1) El documento describe una partícula que se desprende con velocidad tangencial desde el borde de un círculo en rotación y luego colisiona elásticamente con un objeto. 2) Usa la conservación de la rapidez para deducir que la velocidad tangencial es igual a la velocidad radial. 3) A través de la descomposición de vectores y el cálculo del cambio de velocidad, deduce la expresión fundamental de la aceleración centrípeta como ac = -v2/r.

1. ACELERACIÓN CENTRÍPETA
D E D U C C I Ó N D E L A E X P R E S I Ó N U T I L I Z A N D O U N A C O L I S I Ó N
E L Á S T I C A

2. Imaginemos una partícula que se desprende con
velocidad tangencial −𝑣 𝑡,desde el borde de un
círculo en rotación (Fig 1).
Por ser la colisión elástica, la rapidez, 𝑣 de la
partícula es constante tal que 𝑣 𝑡= 𝑣𝑟.
Luego, a cierta distancia de su punto de
desprendimiento, colisiona elásticamente con
un objeto en P (Fig. 2) para rebotar en
dirección radial con velocidad 𝑣𝑟.
Fig. 2
Fig. 1

3. COMPONENTES DE V Y CAMBIO
DE VELOCIDAD:
Descomponemos 𝑣𝑟 en un vector vertical hacia abajo y otro
horizontal hacia la derecha (Fig. 3):
𝑣𝑟= (−𝑣 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑣 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ) (1)
∆𝑣 = [ 𝑣𝑟− −𝑣𝑡 ] = (−𝑣 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑣 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ) + 𝑣𝑡 (2)
Con (1) calculamos el cambio de velocidad de la
partícula:
∆𝑣 = [𝑣𝑟 + 𝑣𝑡 ] = −𝑣(𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ) + 𝑣𝑡 (2’)

4. Para obtener la aceleración derivamos (2’) con respecto a 𝑡, teniendo
en cuenta que:
(a) tanto 𝑣𝑟 como 𝑣𝑡 son constantes
(b) 𝜃 = 𝜃(𝑡):
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝑣 −𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑡
+ 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝑡
(3)
= −𝑣
𝑑𝜃
𝑑𝑡
−𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (3’)
Luego, cuando 𝜃 → 0, −𝑠𝑖𝑛 𝜃 → 0 𝑎𝑛𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝜃 → 1, razón por la cual
podemos escribir (3’) como sigue:
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝑣
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= −𝑣𝜔 (4)
Aproximándonos a la expresión final:

5. Multiplicamos (4) por
𝑟
𝑟
para obtener 𝑎 𝑐, la aceleración centrípeta:
𝑎 𝑐 = −𝑣
𝑟
𝑟
𝜔 = -
𝑣𝑟𝜔
𝑟
(5)
De (5) y en vista que 𝑟𝜔 es igual a 𝑣 llegamos a la expresión que
buscábamos:
𝑎 𝑐 = −
𝑣2
𝑟
El signo negativo indica que la aceleración centrípeta está
dirigida hacia el centro.
La Fuerza Centrípeta es, por lo tanto: 𝐹 = −𝑚
𝑣2
𝑟
.
Por último: