1. [Escribir texto]
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE
PROBABILIDAD
Distribución normal
La distribución normal continua de probabilidad más importante en todo el campo de la
estadística es la distribución normal. Su gráfica, que se denomina curva normal, es la
curva con la forma de campana de la figura 2, la cual describe aproximadamente muchos
fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación. Las mediciones
físicas en áreas como los experimentos meteorológicos, estudios de lluvia y mediciones
de partes fabricadas a menudo se aplican más que adecuadamente con una distribución
normal. Además, los errores en las mediciones científicas se aproximan extremadamente
bien mediante una distribución normal. En 1733, Abraham Demoivre desarrollo la
ecuación matemática de la curva normal. Proporciona una base sobre la que se
fundamenta gran parte de la teoría de la estadística inductiva. La distribución normal a
menudo se denomina distribución gaussiana, en honor de Karl Friedrich Gauss (1777-
1855), quien también derivo su ecuación a partir de un estudio de errores en mediciones
repetidas de la misma cantidad.
σ
µ X
Figura 2: La curva normal
Una variable aleatoria continua X que tiene la distribución en forma de campana de la
figura 6.2 se llama variable aleatoria normal. Le ecuación matemática para la
distribución de probabilidad de la variable normal depende de los dos parámetros µ y σ,
su media y desviación estándar. De aquí, denotamos los valores de la densidad de X con
n (x; µ, σ).
Distribución normal
La función de densidad de la variable aleatoria normal X, con media µ y varianza σ2
, es:
n(x; µ,σ) =
  2
/
2
1
2
1 







 x
e , -  x , donde  = 3.14159… y e =
2.71828…

2. [Escribir texto]
Una vez que se especifiquen µ y σ, la curva normal queda determinada por completo. Por
ejemplo, si µ = 50 y σ = 5, entonces se puede calcular las ordenadas n (x; 50, 5) para
varios valores de x y dibujar la curva. En la figura 3 dibujamos dos curvas normales que
tienen la misma desviación estándar pero diferentes medias. Las dos curvas son idénticas
en forma pero están centradas en diferentes posiciones a lo largo del eje horizontal.
σ1
σ1
µ1 µ2
x
Figura 3. Curvas normales con µ1 < µ2 y σ1 = σ2
Si trazamos dos curvas normales con la misma media pero con diferentes desviaciones
estándar. Esta vez vemos que las dos curvas están centradas exactamente en la misma
posición sobre el eje horizontal, pero la curva con la mayor desviación estándar es más
baja y se extiende más lejos. Recuerde que el área bajo una curva de probabilidad debe
ser igual a 1, y entre más variable sea el conjunto de observaciones más baja y ancha
será la curva correspondiente.
Si trazamos dos curvas normales que tienen diferentes medias y diferentes desviaciones
estándar, claramente, están centradas en posiciones diferentes sobre el eje horizontal y
sus formas reflejan los dos diferentes valores σ.
De una inspección de las anteriores curvas y al examinar la primera y segunda derivadas
de n (x; µ, σ), listamos las siguientes propiedades de la curva normal:
1. La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva es un máximo, ocurre
en x = µ.
2. La curva es simétrica alrededor de un eje vertical a través de la media µ.
3. La curva tiene sus puntos de inflexión en x = µ + σ, es cóncava hacia abajo si µ - σ < X
< µ + σ, y es cóncava hacia arriba en cualquier otro punto.
3. La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asintótica conforme nos
alejamos de la media en cualquier dirección.
4. El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a 1.
Muchas variables aleatorias tienen distribuciones de probabilidad que se pueden describir
de manera adecuada mediante la curva normal una vez que se especifiquen µ y σ2
. En
este capítulo supondremos que se conocen estos dos parámetros, quizás de
investigaciones previas. Más tarde haremos inferencias estadísticas cuando se
desconozcan µ y σ2
y se estimen a partir de los datos experimentales disponibles.

3. [Escribir texto]
Señalamos en un principio el papel que juega la distribución normal como una
aproximación razonable de variables científicas en experimentos de la vida real. La
distribución normal encuentra una gran aplicación como distribución limitante. Bajo ciertas
condiciones la distribución normal proporciona una buena aproximación continua a las
distribuciones binomial e hipergeométrica. Resulta que la distribución limitante de
promedios muestrales es normal. Esto proporciona una base amplia para la inferencia
estadística que es muy valiosa para el analista de datos interesado en la estimación y
prueba de hipótesis. Las importantes áreas del análisis de varianza y del control de
calidad tienen su teoría basada en suposiciones que hace uso de la distribución normal.
Áreas bajo la curva normal
La curva de cualquier distribución continua de probabilidad o función de densidad se
construye de modo que el área bajo la curva limitada por las dos ordenadas x = x1 y x = x2
es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria x tome un valor entre x = x1 y x = x2.
El área bajo la curva entre cualesquiera dos ordenadas también debe depender de los
valores µ y σ.
Por fortuna es posible transformar todas las observaciones de cualquier variable aleatoria
normal X en un nuevo conjunto de observaciones de una variable aleatoria normal Z, con
media 0 y varianza 1, esto puede realizarse por medio de la transformación:



X
Z
Donde: Z se lee en las tablas A3. X es la variable aleatoria, µ es la media de la
población y σ es la desviación estándar.
La distribución de una variable aleatoria normal con media cero y varianza 1 se llama
distribución normal estándar.
Hemos reducido ahora el número que se requiere de tablas de áreas de curva normal a
una, la de la distribución normal estándar. La tabla A.3 indica el área bajo la curva normal
estándar que corresponde a P (Z < z) para valores de z que van de -3.49 a 3.49. Para
ilustrar el uso de esta tabla encontremos la probabilidad de que Z sea menor que 1.74.
Primero, localizamos un valor de z igual a 1.7 en la columna izquierda, después nos
movemos a lo largo del renglón a la columna bajo 0.04, donde leemos 0.9591. Por tanto,
P (Z < 1.74) = 0.9591. Para encontrar un valor z que corresponda a una probabilidad
dada, el proceso se invierte. Por ejemplo, el valor z que deja un área de 0.2148 bajo la
curva a la izquierda de z se ve que es -0.79.
Ejemplo 1: Dada una distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva que
yace (a) a la derecha de z = 1.84 y (b) entre z = -1.97 y z = 0.86

4. [Escribir texto]
Solución
(a) El área en la figura 4 (a) a la derecha de z = 1.84 es igual a 1 menos el área en la
tabla A.3 a la izquierda de z = 1.84 a saber, es decir, 1 – 0.9671 = 0.0329
(b) El área en la figura 4 (b) entre z = - 1.97 y z = 0.86 es igual al área a la izquierda
de z = 0.86 menos el área a la izquierda de z = -1.97. De la tabla A.3 encontramos
que el área que se desea es 0.8051 – 0.0244 = 0.7807
(a) 0 1.84 z (b) - 1.97 0 0.86
z
Figura 4. Áreas del ejemplo 1.
Ejemplo 2: Dada una distribución normal estándar, encuentre el valor de k tal que (a) P (Z
> k) = 0.3015, y (b) P (k < Z < -0.18) = 0.4197
Solución
(a) En la figura 5 (a) vemos que el valor k que deja un área de 0.3015 a la derecha
debe dejar entonces un área de 0.6985 a la izquierda. De la tabla A.3 se sigue que
k = 0.52
0.3015
0.4197
(a) 0 k z (b) k -
0.18 0 z
Figura 5. Áreas del ejemplo 2
(b) De la tabla A.3 notamos que el área total a la izquierda de -0.18 es igual a 0.4286.
En la figura 5 (b) vemos que el área entre k y -0.18 es 0.4197 por lo que el área a
la izquierda de k debe ser 0.4286 – 0.4197 = 0.0089. Por lo tanto, de la tabla A.3
tenemos k = -2.37

5. [Escribir texto]
Ejemplo 3: Dada una distribución normal con µ = 50 y σ = 10, encuentre la probabilidad de
que X tome un valor entre 45 y 62.
Solución
Los valores z que corresponden a x1 = 45 y x2 = 62 son
Z1 =
10
5045 
= -0.5
Z2 =
10
5062 
= 1.2
Por tanto, P (45 < X < 62)= P ( -0.5 < Z < 1.2)
-0.5 0 1.2 z
Figura 6. Área del ejemplo 3
La P(-.05 < Z < 1.2) se muestra por el área de la región sombreada de la figura 6.11. Esta
área se puede encontrar al restar el área a la izquierda de z = 1.2. Con el uso de la tabla
A.3, tenemos
P (45 < X < 62) = P (-0.5 < Z < 1.2) = P (Z < 1.2) – P (Z < -0.5) = 0.8849 – 0.3085 =
0.5764
Ejemplo 4: Dada una distribución normal con µ = 300 y σ = 50, encuentre la probabilidad
de que x tome un valor mayor que 362.
Solución
La distribución de probabilidad normal que muestra el área que se desea se representa en
la figura 6.12. Para encontrar la P(X > 362), necesitamos evaluar el área bajo la curva
normal a la derecha de x = 362, esto se puede realizar al transformar x = 362 al valor z
correspondiente, al obtener el área a la izquierda de z de la tabla A.3 y después restar
esta área de 1. Encontramos que:

6. [Escribir texto]
Z =
50
300362 
= 1.24
Por lo que,
P(X > 362) = P (Z > 1.24) = 1 – P (Z < 1.24) = 1 – 0.8925 = 0.1075
 = 50
300 362 x
Figura 7. Área del ejemplo 4
En ocasiones se nos pide encontrar el valor de z que corresponde a una probabilidad
específica que cae entre los valores que se listan en la tabla A.3 (véase ejemplo 5). Por
conveniencia, siempre elegiremos el valor z que corresponde a la probabilidad tabular que
está más cerca de la probabilidad que se especifica. Sin embargo, si la probabilidad dada
cae a la mitad entre dos probabilidades tabulares, debemos elegir para z el valor que cae
a la mitad entre los valores correspondientes de z. Por ejemplo, para encontrar el valor z
que corresponde a una probabilidad de 0.7975, que cae entre 0.7964 y 0.7995 en la tabla
A.3, elegimos z = 0.83, pues 0.7975 es más cercano a 0.7967. Por otro lado, para una
probabilidad de 0.7981, que cae en la mitad entre 0.7967 y 0.7995, tomamos z= 0.835.
Los anteriores dos ejemplos se resolvieron al ir primero de un valor de x a un valor z y
después calcular el área que se desea. En el ejemplo 6.6 invertimos el proceso y
comenzamos con un área o probabilidad conocida, encontramos el valor z y después
determinamos x reacomodando la fórmula:



X
Z Para dar x =  z + 
Ejemplo 5: Dada una distribución normal con µ = 40 y σ = 6, encuentre el valor de x que
tiene (a) 45% del área a la izquierda y (b) 14% del área a la derecha.

7. [Escribir texto]
Solución:
(a) En la figura 8 (a) se sombrea un área de 0.45 a la izquierda del valor x deseado.
Requerimos un valor z que deja un área de 0.45 a la izquierda. De la tabla A.3
encontramos P (Z < - 0.13) = 0.45 por lo que el valor z deseado es -0.13. De aquí
X = (6) (-0.13) + 40 =39.22
(b) En la figura 8 (b) sombreamos un área igual a 0.14 a la derecha del valor que se
desea. Esta vez requerimos un valor z que deje 0.14 del área a la derecha y por
ello un área de 0.86 a la izquierda. De nuevo, de la tabla A.3, encontramos P (Z
<1.08) = 0.86 por lo que el valor z que se desea es 1.08 y,
x = (6) (1.08) + 40 = 46.48
(a) (b)
 = 6
 = 6
0.45 0.14
40 x
40 x
Figura 8. Áreas del ejemplo 5
Aplicaciones de la distribución normal
Algunos de los muchos problemas para los que es aplicable la distribución normal se
tratan en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1: Cierto tipo de batería de almacenamiento dura, en promedio, 3.0 años, con
una desviación estándar de 0.5 años. Suponga que las duraciones de la batería de
distribuyen normalmente, encuentre la probabilidad de que una batería dada dure menos
de 2.3 años.
Solución
Primero construya un diagrama como el de la figura 9, que muestra la distribución dada
de duraciones de las baterías y el área que se desea. Para encontrar la P (X < 2.3),
necesitamos evaluar el área bajo la curva normal a la izquierda de 2.3. Esto se logra
encontrando el área a la izquierda del correspondiente valor de z. Por lo tanto se
encuentra que:

8. [Escribir texto]
 = 0.5
2.3 3 x
Figura 9. Área del ejemplo 1
5.0
33.2 
Z = - 1.4,
Y entonces con el uso de la tabla A.3 tenemos P(X< 2.3) = P (Z < - 1.4) = 0.0808
Ejemplo 2: Una empresa eléctrica fabrica focos que tiene una duración, antes de fundirse,
que se distribuye normalmente con media igual a 800 horas y una desviación estándar de
40 horas. Encuentre la probabilidad de que un foco se funda entre 778 y 834 hora.
 = 40
778 800 834 x
Figura 10. Área del ejemplo 2
Solución
La distribución de los focos se ilustra en la figura 6.15. Los valores z que corresponden a
x1 = 778 y x2 = 834 son:
40
800778
1

Z = - 0.55
40
800834
1

Z = 0.85
De aquí que:
P (778 < X < 834) = P (-0.55 < Z – 0.859)
=P (Z < 0.85) – P (Z < - 0.55)
= 0.8023 – 0.2912 = 0.5111

9. [Escribir texto]
Ejemplo 3: En un proceso industrial el diámetro de un cojinete es una parte componente
importante. El comprador establece que las especificaciones en el diámetro sean 3.0 ±
0.01 cm. La implicación es que ninguna parte que caiga fuera de estas especificaciones
se aceptara. Se sabe que en el proceso el diámetro de un cojinete tiene una distribución
normal con media 3.0 y una desviación estándar σ = 0.005. En promedio, ¿cuántos
cojinetes se descartarán?
Solución
La distribución de diámetros se ilustra en la figura 6.16. Los valores que corresponden a
los limites especificados son x1 = 2.99 y x2 = 3.01. Los correspondientes valores de z son:
005.0
0.399.2
1

Z = - 2.0  = 0.005
005.0
0.301.3
2

Z = + 2.0 0.0228 0.0228
2.99 3.0 3.01
Figura 11. Área del ejemplo 3
Por lo tanto, P (2.99 < X < 3.01) = P (-20 < Z < 2.0)
De la tabla A.3, P (Z < - 20) = 0.0228. Debido a la simetría de la distribución normal,
encontramos que
P (- 2.0 < Z < 2.0) = 2 (0.0228) = 0.0456
Como resultado se anticipa que, en promedio, 4.56% de los cojinetes fabricados se
descartaran.
Ejemplo 4: Se utilizan medidores para rechazar todos los componentes donde cierta
dimensión no está dentro de las especificación 1.50 ± d. Se sabe que esta medición se
distribuye de forma normal con media 1.50 y desviación estándar 0.2. Determine el valor d
tal que las especificaciones “cubran” 95% de las mediciones.

10. [Escribir texto]
Solución
 = 0.2
0.025 0.025
1.108 1.50 1.892 x
Figura 12. Especificaciones del ejemplo 4.
De la tabla A.3 sabemos que, P (-1.96 < Z < 1.96) = 0.95
Por lo tanto, 1.96 =
 
2.0
50.150.1  d
de la cual se obtiene: d = (0.2) (1.96) = 0.392
Ejemplo 5: Cierta maquina fabrica resistores eléctricos que tiene una resistencia media de
40 ohmios y una desviación estándar de dos ohmios. Suponga que la resistencia sigue
una distribución normal y se puede medir con cualquier grado de precisión, ¿qué
porcentaje de resistores tendrá una resistencia que exceda 43 ohmios?
Solución
Se encuentra un porcentaje al multiplicar la frecuencia relativa por 100%. Como la
frecuencia relativa para un intervalo es igual a la probabilidad de caer en el intervalo,
debemos encontrar el área a la derecha de x = 43 en la figura 13. Esto se puede hacer al
transformar x = 43 al valor z correspondiente, con lo que se obtiene el área a la izquierda
de z de la tabla, A.3, y después se resta esta área de 1. Encontramos que:
 = 2.0
40 43 x
Figura 13. Área del ejemplo 5
2
4043
Z = 1.5
De aquí que, P(X > 43) = P (Z > 1.5) = 1 – P (Z < 1.5) = 1 – 0.9332 = 0.0668
Por tanto, 6.68% de los resistores tendrán una resistencia que excede 43 ohmios.

11. [Escribir texto]
Ejemplo 6: Encuentre el porcentaje de revisores que exceden 43 ohmios para el ejemplo
anterior si la resistencia se mide al ohm más cercano.
Solución
Este problema defiere del ejemplo anterior pues ahora asignamos una media de 43
ohmios a todos los resistores cuyas resistencias sean mayores que 42.5 y menores que
43.5. Realmente aproximamos una distribución discreta por medio de una distribución
continua normal. El área que se requiere es la región sombreada a la derecha de 43.5 en
la figura 6.19. Encontramos ahora que:
 = 2.0
40 43.5 x
Figura 14. Área del ejemplo 6
2
405.43 
Z = 1.75
De aquí que, P(X > 43.5) = P (Z > 1.75) = 1 – P (Z < 1.75) = 1 – 0.9599 = 0.0401
Por tanto, 4.01% de los resistores exceden 43 ohmios cuando se miden al ohmio mas
cercano. La diferencia 6.68% - 4.01% = 2.67% entre esta respuesta y la del ejemplo
anterior representa todos los resistores que tienen una resistencia mayor que 43 y menor
que 43.5 que ahora se registran como de 43 ohmios.
Ejemplo 7: La calificación promedio para un examen es 74 y la desviación estándar es 7.
Si 12% de la clase obtiene A y las calificaciones siguen una curva que tiene una
distribución normal, ¿Cuál es la A más baja posible y la B más alta posible?
 = 7
0.12
74 x
Figura 15. Área del ejemplo 7

12. [Escribir texto]
Solución
En este ejemplo comenzamos con una área de probabilidad conocida, encontramos el
valor z y después determinamos x de la formula x = σ + µ. Un área de 0.12, que
corresponde a la fracción de estudiantes que reciben A, se sombrea en la figura 6.20.
Requerimos un valor z que deje 0.12 del área a la derecha y, por ello, un área de 0.88 a la
izquierda. De la tabla A.3, P (Z < 1.175) = 0.88, por lo que el valor z que se desea es
1.175.
De aquí: X= (7)(1.175) + 74 = 82.225
Por tanto, la A más baja es 83 y la B más alta es 821
.
1 Documento tomado en su totalidad del libro Probabilidad y estadística para ingeniería. Escrito por Ronald
E; Walpole, Raymond H; Myers, Sharon L. Pág. 145 a 157. Editorial Pearson. Consultado en línea
http://books.google.com.co/books?id=9DWw696jLbMC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false