Este trabajo fue hecho de modo a explicar la inducción finita así como una breve historia de la teoría de números y su aplicación en la Criptografía.

1. INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCACIÓN “Dr. Raúl Peña”
Decreto de Creación Nº 31.003 del 16 de enero de 1968
Ley de Autonomía Institucional Nº 1.692 del 7 de Mayo del 2001
LICENCIATURA ARTICULADA
Módulo: Teoría de Números.
Alumna: Angela María Duarte Verdún.
Profesor: Mg.Gustavo Rivas.
Asunción-Paraguay
2012

2. INDUCCIÓN FINITA
Demuestra por el Principio de Inducción Finita que para todos los valores de
enteros y positivos se verifica:
Paso 1: La proposición es verdadera para
Paso 2:Hipótesis de Inducción
Se supone que es verdadera donde es un número natural cualquiera.
Paso 3:Tesis de Inducción: Se demuestra que es verdadera
Demostración
C.A

3. C.A
(Se factoriza utilizando el método de evaluación)
Como los divisores de 4 son:
1 6 9 4 -1
-1 -5 -4
1 5 4 0
1) DEFINICIONES:
 Postulado:
Es una proposición no tan evidente como un axioma pero que también se
admite sin demostración.
Ejemplo:-Hay infinitos puntos.
 Deducción:
El método deductivo: Es el usado en la ciencia y, principalmente, en la
Geometría. Este método consiste en encadenar conocimientos que se suponen
verdaderos de manera tal, que se obtienen nuevos conocimientos. Es decir,
obtener nuevas proposiciones como consecuencia lógica de otras anteriores.
No todas las propiedades son consecuencias de otras. Hay algunas que se
aceptan como ciertas por sí mismas: son los axiomas y postulados.
 Razonamiento inductivo
Tradicionalmente se consideraba (y en muchos casos todavía se considera)
que razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que consiste
en obtener conclusiones generales a partir de premisas que contienen datos
particulares o individuales. Por ejemplo, a partir de la observación repetida de
objetos o acontecimientos de la misma índole se establece una conclusión
general para todos los objetos o eventos de dicha naturaleza.
Consecuentemente la definición actual de inducción es más compleja e
incluye tipos de razonamiento que van más allá de la simple progresión de lo
particular a lo general. Esos tipos de razonamiento pueden ser descritos como
aquellos que indican algún tipo de apoyo o aval a la conclusión, pero no una
Implicación lógica. En otras palabras, son razonamientos que sugieren verdad,
pero no la aseguran. Más bien, las premisas de un razonamiento lógico
inductivo indican cierto grado de apoyo (probabilidad inductiva) para la
conclusión, pero no implicación.
Muchos consideran que, a pesar que la inducción no puede ser validada, dado
que expande nuestro conocimiento del mundo real, es parte indispensable del
científico. “La gran ventaja de la inducción no es que se puede justificar o
validar, como puede la deducción, pero que, con cuidado y un poco de suerte,
puede corregirse, como otros métodos no lo hacen."

4.  Principio del buen orden:
El principio del buen orden es un lema que establece que todo conjunto que
esté formado únicamente por números naturales tiene un primer elemento. Es
decir, que el conjunto de los números naturales es bien ordenado. El primer
elemento de los números naturales es 1.
 Teorema:
Es una proposición que puede ser demostrada. La demostración consta de un
conjunto de
razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición.
En el enunciado de todo teorema se distinguen dos partes:
 la hipótesis, que es lo que se supone, y
 la tesis que es lo que se quiere demostrar.
Ejemplo: La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale dos rectos.
HIPÓTESIS.A, B Y C son los ángulos interiores de un triángulo
TESIS. La suma de los ángulos A, B y C vale dos rectos.
En la demostración se utilizan los conocimientos adquiridos hasta aquel
momento, enlazados de una manera lógica.
 Corolario:
Es una proposición que se deduce de un teorema como consecuencia del
mismo.
Ejemplo. Del teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo
es igual a dos rectos, se deduce el siguiente corolario: La suma de los
ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale un recto.
 Conjunto:
Es toda colección perfectamente definida de objetos. Cada uno de los objetos
recibe el nombre de elemento del conjunto.
Que una colección esté perfectamente definida quiere decir que se puede
discernir sin ningún género de duda si un objeto determinado pertenece o no a
la colección. Así, por ejemplo, no hay ninguna duda en conocer cuáles son los
alumnos de una determinada clase, las naciones de América, los libros de una
biblioteca o los componentes de una familia. En cambio, si consideramos los
libros interesantes que hay en la librería de un amigo, difícilmente podremos
ponernos de acuerdo sobre la pertenencia de undeterminado libro a esta
colección. Por consiguiente diremos que esta última colección no está
perfectamente definida.
Los elementos de un conjunto pueden representarse escribiendo sus elementos
entre llaves o bien mediante Diagramas de Venn, y al conjunto se le suele
indicar con una letra mayúscula.

5.  Conjunto Vacío:
Cuando un conjunto expresado por una propiedad característica no tiene
objeto que la cumpla se llama conjunto vacío y se la representa del siguiente
modo:
1. ORIGEN
Breve historia de la teoría de números
Prehistoria
Podemos decir que la teoría de números empezó con el matemático griego
Diofanto de Alejandría en el siglo III d.c. Diofanto escribió trece libros (siete
de los cuales se han perdido) dedicados a la resolución de ecuaciones
algebraicas, intentando dar métodos para encontrar sus soluciones enteras o
racionales. Algunos ejemplos de los problemas que trataba en su libro son:
¿Qué números son suma de dos números al cuadrado? ¿Qué números son
suma de tres números al cubo?
Pero la contribución (indirecta) más importante de Diofanto fue a partir de la
traducción al latín de los seis primeros libros con el nombre de Aritmética en
1621porC.G.Bachet.
Esta traducción fue la que inspiró al verdadero padre de la teoría de números,
Pierre de Fermat.
Fermat (1601-1665)
Pierre de Fermat es uno de los matemáticos más importantes de la historia.
Aunque de hecho no era matemático "profesional" sino juez. Vivió durante la
mayor parte de su vida en Toulouse, dedicándose en las horas libres a las
matemáticas. Entre los resultados más importantes que obtuvo podemos
destacar la invención (junto con Descartes) de las ahora llamadas coordenadas
cartesianas, que permiten "traducir" los problemas geométricos a problemas
algebraicos.
Pero los resultados que le han hecho más famoso fueron sin duda los que
obtuvo trabajando inspirado en el libro de Diofanto, que dieron origen a la
teoría de números. Aunque debido a
la forma de trabajar de Fermat, que no publico sus resultados en vida y solo

6. divulgaba a
través de cartas a sus amigos y colegas, tenemos pocas indicaciones de cuales
eran sus métodos para resolver los problemas.
Entre los resultados más conocidos que obtuvo (o anunció) hay:
El llamado "Pequeño teorema de Fermat": Para todo número
primo
p y para todo número natural a no divisible por p tenemos que p
divide a ap-1
1.
El resultado más famoso de Fermat en la actualidad no es de hecho un
resultado suyo, aunque se le denomina el "ultimo teorema de Fermat". Parte
de su fama es debida a la manera como
formuló el resultado y también porque se han tardado más de 350 años para
darle la razón. La historia empieza después de su muerte en que su hijo
publico la edición que tenia Fermat del libro de Diofanto junto con las
anotaciones originales de Fermat. En una de ellas, concretamente al margen de
la parte en que Diofanto habla de las ternas pitagóricas, Fermat dejo escrito el
siguiente enunciado (traducido al lenguaje moderno):
Para cualquier número natural n mayor o igual que 3, la ecuación:
A + B = C
No tiene soluciones (naturales) salvo que A, B o C sean cero.Y añade: Tengo
una demostración maravillosa de este resultado pero este margen es
demasiado estrecho para contenerla.
A partir de ese momento muchos de los matemáticos más importantes de la
historia intentaron demostrarlo sin éxito has que recientemente, en 1994,
Andrew Wiles consiguió demostrar este resultado; aunque no con los métodos
que podía conocer Fermat. Queda aún la duda si Fermat tenía o no la
demostración de este Teorema.
2. TEORÍA DE NÚMEROS-CONCEPTO:
La teoría de números es una parte del álgebra en la que se estudian las
operaciones en el conjunto de los números enteros (Z), que no arrojan
resultados fuera de dicho conjunto. Esta condición hace que por ejemplo
las operaciones división y raíz queden fuera, ya que pueden producir
resultados no enteros.
La teoría de números es la rama de matemáticas puras que estudia las
propiedades y de las relaciones de los números Según esta amplia
definición, la teoría de números incluye gran parte de las matemáticas, en
particular del análisis matemático. Sin embargo, normalmente se limita al
estudio de los números enteros y, en ocasiones, a otros conjuntos de
números con propiedades similares al conjunto de los enteros.
La teoría de números contiene una cantidad considerable de problemas
que son "fácilmente

7. comprendidos por los no matemáticos". De forma más general, este campo
estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros. Según los
métodos empleados y las preguntas que se intentan contestar, la teoría de
números se subdivide en varias ramas.
En la teoría elemental de números, se estudian los números enteros sin
emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas.
Pertenecen a la teoría elemental de números la divisibilidad, el algoritmo
de Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de los
enteros como producto de números primos, la búsqueda de los números
perfectos y las congruencias.
-APLICACIONES:
Teoría de números en criptografía
La principal aplicación de la criptografía es proteger información para evitar
que sea accesible a observadores no autorizados. Sin embargo, también tiene
otras aplicaciones, por ejemplo verificar que un mensaje no haya sido
modificado intencionadamente por un tercero, verificar que alguien es quien
realmente dice ser, etc. El objetivo del trabajo es mostrar cómo la matemática
juega un papel importante en la criptografía moderna y como ésta aprovecha
los problemas difíciles (en el sentido computacional) que existen en la teoría
de números para desarrollar protocolos criptográficos.
La criptografía es el estudio de las técnicas matemáticas relacionadas con los
aspectos de seguridad de la información tal como: la confidencialidad, la
integridad de datos, la autenticidad y el no rechazo. Desglosemos brevemente
tales aspectos:
a) La confidencialidad es usada para guardar el contenido de información,
donde sólo las personas autorizadas pueden saberlo.
b) La integridad de datos se refiere a la alteración no autorizada de datos.
c) La autenticación es relacionada con la identificación.
d) El no rechazo impide a una entidad negar los compromisos o acciones
anteriores.
Hay dos tipos de criptografía: criptografía simétrica o de clave privada y
criptografía asimétrica o de clave pública. La criptografía de clave pública
se desarrolló en los años setenta y utiliza complicados algoritmos matemáticos
relacionados con teoría de números, curvas elípticas, grupos infinitos no
conmutativos, teoría de gráficas, teoría del caos, etc. De hecho en la siguiente
sección definiremos los conceptos básicos de la criptografía simétrica y
asimétrica, así como os protocolos de clave pública más utilizados como lo
son el rsa, para cifrar y firma digital, y el Diffie-Hellman para intercambio de
claves.

8. Ejemplo
Algoritmo rsa
Este algoritmo es de clave pública y debe su nombre a sustres inventores:
Rivest Ron, Shamir Adi y Adleman Leonard.
La descripción del esquema es la siguiente:
a)Elegimos dos números primos p y q suficientemente grandes, y tomamos
n = p.q.
b) Buscamos e tal que sea primo con φ(n) = (p − 1)(q − 1).
c) Como e y φ(n) son primos entre sí, entonces existe un d tal que:
e • d ≡ 1(mod φ(n) = n + 1 − p − q), donde d se puede calcular mediante el
algoritmo de Euclides.
d) Definimos
Ee(x) = xe mod n función de cifrado
Dd (y) = yd mod n función de descifrado x, y ∈ Zn.
• Clave pública: (e, n)
• Clave privada: (d, p, q).
Cualquiera que conozca p, q y d podrá descifrar los mensajes del propietario
de la clave (de hecho en este caso basta conocer p y q para romper el sistema).
Cabe mencionar que la justificación de este esquema depende sólo del hecho
de que xed+1 ≡ x mod n para cualquier entero libre de cuadrado n. Además
de estos datos hemos de fijar la longitud de bloque: a saber, la longitud del
bloque que vamos a cifrar y longitud del bloque cifrado.
Por ejemplo,
Si elegimos dos primos p = 281 y q = 167, entoncesn = 281 • 167 = 46927
yφ (n) = (281 − 1)(167 − 1)= 46480. Buscamos e y d tales que e • d ≡ 1 mod
φ (46927),
digamose = 39423 y d = 26767. Así la clave pública será: (39423, 46927) y la
clave privada será: (26767, 281, 167).
Supongamos que vamos a cifrar bloques de dos letras en bloques de tres letras
y que queremos cifrar HOLA utilizando un alfabeto de 36 símbolos, a saber
Σ = {1, 2, 3,..., 9, A, B, C,..., Z}
El procedimiento refiere los siguientes pasos:
a) Asignamos a cada letra un número según el alfabeto, en este caso:
HOLA; (17, 24, 21, 10).
b) Bloques a cifrar: (17, 24) y (21, 10).
c) Expresamos ambos bloques como un número en base 36:
(17, 24) = 17 • + 24 • 36 = 881
(21, 10) = 21 • + 10 • 36 = 381
d) Elevamos estos números a la e-ésima potencia y tomamos el residuo
módulo 46927:
88139423 ≡ 45840 mod 46927
38139423 ≡ 26074 mod 46927.
e) Expresamos estos números en base 36, teniendo en cuenta que vamos a
tener tres componentes:

9. 45840 = 12 • + 13 • 36 + 35 • = (12, 13, 35)
26074 = 10 • + 4 • 36 + 20 • = (10, 4, 20)
f) Según el alfabeto considerado a cada número le asignamos una letra: (12,
13, 35);
CDY (10, 4, 20); A4K
g) Por lo tanto el mensaje cifrado es CDYA4K.
h) Para descifrar habría que hacer el mismo proceso, pero partiendo de
bloques de tres letras y terminando en bloques de dos letras, después aplicar la
función de descifrado
Dd (y).
Para romper este esquema de cifrado lo podemos intentar de varias formas: A
fuerza bruta, intentando resolver cualquiera de los dos logaritmos discretos:
45840d ≡ 881 mod 46927 26074d ≡ 381 mod 46927}
o resolviendo:
e • d ≡ 1 mod φ (46927),
Lo cual equivale a conocer φ (46927), que a su vez equivale a conocer la
factorización en números primos de 46927.Aún no se conoce un algoritmo en
tiempo polinomial que factorice, en primos, números lo suficientemente
grandes.