1. O documento prova que a soma de duas variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson é uma estatística suficiente para o parâmetro lambda. 2. A distribuição condicional de X1 e X2 dado o valor de sua soma T é independente de lambda. 3. Portanto, a soma T é uma estatística suficiente para lambda.

1. Estatística Suciente
Anselmo Alves de Sousa
August 14, 2015
Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 1 / 6

2. Enunciado
Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 2 / 6

3. Enunciado
1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ).
Então
T = X1 + X2
é uma estatística suciente para o parâmetro λ.
Neste exercício estamos considerando uma amostra aleatória de tamanho n = 2. Em
princípio sabemos que T ∼ Poisson(2λ)
Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 2 / 6

4. Enunciado
1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ).
Então
T = X1 + X2
é uma estatística suciente para o parâmetro λ.
Neste exercício estamos considerando uma amostra aleatória de tamanho n = 2. Em
princípio sabemos que T ∼ Poisson(2λ) Prove! Dica use F.G.M.
Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 2 / 6

5. Enunciado
1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ).
Então
T = X1 + X2
é uma estatística suciente para o parâmetro λ.
Neste exercício estamos considerando uma amostra aleatória de tamanho n = 2. Em
princípio sabemos que T ∼ Poisson(2λ) Prove! Dica use F.G.M.
P(T = t) =
(2λt)e−2λ
t!
, t = 0, 1, 2, 3 . . .
Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 2 / 6

6. Enunciado
1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ).
Então
T = X1 + X2
é uma estatística suciente para o parâmetro λ.
Neste exercício estamos considerando uma amostra aleatória de tamanho n = 2. Em
princípio sabemos que T ∼ Poisson(2λ) Prove! Dica use F.G.M.
P(T = t) =
(2λt)e−2λ
t!
, t = 0, 1, 2, 3 . . .
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7. Resolução
Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 3 / 6

8. Resolução
Por denição dizemos que T = g(X1, X2, . . . , Xn) é uma estatística suciente para λ
se a distribuição condicional de X1, X2, . . . , Xn dado T = t for independente de λ.
P(X1, X2|T = t) =
0 , se x1 + x2 = t
P(X1=x1,X2=x2)
P(T=t) , se x1 + x2 = t

9. Resolução
Por denição dizemos que T = g(X1, X2, . . . , Xn) é uma estatística suciente para λ
se a distribuição condicional de X1, X2, . . . , Xn dado T = t for independente de λ.
P(X1, X2|T = t) =
0 , se x1 + x2 = t
P(X1=x1,X2=x2)
P(T=t) , se x1 + x2 = t
P(X1, X2|T = t) =
0 , se x1 + x2 = t
P(X1=x1,X2=t−x1)
P(T=t) , se x1 + x2 = t
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10. Resolução
Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 4 / 6

11. Resolução
P(X1, X2|T = t) =
P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1)
P(T = t)

12. Resolução
P(X1, X2|T = t) =
P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1)
P(T = t)
(considerando a independência!)
=
e−λλx1
x1!

13. Resolução
P(X1, X2|T = t) =
P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1)
P(T = t)
(considerando a independência!)
=
e−λλx1
x1! × e−λλt−x1
(t−x1)!

14. Resolução
P(X1, X2|T = t) =
P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1)
P(T = t)
(considerando a independência!)
=
e−λλx1
x1! × e−λλt−x1
(t−x1)!

15. Resolução
P(X1, X2|T = t) =
P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1)
P(T = t)
(considerando a independência!)
=
e−λλx1
x1! × e−λλt−x1
(t−x1)!
e−2λ(2λ)t
t!

16. Resolução
P(X1, X2|T = t) =
P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1)
P(T = t)
(considerando a independência!)
=
e−λλx1
x1! × e−λλt−x1
(t−x1)!
e−2λ(2λ)t
t!
=
t!
x1!(t − x1)!

17. Resolução
P(X1, X2|T = t) =
P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1)
P(T = t)
(considerando a independência!)
=
e−λλx1
x1! × e−λλt−x1
(t−x1)!
e−2λ(2λ)t
t!
=
t!
x1!(t − x1)!
×
e−2λ
e−2λ

18. Resolução
P(X1, X2|T = t) =
P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1)
P(T = t)
(considerando a independência!)
=
e−λλx1
x1! × e−λλt−x1
(t−x1)!
e−2λ(2λ)t
t!
=
t!
x1!(t − x1)!
×
e−2λ
e−2λ
×
λt
(2λ)t
=
t
x1
1
2t

19. Resolução
P(X1, X2|T = t) =
P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1)
P(T = t)
(considerando a independência!)
=
e−λλx1
x1! × e−λλt−x1
(t−x1)!
e−2λ(2λ)t
t!
=
t!
x1!(t − x1)!
×
e−2λ
e−2λ
×
λt
(2λ)t
=
t
x1
1
2t
Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T) não depende de λ

20. Resolução
P(X1, X2|T = t) =
P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1)
P(T = t)
(considerando a independência!)
=
e−λλx1
x1! × e−λλt−x1
(t−x1)!
e−2λ(2λ)t
t!
=
t!
x1!(t − x1)!
×
e−2λ
e−2λ
×
λt
(2λ)t
=
t
x1
1
2t
Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T) não depende de λ, logo T é uma
estatística suciente para o parâmetro λ.
Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 4 / 6

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Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 5 / 6

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23. Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 6 / 6