1. ÁLGEBRA Y MATEMÁTICA DISCRETA 1 LÓGICA PROPOSICIONAL
1.1. Definiciones básicas
TEMA 1 1.2. Operaciones lógicas y tablas de verdad
1.3. Implicación y equivalencia lógicas
1.4. Métodos lógicos de demostración
LÓGICA PROPOSICIONAL
1.1 DEFINICIONES BÁSICAS 1.1 DEFINICIONES BÁSICAS
Término
cada una de las partes que constituyen un Proposición lógica
enunciado o discurso agrupación de términos de la que se puede
afirmar si su contenido es cierto o falso.
Términos categoremáticos
tienen significado propio e independiente
Términos sincategoremáticos
se utilizan para enlazar y modificar los
términos categoremáticos
1.1 DEFINICIONES BÁSICAS 1.1 DEFINICIONES BÁSICAS
Proposición atómica
no se puede descomponer en partes que sean
a su vez proposiciones y está en afirmativo. Conectores proposicionales
términos sincategoremáticos que se utilizan
Proposición molecular para modificar o enlazar proposiciones.
formada por una o más proposiciones
atómicas modificadas o enlazadas por
términos sincategoremáticos.
1
2. 1.1 DEFINICIONES BÁSICAS 1.1 DEFINICIONES BÁSICAS
Conectores Proposicionales Monádicos Conectores Proposicionales Diádicos
se aplican a una sola proposición se aplican a dos proposiciones
Negación (no...) Conjunción (...y...)
Disyunción no exclusiva (...o...)
Disyunción exclusiva (o...o...)
Condicional (si...entonces...)
Bicondicional (...si y sólo si...)
1.1 DEFINICIONES BÁSICAS 1.1 DEFINICIONES BÁSICAS
Signo conectivo o constante lógica
Variable Proposicional símbolo que sustituye a un conector
símbolo que sustituye a una proposición proposicional.
atómica.
negación ¬
conjunción ∧
disyunción no exclusiva ∨
disyunción exclusiva ∆
condicional o implicador →
bicondicional o coimplicador ↔
1.1 DEFINICIONES BÁSICAS 1.2 OPERACIONES LÓGICAS
Y TABLAS DE VERDAD
NEGACIÓN
Fórmula lógica p ¬p
Expresión simbólica que sustituye a una
proposición molecular
0 1
1 0
2
3. 1.2 OPERACIONES LÓGICAS 1.2 OPERACIONES LÓGICAS
Y TABLAS DE VERDAD Y TABLAS DE VERDAD
CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN NO EXCLUSIVA
p q p∧q p q p∨q
0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
1.2 OPERACIONES LÓGICAS 1.2 OPERACIONES LÓGICAS
Y TABLAS DE VERDAD Y TABLAS DE VERDAD
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA CONDICIONAL
p q p∆q p q p→q
0 0 0 0 0 1
0 1 1 0 1 1
1 0 1 1 0 0
1 1 0 1 1 1
1.2 OPERACIONES LÓGICAS 1.3 IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICAS
Y TABLAS DE VERDAD
BICONDICIONAL
p q p↔q TAUTOLOGÍAS
0 0 1 PROPOSICIONES CONTRADICCIONES
0 1 0 PROPOSICIONES CONTINGENTES
1 0 0
1 1 1
3
4. 1.3 IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICAS 1.3 IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICAS
SUFICIENCIA DE LA NEGACIÓN Y LA DISYUNCIÓN
EQUIVALENCIA LÓGICA
A⇔B p∧q ⇔ ¬(¬p∨¬q)
A↔B es tautología
p→q ⇔ ¬p∨q
IMPLICACIÓN LÓGICA
A⇒B
A→B es tautología p∆q ⇔ ¬(¬p∨q)∨¬(p∨¬q)
p↔q ⇔ ¬(¬(¬p∨q)∨¬(p∨¬q))
1.3 IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICAS 1.3 IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICAS
p q ¬p ¬q p∧q ¬p∨¬q ¬(¬p∨¬q) p∧q↔¬(¬p∨¬q)
0 0 1 1 0 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1 0 1 1
1.3 IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA LÓGICAS 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN
p q ¬p p→q ¬p∨q p→q↔¬p∨q
0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
REGLAS BÁSICAS DE INFERENCIA
1 0 0 0 0 1
1 1 0 1 1 1
4
5. 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN
CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN
INTRODUCCIÓN ELIMINACIÓN INTRODUCCIÓN ELIMINACIÓN
A A∧B A∧B A B A∨B
B A
C
A∧B A B A∨B A∨B B
C
C
producto simplificación
adición prueba por casos
1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN
NEGACIÓN CONDICIONAL
INTRODUCCIÓN ELIMINACIÓN
INTRODUCCIÓN ELIMINACIÓN
A A→B
A ¬¬A
B A
B ∧ ¬B
A→B B
¬A A
absurdo doble negación
teorema de deducción modus ponens
1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN
BICONDICIONAL
INTRODUCCIÓN ELIMINACIÓN
REGLAS DE INFERENCIA DERIVADAS
A→B A↔B A↔B
B→A
A↔B A→B B→A
5
6. 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN
SILOGISMO HIPOTÉTICO
MUTACIÓN DE PREMISAS
A → (B →C)
A→B
B→C
B → (A →C)
A→C
1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN
CARGA DE PREMISAS
IDENTIDAD
A
A
A
B→ A
1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN
PROPIEDAD ASOCIATIVA
PROPIEDAD CONMUTATIVA
A∨B A∧B (A ∨ B) ∨ C (A ∧ B) ∧ C
B∨A B∧A A ∨ (B ∨ C) A ∧ (B ∧ C)
6
7. 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
PROPIEDAD DE IDEMPOTENCIA
(A ∧ B) ∨ C (A ∨ B) ∧ C A∧A A∨A
(A ∨ C) ∧ (B ∨ C) (A ∧ C) ∨ (B ∧ C) A A
1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN
LEY DE ABSORCIÓN
CONTRAPOSICIÓN
A→B
A ∧ (A ∨ B) A ∨ (A ∧ B)
¬B→¬A
A A
1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN
INTRODUCCIÓN DE LA
MODUS TOLLENS DOBLE NEGACIÓN
A→B A
¬B
¬¬A
¬A
7
8. 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN
PRINCIPIO DE NO
EX CONTRADICTIONE QUODLIBET
CONTRADICCIÓN
A ∧¬A
¬ (A ∧ ¬ A)
B
1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN
PRINCIPIO DEL TERCIO EXCLUSO
EXPORTACIÓN-IMPORTACIÓN DE
PREMISAS
A∨¬A
A → (B → C)
(A ∧ B) → C
1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN
SILOGISMO DILEMAS
DISYUNTIVO
Constructivos Destructivos
A∨B A∨B
simple compuesto simple compuesto
¬A ¬B
A∨B A∨B ¬A∨¬B ¬A∨¬B
B A A→C A→C C→A C→A
B→C B→D C→B D→B
C C∨D ¬C ¬C∨¬D
8
9. 1.4 MÉTODOS LÓGICOS DE DEMOSTRACIÓN
LEYES DE DE MORGAN
¬ (A ∨ B) ¬ (A ∧ B)
¬A ∧¬B ¬A∨¬B
9
