Precificação de Resseguro: Metodologias e Aplicações

Precificação de Resseguro 35
3
Precificação de resseguro
Este capítulo traz primeiramente uma noção ampla das aplicações das
metodologias de precificação de resseguro para melhor compreensão do
mesmo. Da seção 3.1 até a 3.5 são expostos com as metodologias para
precificá-los. Esta estrutura foi adotada depois da análise das demais
possibilidades e mostrou-se a mais didática, já que nem todas as metodologias
são aplicáveis a todos os tipos de resseguro, e, além disso, carregam
particularidades que merecem atenção conforme proposto aqui.
Ao final, a seção 3.6 complementa o capítulo com tópicos de suma
importância que abrangem o tratamento adequado dos dados, que através dos
ajustes de níveis possibilita a modelagem sem necessidade de aplicação de
séries temporais; os diferentes princípios de prêmio que se aplicam a cada
metodologia existente, sendo que eles são os mesmos princípios encontrados na
tarifação geral de seguros, conforme Kass (2001); e o ajuste de distribuição com
os testes de aderência e particularidades dos contratos de resseguro.
A precificação de resseguro tem particularidades que a tornam especial e
específica. A razão principal para tanto é que existem diversos tipos de
resseguro, conforme abordado no capítulo anterior, com amplas possibilidades
de contratação.
Existem três métodos gerais para a precificação de resseguro: tarifação
por experiência, tarifação por exposição e modelagem. No entanto, cada
contrato de resseguro a ser precificado pode solicitar tratamento diferenciado,
devido ao ramo de seguro, à qualidade da base de dados, ao tempo de
experiência, a ponto de, em muitos casos, necessitar de implementações
conjuntas dessas técnicas. Algumas dessas metodologias são utilizadas para
tipos específicos de resseguros e não são aplicadas em outros. A divisão entre
precificação de resseguros proporcionais e precificação de resseguros não-
proporcionais surge deste fato.
Uma visão geral das metodologias é importante para compreender o
processo de precificação de resseguro. Com este objetivo, as Tabelas 15 e 16
foram elaboradas. A primeira destaca as metodologias de precificação que
PUC-Rio-CertificaçãoDigitalNº0713592/CB

podem ser usadas para cada tipo de resseguro, e a segunda apresenta as
hipóteses necessárias para projeções.
Tabela 15. Relação das metodologias com os tipos de resseguro
Cota-
Parte
(Quota-
share)
Excedente de
Responsabilidade
(Surplus)
Excesso de Danos
(por Risco e por
Catástrofe) (Excess
of loss)
Excesso de
Danos Anual
(Stop loss)
Análise de despesas x x
Experiência x
Exposição x
Modelagem x x
Tabela 16. Base de cálculo de prêmio e sinistro por tipo de resseguro
Cota-
Parte
(Quota-
share)
Excedente de
Responsabilidade
(Surplus)
Excesso de Danos (por
Risco e por Catástrofe)
(Excess of loss)
Excesso de Danos
Anual (Stop loss)
Prêmio de
Resseguro
% da
projeção
do prêmio
total
original
% por apólice (IS
para comparar com
retenção) para
aplicar no premio
Não é função do premio
original cobrado. Cálculo
do prêmio será feito
sobre experiência ou
projeção de sinistro X
acima do nível de
retenção
Não é função do premio
original cobrado.
Cálculo do prêmio será
feito sobre experiência
ou projeção de sinistro
agregado no ano S
acima do nível de
retenção
Sinistro de
Resseguro
% da
projeção
do sinistro
total
aplicar o % por
apólice acima no
valor individual de
cada sinistro
Todo ou qualquer
sinistro X acima do nível
de retenção
Todo ou qualquer
sinistro total anual S
acima do nível de
retenção
X - valor individual do sinistro
S - valor agregado
Na prática atuarial são considerados outros fatores além do cálculo de
prêmio obtido através destas metodologias. Os sinistros e o desenvolvimento
dos contratos e dos riscos são essenciais na cotação de um plano de resseguro,
no entanto, fatores externos à carteira específica precificada também influenciam
o fechamento de um contrato de resseguro.
Dentre os fatores externos, destaca-se: carteiras adicionais como pré-
requisito de aceitação da carteira em questão; aquisição de prática em novo
mercado; diferentes carregamentos de despesas; e, principalmente,
oportunidade em negócios adicionais.

3.1.
Cota-parte
O resseguro do tipo cota-parte é, por definição, proporcional.
Propriamente, não há necessidade de metodologias para precificá-lo, pois nele
todas as responsabilidades são proporcionais, desde prêmios até sinistros. Com
isso, seja ( )∑=
∏
n
j
jX
1
o prêmio cobrado pela seguradora, então o prêmio de
resseguro é definido por:
( )∑=
∏−=
n
j
jXaêmio
1
)1(RePr
No entanto, isso se torna apropriado na medida em que o princípio de
prêmio adotado pelo ressegurador for o mesmo da seguradora, como segue:
Seja X um risco com função de distribuição XF e a função de retenção
aXXga =)( com )1,0(∈a , segue que, tem-se ainda nj ,...,2,1= , sendo n o
número total de apólices subscritas. O preço do resseguro para a carteira que
contém os riscos nXXX ,...,, 21 e retenção )1,0(∈a será:
∑=
−=
n
j
jXEaêmio
1
)()1(RePr
.
Se o prêmio da seguradora é definido por ( ) )( jj XEX =∏ , por
substituição, conclui-se que:
( )∑=
∏−=
n
j
jXaêmio
1
)1(RePr
Contudo, destaca-se que as despesas e a margem de lucro da seguradora
e do ressegurador podem ser diferente, e exatamente por esse motivo que uma
análise das mesmas é necessária, conforme assinalado na Tabela 15.
3.1.1.
Particularidades dos contratos proporcionais
As diferenças dos custos operacionais entre a seguradora e o
ressegurador podem exigir uma análise especial. Clark (1996) afirma que
ressegurar uma seguradora que obtém lucros, não é garantia de lucros para o
ressegurador, e por isso existem fatores ajustáveis. As particularidades
destacadas por Clark (1996) são explicadas a seguir.

3.1.1.1.
Comissão nos lucros
A comissão nos lucros é um percentual nos lucros do ressegurador, no
contrato, que é retornado à seguradora como comissão adicional. Esse tipo de
comissão também deve ser incluída no modelo, com distribuição do índice de
sinistralidade. Porém, há ambigüidades quanto às provisões compensatórias.
Exemplo: Suponha que o contrato tenha estabelecido a Comissão de
Lucros de 50%. Para os resultados abaixo, a comissão de lucros equivale a:
Tabela 17. Exemplo comissão nos lucros
Sinistralidade 55%
Comissão de Resseguro 25%
Margem de Despesas 10%
Lucro de Resseguro 10,00%
% Comissão nos Lucros 50%
Comissão de Lucro Final 5,00%
3.1.1.2.
Faixas de sinistralidade
A aplicação de faixas de sinistralidades, do inglês, loss corridors, prevê
que a seguradora vai reassumir uma parcela da responsabilidade do
ressegurador se o índice de sinistralidade exceder um determinado valor. Mais
adequadamente modelado usando a distribuição agregada de sinistros.
Exemplo: Suponha que o contrato tenha estabelecido 75% na faixa entre
80% e 90% de sinistralidade. Tem-se, então:
Tabela 18. Exemplo faixas de sinistralidade
Faixas de Faixas de Sinistralidade 75%
Sinistralidade Sem Loss Corridors Com Loss Corridors
0% - 80% 80,00% 80,00%
80% - 90% 10,00% 2,50%
>90% 10,00% 10,00%
100,00% 92,50%
3.1.1.3.
Comissão escalonada
A comissão escalonada é um percentual do prêmio pago pelo
ressegurador à cedente, variável com o resultado observado, limitado a valores

mínimos e máximos. O índice técnico (sinistralidade observada + corretagem
efetiva) varia menos se a comissão for assim contratada. E isso também pode
ser abordado como um modelo agregado de distribuição de sinistros.
Exemplo: Suponha que o contrato tenha estabelecido a Comissão de
Provisão (Inicial) de 30%, Comissão Mínima de 25% com sinistralidade de 65%,
após variando de 1:1 até 35% com sinistralidade de 55%, após variando de 0,5:1
até 45% com sinistralidade de 35%. Tem-se, então, o seguinte:
Tabela 19. Exemplo de comissão escalonada
Índice Técnico com Sinistralidade Comissão Índice Técnico com
Comissão Fixa (30%) Observada Ajustada Comissão Escalonada
< 65% < 35% 45,0% <80%
70% 40% 42,5% 82,5%
80% 50% 37,5% 87,5%
85% 55% 35,0% 90,0%
90% 60% 30,0% 90,0%
95% 65% 25,0% 90,0%
Exemplo: Dada a função de distribuição de probabilidades da Tabela 20.
Tabela 20. Exemplo comissão escalonada
Faixas de Média Comissão
Sinistralidade na Faixa
Probabilidade
Escalonada
0% - 35% 31,50% 0,025 45%
35% - 55% 46,90% 0,311 39%
55% - 65% 59,90% 0,222 30,1%
>65% 82,20% 0,442 25%
Caso exista contratação de comissão escalonada, esta deve ser incluída
nos cálculos de precificação. O problema neste método é que se ignora o fato de
que o contrato pode não ser renovado no próximo ano, sendo que necessita de
tempo para convergir.
3.2.
Excedente de responsabilidade
O resseguro do tipo excedente de responsabilidade também é, por
definição, proporcional. Da mesma forma, não há necessidade de metodologias
para precificá-lo, as responsabilidades são proporcionais, desde prêmios até

sinistros. Com isso, seja ( )jX∏ o prêmio cobrado pela seguradora para a
ésimaj − apólice, então o prêmio de resseguro total é definido por:
( )∑=
∏−=
n
j
jj Xaêmio
1
)1(RePr
Se o princípio de prêmio adotado pelo ressegurador for o mesmo da
seguradora, isso se torna igualmente apropriado, como segue:
Seja X um risco com função de distribuição XF , nj ,...,2,1= , sendo n o
número total de apólices subscritas e ainda seja jv o valor segurado ou
importância segurada da ésimaj − apólice, 0v > 0 é o valor de retenção. O
preço do resseguro para a carteira que contém os riscos nXXX ,...,, 21 e
retenção )1,0(∈ja será:
∑=
−=
n
j
jj XEaêmio
1
)()1(RePr
.
Logo, se o prêmio da seguradora é definido por ( ) )( jj XEX =∏ , por
substituição, conclui-se que:
( )∑=
∏−=
n
j
jj Xaêmio
1
)1(RePr
.
A ressalva anterior referente à análise de despesas e margens da
seguradora e do ressegurador continua válida para esse tipo de contrato.
3.3.
Excesso de dano por riscos
Este resseguro, conforme exposto na seção 2.5.1, é classificado como não
proporcional. Daí advém a necessidade de precificação com metodologia
específica. Serão apresentadas as metodologias de precificação por experiência,
por exposição, por modelagem geral e por modelagem sob Pareto.
3.3.1.
Precificação por experiência ou burning cost
A tarifação por experiência, do inglês experience rating, considera a
sinistralidade dos últimos anos, ou seja, baseia-se em sinistros ocorridos no
passado. Através de correções apropriadas os sinistros são adaptados de forma
a ilustrarem bem a carga de sinistro que ocorrerá no futuro. A principal

característica é que a confiança na base de dados é altíssima. Acredita-se,
nessa metodologia que o passado será replicado no futuro, ou seja, a idéia
principal é que o histórico de sinistro, ajustado corretamente, é a melhor maneira
de se prever as expectativas futuras.
Conforme já foi apresentado, este tipo de resseguro prevê cobertura de
sinistro de um risco a partir da retenção da seguradora. Clark (1996) denomina
esta metodologia como burning cost, e pela necessidade de adequação da base
de dados, sugere que as seguintes etapas devem ser seguidas:
O primeiro passo é levantar o histórico maior possível e fazer avaliação
entre credibilidade e responsabilidade da qualidade das informações. Cuidado
especial deve ser tomado com sinistros próximos aos limites das faixas, pois ao
terem seus valores atualizados pela inflação podem mudar de faixa (layer). O
passo seguinte compõe-se dos ajustes nas bases de prêmio com fatores de
taxa, preço e inflação; assim como ajuste dos valores dos sinistros históricos,
conforme já mencionado.
A metodologia deve seguir aplicando os fatores de evolução estudados
para os sinistros, sendo possível estimar uma sinistralidade em cada faixa de
valor de sinistro, onde discussões a respeito de deslocamentos na média são
sempre fundamentais.
Seja k o número de períodos de experiência ajustados por volume de
prêmio, inflação e níveis de tarifa, seja kj ,...,2,1= um período de experiência
em que ocorreram jn sinistros. Seja, respectivamente, ju e jh a prioridade e o
limite de cobertura ajustados para o ano j . Seja jix , o ésimoi − sinistro
ocorrido no ano j , com jni ,...,2,1= . Dessa forma, o preço de resseguro para
um período, com a base de dados ajustada, pela metodologia de experiência ou
burning cost será:
( )∑∑= =
+
−−=
k
j
n
i
jjjji
j
uhuxmín
k
êmio
1 1
, ;
1
RePr .
Nessa metodologia cada período de experiência recebe o mesmo peso, o
que só é possível pelos ajustes de nível de prêmio e de nível de tarifa, no
entanto, o conhecimento a priori, mesmo que subjetivo, pode ser adicionado
nesta precificação na medida em que existam evidências de que os últimos
períodos sejam mais significativos para representar o futuro.

3.3.2.
Precificação por exposição
A tarifação por exposição, do inglês exposure rating, aplica-se quando a
base de dados (material estatístico) não é suficiente, tenta-se encontrar uma
carteira de seguros comparável e com a qual se tenha adquirido suficiente
experiência de sinistro. Deve-se ponderar a diferença entre a carteira a ser
tarifada e a análoga de tal forma que se possa determinar a futura carga de
sinistros. Não são mais decisivos os sinistros realmente ocorridos, mas sim
aqueles esperados, segundo as características da carteira Essa metodologia
considera, segundo Mata (2005), a carga de sinistros esperada em função do
tipo e da composição dos riscos cobertos. Para projetar os sinistros pode-se
utilizar inclusive informações de outras fontes.
Na precificação com base na exposição, o perfil do risco atual é modelado
e não o que foi descrito, aceito e ocorrido nos anos anteriores. Para isso surge a
curva de exposição que pode ser obtida dos próprios dados ou de uma carteira
de riscos que possa representar os riscos assumidos pela seguradora, para o
próximo período. A curva de exposição representa o montante do sinistro
limitado a um determinado percentual p do valor segurado IS em relação ao
valor total do sinistro. Sendo assim, seja ( )xf é a distribuição dos montantes
dos sinistros individuais, a curva de exposição é calculada por
[ ]
)(
)(1
)( 0
xE
dxxF
pP
pIS
∫ −
= .
Após o cálculo e definição da curva de exposição, a precificação é
composta por três etapas. A primeira etapa determinar faixas de valores das
importâncias seguradas, com os respectivos valores médios de importâncias
seguradas em cada faixa denotados por iISmédia . Calcula-se, então o
percentual que é utilizado para determinar o valor do fator de exposição. Seja
u a prioridade determinada para o contrato, então:
u
ISmédia
faixa i
i −=1% .
Em seguida calcula-se o fator de exposição em cada faixa, denotado por
iFatExp , que corresponde ao valor da curva de exposição, para o percentual
encontrado no cálculo anterior, ou seja, ( )ii faixaPFatExp %= .

Para a carteira que está sendo precificada, sabe-se o valor total de prêmio
cobrado pela seguradora para cada faixa, assim como se sabe o valor da
sinistralidade esperada pela seguradora em cada faixa. Através da multiplicação
desses valores em cada faixa, chega-se ao valor das indenizações de sinistro
esperadas em cada faixa de IS, denotadas por ( )iSE . Seja n o número total de
faixas de IS, o prêmio de resseguro, segundo o método de exposição, será dado
por:
( )∑=
=
n
i
ii SEFatExpêmio
1
*RePr .
3.3.3.
Modelagem geral
A tarifação com modelagem utiliza a teoria do risco assumindo
distribuições estatísticas para o número de sinistros e para o valor dos sinistros,
geralmente separando-os em faixas, do inglês layers. Ou ainda, utiliza
aproximações para a soma agregada dos sinistros também através de
distribuições estatísticas conhecidas, conforme Mata (2000).
Seja iX um risco com função de distribuição XF e seja tN o número de
sinistros ocorridos no intervalo de tempo t com função de distribuição NP . O
processo de modelagem necessita, igualmente, de ajustes do nível de prêmio,
nível de tarifa e inflação na base de dados. Inicialmente, supõe-se que:
(i) ( )tt PoiN λ~ , ou ainda, ( )qpnBinNt ,,~ , sendo que os
parâmetros das distribuições são determinados a partir da base
de dados.
Por exemplo, ∑=
=
k
j
jt n
k 1
1
λ , onde jn corresponde ao número total de
sinistros ocorrido no período j .
(ii) ( )kkiX σµ ,ln~ , ou ainda, iX assume outra distribuição
estatística conhecida, tais como Normal, Normal Power, Gamma,
Gamma Translada, Pareto, etc., mediante realização de teste de
adequação à distribuição empírica.
(iii) ( ) ∑=
=
N
i
iN XXS
1
é a variável aleatória sinistros agregados.

O processo de ajuste de distribuição estatística aos dados que será
descrito na seção 3.6.3 cabe neste ponto da precificação. O passo seguinte
corresponde à simulação através do método Monte Carlo (MC), para isso, a
referência com exemplos de aplicação em atuária é Scollnik (2000). Necessita-
se da utilização deste método para a obtenção de toda a distribuição de
probabilidade, para, então fazer inferências sobre a cauda da distribuição. São
duas etapas que compõe este passo. Primeiro, deve-se simular o número de
sinistros de cada período futuro e, após, deve-se gerar o valor de cada um dos
sinistros simulados para cada período futuro. Aqui caberia uma discussão sobre
geração de números aleatórios, ou sobre o gerador de números aleatórios, no
entanto, considera-se que o modelador tenha conhecimento dos mesmos, já que
esta é uma extensa área da matemática e da ciência da computação. Em geral,
pacotes estatísticos contêm geradores de números aleatórios implementados e a
biblioteca dos mesmos é suficiente para entendê-los e analisá-los. Além disso,
se o modelador julgar necessário pode optar por fazer a geração de números
aleatórios em um pacote estatístico, e transferir os resultados para o pacote que
fará as simulações.
Uma simulação deverá fornecer os seguintes resultados:
(i) 1221
;...;; kkk nnn , onde 1k corresponde ao primeiro mês se o
período escolhido para tarifação for de 1 ano, e a base de dados
estiver organizada mensalmente.
(ii) 1111 ,,2,1 ;...;; knkk sss , assim como, 2222 ,,2,1 ;...;; knkk sss até
12121212 ,,2,1 ;...;; knkk sss .
Com isso torna-se possível fazer o somatório de recuperações de sinistros
que seriam geradas nesse cenário, a qual corresponde a:
( )∑∑= =
+
−=
12
1 1
1
1
1
Re
k
n
i
ki
k
uXcSim .
Esta simulação deve ser repetida um número de vezes suficientemente
grande para dar estabilidade e segurança ao prêmio de resseguro. Sugere-se
1.000 simulações iniciais, segundo Scollnick (2001). Existem alguns testes de
convergência, contudo, de maneira simplificada verifica-se a convergência da
modelagem através de novas 1.000 simulações e comparando-se os valores
esperados obtido através de ambas, ou seja, substituindo-se por valores
esperados com referência dos parâmetros.

Por fim, tem-se que:
∑=
=
1000
1
Re
1
RePr
m
mcSim
m
êmio , observe que nessa hipótese o número de
simulações feitas corresponde a um total de 1.000. Pode-se necessitar de
100.000 simulações para alcançar a estabilidade, e cabe aplicação de
conhecimentos de convergência computacional, conforme Scollnick (2000).
3.3.4.
Modelagem sob Pareto
Esta metodologia apóia-se em evidências de que sinistros grandes devem
ser modelados separadamente dos pequenos, sendo que os pequenos podem
ser modelados mais adequadamente através da distribuição agregada, ou seja,
através da soma dos sinistros em um período. Para separar sinistros grandes e
sinistros pequenos esta metodologia usa um limiar, que será denotado por kw ,
pois o valor do limiar deve ser ajustado por inflação ao período k . Na bibliografia
também é denominado, do inglês, threshold.
Seja kis , um sinistro ocorrido no período k . Define-se:
(i) se kki ws >, então kis , deve ser usado para modelar sinistros
grandes.
(ii) se kki ws ≤, então kis , deve ser usado para modelar sinistros
pequenos.
Segundo Rytgaard (1990), a distribuição de Pareto é considerada a mais
adequada para simular os sinistros grandes, isso ocorre porque ela apresenta
cauda mais pesada que as demais distribuições estatísticas.
A modelagem, segundo esta metodologia deve ser feita de forma parecida
com a anterior no que se refere aos sinistros grandes. Seja iX um risco com
função de distribuição XF e seja tN o processo de ocorrência de sinistros no
tempo t com função de distribuição NP . O processo de modelagem necessita,
igualmente, de ajustes do nível de prêmio, nível de tarifa e inflação na base de
dados. Inicialmente, supõe-se que:

(i) ( )qpnBinNt ,,~ , sendo que os parâmetros da distribuição são
determinados a partir da base de dados, pelo método de máxima
verossimilhança.
(ii) ( )α,~ cParetoXi , sendo que os parâmetros desta distribuição
são determinados também a partir da base de dados, pelo
método de máxima verossimilhança.
Os sinistros pequenos são modelados pela distribuição agregada, logo:
(i) ( )βα,~)( GammaXS tku , onde )( tku XS representa a soma total
de recuperações de sinistros para a seguradora, de um sub-
período t dentro do período k de igual tamanho ao período que
está sendo precificado; os parâmetros desta distribuição são
determinados também a partir da base de dados, pelo método de
máxima verossimilhança.
O processo de ajuste de distribuição estatística aos dados que será
descrito na seção 3.6.3 cabe neste ponto da precificação. O passo seguinte
corresponde à simulação e assemelha-se a simulação descrita na seção 3.3.3.
no que se refere aos sinistros grandes. Os sinistros pequenos não necessitam
de duas etapas, de tal forma que uma simulação deverá fornecer os seguintes
resultados: 1211
;...;; kkk SSS , onde 1kS corresponde a recuperação agregada
de sinistros pequenos para o período 1, no exemplo, coloca-se o número de sub-
períodos seja igual a 12 meses.
( )∑∑∑ = =
+
=
−+=
12
1 1
12
1
1
1
1
Re
k
n
i
ki
j
k
k
J
wXScSim .
grande para dar estabilidade e segurança ao prêmio de resseguro. Sugere-se
1.000 simulações iniciais, conforme Scollnik (2000). Existem alguns testes de
convergência, contudo, de maneira simplificada verifica-se a convergência da
modelagem através de novas 1.000 simulações e comparando-se os valores
esperados obtido através de ambas, ou seja, substituindo-se por valores
esperados com referência dos parâmetros.
Por fim, tem-se que:

∑=
=
1000
1
Re
1
RePr
m
mcSim
m
êmio , observe que nessa hipótese o número de
simulações feitas corresponde a um total de 1.000. Pode-se necessitar de
100.000 simulações para alcançar a estabilidade, e cabe aplicação de
conhecimentos de convergência computacional.
3.4.
Excesso de dano por catástrofe
Este resseguro, conforme exposto na seção 2.5.2 também é classificado
como não proporcional. As metodologias de precificação que são utilizadas
neste tipo são precificação por experiência e por modelagem. As diferenças na
precificação deste tipo de resseguro estão na forma de definir os sinistros que
devem ser somados, ou seja, agregam-se somente os que foram indenizados
para a seguradora, em forma de recuperação de resseguro, devido a um evento
considerado catástrofe.
3.4.1.
Precificação por experiência
Todos os ajustes de nível de prêmio, nível de tarifa e inflação,
mencionados anteriormente, também se aplicam nesta precificação constituindo
uma pré-etapa. Chama-se atenção para a necessidade de identificação, na base
de dados, dos sinistros que se originaram de um mesmo evento. Os eventos que
poderão originar catástrofe (vendaval, terremoto, etc.) já são definidos no
contrato, tal como já são definidos os eventos excluídos.
Seja k o número de períodos de experiência ajustados por volume de
prêmio, inflação e níveis de tarifa, seja kj ,...,2,1= um período de experiência.
Em um período j ocorreram jl eventos catastróficos. Seja, respectivamente, ju
e jh a prioridade e o limite de cobertura de catástrofe ajustados para o ano j .
Seja jlS , a soma da recuperação de resseguro do ésimol − evento catastrófico
ocorrido no ano j , com jll ,...,2,1= . Dessa forma, o preço de resseguro para
um período, com a base de dados ajustada, pela metodologia de experiência
será:
( )∑∑= =
+
−−=
k
j
l
l
jjjjl
j
uhuSmín
k
êmio
1 1
, ;
1
RePr .

Onde,
∑=
=
li
i
jlijl sS
1
,,, , e jlis ,, corresponde ao ésimoi − sinistro ocorrido,
causado pelo evento catastrófico l , no período j .
A ressalva referente à ponderação dos períodos também se aplica nesta
metodologia.
3.4.2.
Modelagem
A tarifação com modelagem exposta na seção 3.3.3. aplica-se a este tipo
de resseguro com a diferença de composição da base de dados. A mesma deve
conter somente sinistros referentes a eventos catastróficos.
Seja iX um risco com função de distribuição XF e seja tN o número de
sinistros ocorridos no intervalo de tempo t do evento catastrófico l com função
de distribuição NP . O processo de modelagem necessita, igualmente, de ajustes
do nível de prêmio, nível de tarifa e inflação na base de dados. Inicialmente,
supõe-se que:
(i) ( )ll PoiN λ~ , ou ainda, ( )qpnBinNl ,,~ , sendo que os
parâmetros das distribuições são determinados a partir da base
de dados.
(ii) ( )lliX σµ ,ln~ , ou ainda, iX assume outra distribuição
estatística conhecida, tais como Normal, Normal Power, Gamma,
Gamma Translada, Pareto, etc., mediante realização de teste de
adequação à distribuição empírica.
O processo de ajuste de distribuição estatística aos dados abordado na
seção 3.6.3 cabe neste ponto da precificação. O passo seguinte corresponde à
simulação, a qual é realizada exatamente conforme descrito na seção 3.3.3.
Uma simulação deverá fornecer os seguintes resultados:
(i) ll nnn ;...;; 2 , onde ln corresponde ao número de sinistros
ocorridos no evento catastrófico l .

(ii) 1,1,21,1 1
;...;; nsss , assim como, 2,2,22,1 2
;...;; nsss até
lnll l
sss ,,2,1 ;...;; , onde lnl
s , corresponde ao ésimonl −
sinistro ocorrido do evento catastrófico l .
∑ ∑=
+
=






−=
l
j
l
n
i
i uXcSim
l
1 1
1Re .
grande para dar estabilidade e segurança ao prêmio de resseguro. Por fim, tem-
se que:
∑=
=
1000
1
Re
1
RePr
m
mcSim
m
êmio
.
E aqui cabe aplicação de conhecimentos de convergência computacional.
3.5.
Excesso de dano anual
Este resseguro, conforme exposto na seção 2.6 é considerado não-
proporcional. A metodologia de precificação utilizada é a modelagem.
3.5.1.
Modelagem
A tarifação com modelagem para este tipo de resseguro assemelha-se às
modelagens dos demais tipos de resseguro. Dado o processo de simulação dos
sinistros futuros que consta na seção 3.3.3, pode-se obter o prêmio de resseguro
para excesso de danos anual por:
( )( ) ( )( )[ ] ( )( )∑=
++
−=−==
k
j
kkNNu uXS
k
uXSEXSEêmio
1
1
RePr .
Além disso, alguns autores sugerem a utilização de aproximações,
principalmente pelo Teorema Central do Limite, como possibilidade de
determinação do prêmio de resseguro de excesso de danos anual.

3.6.
Conceitos adicionais
Esses conceitos e considerações adicionais devem ser observados ao
iniciar a precificação. Sem a devida atenção às particularidades que existem em
uma operação de seguro e de resseguro de nada adianta a aplicação da melhor
metodologia. As operações de seguro e de resseguro pedem mais que boas
modelagens, exigem também conhecimento atuarial.
3.6.1.
Tratamento de dados e sequência geral
A etapa inicial abrange detalhes de ajuste e coleta de dados, bem como
opções de comissões utilizadas na prática do mercado, este processo é descrito
por Clark (1996), uma referência mundial em precificação. O primeiro passo
consiste em compilar os dados relativos à experiência do contrato. Entre estes
devem constar o histórico de prêmios emitidos e ganhos e o histórico de sinistros
ocorridos, se possível, com cinco períodos ou mais. Deve-se tomar cuidado com
riscos iniciados, ou seja, com as vigências, prêmios subscritos e sinistros
cobertos. Ajusta-se a experiência a um nível máximo, ou seja, obtém-se a base
mais recente possível, segundo Clark (1996). É importante ressaltar que a
projeção de prêmios futuros deve considerar alterações nas taxas e no modelo
do paralelogramo, amplamente conhecido dentro da ciência atuarial e ainda
ajusta-se a inflação em todos os dados.
Quando há contratos específicos para sinistros de catástrofe, os mesmos
devem ser devidamente identificados. O passo principal diz respeito à
sinistralidade3
e à previsão dos sinistros futuros. Exatamente neste ponto que as
diversas metodologias se diferenciam. O passo seguinte consiste em estimar o
índice combinado4
com comissões e despesas. Deve-se incluir a comissão de
resseguro, os custos fixos e despesas gerais do ressegurador e a corretagem.
Por fim, a avaliação deve levar em consideração o retorno potencial do
investimento e o nível de risco das exposições, para determinar se eles atendem
ou não ao objetivo de retorno do ressegurador.
3
Sinistralidade é a proporção de sinistros pagos em relação ao prêmio emitido.
4
O Índice Combinado, segundo Clark (1996) será igual a sinistralidade resultante
somada às comissões de resseguro e despesas.

3.6.2.
Princípio de prêmios
A maioria dos prêmios calculados nas metodologias de resseguro
apresentadas anteriormente assumiu como base de cálculo o valor esperado, ou
seja, o primeiro princípio de prêmio apresentado a seguir. No entanto, existem
outros princípios de prêmio onde o valor dos mesmos é ajustado após o cálculo
do valor esperado. Nem todos os princípios a seguir poderão ser aplicados em
todas as metodologias, por exemplo, nos casos em que se necessita da
variância e a mesma não pode ser calculada.
Seja X um risco com função de distribuição XF , e seja ( )X∏ o prêmio
cobrado para segurar ou ressegurar o risco X . Define-se, segundo Kass (2001)
(i) Prêmio líquido: ( ) [ ]XEX =∏ .
(ii) Prêmio aditivo da esperança: ( ) ( ) [ ]XEX θ+=∏ 1 , para 0>θ .
(iii) Prêmio aditivo da variância: ( ) [ ] [ ]XVarXEX *θ+=∏ , para
0>θ
(iv) Prêmio exponencial: ( ) ( )
ϑ
ϑX
eE
X =∏ , para ( ) ∞<X
eE ϑ
.
(v) Prêmio de esperança e valor em risco:
( ) [ ] [ ]XVaRaXaEX ξ*)1( −+=∏ , onde [ ]XVaRξ corresponde
ao Value at Risk considerado uma medida de risco que será
apresentada na seção 4.6 desta dissertação.
(vi) Prêmio de valor em risco: ( ) [ ]XVaRX ξ=∏ , onde [ ]XVaRξ
corresponde ao Value at Risk considerado uma medida de risco
devidamente apresentada na seção 4.6 desta dissertação.
(vii) Prêmio de risco ajustado: ( ) dxFX X∫
∞
=∏
0
1
α
, onde 1>α , onde
XF corresponde a função de distribuição acumulada do risco
cedido.
Chama-se atenção para o fato de que nas metodologias em que não é
possível calcular a variância também não é possível aplicar os princípios de
prêmio que a requerem.

3.6.3.
Ajuste de distribuição
O ajuste da distribuição aos dados é que torna possível os processos de
modelagens e é realizado através dos passos a seguir. O primeiro passo,
segundo Scaillet (2005), consiste em determinar a distribuição empírica para a
variável da seguinte forma:
( ) ( )∑=
≤=
N
k
kX xX
N
xF
1
1ˆ .
em que ( )xFX
ˆ é a distribuição acumulada da variável x e N o número de
resultados simulados para essa variável. Para possibilitar a análise e a
comparação com outros resultados calcula-se a média µˆ e o desvio padrão σˆ
empíricos das variáveis, como segue:
( ) ∑=
=
N
k
kX
N
x
1
1
ˆµ
( ) ( )∑=
−
−
=
N
k
kX
N
x
1
2
ˆ
1
1
ˆ µσ .
O passo seguinte é o ajuste dos dados a uma distribuição teórica, por
exemplo, as mencionadas anteriormente, sendo que os parâmetros das
distribuições propostas são estimados pelo método da máxima verossimilhança.
As estatísticas de teste, que serão apresentadas adiante, indicam se as
distribuições ajustadas são adequadas para descrever os dados. Cabe ressaltar
que os métodos utilizados para ajustar as distribuições às séries de dados
somente são válidos para séries de dados independentes (o que não ocorre para
uma série temporal), assim, caso se aplique, é preciso filtrar os dados,
eliminando as dependências intertemporais; e identicamente distribuídos, e,
portanto, estacionários, o que pode ser obtido com ajustes de inflação, nível de
prêmio e nível de tarifa. Esta análise de estacionariedade pode ser investigada a
partir do gráfico da série no tempo, da função de auto-correlação (FAC) e dos
testes de raiz unitária, amplamente conhecidos no estudo de séries temporais.
Para cada uma destas estatísticas, as distribuições são ordenadas de acordo
com os valores encontrados para as estatísticas e o menor valor indicará a
melhor distribuição. Todas estas possuem as seguintes hipóteses:
0H : a distribuição ajustada é a correta para os dados
aH : caso contrário

Estas estatísticas apresentam características e enfoques diferentes. A
escolha de qual destas usar depende das peculiaridades dos dados utilizados
para análise, e que tipo de informação o modelador considera a mais importante.
3.6.3.1.
Teste do Qui-quadrado
A estatística qui-quadrado tem o objetivo de testar se uma amostra de
dados veio de uma população com uma distribuição específica e pode ser usada
para dados contínuos ou discretos. É preciso dividir os dados em grupos que
podem ser determinados a partir de critérios definidos pelo modelador, ou por
ajuste de grupos equiprováveis. O teste sob 0H tem o seguinte formato:
( )
∑=
−
=
k
i i
ii
E
EN
X
1
2
2
em que k é o número de grupos, N é o número de observações em cada grupo
e iE é a freqüência esperada para o grupo i , sob a hipótese de que a
distribuição sob 0H é a correta. Este teste não é válido para pequenas amostras
e é muito vulnerável à determinação dos grupos pois se pode encontrar
diferentes resultados para os mesmos dados em função desta escolha.
A estatística qui-quadrado segue, aproximadamente, uma distribuição qui-
quadrado, 2
χ , com ( )1−− ck graus de liberdade, em que c representa o
número de parâmetros estimados para a distribuição. Então, a hipótese de que a
amostra veio da população com uma distribuição específica é rejeitada se, com o
nível de significância α , observa-se: ( )
2
1,
2
−−≥ ckX αχ .
3.6.3.2.
Teste Kolmogorov-Smirinov
A estatística, ou teste, Kolmogorov-Smirinov (K-S) é usada para dados
contínuos e não requer a divisão dos dados em grupos, o que o torna menos
arbitrário que o teste qui-quadrado. O teste K-S, segundo Scaillet (2005) é
baseado na função de distribuição acumulada empírica, e tem a seguinte forma:
( ) ( )[ ]xFxFD nn
ˆsup −=

em que n é o número total dos dados pontuais, ( )xFˆ é a função de distribuição
acumulada ajustada, ( )
n
N
xF x
n = e xN é o número de ix menores que x .
A vantagem deste procedimento é que a distribuição da estatística não
precisa da função de distribuição acumulada que está sendo testada. É um teste
exato que depende de um tamanho de amostra adequado para que a
aproximação seja válida. Porém, este teste somente se aplica em dados com
distribuição contínua, e tende a ser mais sensível no centro da distribuição que
nas caudas, ou seja, não detecta de forma adequada discrepâncias na cauda.
A hipótese de que a amostra veio da população com uma distribuição
específica é rejeitada se, com o nível de significância α , a estatística nD é
maior que o valor crítico obtido de uma tabela.
3.6.3.3.
Teste Anderson Darling
A estatística, ou teste, Anderson Darling (A-D) pode ser usada para dados
contínuos e também não requer a divisão dos dados em classes. Trata-se de
uma modificação do teste K-S, que, ao contrário do teste K-S, enfatiza as caudas
da distribuição. Esta estatística é uma medida da média do quadrado dos erros
entre a distribuição empírica e da distribuição ajustada, e tem a seguinte forma:
( ) ( )[ ] ( ) ( )dxxfxxFxFnA nn
ˆˆ 22
∫
+∞
∞−
−= ψ
em que n é o total de dados pontuais,
( ) ( )[ ]xFxF ˆ1ˆ
1
−
=ψ , ( )xfˆ é a função de
densidade ajustada, ( )xFˆ é a distribuição de probabilidade acumulada,
( )
n
N
xF x
n = e xN é o número de ix menores que x .
Este teste é unilateral e a hipótese de que a amostra veio da população
com uma distribuição específica é rejeitada se, com o nível de significância α , a
estatística 2
nA for maior que o valor crítico. É possível encontrar tabelas de
valores críticos para as distribuições: Normal, Log-Normal, Exponencial, Weibull,
valor extremo tipo 1 e distribuições logísticas.

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