Este documento describe el proceso de linealización de sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. Primero, se expanden las funciones f(x,y) y g(x,y) en series de Taylor usando los primeros 3 términos. Luego, se elimina el parámetro t dividiendo una ecuación por la otra, dando como resultado una ecuación lineal aproximada cuya solución dará la trayectoria aproximada de la partícula. Finalmente, se discuten varios casos posibles para la ecuación resultante dependiendo de los valores de

1. Linealización de sistemas de
primer orden
Siendo ‘x’ y ‘y’ las componentes de la velocidad de una partícula
dadas por:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑓 𝑥, 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑔(𝑥, 𝑦)
donde se supone que las funciones f(x,y) y g(x,y) tienen derivadas
parcialmente continuas para (x,y).
Este sistema de dos ecuaciones de primer orden, se intenta resolver
encontrando los primeros 3 términos de la expansión de la serie de
Taylor de f(x,y) y g(x,y), y luego eliminar el parámetro t entre estos.

2. Las series de Taylor para estas funciones son:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝑎3𝑥2 + …
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑏3𝑥2 + …
Usando los 3 primeros términos y dividiendo el 2do por el 1er.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑏𝑜 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑦
𝑎𝑜 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦
La solución de esta ecuación dará una primera aproximación a la
trayectoria de la partícula.
La ecuación es ahora un tipo de ecuación de coeficientes lineales. Y
es muy probable que la solución sea compleja, entonces se va a
mostrar como cierta información puede ser hallada más fácilmente.
Con traslación de ejes es posible transformar la ecuación con
coeficientes lineales en un ecuación con coeficientes homogéneos, de
la forma:
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 𝑑𝑦 = 0

3. Trasladando el punto de origen al punto de intersección de las
dos líneas no paralelas se tiene:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦
,
𝑎1
𝑎2
≠
𝑏1
𝑏2
𝑦 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 ≠ 0
Se define entonces:
𝐷 = 𝑎1𝑏2 − 𝑏1𝑎2
(Siendo D el determinante cuyos elementos son los coeficientes
de ‘x’ y ‘y’)
Se van a considerar diferentes casos resultantes dependiendo de
los valores que tomen los coeficientes.
En todos los casos, dy/dx no tienen sentido en el origen (0,0).
Es decir, no habrá ninguna solución en este punto. Sin embargo,
no habrá problema con cualquier otro punto.
Por definición, el origen es, en todos los casos, un punto singular.
*Soluciones a traves del origen.

4. 𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚
𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐𝒚
(𝑨)
 Caso 1: a1 = b2 = 0 y b1 = a2
 Caso 2: b1 = -a2
 Caso 3: a1*b2 ≠ a2*b1
 Caso 3 - 1: D > 0 y por lo tanto, ∆ > 0
 Caso 3 – 2: D < 0, se tiene entonces:
Caso 3 - 2 (a): D < 0 y ∆ > 0
Caso 3 - 2 (b): D < 0 y ∆ = 0
Caso 3 - 2 (c): D < 0 y ∆ < 0

5. Caso 1: a1 = b2 = 0 y b1 = a2. En este caso la ecuacion nos
queda asi:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥
, 𝑥 ≠ 0,
cuyas soluciones son:
𝑦′ =
𝑦
𝑥
∫
𝑦′
𝑦
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑙𝑛|𝑦| = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶
𝑦 = 𝐶𝑥
que contiene familia de líneas rectas a través del origen (0,0).

6. Caso 2: b1 = -a2. En este caso tenemos
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑎1𝑥 − 𝑎2𝑦
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦
cuya solución es por el método para EDOs homogéneas:
𝑎1𝑥2
− 2𝑎2𝑥𝑦 − 𝑏2𝑦2
= 𝑐
y su determinante:
𝐷 = 𝑎1𝑏2 + 𝑎22
lo cual es tambien el discriminante de la ecuación
cuadrática (𝑎1𝑥2 − 2𝑎2𝑥𝑦 − 𝑏2𝑦2 = 𝑐 ).
De forma analítica geométrica se tiene que:
1. Si D < 0 y c ≠ 0, es una familia de elipses con centro
en el origen; si c = 0, solamente el punto (0,0)
satisfice la ecuación. Pero este punto (0,0) está
excluido ya que dy/dx no tiene sentido aquí.
*familia de curvas integrales

7. 2. Si D > 0 y c ≠ 0, es una familia de hipérbolas con
centro en el origen; si c = 0 se convierte en dos
líneas rectas a través del origen las cuales son las
asíntotas de la familia de hipérbolas.
Ejemplo: Discutir el carácter de la solución.

8. Caso 3 (caso general): a1b2 ≠ a2b1, sin otras
restricciones colocadas en a1, a2, b1, b2. Siendo P(x,y)
un punto sobre la curva integral de
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑎1𝑥+𝑏1𝑦
𝑎2𝑥+𝑏2𝑦

9. La pendiente de la recta tangente CP a la curva es y’.
Asumiendo que esta línea no pasa por el origen O. Se trazó
OB paralelo a CP. Esta pendiente también es y’. De la figura
32.2(a), se observa que (tan ang AOB = y’ = AB/x; por lo
tanto, AB = xy’).
𝑂𝐶 = 𝐴𝑃 − 𝐴𝐵 = 𝑦 − 𝑥𝑦′
Por lo tanto OC se encuentra por encima del eje x, entonces
y – xy’ > 0. Si y’’ > 0 en el punto P de la curva, entonces la
curva en una vecindad de P es cóncava hacia arriba y una
tangente en P se encuentra debajo de la curva.
Entonces se demostró que:
Si un punto P(x,y) en una curva integral, y’’ > 0 y y – xy’ > 0,
entonces la recta tangente en P separa la curva y el origen
en una vecindad de P.
Similarmente, si y’’ < 0 and y – xy’ < 0

10. Sin embargo, si y’’ and y – xy’ tienen diferentes signos en P(x,y),
entonces el origen y una curva integral cerca de P estaran en el
mismo lado de la línea tangente en P. Por ejemplo, en la
fig32.2(a), se trazó a P una curva integral que sea cóncava hacia
abajo, entonces y’’ < 0.
Por diferenciación de la ecuación diferencial original, se obtiene:
𝑦′′ =
𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 2
(𝑦 − 𝑥𝑦′)
El denominador es diferente de cero, de ahí siempre será
positiva. El numerado es D. Por lo tanto:
D > 0, y’’ and (y – xy’) tienen el mismo signo
D < 0, y’’ and (y – xy’) tiene signos opuestos

11. Comentario. Si y – xy’ ≠ 0, es decir, si la línea tangente a un
punto P de una integral curva no pasa por el origen, y si D > 0,
entonces la curva y origen, en un vecindario P, son separados por
la tangente de P.
Si D < 0, entonces la curva y el origen, en un vecindario de P,
estaría en el mismo lado de la tangente de P.
Si la tangente en un punto P de una integral curva pasa a través
de origen, entonces OC = 0 y por lo tanto y – xy’ = 0. Esto significa
que si tiene soluciones rectilíneas a través del origen, estas
soluciones deberían satisfacer la ecuación y – xy’ = 0.
Por ejemplo, la línea recta solución a través del origen la cual
encontramos en el primer caso, llamada y = cx, satisface este
requerimiento. Entonces y’ = c and y – xy’ = cx – cx = 0.

12. ¿Existe alguna solución rectilínea del caso general que pase por el
origen?
Todas las soluciones que satisfacen la ecuación y – xy’ = 0.
De
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑎1𝑥+𝑏1𝑦
𝑎2𝑥+𝑏2𝑦
, se tiene:
𝑦 − 𝑥𝑦′
=
𝑏2𝑦2 + 𝑎2 − 𝑏1 𝑥𝑦 − 𝑎1𝑥2
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦
De ahí el lugar geométrico de esos punto que harán el numerador
cero haciendo y – xy’ = 0. Tales lugares serán entonces soluciones
rectilíneas. Para encontrar estos, se coloca:
𝑏2𝑦2 + ( )
𝑎2 − 𝑏1 𝑥𝑦 − 𝑎1𝑥2 = 0 (1)
Entonces se llamará discriminante ∆ a:
∆ = (𝑎2 + 𝑏1)2 + 4𝐷 (4)

13. De algebra se sabe que: (3)
a) ∆ > 0, entonces (1) tiene dos raíces reales y distintos, y son
(ax + by)(cx + dy) = 0.
b) ∆ = 0, entonces (1) tiene un raíces repetido real.
c) ∆ < 0, entonces (1) tiene solo raíces imaginarias.
En el caso (a) habrá dos integrales rectilíneas de curva a través
del origen. Estas dos líneas separan el plano en 4 regiones en
los cuales las otras integrales curvas de (1), para lo cual y – xy’
≠ 0, mentiría.
En el caso (b) habrá una integral rectilínea de curva a través del
origen. Esta línea separa el plano en 2 regiones en la cuales las
otras integrales curvas de (1), para el cual y – xy’ ≠ 0, mentirían.
En el caso (c) no habrá soluciones reales rectilíneas.
Por el ∆, cuando D > 0, el ∆ es > 0. Pero cuando D < 0, ∆ podría
tomar cualquier valor de los literales (a, b, c). Teniéndose así 4
consideraciones para el caso 3 general: Una cuando D > 0; tres
cuando D < 0.

14. Caso 3 - 1: D > 0 y por lo tanto, ∆ > 0.
(Si D > 0 y b1 = -a2, se aplica el caso especial 2)
Para este caso sabemos que tiene dos soluciones rectilíneas,
cada una de las cuales es un factor de
(𝑏2𝑦2 + ( )
𝑎2 − 𝑏1 𝑥𝑦 − 𝑎1𝑥2 = 0 ).
Todos los puntos de esas dos líneas harán y - xy’ = 0.
Todas las demás curvas integrales para las cuales y - xy’ ≠ 0,
estarán en las 4 regiones formadas por las dos soluciones
rectilíneas. Y como D > 0, sabemos que una recta tangente
trazada en cualquier punto de una curva integral separa la
curva y el origen. Las curvas integrales tendrán así la
apariencia general de la figura mostrada. Las soluciones
rectilíneas son asíntotas de la curva integral.
Su propio origen, es un punto singular.

15. Ejemplo: Discutir, sin resolver la ecuación el carácter de la solución de
𝑦′
=
4𝑥 −𝑦
2𝑥+𝑦
Comparamos
4𝑥 −𝑦
2𝑥+𝑦
=
𝑎1𝑥+𝑏1𝑦
𝑎2𝑥+𝑏2𝑦
, se observa que:
a1 = 4, b1 = -1, a2 = 2, b2 = 1. (b1) es diferente a (–a2)
D = 4+ 2 = 6 > 0.
∆ = (2 − 1)2
+ 4 ∗ 6 = 25 > 0
*Se aplica el caso 3-1. Por lo tanto debe haber, y como se mostró, 2
factores de (𝑏2𝑦2 + 𝑎2 − 𝑏1 𝑥𝑦 − 𝑎1𝑥2 = 0 ) cada uno de los cuales
es una solución rectilínea.
Sustituyendolos valores de a1, a2, b1, b3, se tiene
𝑦2
+ 3𝑥𝑦 − 4𝑥2
= 0
𝑦 + 4𝑥 𝑦 − 𝑥 = 0
De ahí, las dos soluciones rectilíneas son
𝑦 + 4𝑥 = 0
𝑦 − 𝑥 = 0

16. Caso 3 - 2: D < 0: ∆ puede asumir cualquiera de los 3 valores (∆ > 0,
∆ = 0, ∆ < 0). Por lo tanto, necesitaremos considerar cada uno de
estas tres posibilidades.
La familia de soluciones de (1) tiene pendiente y’. Siendo y1’ la
pendiente de una familia trayectoria isogonal la cual corta estas
familias dadas en un ángulo α positivo, medido en sentido contrario de
y’ para y1’.
Por fórmula geométrica analítica, entonces
𝑡𝑎𝑛𝛼 =
𝑦1′
− 𝑦′
1 + 𝑦1′𝑦′
Resolviendo para y’, se tiene
𝑦′ =
𝑦1′ − 𝑡𝑎𝑛𝛼
1 + 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝑦1′

17. Reemplazando y’ en (1) :
𝑦1′ − 𝑡𝑎𝑛𝛼
1 + 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝑦1′
=
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦
La solución de y1’ es
𝑦1′
=
( )
𝑎2𝑡𝑎𝑛𝛼 + 𝑎1 𝑥 + ( )
𝑏2𝑡𝑎𝑛𝛼 + 𝑏1 𝑦
( )
𝑎2 − 𝑎1𝑡𝑎𝑛𝛼 𝑥 + ( )
𝑏2 − 𝑏1𝑡𝑎𝑛𝛼 𝑦
(2)
La cual tiene la misma forma de (1). Se tiene entonces que probar
que la ecuación diferencial de una familia de trayectorias isogonales,
haciendo un ang α con la familia de soluciones de (1) tiene la misma
forma de (1).
El determinante Di, cuyos elementos son los coeficientes de x and y
en la anterior ecuación, es
𝐷𝑖 = 𝑎2𝑡𝑎𝑛𝛼 + 𝑎1 𝑏2 − 𝑏1𝑡𝑎𝑛𝛼 - 𝑏2𝑡𝑎𝑛𝛼 + 𝑏1 𝑎2 − 𝑎1𝑡𝑎𝑛𝛼
= 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1 𝑡𝑎𝑛𝛼2 + 1 = D 𝑡𝑎𝑛𝛼2 + 1 = D (𝑠𝑒𝑐𝛼)2

18. Donde D es dado por D =a1b2 – b1a2. Ya que 𝑠𝑒𝑐2𝛼 > 0, entones D
y Di tienen el mismo signo.
Por el caso 2, la familia de soluciones de (2), la cual recordando es
una familia isogonal de trayectorias de la familia de soluciones de
(1), siendo elipses o hipérbolas con centro en el origen si
𝑏2𝑡𝑎𝑛𝛼 + 𝑏1 = −(𝑎2 − 𝑎1𝑡𝑎𝑛𝛼)
Si
𝑡𝑎𝑛𝛼 =
𝑎2 + 𝑏1
𝑎1 − 𝑏2
Hay, elipses si Di < 0 o equivalentemente, si D < 0.

19. Caso 3 - 2 (a): D < 0 y ∆ > 0:
Habrá, 2 soluciones rectilíneas por el origen. Estas líneas
separarán el plano en cuatro regiones. Para una curva integral no
rectilínea (1), conocemos lo siguiente:
1. No puede cruzar ninguna de las soluciones rectilíneas.
2. El origen y la curva integral, en una vecindad de un punto P en
el, encuentran en el mismo lado de la tangente P.
3. Si α es un ángulo que satisface, entonces la familia de
trayectorias isogonales cortando la familia dada de soluciones
(de la ecuación principal) en este ángulo α, medido desde la
familia integrales sentido antihorario hasta la familia de
trayectorias, es una familia de elipses, con centro en el origen.
4. Una curva integral se acercara al origen en una dirección
tangente a la solución rectilínea.
5. Un vector de radio dibujado a un punto P que se mueve a lo
largo de la curva integral, lejos del origen se acercara a la
coincidencia con la solución rectilínea.

20. Ejemplo: Discutir, sin resolver, el carácter de la solución de
𝑦′ =
2𝑥 + 4𝑦
𝑥 − 𝑦
Comparando esta con (1), entonces se tiene a1 = 2, b1 = 4, a2 = 1,
b2 = -1. Y además D = - 2 – 4 = -6 < 0 y por ∆ = (𝑎2 + 𝑏1)2 + 4𝐷 = 25
– 24 = 1 > 0. Así, corresponde al caso 3-2 (a).
Ya que ∆ > 0, hay 2 soluciones rectilíneas, cada una de la cual es un
factor de (1). Sustituyendo en (1) los valores de a1, b1, a2, b2
𝑦2 + 3𝑥𝑦 + 2𝑥2 = 0, 𝑦 + 2𝑥 𝑦 + 𝑥 = 0
Así, y + 2x = 0 and y + x = 0 son soluciones de y’.
De (2) , y sabiendo que la tanα = 5/3, entonces α es
aproximadamente 59°. Evaluando (2) con este α
𝑦1′ =
5
3
+ 2 + −
5
3
+ 4 𝑦
1 −
10
3
𝑥 + −1 −
20
3
𝑦
=
11
3
𝑥 +
7
3
𝑦
−
7
3
𝑥 −
23
3
𝑦
=
11𝑥 + 7𝑦
−7𝑥 − 23𝑦

21. La cual tiene la forma de
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑎1𝑥 −𝑎2𝑦
𝑎2𝑥+𝑏2𝑦
, caso 2. Así, la solución es
11𝑥2 + 14𝑥𝑦 + 23𝑦2 = 𝑐
Una rotación de los ejes a través de un ángulo de
aproximadamente 65°18’ elimina el término xy y se tiene
26𝑥12 + 8𝑦12 = 𝑐
La cual representa una familia de elipses. Algunas de estas
elipses se muestran. Cada integral curva no rectilínea de y’ corta
esta familia a un ángulo constante α = 59°, midiendo
antihorariamente desde la integral curva hasta la elipse.

22. Caso 3 - 2 (b): D < 0 y ∆ = 0
En este caso, habrá, solo una curva integral rectilínea a través del
origen. Esta línea separara el plano en dos regiones.
1. No puede cruzar la solución rectilínea.
2. El origen y cada curva integral en una vecindad de un punto P
en el, se encuentran en el mismo lado de la tangente en P.
3. Si α es un ángulo que satisface (𝑡𝑎𝑛𝛼 =
𝑎2+𝑏1
𝑎1 −𝑏2
), entonces la
familia de trayectorias isogonales cortan en la familia dada de
soluciones (de la ecuación principal) en este ángulo α, medido
desde la familia integral en sentido antihorario hasta la familia
de trayectorias, es una familia de elipses, con centro en el
origen.
4. Una curva integral se acercara al origen en una dirección
tangente a la solución rectilínea.
5. Un vector de radio dibujado en un punto P que se mueve a lo
largo de la curva integral, alejándose del origen se acercara a la
coincidencia con la solución rectilínea.

23. Ejemplo: Discutir, sin resolver la ecuación, el carácter de la solución
de 𝑦′ =
𝑥 + 3𝑦
𝑥 −𝑦
Comparando
𝑥 + 3𝑦
𝑥 −𝑦
=
𝑎1𝑥+𝑏1𝑦
𝑎2𝑥+𝑏2𝑦
,tenemos que:
a1 = 1, b1 = 3, a2 = 1, b2 = -1
D = - 1 – 3 = -4 < 0.
∆ = 42
+ 4 −4 = 0 = 0.
*Se aplica el Caso 3-2 (b). Dede tener solamente una solución
rectilínea. Entonces, sustituyendo los valores de a1, a2, b1, b2 en
(𝑏2𝑦2
+ 𝑎2 − 𝑏1 𝑥𝑦 − 𝑎1𝑥2
= 0) :
𝑦2 + 2𝑥𝑦 + 𝑥2 = 0, −→ (𝑦 + 𝑥)2= 0
De aquí, la línea y = -x es una solución rectilínea de y’.

24. Caso 3 - 2 (c): D < 0, ∆ < 0.
Por (3) no hay soluciones rectilíneas de
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑎1𝑥+𝑏1𝑦
𝑎2𝑥+𝑏2𝑦
. Y si α es
un ángulo satisfaciendo (3), entonces la familia de trayectorias
isogonales que cortan la familia de soluciones dadas en este
ángulo α medido desde la familia integral en sentido antihorario
hasta la familia de trayectorias, es una familia de elipses con
centro en el origen.
Si α = 0, la familia de soluciones de la ecuación original coincide
con la familia de trayectorias y por lo tanto también son elipses
con centro en el origen. Por eso si α = 0, cada curva integral
rodea el origen.
Sin embargo, si α ≠ 0, entonces cada curva integral (de la
ecuación principal) cortara la familia de trayectorias isogonales
de elipses, que son curvas integrales de (2), en este ángulo
constante α.

25. Ahora, si α ≠ 0, una integral curva también rodea a la original.
La ecuación de las familias de líneas rectas a través del origen es
𝑦 = 𝑚𝑥 ; 𝑦′
= 𝑚 (𝑎)
Reemplazando m en la segunda ecuación por x/y obtenido de la
primera ecuación se tiene
𝑦′ = 𝑚 =
𝑦
𝑥
(𝑏)
Siendo θ el ángulo de la intersección de la línea (a) y una integral
curva de (A), medida desde esta hacia la línea. Entonces, por análisis
de la formula geométrica:
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑦
𝑥
−
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦
1 +
𝑦
𝑥
+
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦
=
𝑏2
𝑦
𝑥
2
+ 𝑎2 − 𝑏1
𝑦
𝑥
− 𝑎1
𝑏1
𝑦
𝑥
2
+ 𝑎1 + 𝑏2
𝑦
𝑥
+ 𝑎2

26. Reemplazando (b) se tiene
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑏2𝑚2 + 𝑎2 − 𝑏1 𝑚 − 𝑎1
𝑏1𝑚2 + 𝑎1 + 𝑏2 𝑚 + 𝑎2
(𝑑)
Una integral curva de (A), por lo tanto, corta cada línea de (a) con el
ángulo θ. El numerador de la ecuación de arriba es:
𝑏2𝑚2 + 𝑎2 − 𝑏1 𝑚 − 𝑎1 (𝑒)
Y el discriminante es
𝑎2 − 𝑏1 2 − 4𝑎1𝑏2
El cual exactamente es el mismo que el discriminante ∆ de (1). Y que
se asumió que en este caso el ∆ < 0, la expresión encontrada
anteriormente es menor a cero. Por lo tanto, como se observa en (3),
hay valores no reales de m que hará (e) cero.

27. Ya que (e) es el numerador de (d), esto significa que el ángulo
en (d) nunca es igual a cero. Una integral curva de (A), ya que
corta cada línea recta que pasa a través del origen en un
ángulo θ ≠ 0, debe rodear el origen.
Por lo tanto, en ambos casos, un α = 0 y α ≠ 0, una curva
integral de (A) irá completamente alrededor del origen.
En el primer caso, encerrará el origen en forma de elipse. En el
segundo caso en la forma de espirales.
En ambos casos el origen es un punto singular.

28. Ejemplo: Discutir, sin resolver, el carácter de la solución de
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2𝑥 − 𝑦 + 1
𝑥 + 𝑦
Una traslación de los ejes la punto de intersección
−1
3
,
1
3
, se puede
transformar en
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
−2𝑥 + 𝑦
𝑥 + 𝑦
Comparándolo con (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑎1𝑥+𝑏1𝑦
𝑎2𝑥+𝑏2𝑦
), se ve que a1 = -2, b1 = 1, a2 = 1, b2 = 1.
Además, D < 0 y ∆ < 0. Se aplica el caso 3-2 (c)
𝑡𝑎𝑛𝛼 = −
2
3
, 𝛼 = −33.41°
Con este valor de 𝛼,evaluando en (2)
𝑦1′
=
−
2
3
− 2 𝑥 + −
2
3
+ 1 𝑦
1 −
4
3
𝑥 + 1 +
2
3
𝑦
=
−8𝑥 + 𝑦
−𝑥 + 5𝑦
La solución por el caso 2 es
8𝑥2
− 2𝑥𝑦 + 5𝑦2
= 𝑐

29. Se puede verificar que tenga solamente factores imaginarios. Una
rotación de los ejes un ángulo de 73°10’ se transforma en
4.7 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑐
La cual representa una familia de elipses. Unas pocas están
mostradas en la figura. Cada integral curva debe cortar a cada elipse
con un ángulo constante de -33°41’, medido desde la integral curva
hasta la elipse. Además, se muestra en la figura parte de la integral
curva en forma de espiral.

30. Posición de la partícula en función del tiempo
Anteriormente eliminamos el elemento importante del tiempo. Por
tanto, aunque hemos mostrado la apariencia general de la
trayectoria, en ausencia de una ecuación que conecte la posición
de la partícula con el tiempo, no podemos saber dónde está la
partícula en ningún instante. Para esto, volvemos a cambiar la
ecuación principal al sistema del que proviene
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦
Resolviendo esto con metodos, en notación de operadores,
podemos escribir:
𝐷 − 𝑎2 𝑥 − 𝑏2𝑦 = 0 𝐷 − 𝑏1𝑦 − 𝑎1𝑥 = 0

31. Siguiendo el método descrito en la Lección 31E. Resulta:
𝐷 − 𝑎2 𝑥 − 𝑏2𝑦 = 0
𝐷−𝑏1 𝐷−𝑎2
𝑏2
− 𝑎1 𝑥 = 0 –------------Reducida ----------
𝐷2 − 𝑎2 + 𝑏1 𝐷 + 𝑎2𝑏1 − 𝑎2𝑏2 𝑥 = 0
𝑚2
− 𝑎2 + 𝑏1 𝑚 + 𝑎2𝑏1 − 𝑎2𝑏2 𝑥 = 0 *Ecuación característica
Raices:
𝑚1 =
𝑎2 + 𝑏1 + (𝑎2 − 𝑏1)2+4𝑎1𝑏2
2
.
𝑚2 =
𝑎2 + 𝑏1 − (𝑎2 − 𝑏1)2+4𝑎1𝑏2
2

32. La solución es 𝑥 = 𝐶1𝑒𝑚1𝑡 + 𝐶2𝑒𝑚2𝑡
𝑥 = 𝐶1𝑒𝑚1𝑡
+ 𝐶2𝑒𝑚2𝑡
Depende de si el discriminante (a2 – b1)² + 4a1b2 es positivo,
cero o negativo
Sustituyendo este valor de x en 𝐷 − 𝑎2 𝑥 − 𝑏2𝑦 = 0 nos queda:
𝑦 =
1
𝑏2
[𝑐1 𝑚1 − 𝑎2 𝑒𝑚1𝑡
+ c2(m2 − a2)𝑒𝑚2𝑡
]
Por el Teorema 31.33, el par de funciones x(t), y(t) dadas en x ~ y.
Tienen el número correcto de dos constantes arbitrarias. El valor
de las constantes c1 y c2 dependerá de la posición de la partícula
en t = 0.
Las soluciones x(t), y(t) darán entonces la posición de la partícula
en t.