama dapat dijumlahkan/dikurangkan untuk
menghasilkan matriks C yang unsur-unsurnya merupakan hasil
penjumlahan/pengurangan dari unsur matriks A dan B yang bersesuaian. Secara
matematis, jika A dan B adalah dua matriks yang berukuran sama, maka ๐ถ = ๐ด ยฑ ๐ต
dengan ๐๐๐ = ๐๐๐ ยฑ ๐๐๐.
3. Perkalian Matriks dengan Skalar
Perkalian matriks A dengan skalar k akan menghasilkan sebuah matriks baru B yang
unsur-unsurnya diperoleh dengan mengalikan unsur-unsur matriks A dengan k. Jadi, B =
kA.
4. Perkalian dua Matriks
Jika ๐ด = (๐๐๐) sebuah matriks berukuran ๐ ร ๐ dan ๐ต = (๐๐๐) sebuah matriks berukuran
๐ ร ๐, maka perkalian matriks A dengan matriks B, yaitu C = AB, didefinisikan sebagai
๐๐๐ = โ ๐๐๐ ๐๐๐
๐
๐=1 ,
dengan matriks C berukuran ๐ ร ๐. Perkalian dua matriks dapat dilakukan jika dan
hanya jika banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris B.
Untuk ๐ด = (
4 2
โ3 1
) dan ๐ต = (
1 5 3
2 7 โ4
), diperoleh ๐ด๐ต = (
8 34 4
โ1 โ8 โ13
).
Berbeda dengan aljabar bilangan biasa, perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif.
Akan tetapi, hukum asosiatif dan distributif tetap berlaku:
A(BC)= (AB)C, A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + AC.
Sebuah matriks A dapat dikalikan dengan dirinya sendiri jika dan hanya jika A adalah
matriks bujur sangkar. Ungkapan AA biasanya ditulis ๐ด2
. Dengan cara yang sama,
๐ด3
= ๐ด2
๐ด, ๐ด4
= ๐ด3
๐ด, dan sebagainya.
5. Matriks Transpos
3. Untuk matriks A dapat dilakukan operasi transposisi, yaitu mengganti baris dengan
kolomnya sehingga diperoleh matriks baru. Matriks baru sebagai hasil transposisi ini
dinamakan transpose dari A dan dinyatakan dengan ๐ด ๐
. Dengan demikian, jika ๐ด = (๐๐๐)
maka ๐ด ๐
= (๐ ๐๐). Sebagai contoh, jika
๐ด = (
2 1 โ8
5 2 1
) maka ๐ด ๐
= (
2 5
1 2
โ8 1
).
Sifat-sifat matriks transpos: (๐ด + ๐ต) ๐
= ๐ด ๐
+ ๐ต ๐
, (๐ด๐ต) ๐
= ๐ต ๐
๐ด ๐
, dan (๐ด ๐
) ๐
= ๐ด.
Untuk matriks kompleks, yaitu matriks yang unsur-unsurnya bilangan kompleks, terdapat operasi
konjugat kompleks dan konjugat hermite.
Operasi konjugat kompleks pada matriks kompleks C yang dinyatakan dengan ๐ถฬ akan
menghasilkan matriks baru B yang elemen-elemennya adalah konjugat kompleks dari C. Jadi,
๐ต = (๐๐๐) = ๐ถฬ = (๐ฬ ๐๐). Matriks ๐ถฬ dikenal sebagai matriks konjugat kompleks dari C.
Operasi konjugat hermite pada matriks kompleks C merupakan kombinasi dari operasi
konjugat kompleks dan transposnya sehingga sehingga menghasilkan matriks baru B. Dengan
demikian, ๐ต = (๐ถฬ ) ๐
atau ๐ต = ๐ถโ
. Elemen-elemen matriks B adalah (๐๐๐) = (๐ฬ ๐ ๐). Matriks B ini
dikenal sebagai matriks konjugat hermite dari C.
Sebagai contoh, jika
๐ด = (
2 + 3๐ 4 โ 5๐
3 5๐
) maka ๐ดโ
= (๐ดฬ ) ๐
= (
2 โ 3๐ 4 + 5๐
3 โ5๐
)
๐
= (
2 + 3๐ 3
4 + 5๐ โ5๐
).
Matriks-matriks Khusus
Matriks bujur sangkar, matriks baris, dan matriks kolom biasanya dikelompokkan ke dalam
matriks khusus. Ada beberapa matriks khusus yang lain, yaitu:
1) Matriks diagonal, yaitu matriks yang semua unsurnya nol kecuali unsur-unsur yang
terletak pada diagonal utama. Contoh,
๐ด = (
1 0 0
0 3 0
0 0 4
).
Jumlah semua unsur diagonal utama sebuah matriks bujur sangkar dinamakan trace
matriks yang bersangkutan.
4. 2) Matriks segitiga, yaitu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya terletak di bawah atau
di atas diagonal utama sama dengan nol. Jika unsur-unsur nol terletak di bawah diagonal
utama, biasanya disebut matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika unsur-unsur nol terletak di
atas diagonal utama disebut matriks segitiga bawah.
3) Matriks satuan, yaitu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya pada diagonal utama
sama dengan 1, sedangkan unsur-unsur yang lain sama dengan nol. Matriks satuan
biasanya diberi simbol I. Sebagai contoh,
๐ผ = (
1 0
0 1
).
4) Matriks nol, yaitu matriks yang unsur-unsurnya sama dengan nol dan biasanya diberi
simbol O. Untuk matriks A yang ukurannya sama dengan O, berlaku ๐ด + ๐ = ๐ + ๐ด = ๐ด
dan ๐ด๐ = ๐๐ด = ๐.
5) Matriks simetri, yaitu matriks bujur sangkar yang memenuhi sifat ๐ด ๐
= ๐ด. Jika ๐ด ๐
= โ๐ด,
A disebut matriks taksimetri.
6) Matriks kofaktor, yaitu matriks yang didefinisikan sebagai ๐ด ๐
= ๐ด๐๐.
Jika ๐ด = (
๐11 ๐12 ๐13
๐21 ๐22 ๐23
๐31 ๐32 ๐33
) maka ๐ด ๐
= (
๐ด11 ๐ด12 ๐ด13
๐ด21 ๐ด22 ๐ด23
๐ด31 ๐ด32 ๐ด33
), dengan
๐ด11 = (โ1)1+1
|
๐22 ๐23
๐32 ๐33
|, ๐ด12 = (โ1)1+2
|
๐21 ๐23
๐31 ๐33
|, dan seterusnya.
7) Matriks adjoint, yaitu matriks yang diperoleh dari transpose matriks kofaktor. Jadi,
adj ๐ด = ๐ด ๐๐
.
Untuk ๐ด = (
1 3
2 1
), ๐ด ๐
= (
1 โ2
โ3 1
), dan adj ๐ด = ๐ด ๐๐
= (
1 โ3
โ2 1
).
8) Jika adj ๐ด = ๐ด, matriks A dikatakan self-adjoint.
9) Jika ๐ด2
= ๐ผ, matriks A dikatakan involuntary.
10) Jika ๐ด = ๐ดฬ , matriks A dinamakan matriks real.
11) Jika ๐ด๐ด ๐
= ๐ผ, matriks A dinamakan matriks orthogonal.
12) Jika ๐ด = (๐ดฬ ) ๐
= ๐ดโ
, matriks A dinamakan matriks hermite.
13) Jika ๐ด๐ดโ
= ๐ผ, matriks A dinamakan matriks uniter.
14) Jika ๐ด = โ๐ดฬ , matriks A dinamakan matriks imajiner murni.
15) Jika ๐ด2
= ๐ด, matriks A dinamakan matriks idempotent (indepotent matrix).
5. Determinan
Untuk setiap matriks bujur sangkar A terdapat nilai karakteristi yang dikenal sebagai
determinan, biasa ditulis det (A) atau |๐๐๐|. Determinan matriks A ditulis sebagai
det๐ด = ||
๐11
๐21
๐12
๐22
โฆ ๐1๐
โฆ ๐2๐
๐31 ๐32
โฆ ๐3๐
โฆ
๐ ๐1
โฆ
๐ ๐2
โฆ
โฆ
โฆ
๐ ๐๐
||.
Jika matriks A dengan det (A) = 0, A disebut matriks singular. Sebaliknya, jika det (A) โ
0, A disebut matriks taksingular.
Minor
Jika baris ke-j dan kolom ke-k pada determinan yang disajikan di atas dihilangkan, kemudian
dibentuk sebuah determinan dari unsur-unsurnya yang tertinggal, akan diperoleh determinan
baru yang terdiri atas (n-1) baris dan (n-1) kolom. Determinan baru ini merupakan minor dari
unsur ๐๐๐ dan dinyatakan dengan ungkapan ๐๐๐. Sebagai contoh,
det๐ด = |
๐11
๐21
๐12
๐22
๐13 ๐14
๐23 ๐24
๐31 ๐32 ๐33 ๐34
๐41 ๐42 ๐43 ๐44
|
maka minor unsur ๐32 adalah ๐32, yaitu
๐32 = |
๐11 ๐13 ๐14
๐21 ๐23 ๐24
๐41 ๐43 ๐44
|.
Jika minor dari ๐๐๐ dikalikan dengan (โ1) ๐+๐
hasilnya dinamakan kofaktor dari ๐๐๐ dan
dinyatakan dengan ๐ด๐๐. Jadi,
๐ด๐๐ = (โ1) ๐+๐
๐๐๐.
Untuk menentukan determinan matriks A dapat digunakan ekspansi Laplace yang menyatakan
bahwa nilai determinan merupakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur pada suatu baris (atau
suatu kolom) dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian. Secara matematis,
det ๐ด = โ ๐๐๐ ๐ด๐๐
๐
๐=1 , untuk sembarang j.
Sebagai contoh, kita akan menghitung
det ๐ด = |
๐11 ๐12
๐21 ๐22
|
Untuk j =1, diperoleh
6. det ๐ด = โ ๐1๐๐ด1๐
= ๐11 ๐ด11 + ๐12 ๐ด12
2
๐=1 ,
dengan ๐ด11 = (โ1)1+1|๐22| = ๐22 dan ๐ด12 = (โ1)1+2|๐21| = โ๐21. Jadi,
det ๐ด = ๐11 ๐22 โ ๐12 ๐21.
Sifat-sifat Determinan
1) Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya dipertukarkan. Jadi, det ๐ด =
det ๐ด ๐
.
2) Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, determinan matriks itu sama
dengan nol.
3) Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, kecuali satu unsur,
determinannya sama dengan hasil kali unsur itu dengan kofaktornya.
4) Pertukaran dua baris atau dua kolom sembarang akan mengubah tanda determinan.
5) Jika semua unsur dalam suatu baris (atau kolom) dikalikan dengan sebuah bilangan,
determinannya juga dikalikan dengan bilangan itu.
6) Jika dua baris (atau kolom) sama atau sebanding, determinannya sama dengan nol.
7) Jika setiap unsur dalam suatu baris (atau kolom) sebuah determinan merupakan jumlah dua
suku, determinannya dapat dinyatakan sebagai jumlah dua determinan yang berukuran
sama.
8) Jika kita mengalikan unsur-unsur suatu baris (atau kolom) dengan sebuah bilangan
kemudian dijumlahkan dengan unsur-unsur yang bersesuaian dengan suatu baris (atau
kolom) yang lain, nilai determinannya tetap.
9) Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka det(๐ด๐ต) = det(๐ด) +
det(๐ต).
10) Jumlah dari hasil kali unsur-unsur dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-
kofaktornya dari baris (atau kolom) lainnya adalah nol. Secara matematis,
โ ๐ ๐๐ ๐ด ๐๐
๐
๐=1 = 0 atau โ ๐ ๐๐ ๐ด ๐๐
๐
๐=1 = 0, jika ๐ โ ๐.
Jika ๐ = ๐, hasilnya sama dengan det ๐ด.
Invers Matriks
Jika pada matriks bujur sangkar A terdapat matriks B sehingga AB = I, dengan I adalah
matriks identitas, maka B dinamakan invers matriks A dan ditulis sebagai ๐ดโ1
. Jadi, jika A adalah
7. matriks bujur sangkar tak singular berorde-n, maka terdapat satu invers ๐ดโ1
sehingga ๐ด๐ดโ1
=
๐ดโ1
๐ด = ๐ผ. Invers matriks memiliki sifat, (๐ด๐ต)โ1
= ๐ตโ1
๐ดโ1
dan (๐ดโ1
)โ1
= ๐ด.
Untuk menentukan invers matriks dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu: metode reduksi
baris dan metode determinan.
Metode Reduksi Baris
Untuk memberi gambaran penerapan metode reduksi baris, diandaikan kita akan menghitung
invers matriks A. Dengan mengingat sifat-sifat matriks satuan I, A = IA. Selanjutnya, dengan
mereduksi A di ruas kiri menjadi I maka ruas kanan akan tereduksi menjadi B sehingga
menghasilkan I = AB. Jadi, B adalah invers matriks A. Metode reduksi baris terdiri atas operasi-
operasi berikut:
๏ท menukarkan dua baris,
๏ท mengalikan sembarang baris dengan sebuah tetapan ๐ โ 0, dan
๏ท menjumlahkan atau mengurangkan dua baris sembarang.
Untuk memudahkan penulisan operasi reduksi baris, biasa digunakan notasi ๐ต๐,๐ dan ๐๐ต๐ ยฑ ๐๐ต ๐.
Notasi pertama menunjukkan baris-j dan baris-k dipertukarkan, sedangkan notas kedua artinya
baris-j dikalikan dengan a kemudian dijumlahkan atau dikurangkan dengan b kali baris-k.
Metode Determinan
Sebuah matriks memiliki invers jika dan hanya jika det ๐ด โ 0. Invers matriks A dapat ditentukan
dengan rumus ๐ดโ1
=
adj (๐ด)
det ๐ด
.
Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear dengan n variabel adalah suatu himpunan persamaan linear yang
berbentuk
{
๐11 ๐ฅ1 + ๐12 ๐ฅ2 + โฏ + ๐1๐ ๐ฅ ๐ = ๐1
๐21 ๐ฅ1 + ๐22 ๐ฅ2 + โฏ + ๐2๐ ๐ฅ ๐ = ๐2
โฆ .
๐ ๐1 ๐ฅ1 + ๐ ๐2 ๐ฅ2 + โฏ + ๐ ๐๐ ๐ฅ ๐ = ๐๐
8. Jika ๐1 = ๐2 = โฏ = ๐๐ = 0, sistem persamaan linear di atas disebut homogen. Sebaliknya, jika
๐๐ โ 0 dinamakan takhomogen. Sistem persamaan linear di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
matriks, yaitu
(
๐11 ๐12 โฆ ๐1๐
๐21 ๐22
โฆ ๐2๐
โฆ
๐ ๐1
โฆ
๐ ๐2
โฆ โฆ
โฆ ๐ ๐๐
) (
๐ฅ1
๐ฅ2
โฆ
๐ฅ ๐
) = (
๐1
๐2
โฆ
๐๐
)
atau AX = R.
Untuk menyelesaian system persamaan linear di atas digunakan dua cara, yaitu metode reduksi
baris dan aturan Cramer (lihat Bambang Ruwanto. 2002. Matematika untuk Fisika dan Teknik I.
Yogyakarta: Adicita hal. 131-135)