1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Ciclo Académico : 2011-3
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA Fecha: 22/01/12
DEPARTAMENTOS ACADÉMICOS Duración: 2 horas
CURSO: _MATEMATICA III_ COD. CURSO: MA133 M-N
PRACTICA DIRIGIDA No. 1
1. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas en caso sea
falsa dar un contraejemplo, si es verdadera justificar brevemente.
a. El conjunto 2
( , ) / ( , ) (0,0)A x y R x y es un conjunto convexo.
b. La frontera de la región , /x y x I es 2
R .
2. Justificar la verdad o falsedad de:
a. SI ,A B B simplemente conexo, entonces A también es simplemente
conexo .
b. Si una partícula se mueve a lo largo de una curva , con parametrización
3
: , ,100r I R I a , con aceleración constante en modulo, entonces
( ). ( ) 0
t
a
a u a u du .
3. Analice si se cumple: 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ,f t f t f t t Dom f
4. Demostrar que 2
( , ) / 0A x y R x es un conjunto abierto.
5. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas en caso sea
falsa dar un contraejemplo, si es verdadera justificar brevemente.
c. El conjunto 2
( , ) / ( , ) ,A x y R x y IxI I es un conjunto de los
números irracionales. ¿ A es convexo?.
d. La frontera de la región , /x y x y I es 2
R .
e. Sustente que el conjunto 2
( , ) / 0A x y R x es un conjunto abierto.
f. Sustente si todo punto de acumulación de A, pertenece al conjunto A.
6. Justificar la verdad o falsedad de:
c. SI , n
A B R son simplemente conexos, entonces A B también es
simplemente conexo .
d. Si una partícula se mueve a lo largo de una curva 2
: 2 , 0,10z t it t
el parámetro t es el tiempo. Encontrar el vector velocidad y el vector
aceleración en cada instante t .
e. Si una partícula se mueve a lo largo de una curva descrita por
2
: 2 1P t i tj t k que pase por el punto (3,2,1).
f. Si el vector aceleración es 2
( ) (3,4,0) (1.0,0)a t t t de una partícula que se
mueve partiendo del origen, y que su velocidad escalar al cabo de t=2 s. es
5, encuentre la trayectoria de la partícula..
2. 7. Encuentre las ecuaciones de los planos osculador y rectificante para la curva
2 2 2
: 3, 3x y z x y z
En un punto que se encuentra en la recta :L x y z .
8. Parametrize la curva 2 2 2
: 2 , 2x y z x y z en un punto que se encuentre
en la recta :L x y z .
9. Define la curvatura de una curva, y encuentre la curvatura de la curva
2
: 2 1P t i tj t k
10.Demostrar que toda curva plana, tiene torsión cero en cada punto de dicha
curva.
11.Demostrar que una curva con parametrización ( )r t es una curva plana si
su torsión es cero en todo punto de ella.
12.Demostrar que una curva con parametrización ( )r t tiene como curvatura
( ) ( )
( )
3( )
r t xr t
k t
r t
13.Parametrizar la curva si una parametrización es
( ) (1 , ,2 ) , 0,1r t t t t t
Usando como parámetro la distancia del origen al punto del segmento.
14.Encontrar el vértice de la parábola descrita por la función vectorial
2
( ) (1 ,3 1 )r t t t t t .
15.Hallar las ecuaciones de los planos normal, rectificante y osculador a la curva
2 2 2 2 2
, / 3, 2C x y x y z x y en el punto (1,1,1).
16.Sea C una curva dada por )23,1,2()( 22
tttt hallar la ecuación de la
recta paralela al vector curvatura )(tK y que pasa por el punto )( 0t donde el
radio de curvatura es mínima.
17.Dada la curva parametrizada por )35,5,53()( 22
tttt , hallar la ecuación
de la recta paralela al vector curvatura y que pasa por el punto )(t en
donde el radio de curvatura es mínima.
18.Sea la curva ),,
2
21
()(:
2
)(
t
usen
tdue
t
tC
, hallar la ecuación de la
circunferencia de curvatura de la curva C en el punto donde C corta con el
plano
2
1
zyx
19.Sea C una curva dada por )23,1,2()( 22
tttt , hallar la ecuación de la
recta paralela al vector curvatura )(tK y que pasa por el punto )( 0t donde
el radio de curvatura es el mínimo.
3. 20.Hallar la ecuación cartesiana de la evoluta de la parábola 2
xy
21.Consideremos la curva descrita por la ecuación
))
1
1
ln(,1,1()(:
2
2
t
t
tttfC
y los planos 1: zxp y 1: zxQ ,
hallar la curvatura en el punto de intersección de la curva C y los planos P y
Q .
22.Sea C la curva definida por )1,,2()( tttf , siendo es una constante
positiva .En qué punto de C el radio de curvatura alcanza su valor mínimo ,
cuál es este valor.
23.Encontrar la curvatura k , radio de curvatura y el centro del circulo de
curvatura de la curva definida por la función vectorial
)1,)
2
(,)
2
cos(()(:
0
2
0
2
t t
du
u
sendu
u
tfC
24.Determina la ecuación del plano osculador y la curvatura para la curva C
descrita por la función vectorial ))1ln(,
1
),1(ln()(: 2
t
t
t
tttfC
en el
punto donde el vector tangente tiene la dirección de la recta
521 zyx , también hallar la torsión.
25.Sea C una curva de ecuación vectorial )
3
,
2
,2()(
32
tt
tt , hallar el centro
de la circunferencia de curvatura en )0( .
26.Sea C una curva de ecuación vectorial ))tanln(sec),ln(sec,()( ttttt , hallar
los vectores NT, y B y la ecuación del plano osculador en el punto en que
la curva corta al plano YZ .
27.El salto de un sapo es descrita por la función vectorial ),()( 2
tttf , calcular
la longitud recorrida en el intervalo 11 t , la curvatura y la torsión en
)
2
1
,
2
1
( .
28.Sea C una curva parametrizada por : )),cos(),(cos()( 2
tttsentatsenttat ,
0t . Reparametrizar la curva con respecto a la longitud de arco como
parámetro.
29.Sea C la curva descrita mediante la función vectorial
)
2
4,cos1,()(:
t
sentsentttfC , calcular la curvatura y torsión en un punto de
C donde el plano normal es paralelo al plano .1z
30.Hallar el radio de curvatura de la curva : )3,3,3()( 323
tttttt en el punto
).14,12,2(
31.Demostrar que la hélice descrita por )),(),cos(()( bwtwtasenwtat , tiene
curvatura constante 22
ba
a
k
.
4. 32.Para la curva cuya ecuación vectorial es )2,,()( teet tt
. Demostrar que la
curvatura es : 2
)(
2
)( tt
ee
tk
33.Calcular el radio de curvatura de la siguiente función polar : cos1r , en
4
34.Si la curva descrita por ),(:1 ufC corta a la curva
)21,,
1
3
()(: 4
2 ue
u
ugC u
,demás )1,,1()0( ef , )0,,1()0(' ef ,
)2,,0()0('' ef , ).0,,0()(''' 1
u
euf Hallar la torsión de 1C en el punto de
intersección de 1C y 2C .
35.Sea C la curva definida por la función vectorial
)
2
2,
2
cos1
,
2
()(:
t
sen
tsentt
tfC
, 0t . Hallar la torsión en un punto donde
la longitud de arco sea 2 .
36.Hallar la ecuación del plano osculador a la curva C descrita por
)
3
,
2
,()(
32
tt
tt , para 2t .
37.Si C es una curva con representación paramétrica : )
1
,
1
,()(
2
t
t
t
t
tt
,
a. Calcular su torsión
b. Determinar la ecuación del plano osculador en el punto en que 1t
c. ¿Será distinta la ecuación del plano osculador en otro punto?, justifique
su respuesta.
38.Sea C una curva definida por la ecuación :
t
a
dttxftfbtW )(')()( , b
constante diferente de cero , en donde )(tf es una función vectorial que
cumple con la condición de que 1)( tf y 0)('').(').( tftftf , hallar su
torsión.
39.Hallar la curvatura )(k y la torsión )( para la curva C descrita por :
)cos
5
3
,1,cos
5
4
()( tsenttt
, siendo t la longitud de arco de la curva C .
40.Sea C una curva definida por la función vectorial 3
: RRIf y sean a y
b dos vectores unitarios constantes que forman un ángulo , 0 , si
)(*)(' tfatf y bf )0( . Hallar la curvatura )0(k en función de ¿ Para
qué valor de la curvatura )(k es mínima y cuál es este valor? .
5. 41.Hallar la longitud de arco de las siguientes curvas :
a. ))ln(cos2,2,2()( 2
ttsentsentf ,
3
,
6
t .
b. ),()( 2
tttf , 1,1t
42.Dada la ecuación de la hélice ),,cos()(: 22
taRasenttatC . Hallar las
ecuaciones de los planos osculador , rectificante y normal en cualquier
punto.
43.Dada la curva :C tx 6 , 2
3ty , 3
tz , en el punto 1t , hallar la curvatura
k , la torsión , plano osculador , plano rectificante y el plano normal.
44.Sea C la curva en 3
R descrita por la función )(tx , 0t , si
1
1
)('
t
t
y )
2
1
,1,1(
)1(
1
)(' 2
t
t
t
tB
para 0t y la torsión )(t en cada punto
Ct )( es positiva , determinar )(t , a medida que t crece ¿La curva C se
tuerce más o menos? Justifique.
45.Sea C la curva descrita por la función vectorial
))
4
(4),
2
cos(1),
2
(
2
()(:
s
sen
ss
sen
s
sfC , 0s siendo s la longitud de arco de
C . Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto en donde la longitud de
la curva C es y en la dirección del vector curvatura en dicho punto.
46.Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas en caso sea
falsa dar un contraejemplo, si es verdadera justificar brevemente.
g. El conjunto 2
( , ) / ( , ) (0,0)A x y R x y es un conjunto convexo.
h. La frontera de la región , /x y x I es 2
R .
47.Justificar la verdad o falsedad de:
g. SI ,A B B simplemente conexo, entonces A también es simplemente
conexo (.
h. Si una partícula se mueve a lo largo de una curva , con parametrización
3
: , ,100r I R I a , con aceleración constante en modulo, entonces
( ). ( ) 0
t
a
a u a u du .
48.Analice si se cumple: 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ,f t f t f t t Dom f
49.Demostrar que 2
( , ) / 0A x y R x es un conjunto abierto.
50.Demostrar que toda curva plana, tiene torsión cero en cada punto de dicha
curva.
51.Demostrar que una curva con parametrización ( )r t es una curva plana si
su torsión es cero en todo punto de ella.
52.Demostrar que una curva con parametrización ( )r t tiene como curvatura
( ) ( )
( )
3( )
r t xr t
k t
r t
6. 53.Parametrizar la curva si una parametrización es
( ) (1 , ,2 ) , 0,1r t t t t t
Usando como parámetro la distancia del origen al punto del segmento.
54.Encontrar el vértice de la parábola descrita por la función vectorial
2
( ) (1 ,3 1 )r t t t t t .
55.Hallar las ecuaciones de los planos normal, rectificante y osculador a la curva
2 2 2 2 2
, / 3, 2C x y x y z x y en el punto (1,1,1).
56.Determine la parametrización de la curva : ( ) (1 , ,2 ) , 0,1r t t t t t si el
parámetro des la distancia del punto de la curva al punto (4,0,0).
57.Determine la recta binormal a la curva : 2
( ) (1 , ,2 ) , 0,1r t t t t t en el punto
(2,0,1).
58.Encuentre una curva : ( ), 0,1r t t cuya curvatura este dada por ( ) 2k t t .
59.Encuentre una curva : ( ), 0,1r t t cuya torsión este dada por 2
( ) 2t t .
60.Hallar la torsión de la curva : 2
,z x y z x y en el punto (1,1,2).
61.En qué punto de la curva : 2 2
( ) (2 ,1 ,3 ), 1,1r t t t t t t la curvatura
es mínima.
62.Determine el circulo de curvatura para la curva ( ) (1 , ,2 ) , 0,1r t t t t t en el
punto (1,0,0)