طبعة جديدة ومنقحة حل تمارين الكتاب شرح المواضيع الرياضية بالتفصيل وبأسلوب واضح ومفهوم لجميع المستويات حلول الاسألة الوزارية اعداد الدكتور أنس ذياب خلف email: anasdhyiab@gmail.com

1. ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬
–
‫التطبيقي‬
‫الفصل‬
‫الخامس‬
‫الاعتيادية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلات‬
‫داد‬‫ع‬‫ا‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
2021 - 2022

2. ‫تقديم‬
‫بفرعيه‬ ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬ ‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬
‫اال‬
‫و‬ ‫حيائي‬
‫سلسلة‬ ‫من‬ ‫واحدة‬ ‫هي‬ ‫التطبيقي‬
‫المالزم‬
‫الحديثة‬
‫الرياضيات‬ ‫لمادة‬
,
‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫وهي‬
‫توضيحية‬ ‫خطوات‬
‫ل‬
‫حل‬
‫مسائل‬
‫كل‬
‫مواضيع‬
‫الرياضيات‬ ‫كتاب‬
‫خ‬ ‫شرح‬ ‫مع‬
‫ط‬
‫وا‬
‫وال‬ ‫لالمثلة‬ ‫الحل‬ ‫ت‬
‫كما‬ ‫الوزارية‬ ‫االسألة‬ ‫الى‬ ‫واالشارة‬ ‫تمارين‬
‫على‬ ‫تحتوي‬
‫ال‬ ‫بعض‬
‫تمارين‬
‫اال‬
‫ضافية‬
‫الرياضات‬ ‫مادة‬ ‫تقديم‬ ‫هو‬ ‫الملزمة‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫الغرض‬ ‫ان‬ .
‫ل‬
‫من‬ ‫وذلك‬ ‫الرياضيات‬ ‫في‬ ‫الضعيف‬ ‫المستوى‬ ‫ذوي‬ ‫للطلبة‬ ‫حتى‬ ‫ومفهوم‬ ‫واضح‬ ‫باسلوب‬ ‫لطلبة‬
‫الحل‬ ‫خطوات‬ ‫شرح‬ ‫خالل‬
‫و‬ ‫الدقيق‬ ‫بالتفصل‬
‫و‬ ‫للحل‬ ‫الطرق‬ ‫ابسط‬ ‫اختيار‬
‫ا‬
‫رسوم‬ ‫ضافة‬
‫مباشرة‬ ‫لها‬ ‫المشابهة‬ ‫التمارين‬ ‫ثم‬ ‫االمثلة‬ ‫حل‬ ‫وتم‬ ‫كما‬ . ‫توضيحية‬ ‫ومخططات‬
‫ذلك‬ ‫من‬ ‫والهدف‬
‫هو‬
‫من‬ ‫الطالب‬ ‫تركيز‬ ‫ابقاء‬
‫األسأ‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫صب‬
‫و‬ ‫لة‬
‫يكون‬ ‫ان‬
‫الطالب‬
‫االسألة‬ ‫بكل‬ ً‫ا‬‫ملم‬
. ‫النقطة‬ ‫هذه‬ ‫حول‬ ‫ترد‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫التي‬
‫الى‬ ‫هذه‬ ‫جهدي‬ ‫ثمرة‬ ‫اهدي‬
‫كل‬
‫طالب‬
‫مجد‬
‫و‬
‫طموح‬
‫ساع‬
ً‫ا‬‫ي‬
‫اه‬ ‫تحقيق‬ ‫الى‬ ‫دوما‬
‫دافه‬
‫كل‬ ‫رغم‬
‫الصعوبات‬
‫ف‬ ‫والتحديات‬
‫أ‬
‫وجل‬ ‫عز‬ ‫هللا‬ ‫سأل‬
‫له‬
, ‫حياته‬ ‫في‬ ‫والنجاح‬ ‫التوفيق‬ ‫دوام‬
‫له‬ ‫وأقول‬
"
‫ن‬‫ك‬
‫ة‬‫م‬‫ق‬‫ل‬‫ا‬‫ب‬‫لا‬‫ا‬‫ي‬‫ض‬‫ر‬‫ت‬‫لا‬‫و‬‫ة‬‫م‬‫ه‬‫ال‬‫ي‬‫ل‬‫ا‬‫ع‬ً‫ا‬‫م‬‫دو‬
."
‫الدكتور‬
‫خلف‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬
07818192576
anasdhyiab@gmail.com
‫محفوظة‬ ‫الحقوق‬ ‫جميع‬
©
2021
.‫المؤلف‬ ‫بموافقة‬ ‫اال‬ ‫العمل‬ ‫هذا‬ ‫طباعة‬ ‫اعادة‬ ‫او‬ ‫قص‬ ‫او‬ ‫تعديل‬ ‫يجوز‬ ‫ال‬

4. Ordinary Differential Equations 1
‫االعتيادية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬
Ordinary Differential Equations

‫المعادلة‬
‫التفاضلية‬
‫هي‬
‫المعادلة‬
‫التي‬
‫تحتوي‬
‫على‬
‫واحدة‬ ‫مشتقة‬
‫او‬
‫أكثر‬
‫للدالة‬
‫المجهولة‬
‫في‬
. ‫المعادلة‬

‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫ودرجة‬ ‫رتبة‬

:‫الرتبة‬
. ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫موجودة‬ ‫مشتقة‬ ‫اعلى‬ ‫وهي‬

:‫الدرجة‬
‫و‬
. ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫مشتقة‬ ‫العلى‬ ‫مرفوع‬ ‫أس‬ ‫اكبر‬ ‫هي‬

5. Ordinary Differential Equations 2
‫تمرين‬
1
:
: ‫االتية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫ودرجة‬ ‫رتبة‬ ‫بين‬
a) (𝒙𝟐
− 𝒚𝟐) + 𝟑𝒙𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟎 ‫ا‬ ‫من‬
‫األولى‬ ‫والدرجة‬ ‫األولى‬ ‫لرتبة‬
b)
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐 + 𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− 𝟓𝒚 = 𝟕 ‫م‬
‫األولى‬ ‫والدرجة‬ ‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫ن‬
c) (𝒚́
́
́ )𝟑
− 𝟐𝒚́ + 𝟖𝒚 = 𝒙𝟑
+ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 ‫الثالثة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬
d) (
𝒅𝟑𝒚
𝒅𝒙𝟑)𝟐
− 𝟐 (
𝒅𝒚
𝒅𝒙
)
𝟓
+ 𝟑𝒚 = 𝟎 ‫الثانية‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬
================
==================================
:‫مالحظة‬
‫حل‬
‫المعادلة‬
‫التفاضلية‬
‫هو‬
‫اية‬
‫عالقة‬
‫بين‬
‫متغيرات‬
‫المعادلة‬
‫التفاضلية‬
‫بحيث‬
‫ان‬
‫هذه‬
‫العالقة‬
:
1
-
‫خالية‬
‫من‬
‫المشتقة‬
2
-
‫معرفة‬
‫على‬
‫فترة‬
‫معينة‬
3
-
‫تحقق‬
‫المعادلة‬
‫التفاضلية‬
===================================================
‫العالقة‬ ‫أن‬ ‫بين‬ :‫مثال‬
𝒚 = 𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙
‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬
𝒙𝒚́ = 𝒙𝟐
+ 𝒚
.
/‫الحل‬
‫للمعادلة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬
𝒚 = 𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 … (𝟏)
𝒚́ = 𝟐𝒙 + 𝟑 … (𝟐)
( ‫نعوض‬
1
( ‫و‬ )
2
‫ال‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ )
‫الطرفين‬ ‫من‬ ‫تفاضلية‬
LHS = 𝒙𝒚́ = 𝒙(𝟐𝒙 + 𝟑) = 𝟐𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 = 𝒙𝟐
+ (𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙) = 𝒙𝟐
+ 𝒚

: ‫بالتالي‬ ‫نقوم‬ ‫تفاضلية‬ ‫لمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬ ‫معادلة‬ ‫ان‬ ‫الثبات‬

‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫الموجودة‬ ‫المشتقة‬ ‫بقدر‬ ‫الحل‬ ‫معادلة‬ ‫نشتق‬

‫في‬ ‫والمشتقة‬ ‫الحل‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬
‫االيمن‬ ‫ثم‬ ‫االيسر‬ ‫الطرف‬ ‫من‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬

. ‫االيسر‬ ‫الطرف‬ = ‫االيمن‬ ‫الطرف‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫يجب‬
2014 - 1

6. Ordinary Differential Equations 3
RHS = 𝒙𝟐
+ 𝒚 = 𝒙𝟐
+ 𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 = 𝟐𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 = 𝒙(𝒙𝟐
+ 𝟑) = 𝒙𝒚́
∴
‫العالقة‬
𝒚 = 𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙
‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬
𝒙𝒚́ = 𝒙𝟐
+ 𝒚
.
================
=================================
‫العام‬ ‫الحل‬
‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬
‫التكامل‬ ) ‫ثوابت‬ ‫او‬ ( ‫ثابت‬ ‫على‬ ‫يحتوي‬ ‫الذي‬ ‫هوالحل‬
‫اما‬
.‫عليه‬ ‫يحتوي‬ ‫فال‬ ‫الخاص‬ ‫الحل‬
:‫مثال‬
‫ان‬ ‫اثبت‬
𝒚 = 𝒙. 𝐥𝐧 |𝒙| − 𝒙
‫المعادلة‬ ‫حلول‬ ‫احد‬
𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒙 + 𝒚, 𝒙 > 𝟎
:‫الحل‬
‫للم‬ ‫األولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬
‫عادلة‬
𝒚 = 𝒙. 𝐥𝐧 |𝒙| − 𝒙 … . (𝟏)
:‫وهي‬
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒙 (
𝟏
𝒙
) + 𝐥𝐧|𝒙| (𝟏) − 𝟏 . . (𝟐)
( ‫نعوض‬
1
( ‫و‬ )
2
‫الطرفين‬ ‫من‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ )
𝑳𝑯𝑺 = 𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒙 (𝒙 (
𝟏
𝒙
) + 𝐥𝐧|𝒙| (𝟏) − 𝟏 )
= 𝒙(𝟏 + 𝐥𝐧|𝒙| − 𝟏) = 𝒙 𝐥𝐧|𝒙|
𝑹𝑯𝑺 = 𝒙 + 𝒚 = 𝒙 + 𝒙. 𝐥𝐧 |𝒙| − 𝒙
= 𝒙 𝐥𝐧 |𝒙| = 𝑳𝑯𝑺
==========================================================
:‫مثال‬
‫ان‬ ‫بين‬
𝒍𝒏 𝒚𝟐
= 𝒙 + 𝒂
‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬
𝟐𝒚́ − 𝒚 = 𝟎
.
/‫الحل‬
𝒍𝒏 𝒚𝟐
= 𝒙 + 𝒂 ⟹ 𝟐𝒍𝒏 |𝒚| = 𝒙 + 𝒂 ‫الطرفين‬ ‫نشتق‬

‫بداللة‬ ‫ليس‬ ‫الحل‬ ‫معادلة‬ ‫هنا‬ ‫نالحظ‬
y
‫ب‬ ‫نقوم‬ ‫فال‬
. ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫وتعويضهما‬ ‫معادلتين‬ ‫تكوين‬
.‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫مشابهة‬ ‫لتصبح‬ ‫وترتيبها‬ ‫الحل‬ ‫معادلة‬ ‫باشتقاق‬ ‫نقوم‬ ‫بل‬
2014 - 2

7. Ordinary Differential Equations 4
⟹ [𝟐 (
𝟏
𝒚
) 𝒚́ = 𝟏 ] (× 𝒚)
⟹ 𝟐𝒚́ = 𝒚 ⟹ 𝟐𝒚́ − 𝒚 = 𝟎
∴
‫العالقة‬
𝒍𝒏 𝒚𝟐
= 𝒙 + 𝒂
‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬
𝟐𝒚́ − 𝒚 = 𝟎
.
===================================================
‫تمرين‬
9
:
‫ان‬ ‫بين‬
𝒍𝒏 |𝒚| = 𝒙𝟐
+ 𝒄
‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬
𝒚́
́ = 𝟒𝒙𝟐
𝒚 + 𝟐𝒚
.
/‫الحل‬
𝒍𝒏 |𝒚| = 𝒙𝟐
+ 𝒄 ‫الطرفين‬ ‫نشتق‬
⟹
𝟏
𝒚
𝒚́ = 𝟐𝒙 (× 𝒚) ⟹ 𝒚́ = 𝟐𝒙𝒚 ‫األولى‬ ‫المشتقة‬
⟹ 𝒚́
́ = 𝟐𝒙(𝒚́ ) + 𝟐𝒚 ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬
‫المشت‬ ‫من‬ ‫نعوض‬
‫األولى‬ ‫قة‬
⟹ 𝒚́
́ = 𝟐𝒙(𝟐𝒙𝒚) + 𝟐𝒚 ⟹ 𝒚́
́ = 𝟒𝒙𝟐
𝒚 + 𝟐𝒚
∴ 𝑳𝑯𝑺 = 𝑹𝑯𝑺
∴
‫العالقة‬
𝒍𝒏 |𝒚| = 𝒙𝟐
+ 𝒄
‫تمثل‬
‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬
𝒚́
́ = 𝟒𝒙𝟐
𝒚 + 𝟐𝒚
.
===================================================
‫مثال‬
:
‫هل‬
𝒚 = 𝒙𝟑
+ 𝒙 − 𝟐
‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐 = 𝟔𝒙
‫؟‬
: ‫الحل‬
𝒚 = 𝒙𝟑
+ 𝒙 − 𝟐 ⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟑𝒙𝟐
+ 𝟏 ‫األولى‬ ‫المشتقة‬
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐 = 𝟔𝒙 ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬

‫نال‬
‫حظ‬
‫لمعادلة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫اذا‬ , ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫على‬ ‫تحوي‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬
. ‫الحل‬
2011 - 1

8. Ordinary Differential Equations 5
‫للمعادلة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬
𝒚 = 𝒙𝟑
+ 𝒙 − 𝟐
‫التفاضية‬ ‫المعادلة‬ =
∴
‫العالقة‬
𝒚 = 𝒙𝟑
+ 𝒙 − 𝟐
‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬
‫التفاضلية‬
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐 = 𝟔𝒙
.
=================================================
=
:‫مثال‬
‫ان‬ ‫برهن‬
𝒚 = 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙
‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬
𝒚́
́ + 𝟒𝒚 = 𝟎
.
:‫الحل‬
‫الحل‬ ‫لمعادلة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬
y
.
𝒚 = 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 … . (𝟏)
𝒚́ = −𝟑𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙(𝟐) + 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙(𝟐) = −𝟔𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 + 𝟒𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙
𝒚́
́ = −𝟔𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙(𝟐) − 𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 (𝟐) = −𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 − 𝟖𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 … . (𝟐)
( ‫نعوض‬
1
( ‫و‬ )
2
‫ف‬ )
‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫ي‬
𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́
́ + 𝟒𝒚 = −𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 − 𝟖𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 + 𝟒(𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 )
= −𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 − 𝟖𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 + 𝟏𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝟖𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 = 𝟎 = 𝑹𝑯𝑺
===================================================
‫تمرين‬
2
:
‫ان‬ ‫برهن‬
𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙
‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬
𝒚́
́ + 𝒚 = 𝟎
.
:‫الحل‬
‫الحل‬ ‫لمعادلة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬
y
.
𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 … . (𝟏)
𝒚́ = 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒚́
́ = − 𝒔𝒊𝒏 𝒙 … . (𝟐)
( ‫نعوض‬
1
( ‫و‬ )
2
‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ )
𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́
́ + 𝒚 = −𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝟎 = 𝑹𝑯𝑺
2015 - ‫ت‬

9. Ordinary Differential Equations 6
‫تمرين‬
3
:
‫ان‬ ‫برهن‬
‫العالقة‬
𝒔 = 𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕
‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬
𝒅𝟐𝒔
𝒅𝒕𝟐 + 𝟗𝒔 = 𝟎
.
:‫الحل‬
‫الحل‬ ‫لمعادلة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬
s
.
𝒔 = 𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 … . (𝟏)
𝒅𝒔
𝒅𝒕
= −𝟖𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕(𝟑) + 𝟔𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕(𝟑) = −𝟐𝟒𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 + 𝟏𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕
𝒅𝟐𝒔
𝒅𝒕𝟐 = −𝟐𝟒 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕(𝟑) − 𝟏𝟖 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 (𝟑) = −𝟕𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 − 𝟓𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 … . (𝟐)
( ‫نعوض‬
1
( ‫و‬ )
2
‫الم‬ ‫في‬ )
‫التفاضلية‬ ‫عادلة‬
𝑳𝑯𝑺 =
𝒅
𝟐
𝒔
𝒅𝒕
𝟐
+ 𝟗𝒔 = −𝟕𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 − 𝟓𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 + 𝟗(𝟖 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝟔𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 )
= −𝟕𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 − 𝟓𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 + 𝟕𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝟓𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 = 𝟎 = 𝑹𝑯𝑺
=========================================================
‫تم‬
‫رين‬
5
:
‫هل‬
𝒚 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙
‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬
𝒚́
́ = 𝟐𝒚(𝟏 + 𝒚𝟐
)
.
:‫الحل‬
‫الحل‬ ‫لمعادلة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬
y
.
𝒚 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙 … . (𝟏)
𝒚́ = 𝒔𝒆𝒄𝟐
𝒙
𝒚́
́ = 𝟐 𝒔𝒆𝒄 𝒙 (𝒔𝒆𝒄 𝒙 . 𝒕𝒂𝒏 𝒙) = 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐
𝒙 … . (𝟐)
2013 - ‫ت‬

10. Ordinary Differential Equations 7
( ‫نعوض‬
1
)
( ‫و‬
2
‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ )
‫العالقة‬ ‫ونستخدم‬
𝒔𝒆𝒄𝟐
𝒙 = (𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐
𝒙)
𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́
́ = 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐
𝒙 = 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 (𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝟐
𝒙)
= 𝟐𝒚(𝟏 + 𝒚𝟐) = 𝑹𝑯𝑺
==========================================================
‫تمرين‬
7
:
‫هل‬
𝒚𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙
‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬
𝒙𝒚́
́ + 𝟐 𝒚́ + 𝟐𝟓𝒙𝒚 = 𝟎
‫؟‬
:‫الحل‬
‫المشتقة‬ ‫نجد‬
‫و‬ ‫األولى‬
‫الثانية‬
‫ل‬
‫لمعادلة‬
𝒚𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙
.
𝒚𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 … (𝟏)
𝒚(𝟏) + 𝒙𝒚́ = 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 (𝟓) ⟹ 𝒚 + 𝒙𝒚́ = 𝟓 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 ‫األولى‬ ‫المشتقة‬
𝒚́ + 𝒙𝒚́
́ + 𝒚́ (𝟏) = −𝟓 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 (𝟓)
⟹ 𝒚́ + 𝒙𝒚́
́ + 𝒚́ = −𝟐𝟓 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙 ‫من‬ ‫وبالتعويض‬ , ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬
1
⟹ 𝒚́ + 𝒙𝒚́
́ + 𝒚́ = −𝟐𝟓 𝒙𝒚 ⟹ 𝒚́ + 𝒙𝒚́
́ + 𝒚́ + 𝟐𝟓 𝒙𝒚 = 𝟎
∴
𝒚𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙
ً‫ال‬‫ح‬ ‫تمثل‬
‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬
𝒙𝒚́
́ + 𝟐 𝒚́ + 𝟐𝟓𝒙𝒚 = 𝟎
‫النه‬
. ‫يحققها‬
===================================================
:‫مثال‬
‫هل‬
𝒚𝟐
= 𝟑𝒙𝟐
+ 𝒙𝟑
‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬
𝒚𝒚́
́ + (𝒚́ )𝟐
− 𝟑𝒙 = 𝟓
‫؟‬
:‫الحل‬
𝒚𝟐
= 𝟑𝒙𝟐
+ 𝒙𝟑
⟹ 𝟐𝒚𝒚́ = 𝟔𝒙 + 𝟑𝒙𝟐
⟹ [𝟐𝒚(𝒚́
́ ) + 𝒚́ (𝟐𝒚́ ) = 𝟔 + 𝟔𝒙] (÷ 𝟐) ⟹ 𝒚𝒚́
́ + (𝒚́ )𝟐
= 𝟑 + 𝟑𝒙
⟹ 𝑳𝑯𝑺 = 𝒚𝒚́
́ + (𝒚́ )𝟐
− 𝟑𝒙 = 𝟑 ≠ 𝟓 = 𝑹𝑯𝑺
∴
‫االيمن‬ ‫الطرف‬
≠
‫االيسر‬ ‫الطرف‬
∴
𝒚𝟐
= 𝟑𝒙𝟐
+ 𝒙𝟑
‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ ‫ليس‬
𝒚𝒚́
́ + (𝒚́ )𝟐
− 𝟑𝒙 = 𝟓
. ‫يحققها‬ ‫ال‬ ‫النه‬
2011 – 2, 2015 - 1

11. Ordinary Differential Equations 8
‫تمرين‬
4
:
‫هل‬
‫ان‬
𝒚 = 𝒙 + 𝟐
‫ل‬ ً‫ال‬‫ح‬
‫لمعادلة‬
𝒚́
́ + 𝟑𝒚́ + 𝒚 = 𝒙
‫؟‬
/‫الحل‬
‫للمعادلة‬ ‫والثانية‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬
𝒚 = 𝒙 + 𝟐 … (𝟏)
𝒚́ = 𝟏 … (𝟐)
𝒚́
́ = 𝟎 … (𝟑)
( ‫نعوض‬
1
( ‫و‬ )
2
)
( ‫و‬
3
)
‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬
𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́
́ + 𝟑𝒚́ + 𝒚 = 𝟎 + 𝟑(𝟏) + 𝒙 + 𝟐 = 𝒙 + 𝟓 ≠ 𝒙 = 𝑹𝑯𝑺
∴
‫العالقة‬
𝒚 = 𝒙 + 𝟐
‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ ‫ليست‬
𝒚́
́ + 𝟑𝒚́ + 𝒚 = 𝒙
.
==================
===========================
‫تمرين‬
6
:
‫هل‬
𝟐𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝟏
‫ل‬ ً‫ال‬‫ح‬
‫لمعادل‬
‫ة‬
𝒚𝟑
𝒚́
́ = −𝟐
‫؟‬
/‫الحل‬
‫للمعادلة‬ ‫والثانية‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬
𝟐𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝟏 … (𝟏)
[𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 𝒚́ = 𝟎] ÷ 𝟐 ⟹ 𝟐𝒙 + 𝒚 𝒚́ = 𝟎 ‫األولى‬ ‫المشتقة‬
⟹ 𝒚 𝒚́ = −𝟐𝒙 ⟹ 𝒚́ =
−𝟐𝒙
𝒚
… . (𝟐)
𝟐 + 𝒚(𝒚́
́ ) + 𝒚́ ( 𝒚́ ) = 𝟎 ⟹ 𝟐 + 𝒚𝒚́
́ + (𝒚́ )𝟐
= 𝟎 ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬
( ‫نعوض‬
2
‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬ )
⟹ 𝟐 + 𝒚𝒚́
́ + (
−𝟐𝒙
𝒚
)
𝟐
= 𝟎 ⟹ [𝟐 + 𝒚𝒚́
́ +
𝟒𝒙𝟐
𝒚𝟐
= 𝟎] × 𝒚𝟐
⟹ 𝟐𝒚𝟐
+ 𝒚𝟑
𝒚́
́ + 𝟒𝒙𝟐
= 𝟎 ⟹ 𝒚𝟑
𝒚́
́ = −𝟒𝒙𝟐
− 𝟐𝒚𝟐
⟹ 𝒚𝟑
𝒚́
́ = −𝟐(𝟐𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
) ( ‫من‬ ‫نعوض‬
1
)
⟹ 𝒚𝟑
𝒚́
́ = −𝟐(𝟏) ⟹ 𝒚𝟑
𝒚́
́ = −𝟐
𝑳𝑯𝑺 = 𝑹𝑯𝑺
∴
‫العالقة‬
𝟐𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝟏
‫تمث‬
‫ل‬
‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬
𝒚𝟑
𝒚́
́ = −𝟐
.
===================================================

12. Ordinary Differential Equations 9
:‫مثال‬
‫أن‬ ‫بين‬
𝒚 = 𝒆𝟐𝒙
+ 𝒆−𝟑𝒙
‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ ‫هو‬
𝒚́
́ + 𝒚́ − 𝟔𝒚 = 𝟎
.
:‫الحل‬
𝒚 = 𝒆𝟐𝒙
+ 𝒆−𝟑𝒙
… . (𝟏)
𝒚́ = 𝟐𝒆𝟐𝒙
− 𝟑𝒆−𝟑𝒙
… (𝟐) ‫األولى‬ ‫المشتقة‬
𝒚́
́ = 𝟒𝒆𝟐𝒙
+ 𝟗𝒆−𝟑𝒙
… (𝟑) ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬
‫نعوض‬
𝒚
‫و‬
𝒚́
‫و‬
𝒚́
́
: ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬
𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́
́ + 𝒚́ − 𝟔𝒚
= 𝟒𝒆𝟐𝒙
+ 𝟗𝒆−𝟑𝒙
+ 𝟐𝒆𝟐𝒙
− 𝟑𝒆−𝟑𝒙
− 𝟔(𝒆𝟐𝒙
+ 𝒆−𝟑𝒙
)
= 𝟔𝒆𝟐𝒙
+ 𝟔𝒆−𝟑𝒙
− 𝟔𝒆𝟐𝒙
− 𝟔𝒆−𝟑𝒙
= 𝟎 = 𝑹𝑯𝑺
∴
‫العالقة‬
𝒚 = 𝒆𝟐𝒙
+ 𝒆−𝟑𝒙
‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬
𝒚́
́ + 𝒚́ − 𝟔𝒚 = 𝟎
.
==================================================
‫تمرين‬
8
:
‫أن‬ ‫بين‬
𝒚 = 𝒂𝒆−𝒙
‫للمعادلة‬ ً‫ال‬‫ح‬ ‫هو‬
𝒚́ + 𝒚 = 𝟎
.
:‫الحل‬
𝒚 = 𝒂𝒆−𝒙
… . (𝟏)
𝒚́ = −𝒂𝒆−𝒙
… (𝟐) ‫األولى‬ ‫المشتقة‬
‫نعوض‬
𝒚
‫و‬
𝒚́
: ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬
𝑳𝑯𝑺 = 𝒚́ + 𝒚
= −𝒂𝒆−𝒙
+ 𝒂𝒆−𝒙
= 𝟎 = 𝑹𝑯𝑺
∴
‫العالقة‬
𝒚 = 𝒂𝒆−𝒙
‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬
𝒚́ + 𝒚 = 𝟎
.
2012 – 3, 2013-1
2016 – 1, 2016-3, 2015-3

13. Ordinary Differential Equations 10
‫الم‬ ‫حل‬ ‫طرق‬ ‫بعض‬
‫التفاضلية‬ ‫عادالت‬

‫متغيراتها‬ ‫تنفصل‬ ‫التي‬ ‫المعادالت‬ : ً‫ال‬‫او‬
:‫بـ‬ ‫نقوم‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫لحل‬

‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫وجد‬ ‫اذا‬
𝒚́
‫بدله‬ ‫نضع‬
𝒅𝒚
𝒅𝒙
.

‫عزل‬
x
‫مع‬
dx
‫األيمن‬ ‫الطرف‬ ‫في‬
‫و‬
y
‫مع‬
dy
‫األيسر‬ ‫الطرف‬ ‫في‬
.

. ‫الطرفين‬ ‫نكامل‬
====================
=============================
=======
:‫مثال‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟐𝒙 + 𝟓
.
:‫الحل‬
[
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟐𝒙 + 𝟓] × 𝒅𝒙
⟹ 𝒅𝒚 = (𝟐𝒙 + 𝟓)𝒅𝒙
⟹ ∫ 𝒅𝒚 = ∫(𝟐𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙
⟹ 𝒚 =
𝟐𝒙𝟐
𝟐
+ 𝟓𝒙 + 𝒄
⟹ 𝒚 = 𝒙𝟐
+ 𝟓𝒙 + 𝒄
==========================================================
:‫مثال‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒙−𝟏
𝒚
.
:‫الحل‬
‫طرفين‬ ‫نضرب‬
×
‫وسطين‬
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒙 − 𝟏
𝒚
⟹ 𝒚 𝒅𝒚 = (𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙

14. Ordinary Differential Equations 11
⟹ ∫ 𝒚 𝒅𝒚 = ∫(𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙
⟹ [
𝟏
𝟐
𝒚𝟐
=
𝟏
𝟐
𝒙𝟐
− 𝒙 + 𝒄 ] × 𝟐
⟹ 𝒚𝟐
= 𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟐𝒄
⟹ 𝒚 = ±√𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝒄𝟏
‫حيث‬
𝒄𝟏 = 𝟐𝒄
. ‫اختياري‬ ‫ثابت‬
========
==================================================
:‫مثال‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬
‫التفاضلية‬
𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐
𝒚 𝒅𝒙
.
:‫الحل‬
[𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐
𝒚 𝒅𝒙] ÷ 𝒄𝒐𝒔𝟐
𝒚
⟹
𝒅𝒚
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚
= 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙
⟹ 𝒔𝒆𝒄𝟐
𝒚 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙
⟹ ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐
𝒚 𝒅𝒚 = ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒙
⟹ 𝒕𝒂𝒏 𝒚 = −𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒄
==========================================================
:‫مثال‬
‫اوجد‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬
‫التفاضلية‬
𝒚́ − 𝒙√𝒚 = 𝟎
‫عندما‬
y=9
‫و‬
x=2
.
:‫الحل‬
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒙√𝒚
⟹ [𝒅𝒚 = 𝒙 (𝒚)
𝟏
𝟐 𝒅𝒙] ÷ (𝐲)
𝟏
𝟐
⟹ (𝒚)−
𝟏
𝟐𝒅𝒚 = 𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚
= 𝒔𝒆𝒄𝟐
𝒚
𝒚́ =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
2016 - 1

15. Ordinary Differential Equations 12
⟹ ∫(𝒚)−
𝟏
𝟐 𝒅𝒚 = ∫ 𝒙 𝒅𝒙
⟹ 𝟐(𝒚)
𝟏
𝟐 =
𝒙 𝟐
𝟐
+ 𝒄 ‫الطرفي‬ ‫بيع‬ ‫ر‬
‫بت‬
⟹ 𝟐(𝟗)
𝟏
𝟐 =
(𝟐)𝟐
𝟐
+ 𝒄
⟹ 𝟐(𝟑) = 𝟐 + 𝒄 ⟹ 𝒄 = 𝟔 − 𝟐 = 𝟒
⟹ 𝟒𝒚 =
𝟏
𝟒
𝒙𝟒
+ 𝟒𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟔
⟹ 𝒚 =
𝟏
𝟏𝟔
𝒙𝟒
+ 𝒙 𝟐
+ 𝟒
==========================================================
:‫مثال‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬
‫التفاضلية‬
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒆𝟐𝒙+𝒚
‫حيث‬
y=0
‫عندما‬
x=0
.
:‫الحل‬
[
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒆𝟐𝒙+𝒚
] × 𝒅𝒙 ⟹ 𝒅𝒚 = 𝒆𝟐𝒙
𝒆𝒚
𝒅𝒙
⟹ 𝒆−𝒚𝒅𝒚 = 𝒆𝟐𝒙 𝒅𝒙
⟹ − ∫ 𝒆−𝒚 𝒅𝒚 =
𝟏
𝟐
∫ 𝒆𝟐𝒙 (𝟐) 𝒅𝒙
⟹ − 𝒆−𝒚 =
𝟏
𝟐
𝒆𝟐𝒙 + 𝒄
⟹ − 𝒆𝟎 =
𝟏
𝟐
𝒆𝟐(𝟎)
+ 𝒄 ⟹ − 𝟏 =
𝟏
𝟐
(𝟏) + 𝒄 ⟹ 𝒄 = −𝟏 −
𝟏
𝟐
= −
𝟑
𝟐
⟹ [− 𝒆−𝒚 =
𝟏
𝟐
𝒆𝟐𝒙 −
𝟑
𝟐
] (× −𝟏) ⟹ 𝒆−𝒚 =
𝟑
𝟐
−
𝟏
𝟐
𝒆𝟐𝒙
⟹
𝟏
𝒆𝒚 =
(𝟑 − 𝒆𝟐𝒙)
𝟐
⟹ 𝒆𝒚 =
𝟐
(𝟑 − 𝒆𝟐𝒙)
‫ل‬
‫الختياري‬ ‫الثابت‬ ‫قيمة‬ ‫يجاد‬
c
‫نعوض‬
‫ي‬
‫ر‬
‫قيمت‬
x
‫و‬
y
𝒆𝒙+𝒚
= 𝒆𝒙
. 𝒆𝒚
‫التكامالت‬ ‫داخل‬ ‫الدوال‬ ‫مشتقات‬‫نوفر‬
‫ل‬
‫الختياري‬ ‫الثابت‬ ‫قيمة‬ ‫يجاد‬
c
‫نعوض‬
‫ي‬
‫ر‬
‫قيمت‬
x
‫و‬
y
‫وباخذ‬
ln
‫للطرفي‬

16. Ordinary Differential Equations 13
⟹ 𝒚 = 𝒍𝒏 |
𝟐
(𝟑 − 𝒆𝟐𝒙)
|
==========================================================
:‫مثال‬
‫ال‬ ‫جد‬
‫حل‬
‫ل‬ ‫العام‬
‫لمعادلة‬
‫التفاضلية‬
(𝒙 + 𝟏)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟐𝒚
.
:‫الحل‬
[(𝒙 + 𝟏)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟐𝒚] × 𝒅𝒙 ⟹ [(𝒙 + 𝟏)𝒅𝒚 = 𝟐𝒚𝒅𝒙] ÷ [𝟐𝒚, (𝒙 + 𝟏)]
⟹
𝒅𝒚
𝒚
= 𝟐
𝒅𝒙
(𝒙 + 𝟏)
⟹ ∫
𝒅𝒚
𝒚
= 𝟐 ∫
𝒅𝒙
(𝒙 + 𝟏)
⟹ 𝒍𝒏 |𝒚| = 𝟐𝒍𝒏 |𝒙 + 𝟏| + 𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒚| − 𝒍𝒏(𝒙 + 𝟏)𝟐
= 𝒄
⟹ 𝒍𝒏
|𝒚|
(𝒙 + 𝟏)𝟐
= 𝒄 ⟹
|𝒚|
(𝒙 + 𝟏)𝟐
= 𝒄𝟏
⟹ |𝒚| = 𝒄𝟏(𝒙 + 𝟏)𝟐
⟹ 𝒚 = ±𝒄𝟏(𝒙 + 𝟏)𝟐
‫حيث‬
𝒄𝟏 = 𝒆𝒄
. ‫اختياري‬ ‫ثابت‬
==================================================================
‫تمرين‬
1
:
: ‫ات‬‫المتغت‬ ‫فصل‬ ‫بطريقة‬ ‫التية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلت‬ ‫حل‬
a) 𝒚́ 𝒄𝒐𝒔𝟑
𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙
Sol
[
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙] × 𝒅𝒙 ⟹ [𝒅𝒚 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙] ÷ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙
⟹ 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔−𝟑𝒙 𝒅𝒙
⟹ ∫ 𝒅𝒚 = −∫ 𝒄𝒐𝒔−𝟑𝒙 (−𝒔𝒊𝒏 𝒙 ) 𝒅𝒙
⟹ 𝒚 = −(−
𝟏
𝟐
𝒄𝒐𝒔−𝟐𝒙) + 𝒄
‫باخذ‬
e
‫للطرفي‬
𝒚́ =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
2015 - 2

17. Ordinary Differential Equations 14
⟹ 𝒚 =
𝟏
𝟐
𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 + 𝒄
==========================================================
b)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒙𝒚 = 𝟑𝒙, 𝒙 = 𝟏, 𝒚 = 𝟐
Sol
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒙𝒚 = 𝟑𝒙 ⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟑𝒙 − 𝒙𝒚 ⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒙(𝟑 − 𝒚)
⟹
𝒅𝒚
(𝟑 − 𝒚)
= 𝒙 𝒅𝒙 ⟹ ∫
𝒅𝒚
(𝟑 − 𝒚)
= ∫ 𝒙 𝒅𝒙
⟹ −𝒍𝒏 |𝟑 − 𝒚| =
𝟏
𝟐
𝒙𝟐
+ 𝒄
⟹ −𝒍𝒏 |𝟑 − 𝟐| =
𝟏
𝟐
(𝟏)𝟐
+ 𝒄 ⟹ 𝟎 =
𝟏
𝟐
(𝟏)𝟐
+ 𝒄 ⟹ 𝒄 = −
𝟏
𝟐
⟹ −𝒍𝒏 |𝟑 − 𝒚| =
𝟏
𝟐
𝒙𝟐
−
𝟏
𝟐
⟹ −𝒍𝒏 |𝟑 − 𝒚| =
(𝒙𝟐
− 𝟏)
𝟐
⟹ 𝒍𝒏 |𝟑 − 𝒚| =
(𝟏 − 𝒙𝟐
)
𝟐
⟹ 𝟑 − 𝒚 = 𝒆
(𝟏−𝒙𝟐)
𝟐
⟹ 𝒚 = 𝟑 − 𝒆
(𝟏−𝒙𝟐)
𝟐
==========================================================
c)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= (𝒙 + 𝟏)(𝒚 − 𝟏)
Sol
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= (𝒙 + 𝟏)(𝒚 − 𝟏) ⟹
𝒅𝒚
(𝒚 − 𝟏)
= (𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙
‫ي‬
‫قيم‬ ‫وبتعويض‬
x
‫و‬
y
Ln (1)=0
‫باخذ‬
e
‫للطرفي‬
2013 – 2, 2014-3

18. Ordinary Differential Equations 15
⟹ ∫
𝒅𝒚
(𝒚 − 𝟏)
= ∫(𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 ⟹ 𝒍𝒏 |𝒚 − 𝟏| =
𝒙𝟐
𝟐
+ 𝒙 + 𝒄
⟹ 𝒆𝒍𝒏 |𝒚−𝟏|
= 𝒆
𝒙𝟐
𝟐
+𝒙
.𝒆𝒄 ⟹ 𝒚 − 𝟏 = 𝒄𝟏𝒆
𝒙𝟐
𝟐
+𝒙
∴ 𝒚 = 𝟏 + 𝒄𝟏𝒆
𝒙𝟐
𝟐
+𝒙
d) (𝒚𝟐
+ 𝟒𝒚 − 𝟏)𝒚́ = 𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟑
Sol
[(𝒚𝟐
+ 𝟒𝒚 − 𝟏)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟑] × 𝒅𝒙
⟹ (𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 − 𝟏)𝒅𝒚 = (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙
⟹ ∫(𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 − 𝟏) 𝒅𝒚 = ∫(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙
⟹
𝒚𝟑
𝟑
+
𝟒𝒚𝟐
𝟐
− 𝒚 =
𝒙𝟑
𝟑
−
𝟐𝒙𝟐
𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝒄
⟹ [
𝟏
𝟑
𝒚𝟑 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝒚 =
𝟏
𝟑
𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝒄] × 𝟑
∴ 𝒚𝟑
+ 𝟔𝒚𝟐
− 𝟑𝒚 = 𝒙𝟑
− 𝟑𝒙𝟐
+ 𝟗𝒙 + 𝒄𝟏
==========================================================
e) 𝒚𝒚́ = 𝟒 √(𝟏 + 𝒚𝟐)𝟑
Sol
[𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟒 (𝟏 + 𝒚𝟐)
𝟑
𝟐] × 𝒅𝒙
⟹ (𝟏 + 𝒚𝟐)
−
𝟑
𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟒 𝒅𝒙 ⟹ ∫(𝟏 + 𝒚𝟐)
−
𝟑
𝟐 𝒚 𝒅𝒚 = ∫ 𝟒 𝒅𝒙
⟹
𝟏
𝟐
∫(𝟏 + 𝒚𝟐)
−
𝟑
𝟐 (𝟐) 𝒚 𝒅𝒚 = ∫ 𝟒 𝒅𝒙 ⟹ −
𝟐
𝟐
(𝟏 + 𝒚𝟐)
−
𝟏
𝟐 = 𝟒 𝒙 + 𝒄
‫باخذ‬
e
‫للطرفي‬
‫حيث‬
𝒄𝟏 = 𝟑𝒄
. ‫اختياري‬ ‫ثابت‬

19. Ordinary Differential Equations 16
⟹ [−
𝟏
(𝟏+𝒚𝟐)
𝟏
𝟐
= 𝟒 𝒙 + 𝒄] ‫الطرفي‬ ‫بيع‬ ‫ر‬
‫بت‬⟹
𝟏
𝟏+𝒚𝟐 = (𝟒 𝒙 + 𝒄)
𝟐
⟹ 𝟏 + 𝒚𝟐 =
𝟏
(𝟒 𝒙 + 𝒄)
𝟐
∴ 𝒚 = √
𝟏
(𝟒 𝒙 + 𝒄)𝟐
− 𝟏
==========================================================
f) 𝒆𝒙
𝒅𝒙 − 𝒚𝟑
𝒅𝒚 = 𝟎
Sol
𝒆𝒙
𝒅𝒙 − 𝒚𝟑
𝒅𝒚 = 𝟎 ⟹ 𝒚𝟑
𝒅𝒚 = 𝒆𝒙
𝒅𝒙
⟹ ∫ 𝒚𝟑 𝒅𝒚 = ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹
𝟏
𝟒
𝒚𝟒 = 𝒆𝒙 + 𝒄
⟹ 𝒚𝟒 = 𝟒𝒆𝒙 + 𝟒𝒄
∴ 𝒚 = √𝟒𝒆𝒙 + 𝒄𝟏
𝟒
==========================================================
g) 𝒚́ = 𝟐𝒆𝒙
𝒚𝟑
, 𝒙 = 𝟎, 𝒚 =
𝟏
𝟐
Sol
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟐𝒆𝒙
𝒚𝟑
⟹ 𝒅𝒚 = 𝟐𝒆𝒙
𝒚𝟑
𝒅𝒙 ⟹ 𝒚−𝟑
𝒅𝒚 = 𝟐𝒆𝒙
𝒅𝒙
⟹ ∫ 𝒚−𝟑 𝒅𝒚 = 𝟐 ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙 ⟹
𝒚−𝟐
−𝟐
= 𝟐𝒆𝒙 + 𝒄
⟹ −
𝟏
𝟐
𝟏
(
𝟏
𝟐
)
𝟐
= 𝟐𝒆𝟎 + 𝒄 ⟹ −
𝟒
𝟐
= 𝟐(𝟏) + 𝒄 ⟹ 𝒄 = −𝟐 − 𝟐 = −𝟒
‫حيث‬
𝒄𝟏 = 𝟑𝒄
. ‫اختياري‬ ‫ثابت‬
2013 - 3

20. Ordinary Differential Equations 17
⟹
𝒚−𝟐
−𝟐
= 𝟐𝒆𝒙 − 𝟒 ⟹
𝟏
𝒚𝟐
= 𝟖 − 𝟒𝒆𝒙 ⟹ 𝒚 = √
𝟏
(𝟖 − 𝟒𝒆𝒙
)
==========================================================
‫تمرين‬
2
: ‫التية‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلت‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫جد‬ :
a) 𝒙𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒚𝟐
= 𝟏 − 𝒚𝟐
Sol
𝒙𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒚𝟐
= 𝟏 − 𝒚𝟐
⟹ 𝒙𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟏 − 𝟐𝒚𝟐
⟹
𝒚
𝟏 − 𝟐𝒚𝟐
𝒅𝒚 =
𝒅𝒙
𝒙
⟹ −
𝟏
𝟒
∫
(−𝟒)𝒚
𝟏 − 𝟐𝒚𝟐
𝒅𝒚 = ∫
𝒅𝒙
𝒙
⟹ −
𝟏
𝟒
𝒍𝒏 |𝟏 − 𝟐𝒚𝟐| = 𝒍𝒏|𝒙| + 𝒄
⟹ 𝒍𝒏 |𝟏 − 𝟐𝒚𝟐| = −𝟒 𝒍𝒏|𝒙| − 𝟒𝒄 ⟹ 𝒍𝒏 |𝟏 − 𝟐𝒚𝟐| = 𝒍𝒏|𝒙|−𝟒 + 𝒍𝒏𝒆𝒄𝟏
⟹ 𝒍𝒏 |𝟏 − 𝟐𝒚𝟐| = 𝒍𝒏(𝒙−𝟒.𝒆𝒄𝟏)
⟹ 𝟏 − 𝟐𝒚𝟐 = 𝒄𝟐 𝒙−𝟒 ⟹ 𝟐𝒚𝟐 = 𝟏 − 𝒄𝟐 𝒙−𝟒
⟹ 𝒚𝟐 =
𝟏 − 𝒄𝟐 𝒙−𝟒
𝟐
⟹ 𝒚 = ±√
𝟏 − 𝒄𝟐 𝒙−𝟒
𝟐
=========================================================
b) 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒚 = 𝟎
Sol
𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒚 = 𝟎
⟹
𝒄𝒐𝒔 𝒚
𝒔𝒊𝒏𝒚
𝒅𝒚 = −
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝒙
𝒅𝒙
‫باخذ‬
e
‫للطرفي‬
‫حيث‬
, 𝒄𝟐 = 𝒆𝒄𝟏, 𝒄𝟏 = 𝟒𝒄
. ‫اختيارية‬ ‫ثوابت‬

21. Ordinary Differential Equations 18
⟹ ∫
𝒄𝒐𝒔 𝒚
𝒔𝒊𝒏𝒚
𝒅𝒚 = − ∫
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝒙
𝒅𝒙
⟹ 𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏𝒚| = −𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝒙| + 𝒄
⟹ 𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏𝒚| = 𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏 𝒙−𝟏
| + 𝒍𝒏 𝒆𝒄
⟹ 𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏𝒚| = 𝒍𝒏(𝒔𝒊𝒏 𝒙−𝟏
.𝒆𝒄)
⟹ 𝒔𝒊𝒏𝒚 = 𝒄𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒙−𝟏
==========================================================
c) 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐
𝒚 𝒅𝒙 + 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎
Sol
𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒚 = −𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐
𝒚 𝒅𝒙
⟹
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚
𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒚 = −𝒙 𝒅𝒙
⟹ ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐
𝒚 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒚 = −∫ 𝒙 𝒅𝒙
⟹
𝟏
𝟐
𝒕𝒂𝒏𝟐
𝒚 = −
𝟏
𝟐
𝒙𝟐
+ 𝒄
∴ 𝒕𝒂𝒏𝟐
𝒚 = 𝒄𝟏 − 𝒙𝟐
==========================================================
d) 𝒕𝒂𝒏𝟐
𝒚 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝟑
𝒙 𝒅𝒙
Sol
𝒕𝒂𝒏𝟐
𝒚 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝟑
𝒙 𝒅𝒙
⟹ 𝒕𝒂𝒏𝟐
𝒚 𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝟐
𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙
⟹ (𝒔𝒆𝒄𝟐
𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒚 = (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐
𝒙) 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙
⟹ (𝒔𝒆𝒄𝟐
𝒙 − 𝟏)𝒅𝒚 = (𝒔𝒊𝒏𝒙 − 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐
𝒙) 𝒅𝒙
‫باخذ‬
e
‫للطرفي‬
‫حيث‬
𝒄𝟏 = 𝒆𝒄
‫ث‬
. ‫اختياري‬ ‫ابت‬
𝒔𝒆𝒄𝟐
𝒚 =
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚
‫حيث‬
𝒄𝟏 = 𝟐𝒄
‫ث‬
. ‫اختياري‬ ‫ابت‬
𝒔𝒊𝒏𝟐
𝒙 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐
𝒙
𝒕𝒂𝒏𝟐
𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝟐
𝒙 − 𝟏

22. Ordinary Differential Equations 19
⟹ ∫(𝒔𝒆𝒄𝟐
𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒚 = ∫(𝒔𝒊𝒏𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝟐
𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 ) 𝒅𝒙
∴ 𝒕𝒂𝒏 𝒚 − 𝒚 = −𝒄𝒐𝒔𝒙 −
𝟏
𝟑
𝒄𝒐𝒔𝟑
𝒙 + 𝒄
==========================================================
e)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒄𝒐𝒔𝟐
𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐
𝒚
Sol
𝒅𝒚
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚
= 𝒄𝒐𝒔𝟐
𝒙 𝒅𝒙
⟹ 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒚 𝒅𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒅𝒙
⟹ ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒚 𝒅𝒚 = ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒅𝒙
⟹ 𝒕𝒂𝒏 𝒚 =
𝟏
𝟐
(𝒙 +
𝟏
𝟐
𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙) + 𝒄
==========================================================
f)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝟑𝒚𝟐+𝒆𝒚
Sol
(𝟑𝒚𝟑
+ 𝒆𝒚)𝒅𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙
⟹ ∫(𝟑𝒚𝟐 + 𝒆𝒚) 𝒅𝒚 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙
⟹ 𝒚𝟑 + 𝒆𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄
==========================================================
g) 𝒆𝒙+𝟐𝒚
+ 𝒚́ = 𝟎
Sol
𝒔𝒆𝒄𝟐
𝒚 =
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒚
𝒄𝒐𝒔𝟐
𝒙 = 𝟏 +
𝟏
𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙
2011 – 1, 2013 - ‫ت‬

23. Ordinary Differential Equations 20
𝒆𝒙+𝟐𝒚
+
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟎
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −(𝒆𝒙 .𝒆𝟐𝒚)
⟹ 𝒆−𝟐𝒚𝒅𝒚 = −𝒆𝒙 𝒅𝒙
⟹ −
𝟏
𝟐
∫ 𝒆−𝟐𝒚 (−𝟐)𝒅𝒚 = −∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙
⟹ −
𝟏
𝟐
𝒆−𝟐𝒚 = −𝒆𝒙 + 𝒄
⟹ 𝒆−𝟐𝒚 = 𝟐𝒆𝒙 + 𝒄𝟏
⟹ −𝟐𝒚 = 𝒍𝒏|𝟐𝒆𝒙 + 𝒄𝟏|
∴ 𝒚 = −
𝒍𝒏|𝟐𝒆𝒙 + 𝒄𝟏|
𝟐
‫باخذ‬
ln
‫للطرفي‬

24. Ordinary Differential Equations 21
‫المتجانسة‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬
‫المتغيرات‬ ‫فصل‬ ‫اليمكن‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫في‬
‫اس‬ ‫اعلى‬ ‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫بقسمة‬ ‫فنقوم‬
( ‫لـ‬
X
: ‫بالصورة‬ ‫تفاضلية‬ ‫معادلة‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫بحيث‬ )
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇(
𝒚
𝒙
)
‫حد‬ ‫كل‬ ‫ويكون‬
𝒚
𝒙
ً‫ال‬‫مث‬ ‫القورة‬ ‫نفس‬ ‫له‬ ‫فيها‬
‫متجانسة‬
‫هذه‬
‫المعادلة‬
‫غير‬
‫متجانسة‬
‫النه‬
‫اليمكن‬
‫كتابتها‬
: ‫بالصورة‬
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇(
𝒚
𝒙
)
‫متجانسة‬

25. Ordinary Differential Equations 22
‫ا‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫المتجانسة‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلت‬ ‫لحل‬
‫لتالية‬
:
=========================
================================
:‫مثال‬
:‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬
𝒚́ =
𝟑𝒚𝟐−𝒙𝟐
𝟐𝒙𝒚
Sol
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟑𝒚𝟐
𝒙𝟐 −
𝒙𝟐
𝒙𝟐
𝟐𝒙𝒚
𝒙𝟐
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟑 (
𝒚
𝒙
)
𝟐
− 𝟏
𝟐 (
𝒚
𝒙
)
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟑𝒗𝟐
− 𝟏
𝟐𝒗
… (𝟏)
⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
… (𝟐)
‫نضع‬
v
‫بدل‬
𝒚
𝒙
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
:‫نحصل‬ )

26. Ordinary Differential Equations 23
𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝟑𝒗𝟐
− 𝟏
𝟐𝒗
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝟑𝒗𝟐
− 𝟏
𝟐𝒗
− 𝒗
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝒗𝟐−𝟏
𝟐𝒗
‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬
:
⟹
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 =
𝟐𝒗
𝒗𝟐 − 𝟏
𝒅𝒗 ⟹ ∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = ∫
𝟐𝒗
𝒗𝟐 − 𝟏
𝒅𝒗
⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| = 𝒍𝒏|𝒗𝟐
− 𝟏| + 𝒍𝒏|𝒄| ⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| = 𝒍𝒏|𝒄(𝒗𝟐
− 𝟏)|
⟹ 𝒙 = ±𝒄(𝒗𝟐
− 𝟏)
⟹ 𝒙 = ±𝒄((
𝒚
𝒙
)𝟐
− 𝟏) ⟹ 𝒙 = ±𝒄(
𝒚𝟐
𝒙𝟐
− 𝟏)
∴ 𝒄 = ±
𝒙𝟑
𝒚𝟐 − 𝒙𝟐
==================================================
:‫مثال‬
:‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒚+𝒙
𝒚−𝒙
Sol
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒚
𝒙
+ 𝟏
𝒚
𝒙
− 𝟏
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒗 + 𝟏
𝒗 − 𝟏
… (𝟏)
⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
… (𝟐)
𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝒗 + 𝟏
𝒗 − 𝟏
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝟐𝒗 − 𝒗𝟐
+ 𝟏
𝒗 − 𝟏
‫باخذ‬
e
‫للطرفي‬
‫لكن‬
𝒗 =
𝒚
𝒙
‫نضع‬
v
‫بدل‬
𝒚
𝒙
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
:‫نحصل‬ )

27. Ordinary Differential Equations 24
‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬
:
⟹
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 =
𝒗 − 𝟏
𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏
𝒅𝒗
⟹ ∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = −
𝟏
𝟐
∫
−𝟐(𝒗 − 𝟏)
𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏
𝒅𝒗
⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝒍𝒏|𝒄| = −
𝟏
𝟐
𝒍𝒏|𝟐𝒗 − 𝒗𝟐
+ 𝟏|
⟹ 𝒍𝒏 |𝒄𝒙| = 𝒍𝒏|(𝟐𝒗 − 𝒗𝟐
+ 𝟏)|
−
𝟏
𝟐
⟹ 𝒍𝒏 |𝒄𝒙| = 𝒍𝒏
𝟏
√(𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏)
⟹ √(𝟐𝒗 − 𝒗𝟐 + 𝟏) =
𝟏
|𝒄𝒙|
‫الطرفي‬ ‫بيع‬ ‫ر‬
‫بت‬
⟹ 𝟐𝒗 − 𝒗𝟐
+ 𝟏 =
𝒄𝟏
𝟐
𝒙𝟐
∴ 𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙𝒚 − 𝒚𝟐
= 𝒌
==========================================================
:‫مثال‬
:‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬
(𝟑𝐱 − 𝐲)𝒚́ = 𝐱 + 𝐲
Sol
⟹ (𝟑𝐱 − 𝐲)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝐱 + 𝐲 ⟹ (𝟑
𝐱
𝒙
−
𝐲
𝒙
)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝐱
𝒙
+
𝐲
𝒙
⟹ (𝟑 −
𝐲
𝒙
)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟏 +
𝐲
𝒙
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏 +
𝐲
𝒙
(𝟑 −
𝐲
𝒙
)
‫باخذ‬
e
‫للطرفي‬
‫لكن‬
𝒗 =
𝒚
𝒙
‫نضع‬
v
‫بدل‬
𝒚
𝒙
2013 - 2

28. Ordinary Differential Equations 25
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏 + 𝒗
𝟑 − 𝐯
… (𝟏)
⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
… (𝟐)
𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝟏 + 𝒗
𝟑 − 𝐯
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝟏 + 𝒗
𝟑 − 𝐯
− 𝒗
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝒗𝟐
− 𝟐𝒗 + 𝟏
𝟑 − 𝐯
:‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬
⟹
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 =
𝟑 − 𝐯
𝒗𝟐 − 𝟐𝒗 + 𝟏
𝒅𝒗 ⟹
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 =
𝟑 − 𝐯
(𝒗 − 𝟏)𝟐
𝒅𝒗
⟹
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 =
−[(𝐯 − 𝟏) − 𝟐]
(𝒗 − 𝟏)𝟐
𝒅𝒗
⟹
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = −
[(𝐯 − 𝟏)]
(𝒗 − 𝟏)𝟐
−
𝟐
(𝒗 − 𝟏)𝟐
𝒅𝒗
⟹ ∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = − ∫
𝟏
𝒗 − 𝟏
𝒅𝒗 + ∫
𝟐
(𝒗 − 𝟏)𝟐
𝒅𝒗
⟹ ∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = − ∫
𝟏
𝒗−𝟏
𝒅𝒗 + 𝟐 ∫(𝒗 − 𝟏)−𝟐
𝒅𝒗
⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| = −𝒍𝒏|𝒗 − 𝟏| − 𝟐(𝒗 − 𝟏)−𝟏
+ 𝒄
⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| = −𝒍𝒏 |
𝒚
𝒙
− 𝟏| −
𝟐
𝒚
𝒙
− 𝟏
+ 𝒄
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
:‫نحصل‬ )
‫لكن‬
𝒗 =
𝒚
𝒙

29. Ordinary Differential Equations 26
∴ 𝒍𝒏|𝒚 − 𝒙| = −
𝟐𝒙
𝒚 − 𝒙
+ 𝒄
==========================================================
‫مثال‬
‫ال‬ ‫جد‬ :
‫حل‬
‫ل‬ ‫العام‬
:‫التفاضلية‬ ‫لمعادلة‬
𝟐𝒙𝟐 𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
Sol
⟹ 𝟐
𝒙𝟐
𝒙𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒙𝟐
𝒙𝟐
+
𝒚𝟐
𝒙𝟐
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏
𝟐
[𝟏 + (
𝐲
𝒙
)
𝟐
]
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏 + 𝒗𝟐
𝟐
… (𝟏)
⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
… (𝟐)
𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝟏 + 𝒗𝟐
𝟐
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝟏 + 𝒗𝟐
𝟐
− 𝒗
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝒗𝟐
− 𝟐𝒗 + 𝟏
𝟐
:‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬
⟹
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 =
𝟐
𝒗𝟐 − 𝟐𝒗 + 𝟏
𝒅𝒗 ⟹
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 =
𝟐
(𝒗 − 𝟏)𝟐
𝒅𝒗
⟹ ∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = + ∫
𝟐
(𝒗 − 𝟏)𝟐
𝒅𝒗
⟹ ∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = 𝟐 ∫(𝒗 − 𝟏)−𝟐
𝒅𝒗
‫نضع‬
v
‫بدل‬
𝒚
𝒙
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
:‫نحصل‬ )

30. Ordinary Differential Equations 27
⟹ 𝒍𝒏 |𝒙| = −𝟐(𝒗 − 𝟏)−𝟏
+ 𝒄
⟹
𝟏
𝟐
𝒍𝒏 |𝒙| + 𝒄𝟏 = −
𝟏
𝐯 − 𝟏
⟹ 𝒗 − 𝟏 = −
𝟐
𝒍𝒏 |𝒙| + 𝟐𝒄𝟏
⟹ 𝒗 = 𝟏 −
𝟐
𝒍𝒏 |𝒙| + 𝒄𝟐
⟹
𝒚
𝒙
= 𝟏 −
𝟐
𝒍𝒏 |𝒙| + 𝒄𝟐
∴ 𝒚 = 𝒙 −
𝟐𝒙
𝒍𝒏 |𝒙| + 𝒄𝟐
==========================================================
‫تمرين‬
:
‫حل‬
‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫كال‬
‫التفاضلية‬
‫االتية‬
:
a) 𝒚́ =
𝐲
𝒙
+ 𝒆
𝒚
𝒙
Sol
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝐲
𝒙
+ 𝒆
𝒚
𝒙
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒗 + 𝒆𝒗
… (𝟏)
⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
… (𝟐)
‫لكن‬
𝒗 =
𝒚
𝒙
‫حيث‬
𝒄𝟐 , 𝒄𝟏
. ‫اختيارية‬ ‫ثوابت‬
‫نضع‬
v
‫بدل‬
𝒚
𝒙
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
:‫نحصل‬ )
2012 – 2, 2013-1

31. Ordinary Differential Equations 28
𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝒗 + 𝒆𝒗
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝒗 + 𝒆𝒗
− 𝒗
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝒆𝒗
:‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬
⟹
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = 𝒆−𝒗
𝒅𝒗 ⟹ ∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = ∫ 𝒆−𝒗
𝒅𝒗
⟹ 𝐥𝐧|𝐱| = − 𝒆−𝒗
+ 𝒄
∴ 𝐜 = 𝐥𝐧|𝐱| + 𝒆−
𝒚
𝒙
==========================================================
b) (𝒚𝟐
− 𝐱𝐲)𝐝𝐱 + 𝒙𝟐
𝐝𝐲 = 𝟎
Sol
⟹ (
𝒚𝟐
𝒙𝟐
−
𝐱𝐲
𝒙𝟐
) 𝐝𝐱 +
𝒙𝟐
𝒙𝟐
𝐝𝐲 = 𝟎
⟹ ((
𝒚
𝒙
)𝟐
−
𝒚
𝒙
) 𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 = 𝟎
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= − ((
𝒚
𝒙
)𝟐
−
𝒚
𝒙
)
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −(𝒗𝟐
− 𝒗)
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒗 − 𝒗𝟐
… (𝟏)
⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
… (𝟐)
‫لكن‬
𝒗 =
𝒚
𝒙
‫نضع‬
v
‫بدل‬
𝒚
𝒙
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
:‫نحصل‬ )
2015 - 2

32. Ordinary Differential Equations 29
𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝒗 − 𝒗𝟐
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝒗 − 𝒗𝟐
− 𝒗
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= −𝒗𝟐
‫المتغت‬ ‫بفصل‬
:‫ينتج‬ ‫ات‬
⟹
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = −𝒗−𝟐
𝒅𝒗 ⟹ ∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗−𝟐
𝒅𝒗
⟹ 𝐥𝐧|𝐱| = 𝒗−𝟏
+ 𝒄 ⟹ 𝐥𝐧|𝐱| =
𝟏
𝒗
+ 𝒄
⟹ 𝐥𝐧|𝐱| =
𝒙
𝒚
+ 𝒄
∴ 𝐥𝐧|𝐱| =
𝒙
𝒚
+ 𝒄
==========================================================
c) (𝐱 + 𝟐𝐲)𝐝𝐱 + (𝟐𝐱 + 𝟑𝐲)𝐝𝐲 = 𝟎
Sol
⟹ (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)𝒅𝒚 = −(𝒙 + 𝟐𝒚)𝒅𝒙
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −
(𝒙 + 𝟐𝒚)
(𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −
(
𝒙
𝒙
+ 𝟐
𝒚
𝒙
)
(𝟐
𝒙
𝒙
+ 𝟑
𝒚
𝒙
)
‫لكن‬
𝒗 =
𝒚
𝒙
‫نضع‬
v
‫بدل‬
𝒚
𝒙

33. Ordinary Differential Equations 30
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −
(𝟏 + 𝟐
𝒚
𝒙
)
(𝟐 + 𝟑
𝒚
𝒙
)
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −
(𝟏 + 𝟐𝒗)
(𝟐 + 𝟑𝒗)
… (𝟏)
⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
… (𝟐)
𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= −
(𝟏 + 𝟐𝒗)
(𝟐 + 𝟑𝒗)
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= −
(𝟏 + 𝟐𝒗)
(𝟐 + 𝟑𝒗)
− 𝒗
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= −
(𝟏 + 𝟐𝒗) − 𝒗(𝟐 + 𝟑𝒗)
(𝟐 + 𝟑𝒗)
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
−𝟏 − 𝟐𝒗 − 𝟐𝒗 − 𝟑𝒗𝟐
(𝟐 + 𝟑𝒗)
=
−𝟏 − 𝟒𝒗 − 𝟑𝒗𝟐
(𝟐 + 𝟑𝒗)
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= −
𝟑𝒗𝟐
+ 𝟒𝒗 + 𝟏
(𝟐 + 𝟑𝒗)
:‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬
⟹
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = −
𝟐 + 𝟑𝒗
𝟑𝒗𝟐 + 𝟒𝒗 + 𝟏
𝒅𝒗 ⟹ ∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = −
𝟏
𝟐
∫
𝟐(𝟑𝒗 + 𝟐)
𝟑𝒗𝟐 + 𝟒𝒗 + 𝟏
𝒅𝒗
⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = −
𝟏
𝟐
𝒍𝒏 |𝟑(
𝒚
𝒙
)𝟐
+ 𝟒
𝒚
𝒙
+ 𝟏| + 𝒍𝒏|𝒄|
⟹ 𝒍𝒏|𝒄| − 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏 |𝟑(
𝒚
𝒙
)𝟐
+ 𝟒
𝒚
𝒙
+ 𝟏|
𝟏
𝟐
⟹ 𝒄 − 𝒙 = (𝟑
𝒚𝟐
𝒙𝟐
+ 𝟒
𝒚
𝒙
+ 𝟏)
𝟏
𝟐
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
:‫نحصل‬ )
‫لكن‬
𝒗 =
𝒚
𝒙

34. Ordinary Differential Equations 31
⟹ [𝒄𝟐
− 𝟐𝒙𝒄 + 𝒙𝟐
= 𝟑
𝒚𝟐
𝒙𝟐
+ 𝟒
𝒚
𝒙
+ 𝟏] × 𝒙𝟐
∴ 𝒄𝟐
𝒙𝟐
− 𝟐𝒙𝟑
𝒄 + 𝒙𝟒
= 𝟑𝒚𝟐
+ 𝟒𝒙𝒚 + 𝒙𝟐
==========================================================
d)
𝐝𝐲
𝒅𝒙
=
𝒙𝟐+𝒚𝟐
𝟐𝒙𝒚
Sol
⟹
𝐝𝐲
𝒅𝒙
=
𝒙𝟐
𝒙𝟐 +
𝒚𝟐
𝒙𝟐
𝟐
𝒙𝒚
𝒙𝟐
⟹
𝐝𝐲
𝒅𝒙
=
𝟏 + (
𝒚
𝒙
)𝟐
𝟐
𝒚
𝒙
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏 + 𝒗𝟐
𝟐𝒗
… (𝟏)
⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
… (𝟐)
𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝟏 + 𝒗𝟐
𝟐𝒗
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝟏 + 𝒗𝟐
𝟐𝒗
− 𝒗
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝟏 + 𝒗𝟐
− 𝟐𝒗𝟐
𝟐𝒗
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝟏 − 𝒗𝟐
𝟐𝒗
‫الطرفين‬ ‫بتربيع‬
‫نضع‬
v
‫بدل‬
𝒚
𝒙
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
:‫نحصل‬ )

35. Ordinary Differential Equations 32
:‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬
⟹
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 =
𝟐𝒗
𝟏 − 𝒗𝟐
𝒅𝒗 ⟹ ∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = − ∫
−𝟐𝒗
𝟏 − 𝒗𝟐
𝒅𝒗
⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = −𝒍𝒏|𝟏 − 𝒗𝟐
| + 𝒄
⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏 |𝟏 − (
𝒚
𝒙
)𝟐
|
−𝟏
+ 𝒄
========================================================
e) (𝒚𝟐
− 𝒙𝟐)𝐝𝐱 + 𝐱𝐲𝐝𝐲 = 𝟎
Sol
⟹ (𝒚𝟐
− 𝒙𝟐)𝐝𝐱 = −𝐱𝐲𝐝𝐲 ⟹
𝐝𝐲
𝒅𝒙
= −
(𝒚𝟐
− 𝒙𝟐)
𝐱𝐲
⟹
𝐝𝐲
𝒅𝒙
= −
−(𝒙𝟐
− 𝒚𝟐)
𝐱𝐲
⟹
𝐝𝐲
𝒅𝒙
=
(𝒙𝟐
− 𝒚𝟐)
𝐱𝐲
⟹
𝐝𝐲
𝒅𝒙
=
(
𝒙𝟐
𝒙𝟐 −
𝒚𝟐
𝒙𝟐)
𝐱𝐲
𝒙𝟐
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏 − (
𝒚
𝒙
)𝟐
𝐲
𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏 − 𝒗𝟐
𝒗
… (𝟏)
⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
… (𝟐)
𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝟏 − 𝒗𝟐
𝒗
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝟏 − 𝒗𝟐
𝒗
− 𝒗
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝟏 − 𝒗𝟐
− 𝒗𝟐
𝒗
‫لكن‬
𝒗 =
𝒚
𝒙
‫نضع‬
v
‫بدل‬
𝒚
𝒙
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
:‫نحصل‬ )

36. Ordinary Differential Equations 33
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝟏 − 𝟐𝒗𝟐
𝒗
:‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬
⟹
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 =
𝒗
𝟏 − 𝟐𝒗𝟐
𝒅𝒗 ⟹ ∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = −
𝟏
𝟒
∫
(−𝟒)𝒗
𝟏 − 𝟐𝒗𝟐
𝒅𝒗
⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = −
𝟏
𝟒
𝒍𝒏|𝟏 − 𝟐𝒗𝟐
| + 𝒄
⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏 |𝟏 − 𝟐(
𝒚
𝒙
)𝟐
|
−
𝟏
𝟒
+ 𝒄
==========================================================
f) 𝒙𝟐
𝐲𝐝𝐱 = (𝒙𝟑
+ 𝒚𝟑
)𝒅𝒚
Sol
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒙𝟐
𝒚
𝒙𝟑 + 𝒚𝟑
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒙𝟐
𝒚
𝒙𝟑
𝒙𝟑
𝒙𝟑 +
𝒚𝟑
𝒙𝟑
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒚
𝒙
𝟏 + (
𝒚
𝒙
)𝟑
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒗
𝟏 + 𝒗𝟑
… (𝟏)
⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
… (𝟐)
𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝒗
𝟏 + 𝒗𝟑
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝒗
𝟏 + 𝒗𝟑
− 𝒗
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
𝒗 − 𝒗(𝟏 + 𝒗𝟑
)
𝟏 + 𝒗𝟑
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=
−𝒗𝟒
𝟏 + 𝒗𝟑
‫لكن‬
𝒗 =
𝒚
𝒙
‫نضع‬
v
‫بدل‬
𝒚
𝒙
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
:‫نحصل‬ )
2016 - 1

37. Ordinary Differential Equations 34
:‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬
⟹
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = −
𝟏 + 𝒗𝟑
𝒗𝟒
𝒅𝒗 ⟹ ∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = − ∫
𝟏 + 𝒗𝟑
𝒗𝟒
𝒅𝒗
⟹ ∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = − ∫
𝟏
𝒗𝟒
𝒅𝒗 − ∫
𝒗𝟑
𝒗𝟒
𝒅𝒗
⟹ ∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = − ∫ 𝒗−𝟒
𝒅𝒗 − ∫
𝟏
𝒗
𝒅𝒗
⟹ 𝒍𝒏|𝒙| + 𝒍𝒏|𝒗| =
𝒗−𝟑
𝟑
+ 𝒄
⟹ 𝒍𝒏|𝒙| + 𝒍𝒏 |
𝒚
𝒙
| =
(
𝒚
𝒙
)−𝟑
𝟑
+ 𝒄
⟹ 𝒍𝒏 |𝒙.
𝒚
𝒙
| =
𝟏
𝟑(
𝒚
𝒙
)𝟑
+ 𝒄
∴ 𝒍𝒏|𝒚| =
𝒙𝟑
𝟑𝒚𝟑
+ 𝒄
==========================================================
g) 𝒙(
𝐝𝐲
𝒅𝒙
− 𝐭𝐚𝐧
𝒚
𝒙
) = 𝐲
Sol
⟹
𝐝𝐲
𝒅𝒙
− 𝐭𝐚𝐧
𝒚
𝒙
=
𝒚
𝒙
⟹
𝐝𝐲
𝒅𝒙
= 𝐭𝐚𝐧
𝒚
𝒙
+
𝒚
𝒙
‫لكن‬
𝒗 =
𝒚
𝒙
‫نضع‬
v
‫بدل‬
𝒚
𝒙

38. Ordinary Differential Equations 35
⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝐭𝐚𝐧 𝒗 + 𝒗 … (𝟏)
⟹ 𝒚 = 𝒗𝒙 ⟹
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
… (𝟐)
𝒗 + 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝐭𝐚𝐧 𝒗 + 𝒗 ⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝐭𝐚𝐧 𝒗 + 𝒗 − 𝒗
⟹ 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝐭𝐚𝐧 𝒗
:‫ينتج‬ ‫ات‬‫المتغت‬ ‫بفصل‬
⟹
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 =
𝟏
𝐭𝐚𝐧 𝒗
𝒅𝒗 ⟹
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 =
𝒄𝒐𝒔 𝒗
𝒔𝒊𝒏 𝒗
𝒅𝒗
⟹ ∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 = ∫
𝒄𝒐𝒔 𝒗
𝒔𝒊𝒏 𝒗
𝒅𝒗
⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝒗| + 𝒍𝒏|𝒄| ⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏|𝒄 𝒔𝒊𝒏 𝒗|
⟹ 𝒍𝒏|𝒙| = 𝒍𝒏|𝒄 𝒔𝒊𝒏
𝒚
𝒙
|
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
:‫نحصل‬ )
‫لكن‬
𝒗 =
𝒚
𝒙

39. Ordinary Differential Equations 36