Universidad Nacional de Ingeniería 7 ciclo FIEE

1. PROPAGACION Y RADIACION
ELECTROMAGNETICA II
Miguel Delgado Le´on
28 de Julio del 2005

2. Cap´ıtulo 1
Cavidades cilindrica
1.1 Campos electromagn´eticos en la cavi-
dad cilindrica
Las cavidades cilindricas es una G.O. cilindrica, con los extremos cer-
rados por paredes conductoras y que se alimentan por un agujero medi-
ante una sonda, dentro de la cavidad se rellena de un material diel´ectrico
con µ y ε o del espacio libre. La secci´on transversal es circular de radio
a y altura d. Los campos electromagn´eticos en una cavidad cilindrica
pueden expresarse como:
⃗E(ρ, ϕ, z) = Eρ(ρ, ϕ, z) ˆρ + Eϕ(ρ, ϕ, z) ˆϕ + Ez(ρ, ϕ, z) ˆz (1.1)
y
⃗H(ρ, ϕ, z) = Hρ(ρ, ϕ, z) ˆρ + Hϕ(ρ, ϕ, z) ˆϕ + Hz(ρ, ϕ, z) ˆz (1.2)
Aplicando las ecuaciones de Maxwell (ley de Gauss) ∇ · ⃗E(r) = 0, en
coordenadas cilindricas, tenemos:
1
ρ
∂(ρEρ)
∂ρ
+
1
ρ
∂ Eϕ
∂ϕ
+
∂ Ez
∂z
= 0 (1.3)
y para la ley de Gauss magn´etico ∇ · ⃗H(r) = 0:
1
ρ
∂(ρHρ)
∂ρ
+
1
ρ
∂ Hϕ
∂ϕ
+
∂ Hz
∂z
= 0 (1.4)
Aplicando las otras ecuaciones de Maxwell, ley de Faraday y Ampere-
Maxwell:
∇ × E(r) = −j ω µ H(r) ∇ × H(r) = j ω ε E(r) (1.5)
1

3. 2 CAP´ITULO 1. CAVIDADES CILINDRICA
en coordenadas cilindricas, obtenemos un total de 6 ecuaciones (queda
como tarea), combinando estas seis ecuaciones obtenemos:
(
ω2
µε +
∂2
∂z2
)
Eρ = −j
ωµ
ρ
∂Hz
∂ϕ
+
∂
∂z
∂
∂ρ
Ez (1.6)
(
ω2
µε +
∂2
∂z2
)
Eϕ = jωµ
∂Hz
∂ρ
+
1
ρ
∂
∂z
∂
∂ϕ
Ez (1.7)
(
ω2
µε +
∂2
∂z2
)
Hρ = j
ωε
ρ
∂Ez
∂ϕ
+
∂
∂z
∂
∂ρ
Hz (1.8)
(
ω2
µε +
∂2
∂z2
)
Hϕ = −jωε
∂Ez
∂ρ
+
1
ρ
∂
∂z
∂
∂ϕ
Hz (1.9)
Se observa de las ecuaciones anteriores que las componentes transver-
sales Eρ, Eϕ, Hρ y Hϕ, dependen de las componentes longitudinales Ez
y Hz, por lo tanto, es posible dividir la soluci´on en dos grupos: modos
TM cuando Hz = 0 y Ez ̸= 0 y los modos TE cuando Ez = 0 y Hz ̸= 0
1.2 Estudio de los Modos TM Ez ̸= 0
Reemplazando (1.6) y (1.7) en (1.3) y simplificando, tenemos la sigu-
iente ecuaci´on diferencial:
1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂ Ez
∂ρ
)
+
1
ρ2
∂2
Ez
∂ϕ2
+
∂2
Ez
∂z2
+ ω2
µε Ez = 0 (1.10)
Utlizando la t´ecnica de separaci´on de variables, es decir Ez(ρ, ϕ) es un
producto de tres funciones R(ρ), Φ(ϕ) y Z(z):
Ez(ρ, ϕ) = R(ρ)Φ(ϕ)Z(z) (1.11)
Reemplazando en (1.11) en (1.10) y simplificando, obtenemos:
1
R ρ
d
d ρ
(
ρ
d R
d ρ
)
+
1
ρ2 Φ
d2
Φ
d ϕ2
−k2
c
+
1
Z
d2
Z
d z2
−k2
z
+ω2
µε = 0 (1.12)
Para resolver la E.D., los dos primeros t´erminos deben ser igual a una
constante (−k2
c ) y el tercer t´ermino igual a otra constante (−k2
z). Para
Z obtenemos la soluci´on facilmente Z(z) = c1cos(kzz) + c2sen(kzz).
Tambi´en tenemos la relaci´on de dispersi´on:
k2
c + k2
z = ω2
µε (1.13)

4. 1.2. ESTUDIO DE LOS MODOS TM EZ ̸= 0 3
De los dos primeros t´erminos de (1.12) obtenemos la siguiente E.D.
ρ
R
d
d ρ
(
ρ
d R
d ρ
)
+ k2
c ρ2
m2
+
1
Φ
d2
Φ
d ϕ2
−m2
= 0 (1.14)
De esta E.D. obtenemos dos nuevas E.D.
1
Φ
d2
Φ
d ϕ2
= −m2 ρ
R
d
d ρ
(
ρ
d R
d ρ
)
+ k2
c ρ2
= m2
De las ecuaciones anteriores, la primera es f´acil de resolver cuya soluci´on
es:
Φ(ϕ) = b1 cos(m ϕ) + b2 sen(m ϕ) m = 0, 1, 2, · · · (1.15)
Reordenando la segunda ecuaci´on se llega a:
ρ
d
d ρ
(
ρ
d R
d ρ
)
+ R(k2
c ρ2
− m2
) = 0
que es la ecuaci´on diferencial de Bessel cuya soluci´on es:
R(ρ) = a1Jm(kc ρ) + a2Ym(kc ρ) m = 0, 1, 2, · · · (1.16)
donde Jm(kc ρ) es la funci´on de Bessel de primera clase y orden m y
Ym(kc ρ) es la funci´on Bessel de segunda clase, tambi´en es conocida
como la funci´on de Neumann, La funci´on Ym(kc ρ) es indeterminado
cuando ρ → 0. La posible soluci´on para la cavidad resonante cilindrica
de radio a es:
Ez(ρ, ϕ) = E0Jm(kc ρ)
{
cos(mϕ)
sen(mϕ)
} {
cos(kz z)
sen(kz z)
}
m = 0, 1, · · ·
(1.17)
Las condiciones de frontera son:
Ez(ρ = a) = 0 =⇒ Jm(kc a) = 0 Dirichlet (1.18)
∂Ez
∂z
|z=0,d= 0 Neumann (1.19)
de la primera condici´on se tiene muchos ceros para kcmn de la condici´on
de frontera de Neumman se llega a:
Z(z) = cos(kzz), donde kz =
lπ
d
, y l = 0, 1, 2, · · · (1.20)

5. 4 CAP´ITULO 1. CAVIDADES CILINDRICA
Entonces la soluci´on definitiva es de la forma:
Ez(ρ, ϕ) = E0Jm(kc,mn ρ)
{
cos(mϕ)
sen(mϕ)
}
cos(
lπ
d
z) (1.21)
donde m = 0, 1, · · ·, n = 1, 2, · · · y l = 0, 1, · · ·.Para cada m, n y l
se tiene una soluci´on, por tanto, se tiene muchas soluciones, a cada
soluci´on se le llama modo y se representa como TMmnl. La relaci´on de
dispersi´on (1.13), teniendo en cuenta (1.18) y (1.20) se transforma en:
ω2
µε = k2
c,mn + k2
z =
(
pmn
a
)2
+
(
lπ
d
)2
(1.22)
1.2.1 Frecuencia de Resonancia del modo TMmnl
La frecuencia de operaci´on de la onda debe cumplir la relaci´on de dis-
persi´on (1.22), es decir debe tener un valor particular, por esta raz´on
se le conoce como la frecuencia angular de resonancia ω = ωr. La
frecuencia de resonancia en Hz (de (1.22)) ser´a:
fr,mnl =
√
k2
c,mn + k2
z
2π
√
µε
=
√
(pmn/a)2 + (lπ/d)2
2π
√
µε
Hz a, d en m.
(1.23)
Tambi´en
fr,mnl =
15
√
(pmn/a)2 + (lπ/d)2
π
√
εr
GHz a, d en cm. (1.24)
La longitud de onda de resonancia se define como frλr = c
λr =
2π
√
(pmn/a)2 + (lπ/d)2
m. (1.25)
1.3 Estudio de los Modos TE Hz ̸= 0
Procediendo en forma similar que para los modos TM llegamos a:
Hz(ρ, ϕ) = H0Jm(kc,mn ρ)
{
cos(mϕ)
sen(mϕ)
}
sen(
lπ
d
z) (1.26)
donde m = 0, 1, · · ·, n = 1, 2, · · · y l = 1, 2, · · ·.Para cada m, n y l
se tiene una soluci´on, por tanto, se tiene muchas soluciones, a cada
soluci´on se le llama modo y se representa como TEmnl. La condici´on
de frontera es de Neumman:
∂Hz
∂ ρ
|ρ=a= 0 =⇒ J′
m(kc a) = 0 (1.27)

6. 1.4. FACTOR DE CALIDAD Q 5
1.3.1 Frecuencia de Resonancia del modo TEmnl
La relaci´on de dispersi´on ahora es:
ω2
µε =
(
p′
mn
a
)2
+
(
lπ
d
)2
(1.28)
y la frecuancia de resonancia y longitud de resonancia ser´a:
fr,mnl =
√
(p′
mn/a)2 + (lπ/d)2
2π
√
µε
Hz a, d en m. (1.29)
o
fr,mnl =
15
√
(p′
mn/a)2 + (lπ/d)2
π
√
εr
GHz a, d en cm. (1.30)
La longitud de onda de resonancia se define como frλr = c
λr =
2π
√
(p′
mn/a)2 + (lπ/d)2
m. (1.31)
1.4 Factor de calidad Q
El factor de calidad Q, de una cavidad resonante, es una medida del
ancho de banda de la cavidad resonante. Se puede definir como:
Q = 2π
Energ´ıa media temporal almacenada en la cavidad
Energ´ıa disipada en un periodo
(1.32)
En otras palabras:
Q = 2π
W
PLT
= ω
W
PL
(1.33)
donde:
W = We + Wm =
1
4
ε
∫
v
| E |2
dv +
1
4
µ
∫
v
| H |2
dv (1.34)
en el estudio de cavidades rectanguleres se demostr´o que:
W = 2We =
1
2
ε
∫
v
| E |2
dv (1.35)
Las p´erdidas en las paredes de la cavidad son:
PL =
1
2
Rs
∫
s
| Htang |2
ds (1.36)

7. 6 CAP´ITULO 1. CAVIDADES CILINDRICA
Existen f´ormulas desarrolladas del procedimiento anterior que se pro-
porcionan a continuaci´on:
Q =
a
δ
[
1 −
(
m
p′
mn
)2
] [
p′2
mn +
(
lπa
d
)2
]
p′2
mn + 2a
d
(
lπa
d
)2
+
(
1 − 2a
d
) (
mlπa
p′
mnd
)2 caso TEmnl (1.37)
Q =
a
δ
d
d + 2a
caso TMmnl para l > 0 (1.38)
Q =
a
δ
d
d + a
caso TMmnl para l = 0 (1.39)
Ejemplo Demostrar a) que el factor de calidad Q para el modo TM010
en una cavidad cilindrica de radio a y altura d esta dado por la f´ormula
(1.37) b) para a = 2 cm y d = 4 cm determine Q
Soluci´on a) El campo el´ectrico dentro de la cavidad es:
Ez = E0 J0(kc 01 ρ) con condici´on J0(kc 01 a) = 0 (1.40)
De (1.6), hasta (1.8) se encuentra que Eρ = 0, Eϕ = 0 y Hρ = 0. De
(1.9) obtenemos:
Hϕ = −
j
ωµ
E0
d
d ρ
J0(kc 01 ρ) = −
j
ωµ
E0 J′
0(x)kc,01; x = kc 01 ρ (1.41)
Utilizando la identidad conocida:
Jm+1(x) =
m
x
Jm(x) − J′
m+1(x)
para m = 0 J1(x) = −J′
0(x), entonces:
Hϕ =
j
ωµ
E0 J1(x) kc,01 (1.42)
Ahora calculamos la energ´ıa promedio de (1.33)
W =
1
2
ε0
∫ a
0
∫ 2π
0
∫ d
0
E2
0 J2
0 (kc01ρ)ρ dρ dϕ dz
Se resuelve utilizando la siguiente identidad (Nikolski) para m = 0:
∫ a
0
ρ J2
m(kc mn ρ)dρ =
a2
2
[(
1 −
m2
x2
)
J2
m(x) + J
′2
m(x)
]
; x = kcmn a

8. 1.4. FACTOR DE CALIDAD Q 7
Llegamos a:
W =
1
2
πε0dE2
0 a2
J2
1 (kc01a) (1.43)
Las p´erdidas en las paredes se calculan de (1.34), en la superficie lateral
del cilindro PL1:
PL1 =
Rs
2
∫ d
0
∫ 2π
0
E2
0
ω2µ2
0
J2
1 (kc01a)adϕ dz =
Rs
ω2µ2
0
E2
0 J2
1 (kc01a)πadk2
c01
(1.44)
Las p´erdidas PL2 en las tapas superior e inferior (queda como tarea)
PL2 =
Rs
ω2µ2
0
E2
0 J2
1 (kc01a)πa2
k2
c01 (1.45)
Reemplazando en (1.31) obtenemos:
Q =
ωεdaω2
µ2
2Rs(a + d)k2
c,01
(1.46)
simplificando obtenemos:
Q =
ωµad
2Rs(a + d)
=
ad
δ(a + d)
(1.47)
b) La frecuencia de resonancia se determina con (1.23)
fr =
p01
2πa
√
µ0ε0
=
2.405 × 3 × 108
2π × 0.02
= 5.7415 GHz
δ =
1
√
πfµcgc
=
1
√
π × 5.7415 × 109 × 4π × 10−7 × 5.8 × 107
= 8.7215×10−7
Finalmente el factor de calidad Q
Q =
ad
δ(a + d)
=
0.02 × 0.04
8.7215 × 10−7(0.02 + 0.04)
= 15288

9. 8 CAP´ITULO 1. CAVIDADES CILINDRICA

10. Contenido
1 Cavidades cilindrica 1
1.1 Campos electromagn´eticos en la cavidad cilindrica . . . . 1
1.2 Estudio de los Modos TM Ez ̸= 0 . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Frecuencia de Resonancia del modo TMmnl . . . . 4
1.3 Estudio de los Modos TE Hz ̸= 0 . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Frecuencia de Resonancia del modo TEmnl . . . . 5
1.4 Factor de calidad Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
9