2. Giovanni ha appena preso la patente e suo padre gli presta
la macchina per recarsi con gli amici in vacanza. (Il padre
ha deciso di premiarlo perché ha sempre preso 10 nelle
verifiche di matematica). Però gli da un avvertimento:
-Mi raccomando, rispetta i limiti di velocità!
Giovanni parte con i suoi amici e notando un cartello che
indica di non superare i 50 km/ora, decide di andare a 45
km/ora per rispettare l’obbligo del padre.
Dopo un’ora, l’allegra comitiva ha percorso 45 km, dopo
un’ora e mezza 67,5 km, dopo due ore 90 km, dopo due ore
e mezza 112,5 km, dopo tre ore 135 km.
Dopo 4 ore finisce la benzina e gli amici decidono di
continuare il viaggio facendo auto stop.

3. Costruisci una tabella fatta di due colonne e 11 righe.
La prima colonna rappresenta il tempo che trascorre.
La seconda colonna rappresenta lo spazio percorso
dall’auto di Giovanni.
Tempo (ore)
1 ora
2 ore
3 ore
4 ore
5 ore
6 ore
7 ore
8 ore
9 ore
10 ore
Spazio (km)
45 km
90 km
135 km

4. Tempo
(ore)
Spazio
(km)
1 ora
45 km
2 ore
90 km
3 ore
135 km
Quale calcolo hai svolto per ottenere i valori della
colonna della distanza percorsa?
4 ore
180 km
5 ore
225 km
All’aumentare del tempo trascorso cosa succede
alla distanza percorsa?
6 ore
270 km
7 ore
315 km
8 ore
360 km
9 ore
405 km
10 ore
450 km
Osserva i valori del tempo e i corrispondenti
valori della distanza.

5. Se, in ciascuna riga, divido lo spazio
percorso per il tempo trascorso, quale
numero ottengo?
4 ore
180 km
225 km
6 ore
270 km
7 ore
Secondo te, cosa indica?
Spazio
(km)
45 km
90 km
135 km
5 ore
Sarà sempre lo stesso?
Tempo
(ore)
1 ora
2 ore
3 ore
315 km
8 ore
360 km
9 ore
405 km
10 ore
450 km
Rapporto
Spazio/Tempo
45/1=45
90/2=
135/3=

6. Tempo
(ore)
Spazio
(km)
Rapporto
Spazio/Tempo
1 ora
45 km
45/1=45
2 ore
90 km
90/2=45
3 ore
135 km
135/3=45
4 ore
180 km
180/4=45
5 ore
225 km
225/5=45
6 ore
270 km
270/6=45
7 ore
315 km
315/7=45
8 ore
360 km
360/8=45
9 ore
405 km
405/9=45
10 ore
450 km
450/10=45
Il rapporto fra spazio e tempo è costante e prende il nome di
COSTANTE DI PROPORZIONALITA’

7. Definizioni:
Tra spazio e tempo c’è un legame che si chiama
proporzionalità diretta.
La proporzionalità diretta significa che all’aumentare di
una grandezza aumenta anche l’altra però mantenendo
costante il rapporto tra le grandezze.
Se una grandezza raddoppia, triplica o quadruplica
allora anche l’altra raddoppia, triplica o quadruplica.
doppio
quadruplo
triplo
TEMPO
1
2
3
4
DISTANZA
45
90
135
180

8. Ripensa ai ragionamenti e ai calcoli che hai fatto per
completare la prima tabella.
Sapresti scrivere una relazione, ossia un calcolo che
lega spazio percorso e tempo trascorso?
Spazio = ?

9. Spazio = 45 x Tempo

10. Spazio = 45 x Tempo
In generale, il legame di proporzionalità diretta si scrive:
Y=kxX
dove k è la costante di proporzionalità diretta

11. Definizioni:
È chiaro che lo spazio percorso assume valori diversi
a seconda del valore assunto dal tempo.
Il valore dello spazio dipende dal valore del tempo.
Spazio e tempo prendono perciò il nome di grandezze
variabili dipendenti.

12. Marco legge un volantino che indica un’offerta che
riguarda la sua marca preferita di merendine. Il
prezzo è molto conveniente e Marco decide di fare
una grande scorta di merendine. Si reca al market e
inizia a riempire il carrello del suo cibo preferito.
Poi però si ferma, perché ormai il carrello non può
contenerne altre e peraltro Marco dubita che sarà in
grado di pagare l’importo totale della merce
accumulata. Così inizia a fare un po’ di conti:
-Allora… un pacchetto di merendine costa 1,05 euro
… Quindi due pacchetti costano … 2 x 1,05 … quanto
fa? Ah si! 2,10 euro! E tre?

13. Costruisci una tabella di due colonne e 11 righe in cui la prima
colonna rappresenta il numero di pacchetti di merendine e la
seconda colonna il prezzo corrispondente al numero di
confezioni.
N° di confezioni Spesa (€)
1 confezione
2 confezioni
3 confezioni
4 confezioni
5 confezioni
6 confezioni
7 confezioni
8 confezioni
9 confezioni
10 confezioni
1,05 €

14. Aggiungi un’altra colonna in cui calcolare
il rapporto tra Spesa e Numero di confezioni.
N° di
confezioni
Spesa (€)
1 confezione
1,05 €
2 confezioni
3 confezioni
4 confezioni
5 confezioni
6 confezioni
7 confezioni
8 confezioni
9 confezioni
Rapporto
N°
conf/Spesa

15. Cosa puoi osservare?
Si tratta per caso di grandezze direttamente proporzionali?
Perché?

17. Tra una settimana è il compleanno di Maria e i suoi genitori prepareranno
una festa a cui parteciperanno tutti i suoi compagni di classe. Alcuni suoi
amici decidono di acquistare insieme il regalo da offrire a Maria. Si tratta di
un bellissimo Tablet in offerta speciale che costa 158 €. Gli amici sono
quattro e forse le loro paghette non sono sufficienti per acquistare il regalo.
Allora Giorgio ha un’idea:
-Coinvolgiamo anche gli altri compagni, così più siamo e meno ci costerà il
regalo a testa!
-E si! - dice Franco. - Però io non voglio farlo con le ragazze. E poi, ho già
speso parte della paghetta e non mi restano che 16,20 € …

18. Aiuta Giorgio e i suoi amici a capire con quanti altri compagni
devono fare il regalo per rientrare nella disponibilità delle loro
paghette.
N° compagni
Costruisci una tabella di due colonne,
dove la prima rappresenta
il numero di compagni
e la seconda
la quota spettante a ciascuno.
Che calcolo devi fare
Per completare la tabella?
Ricorda che il tablet costa 158 €.
Quota (€)

19. Osserva il variare dei valori della colonna rappresentante il numero
dei compagni e di quelli che riguardano le quote. Cosa noti?
N° compagni
Quota (€)
1
158 €
2
79 €
3
52,67 €
4
39,50 €
5
31,60 €
6
26,34 €
7
22,58 €
8
19,75 €
9
17,56 €
10
15,80 €

20. quadruplo
triplo
doppio
N° compagni
1
2
3
4
Quota
158
79
52,67
39,50
la metà
Un terzo
Un quarto
Tra n° di compagni e quota c’è un legame che si chiama
proporzionalità inversa.
La proporzionalità inversa significa che all’aumentare di
una grandezza l’altra diminuisce.
Se una grandezza raddoppia, triplica o quadruplica
allora l’altra si dimezza, diventa un terzo, un quarto.

21. Ripercorrendo i ragionamenti che ti hanno permesso di
costruire la tabella, indica quale grandezza che hai utilizzato
nei calcoli rimane costante. Aggiungi una colonna alla tabella
in cui calcolare il prodotto tra n° di compagni e quota
corrispondente.
N° compagni
Quota (€)
1
158 €
2
79 €
3
52,67 €
4
39,50 €
5
31,60 €
6
26,34 €
7
22,58 €
8
19,75 €
Prodotto
N° comp *
quota

22. La grandezza che rimane costante è il prezzo del tablet
che si ottiene moltiplicando n° di persone e quota
corrispondente.
La proporzionalità inversa significa che all’aumentare
di una grandezza l’altra diminuisce , mantenendo
costante il prodotto tra le grandezze, ossia:
Quota x n° compagni = 158

23. Ripensa ai ragionamenti e ai calcoli che hai fatto per
completare la prima tabella.
Sapresti scrivere una relazione, ossia un calcolo che
lega quota e numero di compagni?
Quota = ?

24. Quota
=
158
N° compagni
In generale, il legame di proporzionalità inversa si scrive:
Y=
K
X
dove k è la costante di proporzionalità
inversa

25. Leggi i seguenti racconti e costruisci per ciascuno di essi una
tabella. Indica poi se si tratta di proporzionalità diretta o inversa.
Barbara deve preparare una torta per il compleanno. La ricetta indica che
servono 200 grammi di farina, 150 grammi di zucchero, 4 uova, un bicchiere
di latte e una bustina di lievito. Tale ricetta è per 6 persone. Barbara ha
invitato tutti i suoi 43 amici, ma alcuni di loro non hanno ancora
confermato. Non vorrebbe sprecare la torta facendone una troppo grande.
Peraltro si rende conto di non avere uova a casa e pertanto deve uscire per
comprarne. Aiuta Barbara a capire quante uova deve comprare a secondo
del numero di partecipanti alla festa di compleanno.
Un contadino deve recintare diversi suoi poderi che sono tutti quadrati.
Sappiamo che il primo ha un lato di lunghezza 10 m, il secondo 13 m, il terzo
20 m e l’ultimo 32 m. Quanta recinzione deve comprare il contadino per
ciascuno dei suoi poderi? Generalizza il ragionamento costruendo una
tabella.

26. In una classe sono seduti ai loro posti 10 alunni. In realtà gli alunni sono 21
e oggi mancano 9 studenti. La classe ha una superficie di 45 mq. Calcola
quanta superficie è a disposizione di ciascuno alunno. Generalizza il
ragionamento considerando un numero di alunni che varia giorno per
giorno in base al numero degli assenti.
Federico ha compiuto da poco gli anni. Sua mamma ha realizzato una
torta per 20 persone perché il figlio le aveva detto che avrebbe invitato al
più 16 compagni. Federico però ha invitato i suoi amici tramite Facebook
scrivendo il seguente messaggio sulla sua bacheca:
“Domani è il mio compleanno, siete tutti invitati! Venite a casa mia a
partire dalla 17.00. Vi aspetto tutti!”
Secondo te, quanto grandi saranno le fette di torta che spetteranno a
ciascuno? Generalizza il tuo ragionamento a secondo del numero di
persone che si presenteranno.