modul matematika berbasis problem based learning pada materi matriks kelas x MIA

MATRIKS 2015
Modul Matematika Kelas XI Semester1 1

MATRIKS 2015
MATRIKS
BERBASIS MODELPEMBELAJARAN PBL
(Problem Based Learning)
KI 1: Menghayati dan mengamalkan ajaran
agama yang dianutnya.
KI 2: Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur,
disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong
royong, kerjasama, toleran, damai), santun,
responsif dan pro-aktif dan menunjukkan
sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai
permasalahan dalam berinteraksi secara
efektif dengan lingkungan sosial dan alam
serta dalam menempatkan diri sebagai
cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
KI 3: Memahami, menerapkan, dan menganalisis
pengetahuan faktual, konseptual, prosedural,
dan metakognitif berdasarkan rasa ingin
tahunya tentang ilmu pengetahuan,
teknologi, seni, budaya, dan humaniora
dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan,
kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab
fenomena dan kejadian, serta menerapkan
pengetahuan prosedural pada bidang kajian
yang spesifik sesuai dengan bakat dan
minatnya untuk memecahkan masalah.
KI 4: Mengolah, menalar, dan menyaji dalam
ranah konkret dan ranah abstrak terkait
dengan pengembangan dari yang
dipelajarinya di sekolah secara mandiri,
bertindak secara efektif dan kreatif, serta
mampu menggunakan metoda sesuai kaidah
keilmuan.
2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya
diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan
strategi menyelesaikan masalah.
2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan
disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.
2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan.
3.1 Memahami dan menganalisis konsep dasar operasi matriks dan sifat-sifat operasi matriks serta
menerapkannya dalam pemecahan masalah.operasi matriks serta menerapkannya dalam
pemecahan masalah.
4.1 Memadu berbagai konsep dan aturan operasi matriks dan menyajikan model matematika dari
suatu masalah nyata dengan memanfaatkan nilai determinan atau invers matriks dalam
pemecahannya.
MODUL
KOMPETENSI DASAR
KOMPETENSI INTI

MATRIKS 2015
PETA KONSEP BANGUN DATAR
Matriks : Sekelompok bilangan yang disusun menurut baris dan kolom
dalam tanda kurung dan berbentuk seperti sebuah
persegipanjang; sebuah kumpulan bilangan atau peubah yang
disusun sehingga berbentuk persegi panjang yang bisa
digunakan untuk mewakili sistem persamaan
Invers : operasi kebalikan dari suatu operasi tertentu
Invers Matriks : matriks kebalikan dari suatu matriks persegi
Kesamaan Matriks : matriks-matriks dengan ordo yang sama dan elemen-elemen
yang seletak dari matriks-matriks teersebut sama.
Matriks Baris : matriks yang terdiri dari satu baris
Matriks Kolom : matriks yang terdiri dari satu kolom
Matriks Diagonal : matriks yang seluruh elemennya nol kecuali pada diagonal
utamanya tidak semuanya nol
Matrik Identitas / : matriks persegi yang semua unsur diagonal utamanya sama
Matriks Satuan dengan 1 dan semua unsur yang lainnya sama dengan 0.
Matriks Nol : matriks yang semua elemennya nol
Matriks Persegi : matriks dengan jumlah baris sama dengan jumlah kolom
Matriks Skalar : jika semua elemen-elemen yang terletak pada diagonal
utamanya memiliki nilai yang sama
Matriks Segitiga Atas : matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal
utamanya bernilai nol
Matriks Segitiga Bawah : matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal
utamanya bernilai nol
Ordo Matriks: ukuran baris dan kolom pada matriks.
GLOSARIUM

MATRIKS 2015
Gambar 1. Gambar peta konsep Matriks
MATRIKS
Jenis - jenis
Unsur - Unsur
Oprasi
Kolom, Baris
Persegi Panjang
Persegi
Diagonal
Segitiga
Transpos
Identitas
Elemen kolom
Determinan
Elemen Baris
Penjumlahan
Pengurangan
Perkalian
Invers

MATRIKS 2015
A. Petunjuk Penggunaan Modul
Modul ini berisi standar kompetensi memecahkan masalah berkaitan dengan
segi empat dan segitiga.
1. Penjelasan untuk siswa
Dalam kegiatan belajar dengan sistem modul ini, siswa mempunyai peran
sebagai berikut :
a. Bacalah Modul ini secara berurutan, dari awal sampai akhir.
b. Isilah cek kemampuan. Nilailah apakah anda termasuk pada kategori siswa yang
perlu mempelajari modul ini, jika jawabannya ya, pelajarilah modul ini.
c. Pelajarilah modul ini secara bertahap mulai dari kegiatan belajar 1 sampai
kegiatan belajar 2.
d. Jangan melanjutkan pada kegiatan belajar 2, sebelum mencapai penguasaan
minimal kegiatan belajar 1 (skor minimal 70 %) pada tes formatif 1, dst.
e. Buatlah rencana belajar dengan menggunakan format seperti yang ada pada
modul. Jika belum paham konsultasikan rencana belajar anda dengan guru.
f. Lakukan rencana belajar anda dengan konsekuen hingga mencapai kompetensi
yang diharapkan.
g. Setiap anda mempelajari satu bab kompetensi, mulailah dengan pengetahuan
pendukung (uraian materi), mengerjakan tugas dan mengerjakan kertas kerja
siswa (worksheet).
h. Konsultasikan dengan kelompok atau guru apabila anda menemui kesulitan
untuk mencapai kompetensi.
i. Ikutilah langkah - langkah pembelajaran disetiap kegiatan pembelajaran dengan
baik.
2. Peran Serta Guru :
Dalam kegiatan belajar dengan sistem modul ini, Guru mempunyai peran
sebagai berikut :
a. Membantu siswa menyusun rencana belajar.
b. Mengarahkan siswa agar belajar sesuai dengan rencana yang telah disusun.
c. Membantu siswa memahami dan memecahkan kesulitan yang ada dalam materi,
jika siswa menemui kesulitan.
BAB 1 11

MATRIKS 2015
d. Membantu siswa melaksanakan tugas kelompok agar benar-benar sesuai dengan
tujuan mengerjakan secara kelompok
e. Mencatat semua kegiatan dan kemajuan siswa.
B. Tujuan Akhir Hasil Belajar.
Setelah siswa mempelajari modul ini, diharapkan siswa dapat :
1. Memahami operasi penjumlahan pada matriks dan sifat-sifatnya.
2. Menghitung operasi penjumlahan pada matriks dalam pemecahan masalah.
3. Menggunakan sifat komutatif dan sifat asosiatif penjumlahan matriks dalam pemecahan
masalah.
4. Menghitung operasi pengurangan dua matriks dalam pemecahan masalah.
5. Memahami operasi perkalian dua matriks dan sifat-sifatnya.
6. Menghitung operasi perkalian suatu bilangan real dengan matriks dan perkalian dua
matriks
7. Menggunakan sifat assosiatif dan sifat distributif perkalian matriks dalam pemecahan
masalah.
8. Menentukan nilai determinan matriks dalam pemecahan masalah dan menemukan sifat-
sifatnya.
9. Menentukan nilai invers matriks dalam pemecahan masalah dan menemukan sifat-
sifatnya.
10.Menentukan nilai invers matriks dengan menggunakan metode kofaktor.
11.Menerapkan konsep dan aturan operasi matriks dan menyajikan model
matematika dari suatu masalah nyata
12.Menerapkan konsep dan aturan operasi matriks dari suatu masalah nyata dengan
memanfaatkan nilai determinan atau invers matriks dalam pemecahannya.

MATRIKS 2015
Pada bagian ini, kita akan membahas pengertian, jenis – jenis, unsur – unsur, oprasi.
A. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks
Toko Donat
Gambar 1. Donat Coklat dan Donat Keju
Deni ingin membeli donat untuk acara ulangtahun pada toko I terdapat 240 donat
coklat dan 180 donat keju, toko II ada 220 donat coklat dan 210 donat keju, sedangkan
toko 3 ada 205 donat coklat dan 205 donat keju. Susunlah dalam tabel agar Deni mudah
menghafal jumlah donat yang ada.
Penyelesaian:
Toko Donat coklat Donat keju
I 240 180
II 220 210
III 205 205
Dari tabel di atas, bila diambil angka-angkanya saja dan ditulis dalam tanda
kurung buka dan kurung tutup , bentuknya menjadi bentuk sederhana inilah yang kita
sebut sebagai matriks.
BAB 2 11
Uraian Materi

MATRIKS 2015
Berdasarkan pemaparan tersebut maka dapat disimpulkan, Matriks merupakan
susunan bilangan-bilangan yang berbentuk siku-empat terdiri dari baris dan kolom
dengan diapit oleh sepasang kurung siku. Sebagai contoh :
a. [
2 2 5
1 3 1
5 12 9
] dan b. [
3 3
1 2
]
Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks.
Kolom suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks.
Bentuk umum :
Secara umum matriks Amxn = [
𝑎11 … 𝑎1𝑛
… … …
𝑎 𝑚1 … 𝑎 𝑚𝑛
]
Perhatikan bahwa elemen matriks A tersebut berindeks rangkap misalnya a11, yang
artinya matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-1. Untuk lebih jelasnya bentuk umum
seperti :
Amxn = [ 𝒂𝒊𝒋]mxn
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝒋 … . 𝒂𝟏𝒏
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝒋 … . 𝒂𝟐𝒏
𝒂𝒊𝟏 𝒂𝒊𝒋 … . 𝒂𝒊𝒏
𝒂𝒎𝟏 𝒂𝒎𝒋 … . 𝒂𝒎𝒏
m= baris
n= kolom
i = 1,2…m
j= 1,2…n
Menurut Nasoetion (1980:24), suatu matriks merupakan himpunan
unsur-unsur yang disusun berdasarkan penggolongan terhadap dua sifat
yang sering disebut dengan istilah baris dan kolam. Susunan bilangan -
bilangan yang diatur pada baris dan kolom dan letaknya diantara dua buah
kurung (http://www.Belajar-Matematika.com ). Sederetan bilangan yang
berbentuk segi empat yang diapit oleh sepasang kurung siku
(http://www.p4tkmatematika.org/downloads/smk/Matriks).
Definisi :

MATRIKS 2015
Matriks dinotasikan dengan huruf capital misalnya A, B, C dan lain-lain. Banyanya
baris dan banyaknya kolom menentukan ukuran dari matriks tersebut yang disebut ordo
matriks. Perhatikan bahwa elemen dari matriks A di atas, misal a21 menyatakan elemen
pada matriks A tersebut terletak pada baris ke 2 dan kolom ke 1. Sedangkan matriks A
berordo mxn dan ditulis Amxn.
B. Macam-macam matriks
Menurut ordonya terdapat berbagai jenis matriks, antara lain.
1. Matriks Persegi
Toko buah
Gambar 2. Toko Buah
Ani ingin membeli buah mangga dan jeruk. pada toko I terdapat 2 kg mangga
dan 4 kg jeruk, toko II ada 3 kg mangga dan 7 kg jeruk. Susunlah ke dalam bentuk
matriks agar Ani mudah menghafal jumlah buah yang ada.
Pengelesaian :
Toko buah Mangga Jeruk
I 2 4
II 3 7
tabel di atas, bila diambil angka-angkanya saja dan ditulis dalam tanda kurung buka
dan kurung tutup [
2 4
3 7
].
Matriks yang dihasilkan yaitu matriks yang berordo 2x2 atau banyaknya baris
sama dengan banyaknya kolom. Matriks tersebut disebut matriks persegi.

MATRIKS 2015
Modul Matematika KelasVII Semester2 9
Pada suatu matriks persegi ada yang dinamakan sebagai diagonal utama dan
diagonal sekunder. Komponen-komponen yang terletak pada diagonal utama pada
matriks tersebut adalah 2 dan 7 yang berasal dari kiri atas ke kanan bawah.
Sebaliknya, komponen-komponen yang terletak pada diagonal sekunder berasal dari
kiri bawah ke kanan atas.
2. Matriks Baris
Yaitu matriks yang berordo 1xn atau hanya memiliki satu baris.
Contoh: A1x2 = 1 4
3. Matriks Kolom
Yaitu matriks yang hanya memiliki satu kolom.
Contoh C2x1=
2
3
4. Matriks Tegak
Yaitu matriks yang berordo mxn dengan m>n
Contoh: Q =
4 4
2 6
3 1
, Q berordo 3x2 sehingga matriks Q tampak tegak.
5. Matriks Datar
Yaitu matriks yang berordo mxn dengan m<n
Contoh: H=
2 3 1
65 6 3
, H berordo 2x3 sehingga matriks F tampak datar.
Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya terdapat jenis matriks, antara lain :
a. Matriks Nol
Yaitu matriks yang semua elemen penyusunnya adalah nol dan dinotasikan sebagai O.
Contoh: O2x3 = [
0 0 0
0 0 0
]
b. Matriks Diagonal
Yaitu matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonal utamanya
adalah nol.
Contoh: F2x2 = [
1 0
0 3
]
c. Matriks Skalar
Yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama dan elemen-
elemen selain diagonal utama adalah 0.
Contoh: F2x2 = [
3 0
0 3
]

MATRIKS 2015
d. Matriks Simetri
Yaitu matriks persegi yang setiap elemennya selain elemen diagonal adalah simetri
terhadap diagonal utama, atau matriks dimana susunan elemen-elemen antara matriks
dengan transposenya sama. C=CT; maka C adalah matriks simetris
Contoh: C3x3 =
1 2 3
2 2 5
3 5 3
e. Matriks Simetri Miring
Yaitu Matriks simetri yang elemen-elemennya selain elemen diagonal saling
berlawanan.
Contoh: W3x3 = [
1 −2 3
2 2 5
−3 −5 3
]
f. Matriks Identitas (satuan)
Yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah satu dan
elemen yang lain adalah nol dan dinotasikan sebagai I.
Contoh: I3x3 = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
]
g. Matriks Segitiga Atas
Yaitu dikatakan segitiga atas jika aij = 0 untuk i>j dengan kata lain matriks persegi
yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol.
Contoh: K3x3 = [
2 3 3
0 1 1
0 0 8
]
h. Matriks Segitiga Bawah
Yaitu dikatakan segitiga bawah jika aij = 0 untuk i<j dengan kata lain matriks persegi
yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya adalah nol.
Contoh: V3x3 = [
2 0 0
2 1 0
3 1 8
]
i. Matriks Transpose yaitu matriks yang diperoleh dari memindahkan elemen-elemen
baris menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya. Transpose suatu matriks
dilambangkan dengan …T, misal transpose matriks B dilambangkan dengan BT
Contoh: B2x3 =
1 2 3
0 3 4
, maka BT = [
1 0
2 3
3 4
]

MATRIKS 2015
Perhatikan bahwa ordo dari BT adalah 3x2. Sehingga pada matriks transpose baris
menjadi kolom dan sebaliknya, kolom menjadi baris.
C. Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya
a. Operasi kesamaan
Diketehui matriks sebagai berikut:
Apakah ada matriks yang sama? Dan ada yang tidak sama? Sebutkan!
Penyelesaian:
A = B, A ≠ C, B ≠ C
Dua buah matriks atau lebih dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai ordo
sama dan elemen-elemen yang seletak juga sama.
b. Penjumlahan dan Pengurangan dua Matriks
Diketahui matriks A= [
2 1
4 3
], B= [
3 1
4 1
] tentukan hasil penjumlahan kedua matris
tersebut!
Penyelesaian : A + B = [
2 1
4 3
] + [
3 1
4 1
]
= [
5 2
8 4
]
Misal matriks [5 2
8 4
] kita namai matriks C.
Penjumlahan Matriks, Jika A + B = C, maka elemen-elemen C diperoleh dari
penjumlahan elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu cij = aij +bij untuk C pada
baris ke-i dan kolom ke-j. sehingga, matriks A dan B dapat dijumlahkan apabila
kedua matriks memiliki ordo yang sama.
Sifat-sifat penjumlahan matriks
1. A+B = B+A (Komutatif)
2. A+(B+C) = (A+B)+C (Assosiatif)
3. A+O = O+A = A
4. (A+B)T = AT+BT
5. Ada B sedemikian hingga A + B = B + A = 0 yaitu B = -A
Pengurangan matriks, jika A – B = C, maka elemen-elemen C diperoleh dari
pengurangan elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu cij = aij-bij atau



































13
21C,
13
21B,
13
21A

MATRIKS 2015
pengurangan dua matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan matriks yaitu A + (-
B)
Contoh: A=[
1 2
4 3
], B= [
2 3
1 1
], maka A-B = [
1 2
4 3
] − [
2 3
1 1
]
= [
−1 −1
3 2
]
c. Perkalian matriks dengan skalar.
Perkalian sebuah matriks dengan skalar, maka setiap unsur matriks tersebut terkalikan
dengan skalar. Msalkan matriks A dikalikan dengan suatu bilangan real k maka kA
diperoleh dari hasil kali setiap elemen A dengan k.
Contoh: A = [
−1 −1
3 2
] maka 3A = 3 [
−1 −1
3 2
] = [
−3 −3
9 6
]
Jika a dan b bilangan real (skalar) dan matriks A dan matriks B merupakan dua
matriks dengan ordo sama sehingga dapat dilakukan operasi hitung. Maka berlaku
sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar:
1. a(A+B) = aA+aB
2. a(A-B) = aA-aB
3. (a+b)B = aB+bB
4. (a-b)B = aB-bB
5. (ab)B = a(bB)
6. (aB)T = aBT
d. Perkalian Dua Matriks
Dua buah matriks atau lebih (misal matriks AB) dapat dikalikan jika dan hanya jika
jumlah kolom pada matriks A sama dengan jumlah baris pada matriks B. jadi
AmxnBnxr bias didefinisikan, tapi BnxrAmxn tidak dapat didefinisikan.
A B AB
mxn nxr = mxr
sehingga hasil kali matriks AB berordo mxr.
Catatan:
 Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika banyaknya kolom matriks
A = banyaknya baris matriks B.

MATRIKS 2015
 Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriks dengan banyaknya baris =
banyaknya baris matriks A dan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks
B.
 Pada umumnya AB ≠ BA
 Apabila A suatu matriks persegi maka A2 = A.A ; A3 = A2.A ;
A4 = A3.A dan seterusnya.
 Apabila AB=BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A = C.
 Apabila AB=0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau B=0
Contoh perkalian matriks:
1. Perkalian matriks berordo 1xa dengan ax1
A = 1 2 3 dan B =
3
2
1
, A1x3B3x1 = [(1x3) + (2x2) + (3x1)]
= [10]
Hasil kalinya merupakan matriks berordo 1x1.
2. Perkalian matriks berordo ax1 dengan 1xa
A=
1
2
3
dan B = 1 2 3 , A3x1B1x3 = [
1𝑥1 1𝑥2 1𝑥3
2𝑥1 2𝑥2 2𝑥3
3𝑥1 3𝑥2 3𝑥3
]
= [
1 2 3
2 4 6
3 6 9
]
Hasil kalinya merupakan matriks berordo 3x3.
3. Perkalian matriks berordo mxn dengan matriks nxr
A = [
2 5
1 3
], B =
1 2 3
3 1 2
A2x2B2x3 = [2 5
1 3
]
1 2 3
3 1 2
AB =
(2𝑥1)+ (5𝑥3) (2𝑥2)+ (5𝑥1) (2𝑥3) + (5𝑥2)
(1𝑥1)+ (3𝑥3) (1𝑥2)+ (3𝑥1) (1𝑥3) + (3𝑥2)
=
17 9 16
9 5 9
Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks antara lain :
1. A(BC) = (AB)C
2. A(B+C) = AB + AC
3. (B+C)A = BA + CA

MATRIKS 2015
4. A(B-C) = AB – AC
5. (B-C)A = BA – CA
6. a(BC) = (aB)C = B(aC)
7. AI = IA = A
D. Determinan, Adjoin dan Invers Matriks
a. Determinan.
Untuk setiap matriks persegi terdapat suatu bilangan tertentu yang disebut
determinan. Determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang
bertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A) atau |A| (Howard Anton, 1991 : hal 67).
Yang diartikan dengan sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari suatu matriks A
adalah sebuah hasil perkalian elementer pada suatu kolom dengan +1 atau -1.
Untuk mengetahui tanda +1 atau -1dalam menentukan determinan suatu matriks yaitu
dengan menggunakan permutasi sesuai besar peringkat matriks tersebut dan ada atau
tidaknya invers pada hasil permutasi peringkat matriks tersebut.
Invers terjadi pada suatu permutasi jika terdapat bilangan yang lebih besar
mendahului bilangan yang lebih kecil pada kolom. Jika banyak invers genap dan nol
maka tanda +1 dan jika banyak invers ganjil maka tanda -1.
Misal :
1. Determinan untuk ordo 2x2 maka bentuk matriks seperti ini :
[
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
] permutasi dari bilangan bulat 1 dan 2 diambil bersama adalah 2! = 2
yaitu 1 2 dan 2 1 (untuk kolom) sedangkan baris menjadi patokan dan selalu berurut.
Sehingga determinan dari matriks berordo 2x2 adalah +1(a11.a22)-1(a12.a21) = a11.a22 –
a12.a21. jika matriks dalam bentuk [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] maka untuk mencari determinannya lebih
dikenal dengan bentuk ad – bc.
Contoh:
Jika matriks A = [
2 1
4 3
] maka det (A) = |A| = (2x3) – (1x4) = 6 – 4 = 2
2. Determinan untuk ordo 3x3
Maka bentuk matriks seperti [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
], permutasi dari bilangan bulat 1,
2 dan 3 diambil bersama adalah 3! = 6 yaitu 123, 132, 213, 231, 312, dan 321
(untuk kolom) sedangkan baris menjadi patokan dan selalu berurut. Sehingga

MATRIKS 2015
determinan dari matriks berordo 3x3 adalah +1(a11.a22.a33)-1(a11.a23.a32)-
1(a12.a21.a31)+1(a12.a23.a31)+1(a13.a21.a32)-1(a13.a22.a31).
Untuk mempermudah dalam mencari determinan maka berlaku :
a) Metode Sarrus
Misal matriks A = [
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
]
𝑎 𝑏
𝑑 𝑒
𝑔 ℎ
- - - + + +
Maka |A| = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi.
Cara ini hanya berlaku pada matriks berordo 3x3.
Contoh: D = [
1 2 2
3 1 2
1 2 3
]
Maka det (D) = |D| adalah [
1 2 2
3 1 2
1 2 3
]
1 2
3 1
1 2
|D| = (1x1x3) + (2x2x1) + (2x3x2) – (2x1x1) – (1x2x2) – (2x3x3)
= 3 + 4 + 12 – 2 – 4 – 12 = 0
b) Metode Minor dan Kofaktor
Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij adalah matriks bagian dari A
yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya pada baris ke-i
dan elemen-elemen pada kolom ke-j.
Contoh:
A= [
1 2 1
0 2 1
2 0 2
] maka :
M11 = [
1 2 1
0 2 1
2 0 2
] =[
2 1
0 2
]
M12 = [
1 2 1
0 2 1
2 0 2
] = [
0 1
2 2
]
M13 = [
1 2 1
0 2 1
2 0 2
] = [
0 2
2 0
]
M11, M12 dan M13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks
A. Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A

MATRIKS 2015
dilambangkan dengan α ij = (-1)i+j |Mij|, dari matriks A tersebut kofaktor a11
dilambangkan dengan α11 yaitu
(-1)i+j |Mij|
Untuk mencari det(A) dengan metode minor dan kofaktor cukup mengambil
satu ekspansi saja misal ekspansi baris ke-1atau kolom ke-1.
Sehingga
Contoh :
H = [
1 2 1
0 2 1
2 0 2
], untuk mencari |H| dengan metode minor dan kofaktor adalah
harus mencari determinan minornya terlebih dahulu yang diperoleh dari ekspansi
baris ke-1, yaitu det(M11), det(M12), det(M13), maka,
|M11| = (2x2)-(1x0) = 4
|M12| = (0x2)-(1x2) = -2
|M13| = (0x0)-(2x2) = -4
|H| = h11α11 + h12α12 + h13α13
= h11.(-1)1+1|M11| + h12.(-1)1+2|M12| + h13.(-1)1+3|M13|
= (1.4) + (2.(-1.-2)) + (1.-4)
= 4 + 4 – 4 = 4
b. Adjoin matriks
Adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj A
= (αij)T
Contoh
H = [
1 2 1
0 2 1
2 0 2
] kita telah mengetahui sebelumnya α11= 4, α12= 2,
α13= -4,
α21= (-1)2+1 |
2 1
0 2
| = -4, α22= (-1)2+2 |
1 1
2 2
| =0
α23= (-1)2+3|
1 2
2 0
| = 4 , α31= (-1)3+1 |
2 1
2 1
| = 0
α32= (-1)3+2 |
1 1
0 1
| = -1, α33= (-1)3+3 |
1 2
0 2
| = 2
maka adj H = [
𝛼11 𝛼21 𝛼31
𝛼12 𝛼22 𝛼32
𝛼13 𝛼23 𝛼33
] = [
4 −4 0
2 0 −1
−4 4 2
]

MATRIKS 2015
c. Invers Matriks
Jika A dan B matriks persegi nxn sedemikian hingga AB=BA=I, B disebut invers A
(B=A-1) dan A disebut invers B (A=B-1) sehingga berlaku
A A-1= A-1A=I, I adalah identitas.
Invers matriks A dirumuskan A-1 =
1
|A|
. Adj(A)
Pembuktian :
Misal matriks 2x2, matriks A= [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] dan misalkan invers matriks A adalah A-1=
[
𝑥 𝑦
𝑢 𝑣
]. Berdasarkan pengertian invers matriks, maka berlaku AA-1=I, dengan I
matriks identitas.
[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
][
𝑥 𝑦
𝑢 𝑣
] = [
1 0
0 1
]
[
𝑎𝑥 + 𝑏𝑢 𝑎𝑦 + 𝑏𝑣
𝑐𝑥 + 𝑑𝑢 𝑐𝑦 + 𝑑𝑣
] = [
1 0
0 1
]
Berdasarkan kesamaan matriks maka diperoleh:
ax + bu = 1 (1)
cx + du = 0 (2)
ay + bv = 0 (3)
cy + dv = 1 (4)
dari persamaan-persamaan dilakukan eleminasi untuk menentukan nilai x, y, u, dan v.
ax + bu = 1 xd adx + bdu = d
cx + du = 0 xb bcx + bdu = 0
adx – bcx = d
x(ad-bc) = d
x =
𝑑
𝑎𝑑−𝑏𝑐
substitusikan x pada persamaan (2), sehingga diperoleh u =
−𝑐
𝑎𝑑−𝑏𝑐
, dengan cara yang
sama seperti diatas, akan diperoleh juga y =
−𝑏
𝑎𝑑−𝑏𝑐
, dan v=
𝑎
𝑎𝑑−𝑏𝑐
. Dengan demikian A-
1= [
𝑑
𝑎𝑑−𝑏𝑐
−𝑏
𝑎𝑑−𝑏𝑐
−𝑐
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑎
𝑎𝑑−𝑏𝑐
] =
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
[
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
], dengan ad-bc≠0
Maka invers matriks A=[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
]adalah A-1=
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
[
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
]
Sehingga rumus invers matriks adalah A-1 =
1
|A|
. Adj(A)

MATRIKS 2015
Setelah telah selesai membahas materi matriks di atas, ada beberapa hal penting sebagai
kesimpulan yang dijadikan pengangan dalam mendalami dan membahas materi lebih
lanjut, antara lain:
1. Matriks adalah susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom.
2. Sebuah matriks A ditransposkan menghasilkan matriks 𝐴𝑡
matriks A berubah menjadi
elemen kolom matriks A ditrasposkan kembali, hasinya menjadi matriks A atau (A
dengan elemen baris . Dengan demikian matriks
3. Penjumlahan sebarang matriks dengan matriks identitas penjumlahan hasilnya matriks
itu sendiri. Matriks identitas penjumlahan adalah matriks nol.
4. Dalam operasi penjumlahan dua matriks berlaku sifat komutatif dan assosiatif, misal jika
A dan B adalah matriks, maka
a. A + B = B + A
b. A + (B + C) = (A + B) + C
5. Hasil kali sebuah matriks dengan suatu skalar atau suatu bilangan real k akan
menghasilkan sebuah matriks baru yang berordo sama dan memiliki elemenelemenk
kali elemen-elemen dari matriks semula.
6. Dua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila banyaknya kolom dari matriksyang
dikali sama dengan banyaknya baris dari matriks pengalinya.
7. Hasil perkalian matriks A dengan matriks identitas perkalian, hasilnya adalah matriks A.
8. Perkalian dua atau lebih matriks, tidak memenuhi sifat komutatif. Tetapi perkalian
matriks dengan skalar memenuhi sifat komutatif dan assosiatif. Misal jika k adalah
skalar, A, dan B adalah matriks maka berlaku.
a. k A = A k
b. k(A ± B) = kA ± kB
9. Hasil kali dua buah matriks menghasilkan sebuah matriks baru, yang elemenelemennya
merupakan hasil perkalian elemen baris matriks A dan elemen kolom matriks B. Misal
jika 𝐴 𝑝𝑥𝑞 dan 𝐵 𝑝𝑥𝑞 adalah dua buah matriks, maka berlaku 𝐴 𝑝𝑥𝑞x 𝐵 𝑝𝑥𝑞= 𝐶 𝑝𝑥𝑞
10. Matriks yang memiliki invers adalah matriks persegi dengan nilai determinannya tidak
nol (0).
Rangkuman

MATRIKS 2015
MATRIKS
Petunjuk :
a. Kerjakanlah lembar evaluasi dengan baik dan jangan bekerja sama dengan siswa lain.
b. Lembar evaluasi digunakan untuk mengukur kemampuan siswa.
c. Evaluasi dikerjakan setelah semua materi dan uji kompetensi selesai.
d. Evaluasi dikerjakan dalam waktu 60 menit dan dikumpulkan kepada guru.
I. Untuk soal Nomor 1 sampai dengan Nomor 10 berikut ini, pilihlah satu jawaban yang
paling tepat!
1. Diketahui matriks A dan B berordo 3x3














101
011
326
A dan














feeydx
cbbaz
zyyxx
B 2
Jika A = B, tentukan nilai a,b,c,d,e,f,x,y dan z.
2. Diketahui matriks P dan Q yang berordo 2x2









yxyx
xyx
P
2
32
dan 








12
47
y
Q Jika t
QP  , tentukan
33
yx  .
3. Ditentukan matriks-matriks 












12
34
43
21
BdanA , carilah matriks
a. 2A b. -2B c.
5
2
(A+B) d. (5A-2B)t
4. Jika H adalah matriks berordo 3x3, tentukan matriks H dari persamaan berikut:



























1221
11204
1583
5
876
401
532
H
Evaluasi
BAB 3
11

MATRIKS 2015
5. Tentukan hasil perkalian matriks berikut:
a.   







524
312
43
b.

























34
79
32
463
461
984
c. 

















54
32
12
63
36
6. Ditentukan matriks-matriks 








53
21
P , 




 

65
14
Q dan 








35
03
R . Carilah
matriks
ttt
QPdanPQRPQQRP )(,)(),(
7. Selesaikan setiap persamaan berikut:
a. 

















 5
9
76
52
y
x
b. 






















 261
15
4
12
413
021
z
yx
8. Ditentukan matriks 







10
21
A . Carilah matriks
432
,, AdanAA .
9. Jika A = [
1 3
2 4
] dan I, matriks satuan ordo dua, maka A2 - 2A + I adalah
10. Diketahui matriks A = [
1 2
4 3
] dan matriks Identitas. Tentukan nilai x supaya matriks
A - xI merupakan matriks singular!
11. Diket A = [
𝑥 + 𝑦 𝑥
𝑦 𝑥 − 𝑦
] B = [
1 −
1
2
𝑥
−2𝑦 3
] , jika At =B. tentukan nilai x?
12. Tentukan determinan dari :
A = [
16 −5
16 −5
]
B = [
2 9 16
0 0 0
24 16 8
]

MATRIKS 2015
C = -6 1 -3 -12
4 -2 2 3
-2 -1 -1 -1
2 1 1 9

MATRIKS 2015
PENUTUP
Sebagai tindak lanjut dari serangkaian kegiatan belajar dalam Modul Matematika Berbasis
Model Pembelajaran ini adalah :
Jika hasil evaluasi terhadap penguasaan kompetensi mencapai ≥ 70% maka siswa dapat
melanjutkan ke modul berikutnya. Tentu aja setelah memperoleh rekomendasi dari guru
mata pelajaran matematika yang terkait ataupun dari guru pembimbing.
Sebaliknya jika siswa masih belum dapat mencapai penguasaan kompetensi 70% maka
siswa dinyatakan belum kompeten dan siswa harus mengulang evaluasi tersebut.
Sebaiknya, perlu diadakan penelusuran terhadap penggunaan penguasaan kompetensi
dengan cara mengulang lagi tahap – tahap kegiatan belajar yang belum tuntas.
BAB 4
11

MATRIKS 2015
DAFTAR PUSTAKA
Kemendikbud. 2013. Buku Guru Matematika Kelas X.Jakarta : Kemendikbud
Suprapto, dkk. 2011. Matematika Untuk SMA/MA Kelas X Semester 2. Kudus : Pustaka
Indah.

MATRIKS 2015

modul matematika berbasis problem based learning pada materi matriks kelas x MIA

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Ähnlich wie modul matematika berbasis problem based learning pada materi matriks kelas x MIA

Ähnlich wie modul matematika berbasis problem based learning pada materi matriks kelas x MIA (20)

Kürzlich hochgeladen

Kürzlich hochgeladen (20)

modul matematika berbasis problem based learning pada materi matriks kelas x MIA