Esta presentación le pertenece a Christian Paul Salinas Introducción Ordenación Topológica Relación de Precedencia Grafo Dirigido Aciclico Complejidad Pasos Implementación del algoritmo de ordenación topológica(Ejemplo en Java) Matriz de caminos, Algoritmo de Warshall Matriz Cierre Transitivo Complejidad Ejemplo Paso a paso, e Implementación del algoritmo en Java

1. FACULTAD DE INGENIERIA
CAPITULO 16: GRAFOS, ALGORITMOS
FUNDAMENTALES
Realizado por : Christian Paul Salinas
4to Ciclo – Ingeniería en Sistemas

2. CONTENIDO
 Introducción
 Ordenación Topológica
 Relación de Precedencia
 Grafo Dirigido Aciclico
 Complejidad
 Pasos
 Implementación del algoritmo de ordenación topológica(Ejemplo
en Java)
 Matriz de caminos, Algoritmo de Warshall
 Matriz Cierre Transitivo
 Complejidad
 Ejemplo Paso a paso, e Implementación del algoritmo en Java

3. INTRODUCCIÓN
 Los grafos nos permiten modelar numerosos
problemas, por ejemplo, encontrar rutas de menor
longitud entre dos puntos, calcular caminos mas
rápidos, planificar tareas que completan un
proyecto, entre otras.
 Analizar cada arista y nodo del grafo que
representa el problema,

4. ORDENACIÓN TOPOLÓGICA
 Modela las relaciones que existen entre diferentes tareas,
para poder terminar un proyecto.
 Relaciones de Precedencia
 Se presentan mediante un grafo dirigido, donde los vértices
son tareas y existe aristas de un vértice a otro, donde es
necesario que se completa la arista inicial para que comience
la siguiente

5. RELACIONES DE PRECEDENCIA
 Una vez se dispone del grafo interesa obtener una
planificación de las tareas que constituyen el
proyecto.
 En definitiva, se debe encontrar la ordenación
topológica de los vértices que forman el grafo,
siendo el final un grafo dirigido.
 Grafo final acíclico, única dependencia.

6. IMPORTANTE
 La ordenación topológica se aplica sobre grafos
dirigidos sin ciclos.
 Es una ordenación lineal tal que si un nodo
llamando A es anterior a otro nodo B entonces
existe un camino de A hacia B
 La ordenación topológica no se puede realizar en
grafos con ciclos

7. GRAFO DIRIGIDO ACICLICO
 Un grafo dirigido y sin ciclos se denomina un gda o grafo
acíclico.
 Los gda aparecen en modelos donde no tiene sentido que un
vértice tenga un camino directo a él mismo
 Los grafos dirigidos aciclicos pueden
utilizarse para modelar muchos tipos
diferentes de información las cuales
pueden ser una colección de las
tareas que pueden ordenarse en una
secuencia determinada.

8.  El grafo anterior es un ejemplo de un grafo dirigido acíclico,
donde se modela la estructura de prerrequisito de 8 cursos
 Un arista cualquiera (R,S) significa que el curso R debe
completarse antes de empezar el curso S.
 Por ejemplo, el curso M21 se puede empezar sólo cuando se
terminen los cursos E11 y T12.
 M21 es el paso que sigue o sucesor de E11 y T12

9.  Una ordenación topológica de estos cursos es cualquier
secuencia de cursos que cumple los prerrequisitos y tenga los
pasos sucesores correctos.
 Para un grafo dirigido acíclico no tiene por qué existir una
única ordenación topológica
 E11 - T12 - M21 - C22 - R23 - S31 - S32 - T41
 T12 - E11 - R23 - C22 - M21 - S31 - S32 - T41

10. ORDENACIÓN TOPOLÓGICA COMPLEJIDAD
 La complejidad del algoritmo Ordenación Topológica de un
grafo.
 Representación del grafo con Listas de Adyacencia, es
O(a+n), siendo ‘a’ el número de arcos y ‘n’ el de vértices.
 Representación del grafo con una Matriz de Adyacencia, la
complejidad es O(n2 ).

11. ALGORITMO DE UNA ORDENACIÓN
TOPOLÓGICA
 Pasos:
 Busca una tarea (vértice V) la cual no tenga Sucesores.
 Este vértice V pasa a formar parte de la Ordenación T.
 Ya que el vértice que no tiene sucesores se añadió a la Ordenación
T, este vértice es eliminado del grafo inicial.
 Se repite el proceso.
 Se toma otro vértice W, que no tenga sucesores.
 Se incorpora a la Ordenación T.
 Se eliminan el vértice W del grafo anterior.
 Se repite el proceso.
 Se sigue hasta completar la Ordenación.
En el próximo ejemplo de utiliza un array para guardar la
Ordenación T. Cada vez que se encuentre un vértice que no tenga
sucesores, se agrega desde el final del array hasta el principio.

12. Algoritmo de
Ordenación
Topológica con
un grafo
representado
por su matriz
de Adyacencia

14. IMPLEMENTACIÓN DEL ALGORITMO DE
ORDENACIÓN TOPOLÓGICA
 Para representar el siguiente grafo se utilizara una Matriz de
Adyacencia, y aplicar el Algoritmo de Ordenación Topológica
C F
D
B E
A
H
G

15. MATRIZ DE CAMINOS: ALGORITMO DE
WARSHALL
 Normalmente se suele confundir este Algoritmo con
el Algoritmo de Floyd Warshall
 Floy Warshall encuentra el camino mínimo de
grafos dirigidos ponderados
Algoritmo de Warshall trabaja sobre grafos
dirigidos no ponderados, y encuentra caminos
entre un par de vértices

16. MATRIZ DE CAMINOS: ALGORITMO DE
WARSHALL
 Recibe una matriz de Adyacencia de un grafo de n
vértices y retorna la matriz de caminos llamada
Cierre Transitivo.
 La estrategia que sigue el algoritmo consiste en
definir, a nivel lógico, una secuencia de matrices n-
cuadradas P0, P1, P2, P3 ... Pn
 A cada nodo del grafo lo convierte en un ‘’puente’’
para comunicar las diferentes aristas.

17. ALGORITMO DE WARSHALL
 El nodo puente mencionado ayudara a encontrar
caminos mediante el mismo e ira aumentado los
caminos posible según se acaben los nodos.
 El nodo seleccionado para cada conexión mediante
un puente, se lo define como nodo de orden k
 Los elementos de cada una de las matrices Pk[i,j]
tienen el valor 0 si no hay camino y 1 si existe un
camino del vértice i y al j.

18. 1 - Si existe un arco del vértice i al j
0 - En otro caso
P k=0
1 - Si existe un camino simple de i a j que
no pasa por ningún otro vértice a no ser por los
vértices creados en P k=0
0 - En otro caso
P k=1
1 - Si existe un camino simple de i a j que
no pasa por ningún otro vértice a no ser por los
vértices creados en P k=1 y P k=0
0 - En otro caso
P k=2
1 - Si existe un camino simple de i a j que
no pasa por ningún otro vértice a no ser por el
vértice creado en P k=0 , P k=1 y P k=2
0 - En otro caso
P k=3
k = 0, 1, 2, 3……n (Numero de vértices)

19. Representación de un Grafo por Matriz y Lista de Adyacencia
Matriz de Adyacencia

20. Matriz de Adyacencia

21. Lista de Adyacencia

22. Lista de Adyacencia

23. ALGORITMO DE WARSHALL

24. ALGORITMO DE WARSHALL COMPLEJIDAD
 La complejidad del algoritmo de Warshall es
cúbica, O(n3) siendo n el número de vértices.
 Esta característica hace que el tiempo de ejecución
crezca rápidamente para grafos con, relativamente,
muchos nodos.

25. EJEMPLO E IMPLEMENTACIÓN EN JAVA
 Se tiene el siguiente grafo dirigido no ponderado con su
respectiva matriz adyacente,
Matriz Adyacente
 Se mostrara paso a paso cual es el procedimiento ah seguir
en este Algoritmo para entenderlo mejor y después su
implementación en Java
A B C D E F
A 0 1 0 0 1 0
B 0 0 0 1 0 0
C 0 1 0 0 0 0
D 0 0 1 0 0 1
E 0 0 0 0 0 0
F 0 0 0 0 0 0
A
B
C
D
F
E

26. ALGORITMO DE WARSHALL
A
B
C
D
F
E
A B C D E F
A 0 1 0 0 1 0
B 0 0 0 1 0 0
C 0 1 0 0 0 0
D 0 0 1 0 0 1
E 0 0 0 0 0 0
F 0 0 0 0 0 0
A B C D E F
A 0 1 0 0 1 0
B 0 0 0 1 0 0
C 0 1 0 0 0 0
D 0 0 1 0 0 1
E 0 0 0 0 0 0
F 0 0 0 0 0 0
Se realiza una matriz con k=0, en
esta caso será el vértice A el cual
servirá como puente
Cuando exista dos números 1 en la fila y columna amarilla, en
este caso k=0 (Vértice A), que una ambos vértices por el puente
amarillo, se pondrá 1 donde exista un camino y 0 caso contrario.
k= 0

27. ALGORITMO DE WARSHALL
A
B
C
D
F
E
Se realiza una matriz con k=1, en
esta caso será el vértice B el cual
servirá como puente
Cuando exista dos números 1 en la fila y columna amarilla, que
una ambos vértices por el puente amarillo, se pondrá 1 donde
exista un camino y 0 caso contrario.
k= 1
A B C D E F
A 0 1 0 0 1 0
B 0 0 0 1 0 0
C 0 1 0 0 0 0
D 0 0 1 0 0 1
E 0 0 0 0 0 0
F 0 0 0 0 0 0
A B C D E F
A 0 1 0 1 1 0
B 0 0 0 1 0 0
C 0 1 0 1 0 0
D 0 0 1 0 0 1
E 0 0 0 0 0 0
F 0 0 0 0 0 0

28. ALGORITMO DE WARSHALL
A
B
C
D
F
E
Se realiza una matriz con k=2, en
esta caso será el vértice C el cual
servirá como puente
Cuando exista dos números 1 en la fila y columna amarilla, que
una ambos vértices por el puente amarillo, se pondrá 1 donde
exista un camino y 0 caso contrario.
k= 2
A B C D E F
A 0 1 0 1 1 0
B 0 0 0 1 0 0
C 0 1 0 1 0 0
D 0 0 1 0 0 1
E 0 0 0 0 0 0
F 0 0 0 0 0 0
A B C D E F
A 0 1 0 1 1 0
B 0 0 0 1 0 0
C 0 1 0 1 0 0
D 0 1 1 1 0 1
E 0 0 0 0 0 0
F 0 0 0 0 0 0

29. ALGORITMO DE WARSHALL
A
B
C
D
F
E
Se realiza una matriz con k=3, en
esta caso será el vértice D el cual
servirá como puente
Cuando exista dos números 1 en la fila y columna amarilla, que
una ambos vértices por el puente amarillo, se pondrá 1 donde
exista un camino y 0 caso contrario.
k= 3
A B C D E F
A 0 1 0 1 1 0
B 0 0 0 1 0 0
C 0 1 0 1 0 0
D 0 1 1 1 0 1
E 0 0 0 0 0 0
F 0 0 0 0 0 0
A B C D E F
A 0 1 1 1 1 1
B 0 1 1 1 0 1
C 0 1 1 1 0 1
D 0 1 1 1 0 1
E 0 0 0 0 0 0
F 0 0 0 0 0 0

30. ALGORITMO DE WARSHALL
A
B
C
D
F
E
Se realiza una matriz con k=4, en
esta caso será el vértice E el cual
servirá como puente
Cuando exista dos números 1 en la fila y columna amarilla, que
una ambos vértices por el puente amarillo, se pondrá 1 donde
exista un camino y 0 caso contrario.
k= 4
A B C D E F
A 0 1 1 1 1 1
B 0 1 1 1 0 1
C 0 1 1 1 0 1
D 0 1 1 1 0 1
E 0 0 0 0 0 0
F 0 0 0 0 0 0
A B C D E F
A 0 1 1 1 1 1
B 0 1 1 1 0 1
C 0 1 1 1 0 1
D 0 1 1 1 0 1
E 0 0 0 0 0 0
F 0 0 0 0 0 0

31. ALGORITMO DE WARSHALL
A
B
C
D
F
E
Se realiza una matriz con k=5, en
esta caso será el vértice F el cual
servirá como puente
Cuando exista dos números 1 en la fila y columna amarilla, que
una ambos vértices por el puente amarillo, se pondrá 1 donde
exista un camino y 0 caso contrario.
k= 5
A B C D E F
A 0 1 1 1 1 1
B 0 1 1 1 0 1
C 0 1 1 1 0 1
D 0 1 1 1 0 1
E 0 0 0 0 0 0
F 0 0 0 0 0 0
A B C D E F
A 0 1 1 1 1 1
B 0 1 1 1 0 1
C 0 1 1 1 0 1
D 0 1 1 1 0 1
E 0 0 0 0 0 0
F 0 0 0 0 0 0

32. ALGORITMO DE WARSHALL, MATRIZ DE CAMINOS
A
B
C
D
F
E
A B C D E F
A 0 1 1 1 1 1
B 0 1 1 1 0 1
C 0 1 1 1 0 1
D 0 1 1 1 0 1
E 0 0 0 0 0 0
F 0 0 0 0 0 0
Matriz de Caminos
A
B
C
D
F
E
A B C D E F
A 0 1 0 0 1 0
B 0 0 0 1 0 0
C 0 1 0 0 0 0
D 0 0 1 0 0 1
E 0 0 0 0 0 0
F 0 0 0 0 0 0
Matriz de Adyacencia

33. CONCLUSIONES
 En la Ordenación Topológica se tiene relaciones de
precedencia que se representan mediante un grafo dirigido en
el que los vértices son las tareas o hitos y existe una arista
del vértice r al t si el inicio de la tarea t depende de la
terminación de r.
 Una vez se dispone del grafo interesa obtener una
planificación de las tareas que constituyen el proyecto; en
definitiva, encontrar la ordenación topológica de los vértices
que forman el grafo.
 Algoritmo de Warshall devuelve una matriz de Camino,
llamada de Cierre Transitivo, la cual indica TODOS los
caminos posible de un vértice a otro, aun así pasando por
otros vértices, siempre y cuando se respete el sentido cuando
es un grafo dirigido