1. Turunan
( Fungsi Diferensial )
Oleh :
Andi Navira Indyani Tamar
H11114009
2. Pengertian Turunan
Dalam ilmu kalkulus, turunan merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi
berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana
suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya; contohnya, turunan dari posisi
sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.
Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan dari turunan disebut
dengan antiturunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan
sama dengan integrasi. Turunan dan integral adalah 2 fungsi penting dalam kalkulus.
3. Fungsi Aljabar
Teorema I (Aturam Fungsi Konstanta
Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta untuk sembarang x, f’(x)= 0.
Bukti:
k
k
f x h
f x
'
Contoh: f(x) = 2 maka f’(x) = 0
lim lim 0 0
( ) ( )
( ) lim
0 0 0
h h
h h h
f x
4. Teorema II (Aturan Fungsi Identitas)
Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
Bukti:
Teorema III (Aturan Pangkat)
Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan bulat positif, maka f’(x) = nxn-1
Bukti:
x h x
x h nxh h x
0 0
( 1)
x h nxh h
h
f x h f x
n n
h nx
h
n n
x nx h
h
h
f x
( 1)
n n n n
h
n n n n n n
h
n n
h h
1 2 2 1
0
1 2 2 1
0
'
...
2
lim
...
2
lim
( )
lim
( ) ( )
( ) lim
5. Teorema IV (Aturan Kelipatan Konstanta)
Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka (kf)’ (x). Bukti: Misalkan
F(x) = k. f(x). Maka :
f x h f x
h h
0 0
f x h f x
. ' ( )
k f x h k f x
f x h f x
( ) ( )
. lim
( ) ( )
lim
. ( ) . ( )
lim
( ) ( )
( ) lim
0 0
k f x
h
k
h
k
h
h
F x
h h
6. Semua suku di dalam tanda kurung siku kecuali suku pertama mempunyai h sebagai
faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol. Jadi
Contoh:
'( ) 1 n f x nx
f(x)=x2 maka f’(x) = 2x
7. Fungsi Trigonometri
Untuk menentukan turunan trigonometri sama dengan konsep awal mencari turunan,
namun disini langsung kita ambil hasilnya, maka:
k
k
f x h
f x
'
lim lim 0 0
( ) ( )
( ) lim
0 0 0
h h
h h h
f x
8. Rumus turunan fungsi tergonometri:
F(x) = Sin x maka f’(x) = Cos x
F(x) = Cos x maka f’(x) = -Sin x
F(x) = Asin (Bx+C) = A.B cos (Bx + C)
F(x) = Acos (Bx+C)= -A.B Sin (Bx + C)