LECTURA INTRODUCTORIA. NOTAS SOBRE: MODELOS EN LA DINÁMICA DE SISTEMAS Y EL PROCESO DE CONSTRUCCIÓN -Fase 3: Representación del modelo.-

1. Lectura introductoria
NOTAS SOBRE MODELOS EN LA DINÁMICA DE SISTEMAS
Y EL PROCESO DE CONSTRUCCIÓN
-Fase 3: Representación del modelo.-
Material preparado por: Ma. Angélica Martínez Medina, MTI
Monterrey, N.L.
Febrero 2005
INTRODUCCIÓN
En esta lectura profundizaremos en la modelación matemática del modelo.
7.1. PROCESO PARA GENERAR UN MODELO DINÁMICO.
Fase 3: Representación del modelo (Pérez, 2003)
En la lectura pasada explicamos la necesidad de representar los modelos de manera
que la computadora puedan entenderlos.
Ahora conoceremos un poco cómo hace la computadora a través del simulador los
cálculs y operaciones para generar los comportamientos de las variables
representadas en nuestro modelo.
7.2. MODELACIÓN MATEMÁTICA: NIVELES (Pérez, 2003)
NIVELES: Los niveles representan las magnitudes que acumulan los resultados de
las acciones tomadas en el pasado.
Una característica común a todos los niveles es que cambian lentamente en
respuesta a la variación de otras variables.
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2. Lectura introductoria
Nota: Por definición, el programa de simulación utiliza el método de
integración de Euler. La ecuación significa que el valor de la variable de nivel
se calculará cada intervalo de tiempo sumándole a la variable de nivel el flujo
de entrada menos el de salida.
Los niveles acumulan o integran los flujos netos. La cantidad a afectar al nivel está
dada por el área bajo la curva del flujo neto entre el intervalo a considerar.
Los niveles solo cambian debido a los flujos.
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3. Lectura introductoria
Explicación:
En este ejemplo, el valor del
Nivel en t1 es S1.
Añadiendo el área bajo la
curva del flujo neto entre t1 y
t2 provocará que nivel crezca
de S1 a Ss
7.3. MODELACIÓN MATEMÁTICA: FLUJOS (Pérez, 2003)
FLUJOS: Las variables de flujo determinan las variaciones en los niveles del sistema.
Caracterizan las acciones que se toman en el sistema las cuales quedan acumuladas
en los niveles.
Donde:
TN Tasa normal
M(t) Variables que afecta tasa normal
N(t) Valor presente del nivel
M(t) = M1[V1(t) *M2[V2(t)]…Mk[Vk(t)]
Nota: TN significa la tasa de crecimiento de un sistema, y M representa todas
aquellas variables que regulan esa tasa normal. Imaginen que la tasa es el
valor estándar de crecimiento y M representa lo que va a regular ese flujo.
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4. Lectura introductoria
La pendiente de una línea tangente a cualquier punto de la trayectoria del nivel
equivale al flujo neto que provocó el cambio en dicho nivel.
En este ejemplo, la pendiente 1 de la
trayectoria del nivel en el tiempo t1
es R1, por lo que el flujo neto en ese
punto es R1
La pendiente 2 en el tiempo t2, la
pendiente R2 del nivel es mayor que
t1, por lo que el flujo neto es positivo
y se está incrementando
Ejemplo: ¿Cuál sería el cambio en el nivel dado este comportamiento del flujo neto?
Asumir que el nivel inicia en 100 unidades.
Utiliza la siguiente cuadrícula para escribir tu respuesta:
NOTA: Al final de la lectura viene la respuesta.
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5. Lectura introductoria
En resumen:
• El cambio neto en un nivel es la suma de todos los flujos de entrada menos la
suma de todos los flujos de salida.
• Matemáticamente, los niveles son la integral de los flujos netos.
• Los flujos netos son la derivada del nivel.
• Para que un nivel esté en equilibrio se requiere que la diferencia entre flujos
de entrada y salida sea 0.
7.4. MODELACIÓN MATEMÁTICA: VARIABLES (Pérez, 2003)
VARIABLES: Representan los pasos o etapas en las que se descompone el cálculo
de una variable de flujo a partir de los valores tomados por los niveles.
A = f(B) La variable A esta en función de la variable B.
El diagrama de bloques ya es en cierto sentido un modelo matemático, puesto que
cada uno de los bloques que intervienen en el mismo lleva asociado una ecuación
matemática que caracteriza la función realizada por dicho bloque.
Nota: Estas son generalmente las variables exógenas, y aquellos cálculos
intermedios que se requieran para una variable en particular.
7.5. MODELACIÓN MATEMÁTICA: ECUACIONES (Pérez, 2003)
ECUACIONES: A partir de las ecuaciones que rigen el comportamiento de las
distintas variables que intervienen en el modelo se obtiene la evolución del sistema.
Las ecuaciones del modelo se escriben de acuerdo con el método de integración
numérica que, normalmente, es el Método de Euler.
Secuencia de cálculos:
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6. Lectura introductoria
En este gráfico se observa que para calcular el nivel en el tiempo K se calculan los
flujos en el instante J-K. Por eso se mencionaba dentro de las características de los
niveles que estos acumulan acciones tomadas en el pasado.
7.6. MODELACIÓN MATEMÁTICA: SIMULACIÓN (Pérez, 2003)
Entonces, en un modelo de simulación para saber el valor de una variable en
cualquier punto en el tiempo se requiere saber sus valores anteriores.
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7. Lectura introductoria
¿Qué representa un dt?
En la simulación, el dt es tamaño de partición que va a utilizar el simulador para
realizar los cálculos. Normalmente se utiliza un dt de 1, a menos que se requiera
observar a mayor detalle lo que está pasando en la simulación.
Representación gráfica:
¿Qué es tiempo de simulación?
Es el período de tiempo a lo largo del cual se va a correr la simulación. Puede
definirse en minutos, semanas, años, etc., pero es importante asegurarse de que
todas las unidades sean equivalentes, haciendo las conversiones que sea necesario.
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8. Lectura introductoria
¿Cómo puedo determinar las relaciones matemáticas entre las variables?
El modelador conoce la herramienta y los conceptos, pero no necesariamente debe
conocer el comportamiento del sistema. Para tener el conocimiento de las relaciones
entre las variables del sistema debe acercarse a los expertos, a los conocedores del
mismo.
7.7. FUNCIONES DE VENSIM PLE
El paquete de simulación cuenta con muchas y muy variadas funciones que ayudarán
al modelador a definir el comportamiento de una variable de una manera más
sencilla. Entre las funciones de Vensim se encuentran las siguientes:
IF, THEN, ELSE
La variable tomará el valor que se especifique si se cumple la condición.
Sintaxis:
(variable temporal) = IF THEN ELSE (condicion, valor, valor)
Ejemplo:
x = IF THEN ELSE (Inv1 > 10, 400, 100)
DELAY
La variable tomará el valor que se especifique una vez que se ha cumplido el
tiempo especificado.
Sintaxis:
DELAY1I (valor a tomar, valor mientras espera, valor inicial)
Ejemplo:
x = DELAY1I(5,10,0)
Min, Max
La variable tomará el valor mínimo o máximo de una serie de valores.
Sintaxis:
MIN (exp1,exp2)
Ejemplo:
x = IF THEN ELSE (Inv1 > 10, 400, 100)
y = IF THEN ELSE (Inv1 > 15, 400, 50)
z = MIN (x,y)
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9. Lectura introductoria
Step
Sirve para representar incrementos en un intervalo de tiempo.
Sintaxis:
STEP (altura, step time)
Ejemplos:
Inventario = 10000 + STEP(5000,10)
Pulse Train
Sirve para representar cambios que ocurren a un dt de tiempo.
Sintaxis:
PULSE TRAIN (inicio, magnitud, tbetween, final)
Ejemplos:
A = PULSE(5,10,2, Tiempo final)
Nota importante:
Es importante que consultes otras fórmulas que proporciona el programa Vensim en
la ayuda.
REFERENCIAS UTILIZADAS:
Pérez Salazar, Gloria. Notas del profesor 7, Semana 7. Curso: si219. Septiembre
2004.
Ayuda del programa Vensim PLE.
Anexo:
Respuesta al ejercicio:
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