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- 1. ATEMÁTICAS:2 Cuadernodetrabajo:SECUNDARIA SECUNDARIA MATEMÁTICAS: 2 Cuaderno de trabajo BASADO EN EL PROGRAMA OFICIAL Silvia García Peña • Armando Solares Rojas • Jesús Rodríguez Viorato ASESOR PEDAGÓGICO: María de los Dolores Lozano Suárez
- 2. Dirección de contenidos y servicios educativos Elisa Bonilla Rius Gerencia editorial Hilda Victoria Infante Cosío Edición Uriel Jiménez Herrera Asesor pedagógico María de los Dolores Lozano Suárez Autores Silvia Garcia Peña, Armando Solares Rojas y Jesús Rodríguez Viorato Corrección Abdel López Cruz, Esther del Valle Padilla, Ezequiel Ortiz Hernández Dirección de Arte Quetzatl León Calixto Diseño Gráfico Factor 02 Diseño de Portada Claudia Adriana García, Quetzatl León Diagramación Juan Espinosa Peña, Brenda López Romero Ilustración Eliud Reyes Reyes Fotografía © 2010 Thinkstock, Archivo SM, Yina Garza, Elia Pérez, Ricardo Tapia, Carlos Vargas Producción Carlos Olvera, Teresa Amaya Cuaderno de trabajo. Matemáticas 2 SERIE APRENDIZAJES Y REFUERZO Primera edición, 2010 D. R. © SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2010 Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D.F. Tel.: (55) 1087 8400 www.ediciones-sm.com.mx Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 2830 No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright. Impreso en México/Printed in Mexico
- 3. 3 PRESENTACIÓN: Este cuaderno de trabajo se diseñó como un complemento de tus clases y de tu libro de matemáticas para brindarte la oportunidad de repasar y practicar las técnicas que vas aprendiendo; resolver nuevos problemas, enfrentarte a más desafíos y conocer datos interesantes acerca de las matemáticas. En suma, para que puedas aprender más. Algunos ejercicios y actividades tal vez te parezcan fáciles mientras que en otros deberás pensar un poco más para llegar a la respuesta correcta. Si no logras resolver una actividad, te recomendamos que sigas con las demás y en otro momento vuelvas a intentarlo. Igual que tu libro, este cuaderno de trabajo se ha dividido en cinco bloques. En cada bloque hay varias lecciones, conformadas por grupos de ejercicios y actividades sobre algún contenido del programa. A su vez, dichas lecciones están divididas en diferentes partes: • “Repasemos”. Aquí encontrarás ejercicios sencillos con los que podrás practicar las técnicas estudiadas en la lección o repasar las nociones aprendidas. Esta sección sólo se incluye en los contenidos que así lo requieren. • “Problemas y ejercicios”. Aquí podrás resolver situaciones diferentes a las de tu libro, que te permitirán seguir aplicando los conocimientos aprendidos. Estos ejercicios y problemas están ordenados del más sencillo al más difícil; sin embargo hay que tener en cuenta que este orden es relativo, pues a veces lo que para alguien es sencillo para otro no lo es. Los problemas marcados con un icono son aquellos que consideramos más difíciles. Esta sección es la única que está en todas las lecciones del cuaderno. • “Y algo más...” Esta parte es como un cajón de sastre: hay de todo. En ella hallarás acertijos, nuevos retos y desafíos, propiedades interesantes o datos históricos relacionados con las matemáticas. Por cada contenido de tu libro de texto hay un grupo de actividades en el cuaderno de trabajo; excepto para los de “Justificación de fórmulas”, pues los ejercicios y problemas sobre este tema se concentraron en el apartado de “Aplicación de fórmulas”. Esperamos que disfrutes este material, que lo vivas como una oportunidad más para practicar, avanzar y profundizar en tus habilidades y conocimientos matemáticos. LOS AUTORES
- 4. 4 GUÍA DE USO: Entrada de bloque En esta página se indican los aprendizajes que esperamos que adquieras a lo largo del bloque. Recuadro de conocimientos y habilidades Aquí se enuncia el conocimiento y habilidad que ejercitarás. Repasemos En esta sección practicarás las técnicas aprendidas, que utilizarás en las actividades de la siguiente sección. LA QUÍMICA, LA TECNOLOGÍA Y TÚ 7 BLOQUE 1 Aprendizajes esperados Se espera que los alumnos… 1. Resuelvan problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones de números con signo. 2. Justifiquen la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero. 3. Resuelvan problemas de conteo mediante cálculos numéricos. 4. Resuelvan problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de cantidades. 5. Interpreten y construyan polígonos de frecuencia. BLOQUE 1 59 REPASEMOS 1. Resuelve las siguientes ecuaciones. Comprueba tus soluciones. a) 100x 5 x b) x 80 2 x c) 9 3(x 1) x d) 20 2 4x x e) 7(1 2x) 35 x f) 5x 8 4x x g) 3x 6 4x 5 x h) 3x 4 2x 1 x i) 2.1x 1 x 11.1 x j) 5x 14 19 6x x 2. Toma aire y respira... ¡Aquí viene otra lista de ecuaciones! Resuélvelas y comprueba tus soluciones. a) 6x 3 x 5(1 x) 6 x b) 2.3x 2 12.3x 2.8x 6 x c) 2(x – 3) 5x = 4x 9 x d) 3(x 2) x 7(2x 1) 3 x e) 10 x 13 x f) x – 1__ 2 3__ 5 x 3x – 5 (2x – 1) x 3. ¡Unas más! Las siguientes ecuaciones incluyen expresiones fraccionarias. Resuélvelas. Usa la propiedad de los productos cruzados cuando lo necesites. No olvides comprobar tus soluciones. a) 5 3x 10 1 x x b) 2 x 1 3 x c) 1 3 x x 4 x d) x 4 5 x 6 3 x 4. Cuando se usa álgebra para resolver problemas, es necesario representar el problema usando el lenguaje del álgebra. A continuación, se presentan ejercicios para representar algebraicamente algunos enunciados. a) Si n representa un número, ¿cuál de las siguientes expresiones representa al doble de ese número? Subráyala. n n n2 ÁLGEBRA, ECUACIONES Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + bx + c = dx +ex + f y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros o fraccionarios, positivos o negativos. 3.2LECCIÓN 3.2 40 REPASEMOS 1. Con base en la información que del siguiente rectángulo, contesta. a) ¿Cuánto mide cada una de las partes señaladas con signo de interrogación? b) ¿Cuál es el área del rectángulo? 2. Simplifica las siguientes expresiones. a) 3(x 2) 2 (4 3x) b) 3 (a 2b)c) 3 (x 5) d) 4 (a 2b) 2 (2a b) e) 2x (x 2) f) n (n 1) (n 2)g) (a b) (c d) h) 12 (n 3)PROBLEMAS Y EJERCICIOS 3. El área de un rectángulo es 2x2 4x. ¿Cuáles pueden ser las medidas del rectángulo? Largo: Ancho:4. El perímetro de un rectángulo es 2x2 4x. ¿Cuáles pueden ser las medidas del rectángulo? Largo: Ancho:5. El área del paralelogramo es igual al área del trapecio. Encuentra el valor de a. 6. Los siguientes sólidos tienen el mismo volumen. PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS QUE IMPLICAN EL USO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas. 2.2 3b 1 5a 4 2a 2 ? ? b a a a 12 cm 10 cm 3 cm a 8 cm 6 cm 6 cm 6 cm LECCIÓN 2.2
- 5. 5 Problemas y ejercicios Aquí resolverás situaciones diferentes a las de tu libro de texto y seguirás aplicando los conocimientos aprendidos. Estos problemas y ejercicios están ordenados del más sencillo al más difícil. Los problemas marcados con el icono tienen mayor grado de dificultad. Y algo más... Este apartado es como un cajón de sastre: hay de todo. Hallarás acertijos, nuevos desafíos, propiedades interesantes o datos históricos relacionados con las matemáticas. 106 11.Un abuelo dijo a su nieto: "La suma de nuestras edades es 64 años y dentro de 6 años mi edad será el triple de la tuya”. ¿Cuántos años tienen actualmente? Abuelo: Nieto: 12.Una empresa combinará dos tipos de café para obtener 50 kg de una mezcla nueva. Combinará el tipo Premium, que cuesta $10.00 el kilogramo, y el tipo Estándar, que cuesta $7.50 el kilogramo. Se quiere que el costo de la mezcla nueva sea de $9.00 por kilogramo. ¿Cuántos kilogramos de cada tipo debe combinar? Premium: Estándar: 13.El ácido sulfúrico es una sustancia altamente corrosiva, por esa razón se disuelve en agua para manejarlo sin demasiado peligro. En un laboratorio quieren obtener 30 litros de ácido sulfúrico al 60% de concentración para ello mezclarán dos concentraciones distintas: una al 80% y la otra al 40%. ¿Cuántos litros de cada concentración deben mezclar para obtener la concentración deseada? Litros de ácido al 80%: Litros de ácido al 40%: 14.En una ciudad 3__ 4 de los hombres están casados con 1__ 2 de las mujeres. En esa ciudad todos son monógamos y no se casan con forasteros. a) ¿Cuál es la fracción de hombres solteros? ¿Y de mujeres solteras? b) ¿Cuál es la razón de habitantes solteros (hombres y mujeres solteros) respecto al total de habitantes de la ciudad? Y ALGO MÁS… 15.En muchos lugares de la antigüedad se desarrolló el conocimiento matemático que dio origen al algebra. Uno de esos lugares es India. Alrededor del siglo XII de nuestra era, el matemático y astrónomo indio Bhâskara usó los nombres de los colores para representar distintas incógnitas. Por ejemplo, para representar tres incógnitas podía usar los colores negro, azul y amarillo (o calaca, nîlaca y pîtaca, por sus nombres en sánscrito, lengua que se hablaba en India en esa época). Esto le permitió plantear y resolver sistemas de ecuaciones con muchas incógnitas. A continuación, se presenta un sistema de ecuaciones usando tres colores para representar tres números desconocidos, como lo habría hecho Bhâskara. calaca nîlaca pîtaca 60 calaca nîlaca pîtaca 2 calaca nîlaca a) ¿Crees que se pueda resolver este sistema de ecuaciones? b) Si piensas que se pueda, encuentra la solución. calaca = nîlaca = pîtaca = 40 REPASEMOS 1. Con base en la información que del siguiente rectángulo, contesta. a) ¿Cuánto mide cada una de las partes señaladas con signo de interrogación? b) ¿Cuál es el área del rectángulo? 2. Simplifica las siguientes expresiones. a) 3(x 2) 2 (4 3x) b) 3 (a 2b)c) 3 (x 5) d) 4 (a 2b) 2 (2a b) e) 2x (x 2) f) n (n 1) (n 2)g) (a b) (c d) h) 12 (n 3)PROBLEMAS Y EJERCICIOS 3. El área de un rectángulo es 2x2 4x. ¿Cuáles pueden ser las medidas del rectángulo? Largo: Ancho:4. El perímetro de un rectángulo es 2x2 4x. ¿Cuáles pueden ser las medidas del rectángulo? Largo: Ancho:5. El área del paralelogramo es igual al área del trapecio. Encuentra el valor de a. 6. Los siguientes sólidos tienen el mismo volumen. PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS QUE IMPLICAN EL USO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas. 2.2 3b 1 5a 4 2a 2 ? ? b a a a 12 cm 10 cm 3 cm a 8 cm 6 cm 6 cm 6 cm LECCIÓN 2.2 Alrededor del sigl Bhâskara usó los nombres Por ejemplo, para repres azul y amarillo (o calaca que se hablaba en India sistemas de ecuaciones c un sistema de ecuaciones desconocidos, como lo ha a) ¿Crees que se pued b) Si piensas que se calacacc = día usar los colores negro, scrito, lengua 70 8. Con pentágonos regulares y rombos es posible cubrir el plano. Sin medir, contesta lo siguiente. a) ¿Cuánto miden los ángulos del rombo rojo? b) ¿Cómo lo supiste? c) ¿Cuánto miden los ángulos del rombo azul? d) ¿Cómo lo supiste? Y ALGO MÁS… Los recubrimientos en el plano, llamados mosaicos o teselados, dan lugar a ver- daderas obras de arte. Prueba de ello son los mosaicos de Escher, de la Alham- bra y de Penrose. Te recomendamos que busques en Internet más imágenes de mosaicos o tesela- dos de Escher. Sólo tienes que usar un buscador y escribir "buscar imágenes de Escher". Te sorprenderá la belleza del trabajo de este artista gráfico y observarás el amplio uso de la geometría en toda su obra. M.C. Escher's “Circle Limit IV”. © 2010The M.C. Escher Company-Holland.Allrights reserved. www.mcescher.com
- 6. 6 ÍNDICE: Bloque 1 7 Lección 1.1 Multiplicaciones y divisiones de números con signo................................................ 8 Lección 1.2 Adición y sustracción de expresiones algebraicas.................................................. 10 Lección 1.3 Modelos geométricos y expresiones algebraicas.................................................... 12 Lección 1.4 El grado, unidad de medida de ángulos ............................................................... 15 Lección 1.5 Posición relativa de dos rectas.............................................................................. 19 Lección 1.6 Ángulos entre paralelas........................................................................................ 22 Lección 1.7 El recíproco de un factor de proporcionalidad ...................................................... 25 Lección 1.8 Proporcionalidad múltiple .................................................................................... 27 Lección 1.9 Combinaciones y permutaciones........................................................................... 31 Lección 1.10 Polígonos de frecuencias...................................................................................... 33 Bloque 2 37 Lección 2.1 Jerarquía de las operaciones..................................................................................38 Lección 2.2 Problemas multiplicativos que implican el uso de expresiones algebraicas .............40 Lección 2.3 Prismas y pirámides............................................................................................... 42 Lección 2.5 Volumen de prismas y pirámides ...........................................................................46 Lección 2.6 Comparación de razones....................................................................................... 49 Lección 2.7 Medidas de tendencia central ............................................................................... 52 Bloque 3 55 Lección 3.1 Sucesiones de números con signo......................................................................... 56 Lección 3.2 Álgebra, ecuaciones y solución de problemas........................................................ 59 Lección 3.3 Variación lineal...................................................................................................... 63 Lección 3.4 Suma de los ángulos interiores de un polígono ..................................................... 65 Lección 3.5 Recubrimientos del plano......................................................................................68 Lección 3.6 Variación lineal.......................................................................................................71 Lección 3.7 Gráfica de y ϭ mx ϩ b cuando varía b.................................................................. 74 Lección 3.8 Gráfica de y ϭ mx ϩ b cuando varía m................................................................. 78 Bloque 4 81 Lección 4.1 Potencias y notación científica............................................................................... 82 Lección 4.2 Criterios de congruencia de triángulos .................................................................. 85 Lección 4.3 Puntos y rectas notables del triángulo...................................................................88 Lección 4.4 Eventos mutuamente excluyentes.......................................................................... 93 Lección 4.5 Gráficas de línea ................................................................................................... 95 Lección 4.6 Gráficas lineales por pedazos ................................................................................99 Bloque 5 103 Lección 5.1 Sistemas de ecuaciones....................................................................................... 104 Lección 5.2 Reflexiones, traslaciones y rotaciones en el plano.................................................107 Lección 5.3 Gráficas y sistemas de ecuaciones ........................................................................114 Lección 5.4 Eventos independientes .......................................................................................118
- 7. LA QUÍMICA, LA TECNOLOGÍA Y TÚ 7 BLOQUE 1 Aprendizajes esperados Se espera que los alumnos… 1. Resuelvan problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones de números con signo. 2. Justifiquen la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero. 3. Resuelvan problemas de conteo mediante cálculos numéricos. 4. Resuelvan problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de cantidades. 5. Interpreten y construyan polígonos de frecuencia. BLOQUE 1
- 8. 8 MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES DE NÚMEROS CON SIGNO REPASEMOS 1. Resuelve las operaciones. a) (–3) (–8) � b) (–15) ÷ (3) � c) (12) ÷ (–4) � d) (8) (7) (–1) � e) (–5) (–9) (–2) � f) (–10) (–20) (0.5) � g) (–45) ÷ (–9) � h) (–1) (–2) (–3) (–4) � i) (–500) (2) (–0.1) � j) (–5) (–50) (0.001) � 2. Escribe los números que faltan en cada expresión. En algunos casos hay más de una solución. a) (72) ( ) � 216 b) ( ) ÷ (–13) � 5 c) –27 � ( ) ( ) d) (-57) � (8) ( ) + ( ) e) ( ) ÷ (9) � –9 f) 47 � ( ) (–7) + ( ) g) ( ) ( ) � –25 h) ( ) (–12) � –144 i) (–13)2 � j) (–2)3 � k) (–3)4 � l) (–1)5 � 3. Escribe sobre las líneas verdadero (V) o falso (F). a) El producto de dos números negativos es un número negativo. b) El producto de tres números negativos es un número positivo. c) El cociente de dos números negativos es un número positivo. d) Cualquier número multiplicado por -1 da como resultado el mismo número. PROBLEMAS Y EJERCICIOS 4. Un cuadrado es multimágico cuando al multiplicar tres números en línea (horizontal, vertical o diagonal) se obtiene siempre el mismo resultado. Averigua si el siguiente cuadrado es multimágico y contesta las preguntas. Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo. 1.1 20 25 2 1 10 100 50 4 5 LECCIÓN 1.1
- 9. 9 a) ¿Por qué sí o por qué no el cuadrado es multimágico? b) ¿Cuál es el resultado de elevar al cubo el número que está en el centro del cuadrado? 5. Completa los siguientes cuadrados para que sean multimágicos. 6. Anota los números que faltan en las siguientes tablas. a) b) c) d) Y ALGO MÁS… Anota los números que faltan en las casillas en blanco. –4 –14 –28 –18 –1 –12 –6 × 4 –9 2 –8 18 –3 –12 35 –14 12 3 5 –9 1 0 –10 –30 ϫ – 7 3.5 4 –13 –1 100 0 ϫ 0.5 –7 15 –1 20 15 35 –8 100 –5 ϫ –2 –1 5 7 –9 1 –4 –1.7 ϫ 10.8 6 –1.8 12 44 –22 3 11
- 10. 10 REPASEMOS 1. En cada grupo de expresiones algebraicas, tacha la que no es equivalente a la del recuadro. 3 (b + 5) – (b + 3) a) 2b + 12 b) 2b + 18 c) 2 (b + 6) 3 (b + 5) – (b – 3) a) 2b + 12 b) 2b + 18 c) 2 (b + 9) 4 a2 + 2 (3a –2) – (2a)2 a) 2 (3a + 2) b) 2 (3a – 2) c) 6a – 4 (a – 5) + 2 (a + 1) a) 3 (a – 1) b) 3a + 3 c) 7a – 3 – 4a PROBLEMAS Y EJERCICIOS 2. De las siguientes expresiones, tacha las que no representen el perímetro del rectángulo. a) a + b + a + b d) 2a + 2b b) a + a + b + b e) (a + b) 2 c) 2a + b f) b (a + 2) 3. ¿Cuáles de las siguientes expresiones no representan el área del rectángulo? a) 7 (b – c) b) 7 (b + c) c) 7b + 7c d) 7(b + c)+7(b + c) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas. 1.2 a b c b 7 LECCIÓN 1.2
- 11. 11 4. Si el lado más largo del rectángulo anterior mide 15 unidades, ¿cuánto vale c? a) 15 + b b) 15b c) 15 b d) 15 – b 5. Completa las siguientes pirámides según esta regla: el valor de cada cuadro es la suma de los valores de los dos cuadros que están debajo. 6. Une con una línea las expresiones que son equivalentes. n + n n(n) n ÷ 3 4n + 8 2n + 3 3 (n) n2 3 + n + n 4 (n+2) 2n 5n 2n + 3n 3n n 3 7. Anota dos sumas diferentes de expresiones algebraicas cuyo resultado sea el mismo. = n –2 15 13 a 5 2b a + 5
- 12. 12 MODELOS GEOMÉTRICOS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS REPASEMOS 1. Simplifica las siguientes expresiones. a) a + a + a = b) b + b + 2b + b = c) 2x – x + 3x – 2x = d) a – b + 3b – 2a = e) 3(x + 2) = 2. Une cada frase del lado izquierdo con la expresión del lado derecho a la que corresponda. a) Sumar 2 a un número. b) Restar un número a 2. c) Multiplicar por 2 un número. d) Sumar 2 a un número y el resultado dividirlo entre 2. e) Dividir entre 2 un número y al resultado sumarle 2. PROBLEMAS Y EJERCICIOS 3. Escribe una expresión que denote el perímetro de la siguiente figura. 4. A continuación se presenta un recuadro con algunas expresiones algebraicas y, después rectángulos con medidas. En cada uno de los rectángulos, decide qué expresión del recuadro representa su área y escríbela debajo de él. Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos. 1.3 a a b b 2x x + 2x 2(3x) x x + x +2x x + 4x LECCIÓN 1.3 i. 2n ii. (n ϩ 2) Ϭ 2 iii. 2n – 2 iv. n – 2 v. n__ 2 ϩ 2 vi. n ϩ 2 vii. 2 – n
- 13. 13 5. Cada uno de los siguientes rectángulos está divido en dos pedazos. a) Anota dentro de cada pedazo una expresión que represente su área. Rectángulo I Rectángulo II Rectángulo III Rectángulo IV b) Completa cada una de las siguientes oraciones. Escribe el número del rec- tángulo (I, II, III o IV) correspondiente. El área del rectángulo es 3x + 3. El área del rectángulo es 2x + 4. El área del rectángulo es 2 (x + 1). El área del rectángulo es 3(x + 1). El área del rectángulo es x (x + 2). El área del rectángulo es 2x + 2. El área del rectángulo es x2 + 2x. El área del rectángulo es 2(x + 2). x x x x 1 2 3 4 x 1 2 x x 1 2 3 x x 2 2
- 14. 14 6. Escribe las medidas de los siguientes rectángulos para que el área sea igual a la indicada. Y ALGO MÁS… La propiedad distributiva de los números dice que al multiplicar un número (n) por la suma de otros dos (a y b) obtenemos lo mismo que si multiplicamos el primer número (n) por cada uno de los otros dos (a y b) y luego sumamos los resultados. Algebráicamente esto se escribe así n(a + b) = na + nb. La propiedad distributiva es muy fácil de verificar en números enteros. Por ejemplo, para n = 3, a = 2 y b = 4 se puede comprobar la distributividad: 3(2 + 4) � 3(6) � 18, y de igual manera, 3(2) + 3(4) � 6 + 12 � 18. Esta propiedad puede ser observada geométricamente si pensamos que n, a y b son medidas de la siguiente figura. Como el área del rectángulo es base (a + b) por altura (n), el área será igual a n(a + b). Pero, por otro lado, el área también será igual a la suma de las áreas de los dos rectángulos pequeños (uno de área na y el otro de área nb), es decir, el área será na + nb. En resumen, se observa la propiedad distributiva: n(a + b) = na + nb. Área = x2 + x Área = (x + 1)(x + 2) Área = xy + y Área = x2 + 2x + 1 Área � na Área � nbn a b
- 15. 15 REPASEMOS 1. Escribe el nombre de los siguientes seis ángulos, del menor al mayor. , , , , , 2. ¿A cuántos minutos equivalen los siguientes grados? a) 0.5° = b) 0.05° = c) 0.25° = d) 0.6° = 3. Anota las medidas de los ángulos internos de cada figura. PROBLEMAS Y EJERCICIOS 4. En cada caso, anota la medida del ángulo (marcado en rojo) que forman las manecillas del reloj. EL GRADO, UNIDAD DE MEDIDA DE ÁNGULOS Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida. 1.4 Ángulo A Ángulo D Ángulo B Ángulo E Ángulo C Ángulo F LECCIÓN 1.4
- 16. 16 5. Ayúdate de un transportador y una regla para dibujar dos cuadriláteros en los que tres de sus ángulos internos midan 45°. 6. En el siguiente mapa a escala se indica cómo encontrar la isla donde fue enterrado un tesoro. Completa las instrucciones que tiene que dar el capitán del barco para que se siga la ruta del mapa. a) Girar el barco a estribor (derecha) grados y avanzar. b) Al encontrar una isla giramos a babor (izquierda) grados y con- tinuamos avanzando. c) Al encontrar la “Isla Mini” giramos a estribor y entonces es- taremos avanzando en dirección de la Isla del Tesoro. Zona de niebla Isla Isla Mini Isla del tesoro Zona de tormentas
- 17. 17 7. En una empresa de robots quieren programar un brazo robótico para que tome un frasco y lo coloque sobre el centro de una mesa. El brazo sólo responde a las siguientes instrucciones. Instrucción Descripción Ejemplo Alargar x El brazo se alarga x centímetros. "Alargar 10" alarga 10 cm el brazo. Encoger x El brazo encoge su longitud y centímetros. "Encoger 10" encoge 10 cm el brazo. Cerrar Cierra la pinza de la punta para tomar el objeto. --- Abrir Abre la pinza para soltar un objeto. --- Girar-D y Gira el brazo y grados a la derecha. "Girar-D 10" gira 10° a la derecha. Girar-I y Gira el brazo y grados a la izquierda. "Girar-I 10" gira 10° a la izquierda. a) La siguiente figura es un diagrama a escala que muestra la posición original de brazo. El brazo se encuentra con las pinzas abiertas y su longitud es de 30 cm. Completa las instrucciones que debe seguir el brazo robótico para lograr su objetivo: acomodar el frasco en la mesa. Instrucciones Paso 1.Alargar Paso 2. Paso 3. Girar-D Paso 4. Paso 5.Abrir b) Si se descompusiera el brazo y ya no pudiera girar a la derecha, ¿cómo cambiarías las instrucciones anteriores para que el brazo logre su objetivo? c) Un programador nuevo escribió las siguientes instrucciones para que el bra- zo tomara una pelota. Escribe unas instrucciones con menos pasos y con las que se pueda tomar la pelota. Instrucciones del programador Paso 1.Alargar 5 Paso 2. Girar-D 20 Paso 3. Girar-I 75 Paso 4. Encoger 12 Paso 5. Girar-I 10 Paso 6.Alargar 8 Paso 7. Girar-D 15 Paso 8.Alargar 5 Paso 9. Cerrar Tus instrucciones Paso 1. Paso 2. Paso 3. Paso 4. 30cm 30cm 40 cm 60°
- 18. 18 Y ALGO MÁS… ¿Sabías que algunos mapas planos de la Tierra no conservan áreas? Por ejemplo, en el siguiente mapa plano, parece que Groenlandia es casi tan grande como Estados Unidos de América, pero en realidad es mucho más pequeño. La razón por la que el plano no es idéntico en proporciones a la Tierra es por que el planeta es redondo. Por ello, es normal que al dibujar plana la Tierra se deformen un poco los países. La ventaja de este mapa es que sus ángulos sí concuerdan con los ángulos de la Tierra. Por ejemplo, si viajamos en barco de Portugal a Brasil y después queremos ir a Sudáfrica, el ángulo de giro es exac- tamente el mismo que se puede medir en el mapa si se trazan las rectas que unen a estos países. Este tipo de mapas se usaba mucho en el pasado, pues con ellos los piratas y marineros trazaban sus rutas midiendo los ángulos. Actualmente se hacen muchos tipos de mapas planos de la Tierra: en algunos las áreas de los países son proporcionales entre sí; en otros, las distancias a cierto punto son proporcionales; en el ejemplo que vimos, los ángulos se conservan. OCÉANOO PACCÍÍFICO O C ÉAN OO PACÍFICO OOCÉANO A TLÁÁNNTICO OCÉANO ÍNDDICO 0º 0º 30º 30º 60º 60º 0º 30º 30º 60º 60º 30º30º 60º60º 90º90º 120º120º150º 150º 0º 30º30º 60º60º 90º90º 120º120º150º 150º ARGENTINA Buenos Aires Islas Malvinas (R.U.) Islas Georgias del Sur (R.U.) URUGUAY CHILE Montevideo Santiago PARAGUAY BRASIL PERÚ ECUADOR COLOMBIA MÉXICO GUYANA VENEZUELA IRLANDA FEDERACIÓN RUSA IRÁN IRAK KAZAJASTÁN YEMEN OMÁN INDIA CHINA MONGOLIA JAPÓN ARABIA SAUDITA REINO UNIDO ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA CANADÁ GROENLANDIA ALASKA BOLIVIA Asunción Brasilia La Paz Lima Quito Distrito Federal (Dinamarca) Ottawa Washington Georgetown COREA DEL NORTE COREA DEL SUR SRI LANKA MYANMAR KIRGUISTÁN BANGLADESH Dacca TAILANDIA Bangkok Manila Hanoi Vientiane Phnom Penh Bandar Seri Begawan Pyongyang Seúl Port Moresby Dili Yakarta FILIPINAS VIETNAM LAOS CAMBOYA BURNEI DARUSSALAY TIMOR ORIENTAL I N D O N E S I A AUSTRALIA MALASIA Kuala Lumpur SINGAPUR Singapur ISLAS SALOMÓN Honiara Nueva Caledonia (FR.) Islas Fiji Canberra NUEVA ZELANDA Wellington NEPAL Katmandú BUTÁN Timbu Colombo Beijing Ulan-Bator Tokio Yangón Bishkek ISLANDIA Copenhague AFGANISTÁN PAKISTÁN TURKMENISTÁN UZBEKISTÁN Tashkent Kabul Islamabad Ashgabat CUBA La Habana Bogotá JAMAICA Kingston GAMBIA Banjul BURKINA FASO Uagadougou SIERRA LEONA Freetown COSTA DE MARFIL Yamusukro SAHARA OCCIDENTAL GUINEA-BISSAU Bissau GUINEA Conakry GUINEA ECUATORIAL Malabo GABÓN Libreville CONGO Brazzaville LESOTO Mbabane SWAZILANDIA Maseru MOZAMBIQUE Maputo MALAWI Lilongwe BURUNDI Bujumbura RUANDA Kigali DJIBOUTI Djibouti QATAR Doha GHANA Accra BENÍN Porto Novo TOGO LoméLIBERIA Monrovia GUATEMALA Guatemala ESLOVENIA Ljubljana CROACIA Zagreb ALBANIA Tirana MONTENEGRO Podgorica La Valeta Pristina MACEDONIA GRECIA MALTA Skoplie Atenas CHIPRE Nicosia LÍBANO Beirut ARMENIA Erevan ISRAEL Jerusalen BOSNIA- HERZEGOBINA Sarajevo EL SALVADOR San Salvador FED. RUSA Kaliningrado NICARAGUA Managua COSTA RICA San José BELIZE Belmopan HONDURAS Tegucigalpa PANAMÁ Panamá LIBIA ARGELIA ALEMANIA POLONIA NORUEGA DINAMARCA SUECIA FRANCIA UCRANIA IRAK ITALIA VATICANO LIECHTENSTEIN TURQUÍA RUMANIA BULGARIA BIELORRUSIA TÚNEZ EGIPTO ESTONIA LETONIA LITUANIA HUNGRÍA SERBIA KOSOVO MOLDAVIA JORDANIA SIRIA REP. DOMINICANA Santo Domingo HAITÍ Pto. Príncipe SURINAM Paramaribo GUYANA FRANCESA Cayenne TAYIKISTÁN Dushambé EMIRATOS ÁRABES UNIDOS Abu Dhabi PAPÚA NUEVA GUINEA Caracas Reikiavik LondresDublín Ryad Nueva Delhi Sana Mascate Teherán Bagdad Astana Moscú ESPAÑA Madrid PORTUGAL Lisboa I. BAHAMAS Nassau El Cairo ARGELIA LIBIA EGIPTO I. Canarias MARRUECOS Rabat MAURITANIA ETIOPÍA SUDÁN CHADNÍGER Niamey ERITREA Bamako MALÍNouakchott N’Djamena Jartum Asmara Addis Abeba NIGERIA CAMERÚN Lusaka TANZANIA KENIA Luanda ANGOLA ZAMBIA UGANDA SENEGAL SOMALIA REP. DEM. DEL CONGO REP. CENTROAFRICANA BanguiYaoundé Abuja Kampala Dakar Dakhla Nairobi Mogadiscio Dar es Salaam Kinshasa BOTSWANA MADAGASCARNAMIBIA SUDÁFRICA ZIMBABWE Windhoek Pretoria Gaborone Harare Antananarivo BÉLGICA Bruselas SUIZA MONACO ANDORRA Berna Vaduz Roma Damasco Ankara GEORGIA Tibilisi AUSTRIA Viena R. CHECA Praga Vilna Riga VarsoviaBerlín Copenhagen París Estocolmo Oslo Tallinn ESLOVAQUIA Bratislava Budapest Belgrado Chisinau Amman PAÍSES BAJOS Amsterdam LUXEMBURGO Luxemburgo Trinidad y Tobago (EUA) 160º Antigua y Barbuda A A B B FINLANDIA Helsinki FINLANDIA
- 19. 19 REPASEMOS 1. ¿Cuál de las siguientes opciones muestra un par de rectas paralelas? a) b) c) d) 2. ¿Cuál es una definición incorrecta de rectas perpendiculares? a) Rectas que se cortan formando siempre cuatro ángulos iguales. b) Rectas que se cortan formando siempre ángulos rectos. c) Rectas que se cortan formando siempre ángulos de 90°. d) Rectas que se cortan formando siempre una letra “T” volteada. 3. ¿Cuál es una definición correcta de ángulos opuestos por el vértice? a) Ángulos que miden lo mismo. b) Ángulos que tienen un lado común. c) Ángulos que tienen el mismo vértice y los lados de uno son prolongación de los lados del otro. d) Ángulos que tienen el mismo vértice y los lados de uno son perpendiculares a los lados del otro. 4. Señala el ángulo adyacente a M y nómbralo N. 5. Traza una recta paralela a la recta roja y una perpendicular a la recta azul. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano; rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas. 1.5 M LECCIÓN 1.5
- 20. 20 6. Calcula el valor de los ángulos que faltan en cada par de rectas. PROBLEMAS Y EJERCICIOS 7. Se sabe que las rectas PQ y RS son perpendiculares a la recta XY. ¿Cómo son entre sí las rectas PQ y RS? 8. Se sabe que la recta AB es paralela a la recta CD y la recta CD es perpendicular a la recta MN. ¿Cómo son entre sí las rectas AB y MN? 9. Por el punto P traza una recta perpendicular a la recta roja y por el punto Q traza una recta paralela a la recta roja. 10.Las diagonales de un rombo son perpendiculares. El segmento verde es la diagonal mayor de un rombo. Termina de trazar el rombo. a) ¿Hay una o varias soluciones? b) ¿Por qué? 11.El segmento azul es una diagonal de un cuadrado. Termina de trazar el cuadrado. 75º 100º P Q
- 21. 21 a) ¿Hay una o varias soluciones? b) ¿Por qué? 12.Un paralelogramo es una figura de cuatro lados que tiene dos pares de lados paralelos. En el siguiente espacio traza un paralelogramo que tenga lados perpendiculares y otro que no los tenga. 13.En cada caso determina el valor de x. x = x = Y ALGO MÁS… Traza una recta paralela a la recta negra que pase por P. Traza otra paralela a la recta que pase por P y que sea diferente a la que ya trazaste. ¿Pudiste hacerlo? Sólo existe una recta, ¿verdad? En efecto, en la geometría que estudias sólo hay una paralela a una recta que pase por un punto fuera de ella. Pero existen otras geometrías diferentes en las que se puede trazar muchas rectas paralelas por el punto P y otras geometrías en que no se puede trazar ninguna. Estas geometrías sólo se estudian en grados superiores. P x x + 20º 2x + 10º x + 20º
- 22. 22 ÁNGULOS ENTRE PARALELAS REPASEMOS Para las preguntas 1 y 2 considera la siguiente pareja de paralelas cortadas por una transversal. 1. ¿Qué opción señala dos ángulos alternos externos? a) b y d b) c y e c) b y h d) b y f 2. ¿Cuánto mide el ángulo f? a) 115° b) 85° c) 75° d) 65° 3. Se tiene un triángulo isósceles con dos ángulos de 45º. ¿Cuánto mide el otro ángulo? a) 90° b) 80° c) 100° d) 315° 4. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero? a) 90º b) 180º c) 270º d) 360º 5. Se tiene un rombo con dos ángulos agudos de 40º. ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos obtusos? a) 100º b) 110º c) 130º d) 140º PROBLEMAS Y EJERCICIOS 6. Considera que las rectas rojas son paralelas. Anota el valor de los ángulos que se indican. Establecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. 1.6 d 115º b c f e h g a = b = d = c = 110º55º LECCIÓN 1.6
- 23. 23 7. En la siguiente figura, el primer triángulo es escaleno, el segundo es isósceles y el tercero es equilátero. Anota el valor de los ángulos que se indican. 8. Anota el valor de los cuatro ángulos interiores del siguiente paralelogramo. 9. Si las rectas verdes son paralelas, ¿cuál es el valor de x? 10.En cada caso, anota el valor de x. x ϭ x ϭ 11.Si en un paralelogramo se aumenta el valor de uno de sus ángulos de 10° en 10°. a) ¿Cuál es el valor máximo que puede alcanzar el ángulo? b) ¿Por qué? c) Completa la tabla con las medidas de los ángulos del paralelogramo a partir de un ángulo agudo de 10°. Medida del ángulo agudo 10º Medida del ángulo obtuso p � n � m � 32º 90º 66º 135º 3x + 10º x + 10º 2x + 30º x + 30º x x 3x
- 24. 24 d) ¿Los valores de la tabla varían proporcionalmente? e) ¿Cómo lo sabes? 12.Considera un trapezoide simétrico con un ángulo de 90°, como se muestra abajo. La medida del ángulo x varía. a) Encuentra una expresión que relacione la medida del ángulo y en función de la medida del ángulo x. b) ¿Corresponde esa expresión a una relación de proporcionalidad? c) ¿Cómo lo sabes? Y ALGO MÁS… Si el hexágono es regular, ¿cuánto mide el ángulo obtuso de los rombos que forman la estrella? Justifica tu respuesta. x 90º y y
- 25. 25 REPASEMOS 1. El peso de un objeto depende del planeta en el que esté. Por ejemplo, un objeto pesa más en Júpiter que en la Tierra. El peso de un objeto en Júpiter se puede calcular multiplicando por 2.4 su peso en la Tierra. a) ¿Cuánto pesará en la Tierra un objeto que pesa 120 kilogramos en Júpiter? b) ¿Cuál es el factor que permite encontrar el peso de un objeto en la Tierra a partir de su peso en Júpiter? 2. El plano de una casa está hecho de manera que 2 cm de las medidas del plano equivalen a 5 m de las medidas reales. a) ¿Cuál es el factor de escala que permite encontrar las medidas reales a partir de las medidas del plano? b) ¿Cuál es el factor de escala que permite encontrar las medidas del plano a partir de las medidas reales? 3. Las medidas de una figura se aumentaron y después se redujeron de manera proporcional. a) En el siguiente esquema, anota el factor de escala que se aplicó para obtener la figura final a partir de la figura intermedia. EL RECÍPROCO DE UN FACTOR DE PROPORCIONALIDAD Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario. 1.7 x 2__ 3 x 2 x = Figura inicial Figura intermedia Figura final LECCIÓN 1.7 b) ¿Cuál es el factor de escala que permite encontrar las medidas de la figura inicial a partir de las medidas de la figura final sin tener que encontrar las de la figura intermedia? PROBLEMAS Y EJERCICIOS 4. Una máquina tiene un sistema de engranes formado de la siguiente manera. Por cada tres vueltas que da el engrane B, el engrane A da una vuelta. Y por cada vuelta que da el engrane C, el engrane B da 4 vueltas. a) ¿Cuántas vueltas da el engrane C por cada vuelta que da el engrane A? b) ¿Cuántas vueltas da el engrane A por cada vuelta que da el engrane C?
- 26. 26 5. A inicios de 2009, un dólar americano equivalía (aproximadamente) a 14 pesos mexicanos. En las mismas fechas, un dólar canadiense equivalía 0.8 dólares americanos. a) ¿Cuánto valía un peso mexicano en dólares americanos? b) ¿Cuántos dólares canadienses se podía comprar con 112 pesos mexicanos? c) El tipo de cambio es el valor de una moneda expresado en términos de otra. Por ejemplo, el tipo de cambio del dólar respecto al peso era: cada dólar ame- ricano correspondía a 14 pesos mexicanos. Completa el siguiente esquema con los tipos de cambio correspondientes. d) ¿A cuántos pesos mexicanos equivalía un dólar canadiense (tipo de cambio del dólar canadiense respecto al peso mexicano)? e) ¿Cuál era el tipo de cambio del peso mexicano respecto al dólar canadiense? Y ALGO MÁS… 6. Aleaciones y joyería. En la joyería suelen usarse aleaciones para manejar los metales preciosos. Una aleación es una mezcla de un metal con alguna otra sustancia, metálica o no metálica. De esta manera, las aleaciones de metales preciosos adquieren la resistencia necesaria para ser moldeados. El oro blanco es una aleación de oro y algún otro metal blanco, como la plata. Esta aleación es muy usada en joyería. Hay que mezclar cuatro partes de oro puro y una parte de plata. a) ¿Cuántos gramos de plata necesito para obtener 60 gramos de oro blanco? c) ¿Cuántos gramos de oro blanco se obtienen con 40 gramos de oro puro? e) ¿Cuál es la regla que permite encontrar la cantidad y de oro blanco que se obtiene con una cantidad z de oro puro? x 14 x xx Peso mexicano Dólar americano Dólar canadiense
- 27. 27 REPASEMOS 1. El siguiente prisma rectangular (prisma A) mide 2 cm de altura y su base mide 4 cm de largo por 3 cm de ancho. Prisma A a) El prisma B se construyó triplicando la medida del largo de la base del prisma A y dejando fijas las medidas de la altura y del ancho. Prisma B ¿Cuántas veces más grande es el volumen del prisma B que el volumen del prisma A? b) El prisma C se construyó disminuyendo a la mitad la altura del prisma A y dejando fijas las medidas del largo y del ancho de la base. Prisma C ¿Cuántas veces más pequeño es el volumen del prisma C que el volumen del prisma A? PROPORCIONALIDAD MÚLTIPLE Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple. 1.8 2 cm 4 cm 3 cm 2 cm 4 cm 3 cm 2 cm 4 cm 3 cm LECCIÓN 1.8
- 28. 28 c) Si, al mismo tiempo, se aumentara al triple la medida del largo de la base y se disminuyera a la mitad la altura del prisma A, ¿el volumen aumentaría o disminuiría? ¿Cuántas veces? d) Las siguientes son afirmaciones sobre cómo se modifica el volumen de un prisma al cambiar las medidas de sus dimensiones. Escribe V frente a las afir- maciones que sean verdaderas y F frente a las que sean falsas. Cuando disminuye el volumen del prisma es porque disminuyeron las medidas de todas sus dimensiones. Para que el volumen del prisma se duplique es necesario duplicar las medidas de sus dimensiones. Cuando el largo y el ancho del prisma permanecen fijos, la medida de la altura es directamente proporcional al volumen. 2. En una escuela se organizan una excursión. Los organizadores saben que, en promedio, 12 niños consumen 144 litros de agua en seis días. a) ¿Cuántos litros de agua habría que llevar a la excursión si fueran 60 niños y el viaje durara seis días? b) Si fueran 36 niños y llevaran 144 litros de agua, ¿para cuántos días alcanzaría? c) Según los datos de este problema, en promedio, ¿cuántos litros de agua consume diariamente cada niño? PROBLEMAS Y EJERCICIOS 3. En un criadero de cerdos se comprará alimento para engorda. Sabemos que para alimentar (en promedio) 20 cerdos se necesitan 50 kilogramos de alimento por día. a) El periodo de engorda recomendado es de 33 días. ¿Cuántos kilogramos de alimento se necesitan para engordar a 20 cerdos? b) Y si se quisiera engordar a 50 cerdos, ¿qué cantidad de alimento se necesi- taría? c) ¿De cuántos kilogramos es la ración diaria para cada cerdo? 4. Con 6 litros de una pintura para exteriores alcanza para pintar un muro de 2 m de altura por 9 m de largo (en promedio). a) ¿Cuántos litros de pintura se necesitan para pintar una pared de 2 m de al- tura por 15 m de largo? b) Se quiere pintar el exterior de un edificio que mide 720 m2 de superficie. ¿Cuántos litros de esta pintura se necesitan?
- 29. 29 6. Receta de capirotada. En una revista se publicó la siguiente receta para preparar capirotada. Capirotada para 12 personas. Tiempo de preparación: 30 min Tiempo de cocción 30 min Ingredientes: Para preparar el pan: Para preparar la miel: 10 rodajas de pan rebanado 1 kg de piloncillo 250 g de queso en cubos 10 clavos de olor 100 g de coco rallado 50 g de canela 200 g de pasas 4 litros de agua Instrucciones de preparación Poner a hervir el agua con el piloncillo, clavos y canela.• Colocar en una vasija grande una base de pan. Cubrir el pan con queso, pasas y• coco para formar una capa uniforme. Bañar la capa con miel. Hacer varias capas y cubrir cada una con miel hasta acabar.• Dejar reposar cinco minutos y servir.• a) Si la cantidad de ingredientes es directamente proporcional al número de personas que comerán, ¿qué cantidad de cada uno se necesita para preparar capirotada para 15 personas? Completa la tabla. Para preparar el pan Para preparar la miel rodajas de pan francés o "virote" rebanado kg de piloncillo g de queso en cubos clavos de olor g de coco rallado g de canela g de pasas litros de agua g de cacahuate natural sin cascarilla b) ¿Con 25 rodajas de pan, para cuántas personas alcanza? ¿Cuánto piloncillo se necesitaría? c) ¿Si se redujera a la mitad la cantidad de comensales, disminuiría a la mitad el tiempo total de preparación? ¿Por qué?
- 30. 30 7. Dado un cubo, se duplica la longitud de sus aristas. a) Subraya en qué porcentaje aumenta el volumen del nuevo cubo respecto al original. 900% • 700% • 600% • 300%• b) Como habrás notado, el volumen del cubo nuevo es 8 veces mayor que el volumen del cubo original. Explica porqué el porcentaje del aumento del volumen del cubo nuevo respecto al cubo original NO es 800%. Y ALGO MÁS… La geometría de Gulliver. Jonathan Swift describió mundos maravillosos por los que viajó el doctor Lemuel Gulliver. Entre estos mundos se encuentran Liliput, un mundo de enanos, y Brobdingnag, un mundo de gigantes. En el mundo de los liliputienses todas las cosas, todas las personas y todas las criaturas de la naturale- za son 12 veces menores que lo normal. Más precisamente: en Liliput, el largo, el ancho y la altura de las cosas son 12 veces menores que lo normal. Por su parte, en Brobdingnag, el mundo de los gigantes, son 12 veces mayores que lo normal. A primera vista, calcular cantidades con estas relaciones parece simple. Sin embargo, algunos cálculos no resultan sencillos. Por ejemplo, Swift explica que para alimen- tar a Gulliver se le entregaba diariamente una ración de comestibles y bebidas suficiente para alimentar a ¡1728 liliputienses! a) Explica cómo crees que Swift haya obtenido este número. Más adelante, Jonathan Swift narra que en Brobdingnag una avellana era del ta- maño de una calabaza normal. Considerando que una avellana tiene 1.5cm de diámetro y pesa 2g (aproximadamente), calcula: b) ¿Cuánto pesa una avellana del mundo de gigantes? c) ¿Cuánto mide su diámetro? Yakov Perelman. Aritmética Recreativa. Moscú: Editorial MIR, 1986. (Adaptación)
- 31. 31 REPASEMOS 1. Para cada caso, escribe si se trata de un problema de combinaciones o de permutaciones. a. Deungrupodeestudiantes,sequierecalculardecuántasmanerassepuedeelegir a un presidente, un secretario y un tesorero. b. Deungrupodeestudiantes,sequierecalculardecuántasmanerassepuedenele- gir a tres personas para representar al grupo. c. Hay un estéreo, una lámpara y un televisor para regalar a 10 personas. Se quiere determinar de cuántas maneras es posible repartir los obsequios. Para darle máximo un obsequio a cada persona. d. Se regalarán 10 televisores a 100 personas. Y se quiere determinar de cuán- tas maneras se puede repartir los televisores, de tal manera que máximo le corresponda un televisor a cada persona. 2. Ana irá al cine con su papá, su mamá y su novio. Se sentarán en una fila con cuatro asientos, pero el papá de Ana no quiere que Ana se siente junto a su novio. Completa el siguiente diagrama para determinar de cuántas maneras pueden sentarse sin que Ana quede junto a su novio. ¿De cuántas maneras pueden sentarse? COMBINACIONES Y PERMUTACIONES Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. 1.9 Ana Novio Novio Novio Mamá Mamá Mamá Mamá Papá Papá LECCIÓN 1.9
- 32. 32 PROBLEMAS Y EJERCICIOS 3. En un concurso participaron 10 personas. ¿Cuántas maneras distintas hay de repartir el primero, segundo y tercer lugar entre ellas? 4. En una rifa participaron 10 personas;se repartirán tres cheques de mil pesos. ¿De cuántas maneras distintas es posible repartir los tres cheques? 5. ¿Cuántas rectas distintas se puede dibujar uniendo dos de los puntos a la izquierda? a) Si agregamos un punto que no esté sobre ninguna de las rectas que contas- te, ¿cuántas rectas se puede trazar ahora? b) ¿Y cuántos triángulos distintos se puede formar si se usan como vértices tres de los seis puntos? 6. Un profesor aplicó un examen de ocho preguntas para que los alumnos eligieran cinco para contestar. a) ¿Cuántas formas de contestar el examen tienen los alumnos? b) Si les permitieran elegir sólo tres preguntas, ¿tendrían menos, más o igual número de formas de contestar el examen? 7. ¿Cuántos triángulos equiláteros hay en la siguiente figura? Contesta con cuidado, hay más de nueve. 8. Se quiere colocar cinco libros distintos en el estante de un librero. a) ¿De cuántas maneras es posible acomodar? b) Si queremos además que el libro de geometría esté junto al de álgebra, ¿cuán- tas maneras hay de acomodarlos ahora? c) Y si queremos que los libros de geometría, álgebra y cálculo estén juntos (no necesariamente en ese orden), ¿de cuántas maneras es posible acomodar los cinco libros ahora? Y ALGO MÁS… Hay nueve bolas negras y seis blancas. Se quiere alinearlas de tal manera que no queden dos blancas juntas, ¿de cuántas maneras se puede acomodar las bolas? A C D B E F
- 33. 2 4 6 8 10 12 10 30 50 70 9020 40 60 80 110100 33 Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia. 1.10 LECCIÓN 1.10 POLÍGONOS DE FRECUENCIAS PROBLEMAS Y EJERCICIOS 1. La tabla muestra la duración en horas de cierto tipo de lámparas eléctricas. Duración (horas) Frecuencia de lámparas 0-200 1 201-400 3 401-600 2 601-800 11 801-1000 22 1001-1200 15 1201-1400 8 1401-1600 1 1601-1800 0 1801-2000 1 a) Elabora en tu cuaderno el polígono de frecuencias correspondiente. b) Si hicieras la propaganda para las lámparas, ¿cuál de las siguientes afirma- ciones considerarías más acertada? Generalmente duran 1 000 horas.• Duran hasta 1 400 horas.• Duran hasta 2 000 horas.• c) ¿Por qué? 2. En tu cuaderno elabora la tabla que corresponde al siguiente polígono de frecuencias. . a) ¿Es conveniente usar esta anestesia para una intervención que durará 80 minutos? ¿Por qué? b) ¿Y para una intervención que dure 20 minutos? ¿Por qué?
- 34. 0 Millones de habitantes 2000 Hombres Edad 85 y más 80 - 84 70 - 74 55 - 59 45 - 49 35 - 39 25 - 29 15 - 19 5 - 9 75 - 79 65 - 69 50 - 54 40 - 44 30 - 34 20 - 24 10 - 14 60 - 64 0 - 4 1940 Mujeres 123456 1 2 3 4 5 6 34 3. Elabora en tu cuaderno un polígono de frecuencias con los siguientes datos. Usa datos agrupados. Peso de 30 alumnos (en kilogramos): 42, 43.5, 43.9, 44, 44, 45.5, 47, 47, 49, 49, 49.5, 49.5, 50, 50.3, 50.5 51, 52, 52, 52.5, 52.8, 53, 53, 56, 56, 56, 57.5, 58, 60, 65, 67. 4. Considera la siguiente gráfica que muestra la distribución por edad y sexo de los habitantes de México en 1940 y en 2000. a) En el grupo de niños de 0 a 4 años de edad... ¿En 1940 había más hombres o mujeres?• ¿En 2000 había más hombres o mujeres?• Aproximadamente, ¿cuánto aumentó el número de mujeres de esa edad• de 1940 a 2000? b) En 1940 había, aproximadamente, 1.5 millones de hombres de 0 a 4 años de edad. Ellos cumplieron de 60 a 65 años en el año 2000. Sin ver la gráfica, ¿habrá 1.5 millones de hombres de 60 a 64 años en el• año 2000? ¿Por qué?• Consulta la gráfica, ¿cuántos hombres de 60 a 65 años había en el año• 2000? ¿Cuántos de esos hombres, aproximadamente, no alcanzaron esa edad?• c) Identifica el intervalo de tu edad en el año 2000. ¿Había más hombres o mujeres? Fuente: http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/habitantes.aspx?tema=P
- 35. 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% Total Áreas urbanas Áreas rurales No fumador Sin instrucción Preparatoria Ex fumador Primaria Universidad Fumador Secundaria Posgrado 35 5. Las siguientes tablas y gráficas se refieren a un estudio del INEGI acerca de la adicción al tabaco. Indicador 2002 Total Hombres Mujeres 1. Población de 12 a 65 años de edad 69 767 067 31 393 657 38 373 410 Nunca ha fumado tabaco. 41 240 234 12 674 050 28 566 184 Alguna vez ha fumado tabaco. 28 526 833 18 719 607 9 807 226 2. Población de 12 a 65 años de edad que alguna vez ha fumado tabaco por edad de inicio: 28 526 833 18 719 607 9 807 226 De 5 a 9 años 359 240 269 544 89 696 De 10 a 14 años 5 509 716 4 068 247 1 441 469 De 15 a 19 años 16 319 411 11 133 513 5 185 898 De 20 a 24 años 4 192 925 2 405 180 1 787 745 De 25 a 29 años 1 064 055 455 962 608 093 De 30 a 34 años 544 447 144 147 400 300 De 35 años y mas 500 586 208 481 292 105 No especificado 36 453 34 533 1 920 Fuente: http://www.inegi.org.mx/prod_serv/contenidos/espanol/bvinegi/productos/continuas/sociales/salud/2004/Ena02.pdf
- 36. 5 10 15 20 25 30 35 40 12 a 17 18 a 29 30 a 39 Población de 12 a 65 años de edad que fuma 40 a 49 50 a 65 36 Con base en la información responde lo siguiente. a) ¿En qué año se llevó a cabo la encuesta? b) ¿Qué intervalo de edad se consideró para la encuesta? c) ¿En qué grupo de edad se inicia a fumar con mayor frecuencia? d) ¿Qué grupo de edad tiene el mayor porcentaje de fumadores? e) Responde si es falso o verdadero. A mayor instrucción, mayor índice de fumadores.• A mayor edad, mayor índice de fumadores.• En las zonas urbanas fuman más que en las rurales.• Las mujeres fuman más que los hombres.• 6. Organícense en grupo para hacer una investigación respecto a la adicción al tabaco. Elaboren un periódico mural con estadísticas de su grupo (fumadores, no fumadores, si han fumado alguna vez, etcétera) y acerca de los efectos nocivos de fumar.