Este documento explica el método de integración por sustitución trigonométrica. Define las razones trigonométricas usando un triángulo rectángulo y muestra cómo reemplazar términos en el integrando con funciones trigonométricas según el triángulo utilizado. Luego resuelve dos ejemplos aplicando los pasos: identificar el triángulo, hacer la sustitución, simplificar y resolver la nueva integral, y volver a la variable original.

1.
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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
REPASO SOBRE DEFINICIÓN DE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
Dado el triángulo rectángulo
Se definen las razones trigonométricas como:

2.
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MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la forma:
, y
Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades
trigonométricas.
Para el método de sustitución trigonométrica se reemplaza el radical haciendo una sustitución
adecuada. El resultado es un integrando que contiene funciones trigonométricas. En la siguiente
tabla se muestra cuál debe ser la sustitución:
EXPRESIÓN EN EL
INTEGRANDO
SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
TRIÁNGULO UTILIZADO

3.
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Ejemplo 1
Calcular la integral:
Como podemos notar en el integrando tenemos una expresión equivalente a: por
lo tanto usaremos el triángulo que aparece en la primera Columna de la tabla, esto es:
Entonces:
Ahora buscaremos modificar los términos del integrando usando las funciones trigonométricas y el
triángulo anterior, esto es:

4.
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Ahora despejamos en las ecuaciones de tal forma que obtengamos lo mismo que tenemos en el
integrando:
(1)
(2)
Como necesitamos el término x2
basta con elevar al cuadrado ambos términos de la segunda
ecuación, esto es:
Nótese que aún nos falta calcular el diferencial en la integral original (dx), para calcularlo
derivamos la ecuación en la que tenemos x de forma explícita (ecuación 2), de ahí obtenemos:
Ahora que tenemos todos los términos del integrando realizamos la sustitución en una nueva
integral, esto es:
Ahora simplificaremos y aplicaremos identidades trigonométricas, una forma simple es convertir
todo en términos de funciones seno y coseno, esto es:

5.
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Ahora aplicaremos la técnica de sustitución para solucionar la nueva integral. Esto es:
Ahora volvemos a usar el triángulo para encontrar la solución en términos de la variable original:
Acá vemos que:
Por lo tanto:

6.
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Ejemplo 2
Calcular la integral:
Como podemos notar en el integrando tenemos una expresión equivalente a: por lo
tanto usaremos el triángulo que aparece en la tercera Columna de la tabla, esto es:
Esto es:
Buscamos los términos del integrando en el triángulo y hacemos la correspondiente sustitución
trigonométrica:
Y:
Para calcular el diferencial dx buscamos la ecuación explícita para x y la derivamos, esto es:

7.
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Ahora sustituimos en la integral original:
Ahora usamos el triángulo inicial para volver a la variable original del ejercicio:
Como tenemos que:
En síntesis el proceso aplicado para realizar la sustitución trigonométrica es el siguiente:
Identificar el radical en el integrando y con base en esto escoger el triángulo rectángulo
más adecuado para aplicar la sustitución
Reemplazar cada término del integrando con las razones trigonométricas correspondientes
Sustituir en la integral cada término del integrando
Simplificar el nuevo integrando aplicando identidades trigonométricas
Solucionar la integral resultante
Usar el triángulo inicial para obtener la solución en términos de la variable original del
problema.