Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales de cálculo vectorial como curvas planas, ecuaciones paramétricas, ecuaciones de rectas y planos en el espacio tridimensional. Incluye ejemplos y problemas típicos sobre estas nociones geométricas.

1. Calculo vectorial
Trabajo de investigación
Unidad 2 y 3
Nombre del Profesor:
Miguel Ángel López Ensastiga
Nombre de los integrantes:
Gonzales Osorno Vicente
Hernández nava Andrés
Nuñes córdoba José David
25/MAYO/2013
TURNO: MATUTINO
GRUPO: 3SIS1

2. UNIDAD 2
Curvas en R2 y
Ecuaciones
Paramétricas

3.  2.1 Ecuación paramétrica de la línea recta
 La recta constituye una parte fundamental de las matemáticas. Existen numerosas formas de
representar una recta, lo que incluye tanto la forma para métrica como la vectorial. Un espacio
tridimensional puede ser utilizado para determinar una ecuación vectorial que denote una línea
recta. El parámetro es sencillamente una variable cuyo objetivo principal es describir una
relación particular con la ayuda de los parámetros.
 Por tanto, una ecuación para métrica es una ecuación que está basada en una variable en
particular. Una ecuación para métrica en términos generales, se conoce también como
representación para métrica Ejemplo: Considere la ecuación x = 2 + 3t. En esta ecuación, t
denota el parámetro y la ecuación se conoce como ecuación para métrica en términos de t.
Si así consta, por lo general, las ecuaciones de la forma x = x0 + ta; y = y0 + tb; z = z0 + tc
representan las ecuaciones para métricas de línea recta. Para conseguir un punto particular en
la recta, todo lo que tenemos que hacer es tomar el valor de t de cualquiera de las ecuaciones
e insertarlo en otra ecuación. Como resultado, obtenemos las coordenadas reales de un punto
determinado en la recta.
 Consideremos un ejemplo con el fin de encontrar una ecuación para métrica para una recta
entre los puntos (−1, 3) y (1, 1).
Paso 1: De los puntos dados en el enunciado, elija uno como punto inicial. Consideremos a
(−1, 3) como punto inicial.
Paso 2: Ahora, tomemos las coordenadas x para los rangos indicados. Es posible observar que
−1 está a 2 unidades de distancia del 1. Por tanto, x = −1 + 2t
Paso 3: Del mismo modo, teniendo en cuenta las coordenadas y para los rangos indicados, es
posible ver que el 3 está a −2 unidades de distancia del 1. Por tanto, y = 3 - 2t.
 Por consiguiente, las ecuaciones para métricas para la recta entre los puntos (−1, 3) y (1, 1)
son x = −1 + 2t e y = 3 - 2t. Otra forma de ecuación para métrica en el campo del cálculo
vectorial se denomina ecuación vectorial. El cálculo de la ecuación vectorial se basa en el
concepto del cálculo de la ecuación para métrica.
 Por ejemplo: Suponga que queremos encontrar una ecuación vectorial para una línea entre los
puntos (−1, 3) y (1, 1).
Se procede de la siguiente manera:
Paso 1: De los puntos dados en el enunciado, elija uno como punto inicial. Consideremos a
(−1, 3) como punto inicial.
Paso 2: Un vector de dirección es calculado. Es el vector que muestra movimiento desde el
punto inicial hasta el punto final.
 Ahora, con el fin de alcanzar al punto (1, 1), debemos mover a x e y a 2 y −2 unidades,
respectivamente. Por tanto, el vector de dirección viene a ser (2, −2).
Paso 3: Por consiguiente, la ecuación vectorial toma la forma de: (−1, 3) + (2, −2) t.
La principal diferencia entre la ecuación para métrica y la vectorial de la recta es el hecho de
que con la ayuda de la ecuación vectorial de la recta, la forma del vector es conocida, mientras
que la forma para métrica ayuda a conocer las coordenadas reales del punto.

4.  2.2 Curvas planas.
CURVA PLANA
Una curva plana es aquella que reside en un solo plano y puede ser abierta o cerrada. La
representación gráfica de una función real de una variable real es una curva plana.
Una curva geométrica mente hablando diremos que intuitivamente, es el conjunto de puntos que
representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve; si se usa el término
curva por oposición a recta o línea poligonal, habría que excluir de esta noción los casos de,
aquellas líneas que cambian continuamente de dirección, pero de forma suave, es decir, sin formar
ángulos. Esto las distingue de las líneas rectas y de las quebradas. Estarían fuera de esta noción
los casos de movimiento rectilíneo. Sin embargo, utilizando la definición matemática, una línea
recta es un caso.
Particular de curva.Curva: Es el caso límite de poligonal en que los saltos discretos de los
segmentos son infinitesimales. También en este caso se dice curva plana, también llamada de
simple curvatura por el ángulo de contingencia, si tienetodos sus puntos en un mismo plano; y
curva alabeada, llamada de doble curvatura por los dos ángulos el de contingencia y el de torsión,
en caso que todos sus puntos no estén en un mismo plano.
A continuación se van a definir las principales características de las curvas planas. La recta
secante de una curva es la que une dos puntos de la curva separados una distancia finita. El orden
de una curva es el número máximo de puntos de corte con una secante. En la figura se muestra
una curva de 4° orden.
La recta tangente a una curva en un punto es el límite a que tiende la secante cuando los dos
puntos de corte tienden a confundirse. De esta forma la tangente puede ser de primera especie
cuando el punto de tangencia está quieto y el otro se aproxima al primero, de segunda especie
cuando los dos puntos se aproximan simultáneamente hacia el de tangencia.

5. La clase de una curva es el número máximo de tangentes que se pueden trazar desde un punto
exterior. Por ejemplo, la circunferencia es una curva de clase dos.
La recta normal a una curva es la perpendicular a la tangente por el punto de tangencia. Según
esta definición por un punto de la curva existirán infinitas normales. Para las curvas planas la más
importante de estas normales es la coplanaria con la curva, que es la normal principal.
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada una separadamente,
están expresadas en función de la misma tercera variable. Según esto, designando por la letra z la
tercera variable, comúnmente llamada variable paramétrica, estas ecuaciones se representan en la
siguiente forma general:
x = F (z)
y = F (z)
Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva
perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos.
Trazado de una curva dadas sus ecuaciones paramétricas.
En forma directa se le asignan valores ordenados al parámetro con lo cual las ecuaciones
paramétricas determinan los valores correspondientes a x, y, que representan las coordenadas de
un punto de la curva. Uniendo los puntos así determinados resulta una curva, que es la
representación gráfica de las ecuaciones para métricas.

6.  Ecuaciones de una recta en el espacio.
Sea A(a1, a2, a3) un punto cualquiera del espacio tridimensional y un vector del
mismo. La ecuación de la recta que pasa por el punto A y tiene la dirección del vector , puede
adoptar las siguientes formas:
a. Vectorial:
Donde son los vectores de posición (con origen en el centro de coordenadas) de un
punto genérico de la recta y del punto A respectivamente, y t es un parámetro al que dando valores
cualesquiera vamos obteniendo diversos de los infinitos puntos de la recta.
Gráficamente la situación es la representada en la figura siguiente:
b. Paramétricas:
Adoptan la forma:
c. Continua:

7. d. Explícitas:
Que representan la recta como la intersección de dos planos en el espacio.
 Problemas típicos sobre las ecuaciones de la recta.
a. Recta que pasa por dos puntos A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3):
Tomamos A como punto base de la recta y el vector
como vector director con lo que ya podemos escribir las paramétricas y derivar de ellas las
demás formas.
b. Determinar si tres puntos A, B y C están alineados:
Escribimos la ecuación de la recta que pasa por dos de ellos y comprobamos si el tercero
satisface dicha ecuación.
c. Recta que corta a otras dos r y s, perpendicularmente:
Ponemos r y s en paramétricas.
Obtenemos de cada una un punto genérico (A y B respectivamente) y el vector director
respectivo .
Hallamos las componentes del vector .
Como este vector ha de ser ortogonal a , los productos escalares siguientes
erán nulos:
Y del sistema de ecuaciones formado podemos despejar los dos parámetros.
Sustituyendo los valores hallados para los parámetros en las expresiones genéricas de A y
B, obtenemos estos puntos.
Calculamos la recta que pasa por A y B como se ha descrito en el apartado b)

8.  Ecuaciones del plano en el espacio.
Para determinar un plano en el espacio necesitamos conocer:
1. Un punto del mismo A y dos vectores directores linealmente independientes .
2. Tres puntos A, B y C no alineados.
3. Un punto A y un vector normal al plano.
Las diferentes formas de ecuaciones del plano en el espacio afín tridimensional son:
a. Vectorial:
Donde en la siguiente figura se observa el significado de cada uno de los elementos y p, q
son dos parámetros dando valores a los cuales obtenemos sucesivos puntos del plano:
b. Paramétricas:
c. Implícita o general:
Donde el vector es perpendicular (normal) al plano.
d. Segmentaría o canónica:
Si el plano corta a los ejes de coordenadas en los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la
ecuación adopta la forma:

9.  Problemas típicos de ecuaciones del plano.
1. Recta que pasa por un punto y es perpendicular a un plano.
El vector normal al plano es el vector director de la recta.
2. Ecuación del plano determinado por tres puntos A, B y C:
Basta tomar como base uno de los puntos, por ejemplo el A y los vectores
como directores. O bien resolver el sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas (A, B y C) formado al sustituir las coordenadas del los tres puntos en la ecuación
general del plano buscado, después de haber obtenido uno de los coeficientes como
unidad.
3. Ecuación de un plano paralelo a otro por un punto dado:
Al ser los dos planos (el dado y el buscado) paralelos, ambos tendrán el mismo vector
normal, por lo que bastará escribir iguales los coeficientes A, B y C de la ecuación implícita
y determinar D sustituyendo las coordenadas del punto dado.
4. Plano que contiene a una recta r y a un punto A exterior a la recta:
Hallamos un punto B de r y su vector director . Entonces el punto A lo tomamos como
base y los vectores como directores del plano.
5. Haz de planos secantes a una recta:
Dada la recta:
Los infinitos planos que pasan por ella (haz de planos de arista r) son:
Donde para cada valor del parámetro obtenemos un plano del haz.

10.  Posiciones relativas de dos rectas.
Sean las rectas:
Al tratar de encontrar los posibles puntos de intersección de ambas hay que resolver el sistema de
4 ecuaciones con tres incógnitas:
Y según el Teorema de Rouché, teniendo en cuenta que y que ,
siendo A y B las matrices de los coeficientes y ampliada respectivamente, pueden ocurrir los
siguientes casos:
. Sistema incompatible. Las rectas se cruzan en el espacio.
. Sistema compatible y determinado. Las rectas se cortan en un único
punto.
. Sistema incompatible. Las rectas son paralelas.
. Sistema compatible e indeterminado con un grado de libertad. Las rectas son coincidentes.

11.  Posiciones relativas de una recta y un plano.
Sean la recta y el plano:
Al tratar de resolver el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
Pueden darse los siguientes casos:
. Sistema compatible y determinado. La recta y el plano se cortan en un
único punto.
. Sistema incompatible. La recta y el plano son paralelos.
. Sistema compatible e indeterminado con un grado de libertad. La recta está contenida en el
plano.

12.  Posiciones relativas de dos planos.
Sean los planos:
Al tratar de resolver el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas:
Pueden darse los siguientes casos:
. Sistema compatible e indeterminado. Los planos se cortan en una recta.
. Sistema incompatible. Los planos son paralelos.
. Sistema compatible e indeterminado con dos grados de libertad. Los planos son coincidentes.

13.  Posiciones relativas de tres planos.
Del estudio del sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que forman las ecuaciones
implícitas de los tres planos, podemos obtener los siguientes casos:
. Sistema compatible e indeterminado con 2 grados de libertad. Los 3 planos coinciden:
. Sistema incompatible. Los planos son, o dos coincidentes y el otro paralelo, o los tres paralelos:
Sistema compatible e indeterminado con un grado de libertad. Los planos se cortan en una recta
los tres o bien, dos son coincidentes y el otro se corta con ellos en una recta:

14. Sistema incompatible. Los planos pueden ser dos paralelos y otra secante a ambos o los tres
formando una superficie prismática:
. Sistema compatible y determinado. Los tres planos se cortan en un único punto:

15.  Distancia entre dos puntos.
La distancia entre los puntos A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3) es:
 Distancia de un punto a una recta.
Si A es un punto de la recta y su vector director y además P es el punto exterior, la distancia de
P a r es:
Siendo el numerador el módulo del producto vectorial.
 Distancia de un punto a un plano.
Sean:
Y P(p1, p2, p3)
La distancia entre ambos es:
 Distancia entre dos rectas.
Si las rectas son secantes o coincidentes, su distancia es nula. Si son paralelas o se cruzan puede
ocurrir:
paralelas: basta calcular un punto de una de ellas y la distancia entre él y la otra.
Se cruzan: Sean A y B dos puntos de r y s respectivamente y
Sus vectores directores, se tiene que:
Siendo el numerador el módulo del producto mixto y el denominador el
módulo del producto vectorial.

16.  Distancia de una recta a un plano.
Es la distancia entre un punto de la recta y el plano (sólo en el caso de que ambos sean paralelos),
pues en los demás casos la distancia es nula.
 Distancia entre dos planos.
Si no son paralelos la distancia es nula. Si lo son, la distancia se calcula obteniendo un punto del
primero y averiguando su distancia hasta el segundo.
 Ángulo de dos rectas.
Si las rectas son secantes o se cruzan, el ángulo será el mismo que el formado por sus vectores
directores y habrá de cumplir:
 Ángulo de recta y plano.
Si la recta es secante al plano el ángulo que forman es el complementario del que forman el vector
normal al plano y el director de la recta, esto es:
 Ángulo de dos planos.
Si son secantes es ángulo es el mismo que formen sus vectores normales, es decir:

17.  Problemas típicos en el espacio métrico.
1. Área del paralelogramo ABCD
Será:
2. Área del triángulo ABC:
3. Volumen del paralelepípedo ABCDEFGH:
4. Volumen del tetraedro ABCD:

18.  Simetrías.
a. Simétrico de un punto A respecto a una recta:
Hallamos el plano perpendicular a r por A
Hallamos el punto M de corte de la recta con el plano.
Hallamos A' con la condición de que M sea el punto medio del segmento AA'.
a. Simétrico de un punto respecto a un plano:
Hallar la recta r perpendicular al plano por A.
Hallar el punto M de corte de r con el plano
Hallar A' con la condición de que M es el punto medio del segmento AA'.

19.  2.3 Ecuaciones paramétricas de algunas curvasy su representación
gráfica.
 ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Si en la ecuación vectorial se sustituyen los vectores por sus coordenadas, queda así:(x, y) =
(p1,p2) + t (d1,d2)
Expresando por separado cada coordenada se obtiene las ecuaciones paramétricas:
(x,y) son las coordenadas de un punto cualquiera desconocido de la recta
(p1,p2) son las coordenadas de un punto conocido de la recta
(d1,d2) son las coordenadas de un vector paralelo a la recta
tes un parámetro. Para cada valor que le demos a t se obtiene un punto (x,y) de la recta.
La recta queda determinada por un punto fijo P0 y un vector ^v = a^i + b^j + c^k, el conjunto de los
puntos P, tales que PoP es paralelo a ^v, es decir, que satisfacen d(P0, P) = t^v para algún número
real t.
Si r = OP y r0 = OP son los vectores de posición de P y P0, respectivamente, entonces:
P0P = t^v
P0P = r – r0
r = r0 + t^v (1)
Si escribimos r = (x, y ,z) y r0 = (x0, y0. z0) e igualamos los componentes en (1) tenemos,
x = x0 + at; y = y0 + bt ; z = z0 + ct

20. Y éstas se denominan ecuaciones paramétricas
Si despejamos t de las ecuaciones paramétricas obtenemos las ecuaciones simétricas o
estándar:
(X – x0) / a = (y – y0) / b = (z – z0) / c
 2.4 Derivada de una función dada paramétricamente.
El siguiente teorema nos proporciona las condiciones necesarias para obtener la derivada
de una función dada en forma paramétrica.
Teorema
Sean f y g funciones derivables supongamos que f tiene una inversa
Derivable en ese intervalo.
Entonces en cada punto donde f‘(+) 0, las ecuaciones,
implican
que existe una función derivable F tal que, y además

21.  Ejemplos:
1. Determine
Solución:
Por el teorema anterior se tiene que
Luego:
Por lo que
2. Determinar los puntos de la curva con ecuaciones en los que es cero la pendiente de la recta
tangente a la curva.
Solución:
Recuerde que la pendiente de la recta tangente está dada por.
Como entonces
La pendiente de la recta tangente es cero cuando, en este caso
 2.5 Coordenadas polares.

22. DEFINICION: Las Coordenadas son grupos de números que describen una posición: posición a lo
largo de una línea, en una superficie o en el espacio. La latitud y longitud o la declinación y
ascensión recta, son sistemas de coordenadas en la superficie de una esfera: en el globo de la
Tierra o en el globo de los cielos.
Las coordenadas polares.- se definen por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada
es la distancia entre el origen y el punto considerado, mientras que la segunda es el ángulo que
forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.En muchos casos, es útil utilizar las
coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos
otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede resultar muy complicado, hacer uso
de las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos mucho la vida.
Otra forma de determinar numéricamente un vector es indicando su intensidad y el ángulo que
forma con el eje de abcisas: son las coordenadas polares de un vector. Al determinar sus
coordenadas cartesianas es inmediato, ya que en la figura x= r*cos(deg) y y=r*sen(deg), donde r
es la intensidad del vector y deg el ángulo que forma con el eje de abcisas.
Las coordenadas cartesianas (x, y) no son la única forma de designar un punto P en el plano con
un par de números. Existen otras formas y pueden ser más útiles en circunstancias especiales.
Un sistema (llamado de "coordenadaspolares") usa la longitud r de la línea OP desde el origen
hasta P y el ángulo que forma esa línea con el eje x. Los ángulos se denominan, a menudo, con
letras griegas y aquí seguimos las convenciones designándolo como (f griega). Observe que
mientras en el sistema cartesiano x e y tiene roles muy similares, aquí están divididos: r denota la
distancia y la dirección.
Las dos representaciones están muy relacionadas. De las definiciones de seno y coseno:
x = r cos
y = r sin
Esto permite que (x, y) se deduzcan de las coordenadas polares. Para ir en sentido inverso y
deducir (r, ) de (x, y), observe que de las ecuaciones superiores o del teorema de Pitágoras se
puede deducir r:
r
2
= x
2
+ y
2
Una vez que se conoce r, el resto es fácil
cos = x/r
sin = y/r
Estas relaciones solo fallan en el origen, donde x = y = r = 0. En ese punto,  está indefinido y se
puede escoger para él lo que uno quiera.

23. En el espacio tridimensional, la designación cartesiana (x, y, z) es exactamente simétrica, pero
algunas veces es conveniente seguir el sistema de coordenadas polares y designar la distancia y
la dirección por separado. La distancia es fácil: se toma la línea OP desde el origen hasta el punto
y se mide su distancia r. también puede deducirse del teorema de Pitágoras, como en este caso:
r2
= x2
+ y2
+ z2
 2.6 Graficación de curvas planas en coordenadas polares.

24.  GRAFICAS DE ECUACIONES POLARES.
Veamos la siguiente gráfica:
De ella podemos decir que x = rCos( ) , y = rSen( ), por tanto, podemos representar el punto P(x,
y)mediante otro sistema denominado coordenadas polares que toma en cuenta la magnitud r y el
ángulo , así, el punto P(x, y) lo podemos escribir como P(r, ).

25. UNIDAD 3
Funciones
vectoriales
de una variable
real

26.  3.1 Definición de función vectorial de una variable real.
Utilizando coordenadas cartesianas, una función vectorial A( t ) es un vector dependiente de la
variable escalar t y definido en el espacio x, y, z, o sea:
A( t ) = Ax( t )i + Ay( t )j + Az( t )k
Por lo tanto todos los conceptos y definiciones de las funciones ordinarias son aplicables a las
funciones vectoriales haciéndolo a cada una de las componentes del vector.

27.  Definición de una función vectorial
Es la colección de pares ordenados (t,V) donde t es un número real y V es un vector de tercera
dimensión. Como es usual, no hay dos pares que tengan el mismo primer elemento.
Es una representación de una fuerza par que se grafica independientemente de las variables
dependientes o constante ahí considerada
Consiste en una representación de una integral indefinida en el plano cartesiano con muchas
variables aleatorias que se tienen que tomar en consideración
Tenemos que pensar que las variables de una función no se pueden definir desde un patrón de
comportamiento de comportamiento eminentemente probabilística
No se pude considerar como una definición categórica de las variables involucradas en el tema
visto con anterioridad sin perder de vista la fase en tercera dimensión.
 Definición de una función vectorial
Es un conjunto de pares ordenado, donde nunca se repite el primer elemento
Es una fuerza centrípeta que genera un solo primer elemento de distorsión
Es una relación equipolente de varias variables con relación a una función cartesiana.
Es una sola fuerza que actúa en el plano de tres dimensiones con variables aleatorias constantes
No se puede considerar una definición acertada que se pueda comparar con las demás
 Definición de función vectorial
Se concederá un conjunto de pares ordenado, donde el primer electo no se repite
Se concederá una fuerza centrípeta que tiene como centro de gravedad una variable
Se concederá una integral doble en combinación de una solo transformada de la place
Se toma en cuenta las características de la las funciones impares y pares y su punto de inflexión
E solamente tiene en cuenta las fases de los puntos de inflexión y concavidades

28.  Definición de función vectorial
Dado dos pares ordenado de puntos, no pueden tener el mismo primer elemento
Dado una fuerza desconocida no puede saberse el punto de aplicación de tal punto
Dado una integral definida no se puede conocer el proceso de integración
Dado una permutación es posible asociar una idea de una variable disfuncional
Con ese criterio no se puede conocer la variable aleatoria simple de la transformación
 Definición de función vectorial
Contiene una colección de pares ordenados, donde no se puede tener un mismo primer elemento.
Se puede tomar como una combinación circular que nos da una trasformada de la place
Es una fuerza que tiene que ver mucho con el movimiento de los planetas del sistema
Es una relación de fuerzas encontradas que tiene que parecerse a las probabilidades aleatorias
No se puede definir con absoluta certeza de los conceptos que se tiene en este momento
 3.2 Graficación de curvas en función de parámetro t

29. El sistema de coordenadas polares no es muy diferente de un sistema de coordenadas
Cartesianas. Mientras en un sistema de coordenadas Cartesianas tenemos una cuadrilla
rectangular de rectas verticales y horizontales que representan los ejes x e y respectivamente, en
un sistema de coordenadas polarestenemos un polo en el centro el cual es equivalente al origen en
el sistema de coordenadas Cartesianas, y tenemos muchos círculos concéntricos que tienen su
origen en el polo y algunas rectas que pasan por el polo formando ángulos diferentes en el mismo.
La longitud de estas rectasforma la coordenada radial del sistema, es decir, ‘r’ y el ángulo en el
cual subtienden con respecto al eje x forma las coordenadas polares del sistema, esto es, t, el cual
está en radianes. Por lo tanto, el sistema de coordenadas polares está representado por un par de
coordenadas tales como (r, t).
Una curva polar sólo puede ser graficada en un sistema de coordenadas polares para alcanzar
precisión. Trazar una curva polar es muy parecido a trazar una curva Cartesiana. Es necesario
tomar en cuenta dos técnicas mientras grafica una curva polar, la primera, y bastante frecuente, es
el trazado de los puntos y, la segunda, comprobar la simetría de la curva.
La mayor parte de las curvas polares son simétricas en los cuadrantes opuestos y por tanto,
pueden graficarse completamente solo por simetría. El trazado del punto se realiza de forma similar

30. al del sistema de coordenadas Cartesianas. En un sistema de coordenadas Cartesianas, se calcula
sencillamente la salida de la curva para diferentes valores de x, y en un sistema de coordenadas
polares calculamos la salida de la curva para diferentes valores de t. La salida son los diferentes
valores de r.
Existen algunas pruebas que pueden realizarse con el fin de comprobar la simetría de la curva:
1. Calcule la salida de la curva para un valor opuesto de t, el cualya esté trazado. Si el valor resulta
ser equivalente a la salida del valor real de t, entonces la curva es simétrica respecto al eje polar.
2. Sustituya t con un valor opuesto a ella y, r con un valor opuesto al mismo. Si el resultado es una
ecuación equivalente como la anterior, la curva dada es simétrica con respecto a t = / 2.
3. Sustituya a r con un valor opuesto al mismo. Si el resultado es una ecuación equivalente igual a
la anterior, la curva dada es simétrica alrededor del polo.
Existen varias curvas que son estudiadas fundamentalmente bajo este sistema. Algunas de estas
son loscardiodes, los caracoles de Pascal, la Rosa polar, la espiral equiangular etc.
 3.3 Derivación de funciones vectoriales y suspropiedades.

31. El cálculo aplicado a las funciones Cartesianas puede ser extendido también para ser aplicable a
las funciones vectoriales. Como ya sabemos una función vectorial, es en realidad, una función
compuesta de varias funciones constituyentes. Cada una de estas funciones constituyentes es una
función independiente que determina el efecto del cambio de variable en su dirección
correspondiente, y el efecto general del cambio de variable puede ser conocido a través de la
función compuesta, esta es la función vectorial.
Puesto que una función vectorial es una función compuesta, esta no puede ser diferenciada
directamente, en lugar de diferenciarla, necesitamos diferenciar cada una de sus funciones
constituyentes por separado. Las técnicas utilizadas para integrar una función Cartesiana se
pueden aplicar para diferenciar una función vectorial debido a que las funciones constitutivas de la
misma son funciones valoradas reales.
Asuma que es la función vectorial que será diferenciada para obtener dr/dt o . Aquí la
diferenciación se lleva a cabo con respecto al tiempo „t‟ porque una función valorada vectorial se
define con respecto a la variable tiempo.Entonces la derivada de esta función se denota como,
lim = [ (t + h) - (t)]/ h
Los conceptos del cálculo Cartesiano son aplicables aquí también, lo que significa que esta
derivada de la función vectorial representaría la tangente a la curva de la función dada en algún
punto.
Hay ciertas cosas que deben tenerse en cuenta mientras se diferencia la función: 1. (t) es real en el
tiempo t sólo existe una derivada de en „t‟.
2. Para un intervalo abierto (a, b) si el valor de (t) existe en cada punto, entonces podemos decir
que la función dada es diferenciable para ese intervalo.
Al considerar los límites de un lado esta diferenciación se puede extender también al intervalo
cerrado.
Ahora diferenciemos una función valorada vectorial.
(t) = t cos (t), −2 sin (t)>
f(t) = t cos (t) g(t) = −2 sin (t) d(f(t))/ dt = cos (t) – t sin (t) d(g(t))/ dt = −2 cos (t) (t) = <cos (t) – t sin
(t), −2 cos (t)
Existen ciertas propiedades de la derivada de una función vectorial. Algunas de ellas se analizan a
continuación.
Asuma que y son dos funciones vectoriales cuya derivada se puede determinar en el instante de
tiempo „t‟. También que es una función valorada real que puede ser diferenciada en el instante de
tiempo „t‟, y que s es una cantidad escalar. Entonces,
1. La diferenciación del producto de una cantidad escalar con una función vectorial es producto de
esa cantidad escalar con la derivada de la función vectorial.
2. La diferenciación de la suma de dos funciones vectoriales valor es igual a la suma de las
derivadas de las dos funciones vectoriales.

32. Esta regla también es aplicable a la diferencia de dos funciones valoradas vectoriales.
3. La diferenciación del producto de una función vectorial y una función valorada real es igual a la
suma del producto de la función real con la derivada de la función vectorial y la derivada de la
función real con la función vectorial.
 3.4 Integración de funciones vectoriales.
 Integrales.

33. (4.49)
 Integración vectorial
Si un vector a es función de un escalar t, y sus componentes son funciones integrables, se define
la integral indefinida de a(t)como
De manera que, en general,
En donde c es un vector arbitrario y constante (que no depende de t).
La integral definida de la misma función vectorial a(t) entre los límitesa y b será
De manera que, en general,
 3.5 Longitud de arco.
 Longitud de arco

34. Vamos a calcular la longitud de una curva en un intervalo cuya derivada sea
continuaen ; a esta porción de gráfica se le llama arco.
Para aproximar la longitud del arco s se va a usar ahora segmentos de recta que aproxime la
longitud en cada intervalo.
Se hace una partición (puede ser regular) del intervalo ;
para P y para P de
manera que el segmento P P tiene longitud calculada por el teorema de Pitágoras
Si se suma la longitud de cada segmento, P P P P ,., P P se obtiene una
aproximación a la longitud total s.
Para poder ahora tomar el límite de la suma cuando la norma de la partición
, utilizaremos que la función es derivable y continua en
(condición que se puso para que fuera un arco) y por lo tanto lo es en cada subintervalo
por lo que satisface el teorema del valor medio.
Luego existe tal que remplazando

35. s . Si
s
 Ejemplo 1:Encontrar la longitud del segmento de parábola en el intervalo
s . Resolviendo ahora con
s
(Unidades lineales)
 Ejemplo 2 : Encontrar la longitud de la curva
Como y no es contínua en el intervalo propuesto, podemos utilizar el hecho de que la
longitud de la curva será la misma para (es prácticamente utilizar la inversa) y
ahora con lo cual s que es la calculada en el ejemplo1.
 Ejemplo 3: Calcular la longitud de la curva para

36. Pero no se puede encontrar antiderivada de por lo tanto se
puede
Aproximar con algún método numérico como Regla de Simpson con , o (ejercicio)
Si llamamos s(x) la función longitud de arco para un arco
s(x) s s
 3.6 Vector tangente, normal y binormal.

37. VECTOR TANGENTE, NORMAL Y BINORMAL
Vector tangente unitario y vector normal unitario principal: sea C una curva en el espacio descrita por r (t) =
f (t) + g (t) +H (t) k, en donde f g y h tienen segundas derivadas.
Vector tangente unitario
T = r‟ (t) / r´ (t)
Vector binormal unitario.- Vector unitario definido mediante B = T X N
Los tres vectores unitarios T, N, B forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales de
orientación derecha, llamado triedo móvil
Radio de curvatura.-El reciproco de la curvatura, p = 1/k se llama radio de curvatura. El radio de curvatura en
un punto p de una curva es el radio de una circunferencia que se ajusta a la curva mejo que cualquier otra.
Por ejemplo, un automóvil que recorre una pista curvada. Puede considerarse que se mueve
sobre una circunferencia.

38.  3.7 Curvatura.
En la forma cartesiana
La expresión cartesiana de la curvatura de la curva es:
En la forma paramétrica
La expresión paramétrica de la curvatura formando la curva como es:
 3.8 Aplicaciones.

39. Las relaciones entre rapidez, longitud de arco y aceleración hacen acto de presencia en muchos
problemas prácticos de física y de ingeniería, en particular cuando actúa una fuerza de rozamiento.
Supongamos un móvil de masa “m” en contacto con un objeto estacionario, la fuerza total
requerida para producir una aceleración “a” a lo largo de una cierta trayectoria es
La porción de esta fuerza que es ejercida por el objeto en reposo se llama fuerza de rozamiento(o
de fricción).Así, si un automóvil toma una curva a una velocidad constante, la carretera ejerce una
fuerza de rozamiento que impide que el automóvil se salga de ella. Si el coche no desliza, la fuerza
de rozamiento es perpendicular a la dirección del movimiento y su magnitud es igual a la
componente normal de la aceleración. La fuerza de rozamiento en una curva puede aumentarse
peraltando la carretera.
NmaTmaN
dt
ds
mkT
dt
sd
mmaF nt
2
2
2
)()(