Propiedades físicas de los fluidos

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE LA ZONA METROPOLITANA DE GUADALAJARA
12/10/15 HIDRAULICA 7°A T/M Página1
CATÁLOGO DE LAS PROPIEDADES FÍSICAS
DE LOS FLUIDOS
¿Que es un fluido?
Un fluido es una sustancia capaz de fluir, por lo
que el término "fluido" engloba a líquidos y
gases. Hay fluidos que fluyen tan lentamente
que se pueden considerar sólidos, como el vidrio
o el asfalto.
No existe una línea divisoria entre los líquidos y
los gases, porque cambiando la presión y la
temperatura unos cambian en otros.
Una definición más formal: "un fluido es una
sustancia que se deforma continuamente
cuando se le somete a un esfuerzo cortante, sin
importar lo pequeño que sea el esfuerzo
aplicado".
SISTEMAS DE UNIDADES
Hoy existen en el mundo cuatro sistemas de
unidades de medida, dos de ellos denominados
gravitacionales y los otros dos denominados
absolutos. Son sistemas gravitacionales aquellos
que tienen como unidad fundamental la unidad
de fuerza, siendo en ellos la unidad de masa,
unidad derivada. Son sistemas absolutos
aquellos que tienen como unidad fundamental
la unidad de masa, siendo pues, la unidad de
fuerza unidad derivada.
SISTEMA INGLES
El sistema inglés de unidades o sistema imperial, es
aún usado ampliamente en los Estados Unidos de
América y, cada vez en menor medida, en algunos
países con tradición británica. Debido a la intensa
relación comercial que tiene nuestro país con los
EUA, existen aún en México muchos productos
fabricados con especificaciones en este sistema.
SISTEMA INTERNACIONAL

Debido a que en el mundo científico buscaba un
solo sistema de unidades que resultara práctico,
claro y de acuerdo con los avances de la ciencia
en 1960 científicos y técnicos de todo el mundo se
reunieron en Ginebra, Suiza y acordaron adoptar el
llamado Sistema Internacional de Unidades (SI). Este
sistema se basa en el llamado MKS cuyas iniciales
corresponden a metro, Kilogramo y segundo. El
Sistema Internacional tiene como magnitudes y
unidades fundamentales como las siguientes: para
longitud al metro (m), para masa al Kilogramo (kg),
para tiempo el segundo (s), para fuerza el Newton
(N), para temperatura al Kelvin (K), para intensidad
de corriente eléctrico al ampere (A), para la
intensidad luminosa la candela (cd) y para
cantidad de sustancia el mol.esto hace que el
segundo se convierta en minuto.
MKS ABSOLUTO
La longitud, masa y tiempo no están en función de
la gravedad (g).
MKS TECNICO
La longitud y tiempo no dependen de la
aceleración de la gravedad, la masa si está en
función de la gravedad.
Propiedades físicas de los fluidos relacionados con
la masa gravedad y peso:
Peso específico (𝛾 gamma)
El peso específico es aquel que relaciona el peso
de un componente con su volumen, quedando
representado con las siguientes formulas;
𝛾 =
𝑊
𝑉
=
𝑚𝑔
𝑣
= 𝜌 ∗ 𝑔
𝛾 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜
𝑊 = 𝑝𝑒𝑠𝑜
𝑉 = 𝑣𝑜𝑙ú𝑚𝑒𝑛
𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑎
𝜌 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑

𝑔 = 𝑙𝑎 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑
Ejemplo
Calcular el peso específico de un líquido que pesa
75 kg y abarca un volumen de 1.2 m3
 SISTEMA MKS TÉCNICO
𝛾 =
75 𝑘𝑔
1.2𝑚3 = 62.5
𝑘𝑔
𝑚3
 SISTEMA INTERNACIONAL
𝛾 = (62.5𝑘𝑔/𝑚3)(9.81𝑚/𝑠2) = 613.125𝑁/𝑚3
 SISTEMA INGLÉS
𝛾 = (62.5𝑘𝑔/𝑚3)(
2.202 𝑙𝑏
1 𝑘𝑔
)(
1𝑚3
(0.3048𝑓𝑡)3
)
= 4860.18 𝑙𝑏/𝑓𝑡3
 SISTEMA MKS ABSOLUTO (para este sistema
convertimos sólo las unidades en kg- masa,
del MKS técnico)
𝛾 =
(
62.5
𝑘𝑔𝑚
𝑠𝑒𝑔2
𝑚3
9.8067
𝑚
𝑠2
)
= 6.37𝑘𝑔/𝑚2
∗ 𝑠𝑒𝑔2
DENSIDAD 𝛒 (𝐫𝐨)
La densidad es una medida utilizada en la física y la
química para determinar la cantidad de masa
contenida en un determinado volumen.

La densidad es una propiedad intensiva, ya que no
depende la cantidad que tengas la densidad de
una sustancia va a ser siempre la misma. Por
ejemplo : una gota de agua tiene la misma
densidad que un litro o miles de litros.
𝜌 =
𝑚
𝑉
=
𝛾
𝑔
Dónde:
 ρ: densidad
 m: masa
 V: volumen
 g= aceleración de la gravedad
Con el ejemplo anterior, para sacar densidad con
la fórmula
Tomamos el peso específico en el sistema técnico
 SISTEMA MKS TÉCNICO
𝜌 =
𝛾
𝑔
=
62 .5
𝑘𝑔
𝑚3
9.8067
𝑚
𝑠2
= 6.37
𝑘𝑔∗𝑠𝑒𝑔2
𝑚4
Tomamos el peso específico en el SI
𝜌 =
𝛾
𝑔
=
613 .125𝑁 /𝑚3
9.8067
𝑚
𝑠2
= 62.52𝑘𝑔/𝑚3
 SISTEMA INGLÉS
𝜌 = 6.37
𝑘𝑔∗𝑠𝑒𝑔2
𝑚4 (
2.202 𝑙𝑏
1 𝑘𝑔
) (
1𝑚4
(0.3048 𝑓𝑡)4 ) = 1625.16
𝑙𝑏∗𝑠𝑒𝑔2
𝑓𝑡4
 SISTEMA MKS ABSOLUTO

𝜌 =
6.37
𝑘𝑔
𝑚2 𝑠𝑒𝑔2
9.8067
𝑚
𝑠2
= 0.683𝑘𝑔/𝑚3
DENSIDAD RELATIVA
Es la relación entre el peso específico del cuerpo y
el peso específico de la sustancia de referencia.
La sustancia de referencia es aire para los gases y
agua para los sólidos y líquidos.
La densidad relativa es adimensional
𝜌𝑟 =
𝛾 𝑚
𝛾 𝐻2 𝑂
=
𝜌 𝑚
𝜌 𝐻2 𝑂
𝜌𝑟 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
𝛾 𝑚 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙
𝛾 𝐻2 𝑂 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
𝜌 𝑚 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙
𝜌 𝐻2 𝑂 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎
MASA
La masa, es la medida de la inercia, que
únicamente para algunos casos puede entenderse
como la magnitud que cuantifica la cantidad de
materia de un cuerpo. La unidad de masa, en el
Sistema Internacional de Unidades es el kilogramo

(kg). Es una cantidad escalar y no debe confundirse
con el peso, que es una cantidad vectorial que
representa una fuerza.
𝑚 = 𝜌 ∗ 𝑉 = 7.64
𝑘𝑔 ∗ 𝑠𝑒𝑔2
𝑚
EJEMPLO.- Tomamos la densidad del ejemplo
anterior en MKS TÉCNICO
 MKS TÉCNICO
𝑚 = 𝜌 ∗ 𝑉 = ( 6.37
𝑚4
)(1.2𝑚3 ) = 7.64
𝑚
𝑚 = 𝜌 ∗ 𝑉 =
62.52𝑘𝑔
𝑚3
(1.2𝑚3
) = 75.04𝑘𝑔
 SISTEMA INGLES
𝑚 = 𝜌 ∗ 𝑉 = 7.64
𝑚
(
2.202 𝑙𝑏
1 𝑘𝑔
)(
1𝑚
0.3048 𝑓𝑡
)
= 55.19
𝑙𝑏𝑠𝑒𝑔2
𝑓𝑡
𝑚 = 𝜌 ∗ 𝑉 = (
0.683𝑘𝑔
𝑚3
)(1.2𝑚3) = 0.8196 𝑘𝑔
PESO
El peso de un cuerpo es una magnitud vectorial,

el cual se define como la fuerza con la cual un
cuerpo actúa sobre un punto de apoyo, a causa
de la atracción de este cuerpo por la fuerza de
la gravedad.
La situación más corriente, es la del peso de los
cuerpos en las proximidades de la superficie de
un planeta como la Tierra, o de un satélite. El
peso de un cuerpo depende de la intensidad del
campo gravitato
rio y de la masa del cuerpo. En el Sistema
Internacional de Magnitudes se establece que el
peso, cuando el sistema de referencia es la Tierra,
comprende no solo la fuerza gravitatoria local, sino
también la fuerza centrífuga local debida a la
rotación; por el contrario, el empuje atmosférico no
se incluye.
𝑊 = 𝛾 ∗ 𝑉
Con el peso especifico del ejercicio anterior
sacaremos el peso.
 SISTEMA MKS TECNICO
𝑊 = (62.5
𝑘𝑔
𝑚3
) (1.2𝑚3) = 75𝑘𝑔
𝑊 = (613.125𝑁/𝑚3)(1.2𝑚3) = 735.75𝑁
 SISTEMA INGLES
𝑊 = (75𝑘𝑔)(
2.202 𝑙𝑏
1𝑘𝑔
) = 165.15𝑙𝑏
𝑊 = (6.37𝑘𝑔/𝑚2
∗ 𝑠𝑒𝑔2 )(1.2𝑚3) = 735.75𝑘𝑔/𝑚 ∗ 𝑠𝑒𝑔2
VISCOSIDAD (Dinámica ó absoluta)
La viscosidad es una magnitud que representa la
"resistencia a fluir" o densidad de un fluido. A mayor
viscosidad, más espeso es el fluido; y a menor
viscosidad, menos espeso. El término viscosidad
viene de la palabra latina viscum, que en botánica
designa al muérdago común, y hace alusión al
típico zumo espeso de sus bayas. De este zumo se
preparaba la "liga", una masa pegajosa usada para

cazar pájaros. "Viscoso" significa, por lo tanto,
"espeso como liga".
Por lo tanto la viscosidad es la oposición de un
fluido a las deformaciones tangenciales, es debida
a las fuerzas de cohesión moleculares. Todos los
fluidos conocidos presentan algo de viscosidad,
siendo el modelo de viscosidad nula una
aproximación bastante buena para ciertas
aplicaciones. Un fluido que no tiene viscosidad se
llama fluido ideal.
La viscosidad solo se manifiesta en líquidos en
movimiento, se ha definido la viscosidad como la
relación existente entre el esfuerzo cortante y el
gradiente de velocidad. Esta viscosidad recibe el
nombre de viscosidad absoluta o viscosidad
dinámica. Generalmente se representa por la letra
griega .
Se conoce también otra viscosidad,
denominada viscosidad cinemática, y se
representa por .
La viscosidad es la resistencia interna que presentan
los fluidos a deformarse continuamente cuando se
les aplican esfuerzos cortantes.
Al hablar de resistencia interna nos referimos a una
especie de “fricción” entre partículas de fluido. Esa
“fricción” es de diferente naturaleza que la que se
presenta entre dos superficies de cuerpos sólidos.
De hecho, en los líquidos la viscosidad depende
principalmente de la cohesión ent re las moléculas
del propio líquido.
Se llama cohesión a las fuerzas de atracción entre
las moléculas de un mismo material. Las fuerzas de
cohesión son de origen eléctrico, y permiten
explicar gran parte del comportamiento a nivel
macro de los materiales.
LEY DE NEWTON
El concepto de viscosidad nació con Newton,
cuando en su obra "Philosophiae Naturalis. Principia
Matematica" afirmó que la resistencia ejercida, y
que surge a partir de una falta en el deslizamiento
de un fluido, si el resto de factores se mantienen, es
proporcional a la velocidad a la que las partes de

un fluido son separadas entre sí. De este modo, se
establece la proporcionalidad existente entre el
esfuerzo por unidad de área (F/A) necesario para
producir un gradiente de velocidades en un fluido,
siendo la constante de proporcionalidad un factor
que describe "la capacidad de deslizamiento de un
fluido" (más tarde esta constante de
proporcionalidad fue llamada viscosidad). La
hipótesis propuesta por Newton se suele representar
con un esquema como el de la Figura 2.1, en el que
se muestra dos superficies de superficie A,
separadas por una distancia Y, estando una de ellas
sometida a una fuerza F que le provoca una
velocidad V. Al mismo tiempo, se suele describir
matemáticamente los principios establecidos por
Newton a partir de una expresión matemática
como la ecuación.
𝜇 =
𝜏
𝑑𝑣/𝑑𝑦
Dónde:
𝜇 = 𝑉𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
𝜏 = 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 𝑜 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑧𝑎𝑙𝑙𝑎
La tensión cortante o tensión de corte es aquella
que, fijado un plano, actúa tangente al mismo se le
denomina con la letra T (tau).
𝑑𝑣/𝑑𝑦
= 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖
El gradiente de velocidad es una medida de
cambio de velocidad, conocida también como
rapidez de corte. Como la tensión de corte es
directamente proporcional al gradiente de
velocidad, podemos establecer la siguiente
expresión matemática.
La viscosidad de un fluido Newtoniano se suele
representar con la letra griega μ, pero para fluidos
no Newtonianos la viscosidad aparente se suele
representar entonces con la letra griega η.
Los fluidos newtonianos es un fluido
cuya viscosidad puede considerarse constante en
el tiempo. Los fluidos newtonianos son uno de los
fluidos más sencillos de describir. La curva que
muestra la relación entre el esfuerzo o cizalla contra
su velocidad de deformación es lineal. El mejor
ejemplo de este tipo de fluidos es el agua en
contraposición al pegamento, la miel o
los geles y sangre que son ejemplos de fluido no
newtoniano.

Dependiendo de la velocidad y viscosidad de un
fluido se pueden determinar dos tipos de flujos
Flujo turbulento: si la velocidad es “alta” y la
viscosidad “baja”, las partículas de fluido se mueven
en trayectorias caóticas formando torbellinos de
diversos tamaños y con gran efecto de mezclado, a
esto se le llama flujo turbulento. Este tipo de flujo lo
podemos ver en las volutas de humo de un cigarro,
en el polvo que arrastran las ráfagas de viento, en la
corriente de un río y una cascada, también se
presenta en el humo del escape de un camión, en
el agua saliendo por la llave, de hecho es el tipo de
flujo que se presenta comúnmente en la naturaleza.
Flujo laminar. Si l velocidad es “alta” y la velocidad
“baja”, podemos observar un movimiento
ordenado de las partículas, con trayectorias rectas
y paralelas, deslizándose unas sobre otras como si
estuvieran formando capas o láminas. Este tipo de
flujo que se presenta cuando escurre miel sobre una
superficie ligeramente inclinada o al sacar una
cuchara que estaba adentro de la miel. (El mismo
tipo de flujo se puede ver con aceite viscoso como
el que usan los autos en la transmisión o en el motor)
A nivel molecular la viscosidad está determinada
por las fuerzas de cohesión y por el intercambio en
la cantidad de movimiento de las moléculas. En los
líquidos las fuerzas de cohesión predominan y se
relajan o disminuyen cuando aumenta la
temperatura, por ello la viscosidad disminuye. En los
gases, las fuerzas de cohesión son muy pequeñas y
predomina el intercambio de la cantidad de
movimiento al aumentar la temperatura aumenta la
energía cinética de las moléculas y por lo tanto, el
número e intensidad de choques entre ellas,
aumentando el intercambio en la cantidad de
movimiento, por ello es que la viscosidad aumenta.

Las dimensiones de la viscosidad en el sistema
técnico son:
𝜇 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
𝐹 𝐿2
𝐿𝑇1
𝐿1 = 𝐹 𝐿2
𝑇
Las unidades de la viscosidad en el sistema MKS
absoluto o Sistema Internacional son:
𝜇 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
𝑃𝑎
𝑚𝑠𝑒𝑔 1
𝑚1 𝑠 =
𝐾𝑔∗𝑚 1
𝑠² 𝑚²
𝑠 =
𝐾𝑔
𝑚 ∗ 𝑠
Las unidades de la viscosidad en el sistema MKS
técnico
𝜇 =
𝜏
𝑑𝑣
𝑑𝑦
=
𝐾𝑔
𝑚2
𝑚𝑠1
𝑚
=
𝐾𝑔 ∗ 𝑠
𝑚2
En la práctica, la unidad usada es de tipo absoluto,
corresponde al sistema cgs y se llama Poise
1 Poise = 1
𝑔𝑟
𝑐𝑚 ∗ 𝑠
= 0.10
𝐾𝑔
𝑚 ∗ 𝑠
= 0.1 𝑃𝑎 ∗ 𝑠
VISCOSIDAD CINEMATICA
Es el cociente entre la viscosidad dinámica y la
densidad
𝑉𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑖𝑛𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 =
𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑
= 𝜗 =
𝜇
𝜌
Sus dimensiones en los 4 sistemas son iguales.

[ν] =
[ 𝜇]
[ 𝜌]
=
𝑀 𝐿−1
𝑇−1
𝑀𝐿−3 = 𝐿2
𝑇−1
PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS EN LOS ESFUERZOS DE
COMPRESION.
El esfuerzo de compresión es la resultante de las
tensiones o presiones que existe dentro de un sólido
deformable o medio continuo, caracterizada
porque tiende a una reducción de volumen del
cuerpo, y a un acortamiento del cuerpo en
determinada dirección (Coeficiente de Poisson).
Entre estos tipos de esfuerzos encontramos los
siguientes 2 conceptos que son de suma
importancia o de gran relación con los esfuerzos de
compresión los cuales son: elasticidad y
compresibilidad.
Sabemos que en los sólidos, la elasticidad es la
capacidad que tiene un cuerpo de recuperar su
forma original después de que ha sido deformado,
en los fluidos, debido a que carecen de forma
Elasticidad. Es la capacidad de recuperar su
volumen después de que ha sufrido un cambio de
presión o una fuerza. También designa la propiedad
mecánica de ciertos materiales de sufrir
deformaciones reversibles cuando se encuentran
sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de
recuperar la forma original si estas fuerzas exteriores
se eliminan.
𝐸𝑣 =
1
𝐶𝑣
= −
𝑑𝑃
𝑑𝑉/𝑉
= −
𝑑𝑃
𝑑𝜌/𝜌
Donde:
Ev = elasticidad volumétrica.
V = volumen

P = presión
𝜌 = densidad.
C𝜗 = compresibilidad
Compresibilidad. Es la capacidad de los fluidos de
cambiar su volumen con un cambio de presión. Es
el cambio de volumen dv en relación al volumen
original V por cada cambio de presión dP, a esto
se le dice que es la capacidad de comprimirse un
líquido en un recipiente llamado compresibilidad.
Compresibilidad = Cv = −
𝑑𝑉/𝑉
𝑑𝑃
=
𝑑𝜌/𝜌
𝑑𝜌
PROPIEDADES FÍSICA DE LAS FUERZAS A NIVEL
MOLECULAR
Molécula: En química, se llama molécula a un
conjunto de al menos
dos átomos enlazados covalentes que forman un
sistema estable y eléctricamente neutro.
Cohesión. Si la fuerza que mantienen unidas las
moléculas de una misma sustancia por la fuerza de
cohesión, si dos gotas de agua se juntan forma un
sola, lo mismo pasa con 2 gotas de mercurio. La
fuerza de cohesión es la propiedad con la que las
moléculas de agua se atraen entre sí.
Debido a esta interacción se forma cuerpos de
agua de grandes volúmenes por adhesión de
moléculas de agua, las gotas.
Los puentes de hidrogeno mantienen las moléculas
de agua fuertemente unidas, formando una
estructura compacta que la convierte en un líquido
casi incomprensible. Al no poder comprimirse
puede funcionar en algunos animales como un
esqueleto hidrostático, como ocurre en algunos
gusanos barrenadores capaces de perforar la roca
mediante la presión generada por sus líquidos
internos. Estos puentes se pueden romper fácilmente
con la llegada de otra molécula con un polo
negativo o positivo dependiendo de la molécula, o
con el calor.
La fuerza de cohesión permite que el agua se
mantenga liquida a temperaturas no extremas.

También en los gases, la fuerza de cohesión puede
observarse en su licuefacción, que tiene lugar al
comprimir una serie de moléculas y producirse
fuerza de atracción suficiente mente altas para
proporcionar una estructura liquida.
En los líquidos, la cohesión se refleja en la tensión
superficial, causada por una fuerza no equilibrada
hacia el interior del líquido que actúa sobre las
moléculas superficiales, y también en la
transformación de un líquido en sólido cuando se
comprimen las moléculas lo suficiente. En los sólidos,
la cohesión depende de cómo estén distribuidos los
átomos, las moléculas y los iones, lo que a su vez
depende del estado de equilibrio (o desequilibrio)
de las partículas atómicas. Muchos compuestos
orgánicos, por ejemplo, forman cristales
moleculares, en los que los átomos están
fuertemente unidos dentro de las moléculas, pero
éstas se encuentran poco unidas entre sí.
La cohesión se caracteriza así según el estado de
las sustancias:
 En los sólidos, las fuerzas de cohesión son
elevadas y en las tres direcciones espaciales.
Cuando aplicamos una fuerza solo permite
pequeños desplazamientos de las moléculas
entre sí, cuando cesa la fuerza exterior, las
fuerzas de cohesión vuelven a colocar las
moléculas en su posición inicial.
 En los líquidos, las fuerzas de cohesión son
elevadas en dos direcciones espaciales, y
entre planos o capas de fluidos son muy
débiles. Por otra parte las fuerzas de
adherencia con los sólidos son muy elevadas.
Cuando aplicamos una fuerza tangencial al
líquido, este rompe sus débiles enlaces entre
capas, y las capas de líquido deslizan unas
con otras. Cuando cesa la fuerza, las fuerzas
de cohesión no son lo suficiente fuertes como
para volver a colocar las moléculas en su
posición inicial, queda deformado. La capa
de fluido que se encuentra justo en contacto
con el sólido, se queda pegada a éste, y las
capas de fluido que se encuentran unas
juntas a las otras deslizan entre sí.
 En los gases, las fuerzas de cohesión son
despreciables, las moléculas se encuentran
en constante movimiento. Las fuerzas de

adherencia con los sólidos y los líquidos son
importantes. Al aplicarse una fuerza de corte,
se aumenta la velocidad media de las
moléculas. Como estas partículas con más
velocidad media (más cantidad de
movimiento) se mueven en el espacio,
algunas pasan a las capas contiguas
aumentando a su vez la velocidad media de
esas capas adyacentes, estas a su vez con
una cantidad de movimiento más pequeña,
algunas de sus partículas pasan a la capa de
mayor cantidad de movimiento (afectada
por el esfuerzo de corte) frenándola.
Adhesión. Es la propiedad de la materia por la cual
se unen y plasman dos superficies de sustancias
iguales o diferentes cuando entran en contacto, y
se mantienen juntas por fuerzas intermoleculares.
La adhesión ha jugado un papel muy importante en
muchos aspectos de las técnicas de construcción
tradicionales. La adhesión del ladrillo con el mortero
(cemento) es un ejemplo claro. La cohesión es
distinta de la adhesión. La cohesión es la fuerza de
atracción entre partículas adyacentes dentro de un
mismo cuerpo, mientras que la adhesión es la
interacción entre las superficies de distintos cuerpos
COMPORTAMIENTO EN INTERFASES Y TUBOS
CAPILARES
Tensión superficial
La superficie libre de un líquido en contacto con la
atmósfera se comporta como si fuera una
membrana elástica de pequeña resistencia, lo que
permite que los insectos caminen por la superficie
libre del agua y que una aguja no se hunda si es
depositada con cuidado.
El comportamiento anterior se debe a la cohesión
de las moléculas. Al interior de la masa líquida, una
molécula es atraída en todas direcciones por las
moléculas que le rodean, pero en la capa limítrofe
con la atmosfera solo atraída hacia abajo y hacia

los lados (la atracción hacia arriba por las pocas
moléculas de vapor y por las moléculas de aire, es
muy pequeña), produciendo ese comportamiento
de membrana elástica.
Las moléculas a lo largo de la superficie libre del
líquido están sometidas a una fuerza neta hacia el
interior.
Consecuencia física de esta fuerza no
equilibrada a lo largo de la superficie: creación
de una ‘piel ‘membrana’ hipotética.
Tensión superficial
σ (sigma): intensidad de la atracción molecular
por unidad de longitud.
Unidades en SI: N/m
Es la razón de la ascensión o bajada de líquidos
por tubos de diámetro muy pequeño
(capilaridad)
Suele despreciarse en las aplicaciones de
Ingeniería Fluido mecánica
Una molécula en interior de la masa líquida es
atraída por los demás en todas direcciones
Una molécula de la superficie es atraída solo hacia
abajo y hacia los lados.
Podemos establecer una analogía con el lienzo de
salvamento que es tensado horizontalmente en
todas direcciones, por un grupo de bomberos
colocados en círculo, lo cual le confiere cierta
capacidad de carga vertical. De hecho, considerar
a la superficie los líquidos como si fuera una
membrana elástica es también una analogía
teórica.
La tensión superficial σ (sigma) se define como la
fuerza en la superficie del líquido, en dirección

normal a una línea de longitud unitaria trazada en
esa superficie.
De aquí se desprende que sus dimensiones serán
fuerza por longitud
[ 𝜎] =
𝐹
𝐿
= 𝐹 𝐿−1
Por lo tanto:
En el MKS absoluto sus unidades son Newton por
metro: N/m
En el MKS técnico sus unidades son kilogramo fuerza
por metro: Kg/m
Debido a que la tensión superficial depende
directamente de las fuerzas de cohesión
intermoleculares, su magnitud disminuirá al
aumentar la temperatura. También depende del
fluido que se encuentre en contacto con la
superficie del líquido, aunque por lo general se
expresa en contacto con el aire.
La tensión superficial también se presenta en la
formación de gotas, burbujas pequeños y pequeños
chorros. Las pompas o burbujas de jabón
proporcionan una buena oportunidad de observar
el comportamiento de la membrana elástica,
siendo uno de los objetos más delgados que se
pueden observar a simple vista.
Al observar las magnitudes de la tensión superficial
de diferentes líquidos en las tablas del final de esta
unidad, podemos percatarnos que son muy
pequeñas: 0.029 N/m para el benceno, 0.026 N/m
para el petróleo crudo, 0.073 N/m para el agua,
etc. Esto es el motivo para que en la mayor parte
de los problemas de ingeniería no se tome en
cuenta.

Capilaridad
Se conoce como capilaridad el efecto de
ascensión (o descenso) de la superficie libre de un
líquido dentro de un tubo de pequeño diámetro,
llamado por ello capilar. En un tubo capilar la
superficie libre de los líquidos deja de ser una línea
recta horizontal y forma una superficie curva
llamada menisco. La capilaridad también se
presenta en medios porosos.
PROPIEDADES FISICAS DE LOS FLUIDOS EN RELACION
A PRESION, TMPERATURA Y CAMBIOS DE ESTADO.
La presión en un fluido es la presión termodinámica
que interviene en la ecuación constitutiva y en la
ecuación de movimiento del fluido, en algunos
casos especiales esta presión coincide con la
presión media o incluso con la presión hidrostática.
Todas las presiones representan una medida de la
energía potencial por unidad de volumen en un
fluido. Para definir con mayor propiedad el
concepto de presión en un fluido se distinguen
habitualmente varias formas de medir la presión: por
su origen, por el instrumento usado para medirlas y
por su escala.
CLASIFICACION POR SU ORIGEN.
 presión mecánica.- Es la que se desarrolla
entre las superficies en contacto de dos
cuerpos sólido
 Presión neumática.- Es aquella presión
ocasionada por el aire u otro gas en reposo.
También podría llamarse aerostática.
 Presión atmosférica.- es la presión
ocasionada por la atmosfera. A pesar de que
el aire es muy ligero (su peso especifico es
aproximadamente de 1 kg/m³), la capa de
aire que cubre al planeta es lo bastante
gruesa como para ejercer una presión
considerable sobre la superficie de la tierra y
de cualquier objeto, (del orden de 1 kg/cm²).

 Presión media. Es el promedio de las presiones
según diferentes direcciones en un fluido,
cuando el fluido está en reposo esta presión
media coincide con la presión hidrostática.
 Presión hidrostática. es la parte de la presión
debida al peso de un fluido en reposo. En un
fluido en reposo la única presión existente es
la presión hidrostática, en un fluido en
movimiento además puede aparecer una
presión hidrodinámica adicional relacionada
con la velocidad del fluido. Es la presión que
sufren los cuerpos sumergidos en un líquido o
fluido por el simple y sencillo hecho de
sumergirse dentro de este. Se define por la
fórmula donde es la presión
hidrostática, es el peso específico y
profundidad bajo la superficie del fluido.
𝑃 = 𝛾 ℎ
Donde:
P = es la presión en un punto
γ = es el peso específico del líquido
h = es la profundidad del punto considerado; es
decir, la distancia vertical medida desde la
superficie libre del líquido, en sentido descendente
 Presión hidrodinámica. es la presión
termodinámica dependiente de la dirección
considerada alrededor de un punto que
dependerá además del peso del fluido, el
estado de movimiento del mismo
INSTRUMENTO DE MEDICION.
 Presión manométrica.- es la que se mide
mediante los instrumentos llamados
manómetros. Los hay de muchos tipos,1 pero
la característica común es que miden la
presión a partir de la presión atmosférica del
lugar en donde realiza la medición, es decir,
consideran al cero en el valor de la presión
atmosférica local, y toman como positiva
cualquier presión mayor y como negativa, o
vacío parcial, a cualquier sección presión
menor. Como el cero de esta escala está en
relación a la presión atmosférica local y

cambia con ella, se dice que es relativo, de
ahí el nombre de la escala.
 presión barométrica.- la medida con el
barómetro. El barómetro es el instrumento
utilizado para medir la presión atmosférica,
por lo tanto presión barométrica y presión
atmosférica son dos términos empleados para
denominar a la misma presión, es decir, son
sinónimos.
El primer barómetro fue construido por el físico
italiano llamado Torricelli. Consta de un tubo
de vidrio cerrado por un extremo al que se
lleno con mercurio y después se coloco con la
parte abierta dentro de una cubeta que
también contenía ese metal líquido
CLASIFICACION POR SU ESCALA USADA.
 Presión relativa: es aquella que se mide a
partir de la presión atmosférica local. Es decir
el cero dela escala esta en relación a la
presión ambiente, por eso se llama relativa.
La idea es muy simple, cuando decimos que
la llanta de un auto está desinflada porque
“no tiene aire” o mejor dicho “no tiene
presión”, no estamos pensando que dentro
de la llanta exista el vacío total, de hecho, si
tiene aire, pero está a la misma presión que el
aire de afuera, es decir, a la presión
atmosférica local, la cual se considera cero.
 Presión absoluta: Es la presión medida desde
el cero absoluto que es el vacío total o
absoluto, también se puede entender como
la ausencia total de presión.
Imaginemos un recipiente de paredes gruesas
y resistentes al que se le conecta una
poderosa bomba de vacío. Antes de
encender la bomba, la presión dentro y fuera
del recipiente es la atmosférica local. Por
simplicidad supongamos un valor de 1
kg/cm². Un medidor de presión relativa
conectado al recipiente marcaría cero y un
medidor de presión absoluta marcaría1
kg/cm².

Ebullición. Es el proceso físico en el que la materia
pasa a estado gaseoso. Se realiza cuando la
temperatura de la totalidad del líquido iguala al
punto de ebullición del líquido a esa presión. Si se
continúa calentando el líquido, este absorbe el
calor, pero sin aumentar la temperatura el calor se
emplea en la conversión de la materia de un
estado líquido al estado gaseoso, hasta que la
totalidad de la masa pasa al estado gaseoso. En
este momento es posible aumentar la temperatura
de la materia, ya como gas.
Este proceso es muy distinto al de la evaporación,
que es paulatino y para el que altitudes superiores,
la presión atmosférica media disminuye, por lo que
el líquido necesita temperaturas menores para
entrar en ebullición.
En una olla a presión, el agua, por ejemplo, llega a
una temperatura de 120 a 130ºC antes de hervir,
debido a la mayor presión alcanzada por los gases
en su interior de la olla, la cocción de la comida se
da más rápidamente.
La adición de aditivos al agua puede hacer
aumentar o disminuir su punto de ebullición.
P = presión dada a la cual se quiere medir el punto
de ebullición (comúnmente la presión atmosférica)
Teb = punto de ebullición del líquido a la presión
dada (P)
Evaporación. La evaporación es un proceso físico
que consiste en el paso lento y gradual de un
estado líquido hacia un estado gaseoso, tras haber
adquirido suficiente energía para vencer la tensión
superficial. A diferencia de la ebullición, la
evaporación se puede producir a cualquier
temperatura, siendo más rápido cuanto más
elevada sea esta. No es necesario que toda la
masa alcance el punto de ebullición. Cuando existe
un espacio libre encima de un líquido, una parte de
sus moléculas está en forma gaseosa, al equilibrase,
la cantidad de materia gaseosa define la presión
de vapor saturante, la cual no depende del
volumen, pero varía según la naturaleza del líquido
y la temperatura. Si la cantidad de gas es inferior a
la presión de vapor saturante, una parte de las
moléculas pasan de la fase líquida a la gaseosa:
eso es la evaporación. Cuando la presión de vapor
iguala a la atmosférica, se produce la ebullición.

En hidrología, la evaporación es una de las variables
hidrológicas importantes al momento de establecer
el balance hídrico de una determinada cuenca
hidrográfica o parte de esta. En este caso, se debe
distinguir entre la evaporación desde superficies
libres y la evaporación desde el suelo. La
evaporación de agua es importante e
indispensable en la vida, ya que el vapor de agua,
al condensarse se transforma en nubes y vuelve en
forma de lluvia, nieve, niebla o rocío.
Vista como una operación unitaria, la evaporación
es utilizada para eliminar el vapor formado por
ebullición de una solución o suspensión líquida
Cavitación. Dentro de un flujo la presión puede
disminuir por aumento de velocidad o de posición o
por una combinación de ambos factores. 2 Si la
presión disminuye lo suficiente y llega a ser igual o
menor que la presión de vapor (correspondiente a
la temperatura que exista), en esa zona del flujo se
formaran las burbujas de vapor que también se
llaman cavidades.
A la formación de burbujas de vapor o cavidades
por efect o de la disminución de la presión dent ro
de un flujo se le llama cavitación.
A veces estas burbujas se acumulan en la parte más
alta de una tubería y llegan a taponarla
interrumpiendo el flujo, esto se previene con
válvulas o respiraderos como los que se colocan
junto a los tinacos en la mayoría de las casas y que
se conocen como “jarros de aire.

Problema1:
Calcular el empuje hidrostático y el centro de presiones
sobre la pared de 2 m de ancho de un tanque de
almacenamiento de agua para los siguientes casos a) pared
vertical con líquido de un solo lado (fig. 2.10) b) pared
inclinada con líquido en ambos lados (fig. 2.11)
Solución a:
En la figura 2.10 se muestra la distribución de presiones
hidrostáticas del agua sobre la pared vertical. La presión total
para 𝛾 = 1
𝑡𝑜𝑛
𝑚3
, 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 𝑣𝑎𝑙𝑒
𝑷 = 𝜸 𝒃 𝒉
𝒉
𝟐
= 𝜸 𝒃
𝒉 𝟐
𝟐
= 𝟏𝒙𝟐𝒙
𝟐. 𝟒 𝟐
𝟐
𝑷 = 𝟓. 𝟕𝟔 𝒕𝒐𝒏
El empuje hidrostático es igual al volumen de la cuña de
distribución de presiones. La profundidad del centro de
presiones según la ec. Y las características indicadas en la fig.
2.10 vale.
𝒁𝒙 =
𝒉 𝟐 𝑿 𝟐
𝟏𝟐𝒉
+
𝒉
𝟐
= 𝟏. 𝟔 𝒎
Este valor también es el de la profundidad del centro de
gravedad de la cuña de distribución de presiones
Solución b).
La distribución de presiones el lineal en ambos lados y de
sentido contrario, siendo la distribución resultante como se
muestra en la figura 2.11ª.
En la misma forma que en la solución (a), el empuje
hidrostático sobre la pared es el volumen de la cuña de

distribución de presiones de ancho b, indicada con el área
sombreada, la cual se puede determinar calculando el área
del triangulo de presiones de la izquierda menos el de la
derecha.
Para el triangulo a la izquierda
𝑷𝟏 = 𝜸 𝒃
𝒉𝟏 𝟐
𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽
Aplicada a la distancia Y k1, desde el punto A, entonces
𝒀𝒌𝟏 =
𝟐
𝟑
𝒉𝟏
𝒔𝒆𝒏 𝜽
Para el triangulo a la derecha se tiene que
𝑷𝟐 = 𝜸 𝒃
𝒉𝟐 𝟐
Aplicada a la distancia Yk2, desde el punto A, resulta.
𝒀𝒌𝟐 =
𝒉𝟏 − (
𝒉𝟐
𝟑
)
𝒔𝒆𝒏 𝜽
El empuje total esta representado por la cuña
sombreada:
𝑷 = 𝑷𝟏 − 𝑷𝟐 = 𝜸 𝒃
𝒉𝟏 𝟐 − 𝒉𝟐 𝟐
=
= 𝟏 𝑿 𝟐
( 𝟐. 𝟒 𝟐 − 𝟏. 𝟒 𝟐)
𝟐 𝑿 𝟎. 𝟖𝟔𝟔
= 𝟒. 𝟑𝟖𝟖 𝒕𝒐𝒏
Tomando momentos de las fuerzas respecto del punto A,
obtenemos:
𝑷 𝒚𝒌 = 𝜸 𝒃
𝒉𝟏 𝟐
𝑿
𝟐
𝟑
𝒉𝟏
𝒔𝒆𝒏 𝜽
− 𝜸 𝒃
𝒉𝟏 𝟐
𝒉𝟏 − (𝒉𝟐/𝟑)
𝒔𝒆𝒏 𝒔𝒆𝒏 𝜽
Sustituyendo el valor de P, yk se puede despejar y escribir en la
forma
𝒚𝒌 =
𝒉𝟏
𝒔𝒆𝒏 𝜽
−
𝟏
𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝜽
𝒉𝟏 𝟑
− 𝒉𝟐 𝟑
𝒉𝟏 𝟐 − 𝒉𝟐 𝟐
=
𝟐. 𝟒
𝟎. 𝟖𝟔𝟔𝟔
−
𝟐. 𝟗𝟏𝟔
𝟑 𝑿 𝟎. 𝟖𝟔𝟔
= 𝟏. 𝟔𝟗𝟒 𝒎
Solución c)
para el caso de la figura 2.11b es suficiente hacer 𝜃 = 90° en
las ecuaciones anteriores, resultado.
𝑷 = 𝜸 𝒃
𝒉𝟏 𝟑 − 𝒉𝟐 𝟑
𝟐
= 𝟏 𝒙 𝟐 𝒙
𝟐. 𝟒 𝟐 − 𝟏. 𝟒 𝟐
𝟐
= 𝟑. 𝟖 𝒕𝒐𝒏
𝒚𝒌 = 𝒛𝒙 = 𝒉𝟏 −
𝟏
𝟑
𝒉𝟏 𝟑 − 𝒉𝟐 𝟑
𝒉𝟏 𝟐 − 𝒉𝟐 𝟐
𝒚𝒌 = 𝟐. 𝟒 −
𝟏
𝟑
𝟐. 𝟒 𝟑 − 𝟏. 𝟒 𝟑
𝟐. 𝟒 𝟐 − 𝟏. 𝟒 𝟐 = 𝟏. 𝟒𝟐𝟖 𝒎

Problema 2
Se desean obtener los empujes hidrostáticos por
unidad de ancho, así como los centros de presiones
sobre
Las caras a1 y a2, del muro mostrado en la figura 2.12.
Solución:
𝒑𝟏 =
𝟏
𝟐
𝜸𝒃 𝒂𝟏 𝟐 =
=
𝟏
𝟐
𝒙 𝟏 𝒙 𝟏 𝒙 𝟏 𝟐 = 𝟎. 𝟓 𝒕𝒐𝒏
𝒑𝟐 = 𝜸𝒃
𝒂𝟏 + 𝒉
𝟐
𝒂𝟐 =
= 𝟏 𝒙 𝟏
𝟏 + 𝟑
𝟐
𝟐. 𝟐 = 𝟒. 𝟒 𝒕𝒐𝒏
Los centros de presión coinciden con los de gravedad
de las áreas de las cuñar a saber:
𝒁𝒌𝟏 =
𝟐
𝟑
𝒂𝟏 =
𝟐
𝟑
𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟔𝟔𝟕 𝒎
Para el centro de gravedad del área trapecial de
la cuña de presiones 2, se puede usar la ecuación
indicada en la tabla 2.1.
𝒀𝒌𝟐 =
𝒂𝟐
𝟑
𝒂𝟏 + 𝟐𝒉
𝒂𝟏 + 𝒉
=
𝟐. 𝟐
𝟑
𝟏 + 𝟔
𝟏 + 𝟑
= 𝟏. 𝟐𝟖𝟑 𝒎
𝒁𝒌𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒚𝒌𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒂𝟏 + 𝒚𝒌𝟐 (
𝒉−𝒂𝟏
𝒂𝟐
)
= 𝟏 + 𝟏. 𝟐𝟐𝟖𝟑
𝟐
𝟐. 𝟐
= 𝟐. 𝟏𝟔𝟔 𝒎

Problema 3
Determinar el empuje hidrostático y el centro de
presiones sobre la superficie cilíndrica AB, mostrada en la
figura 2.16
Solución:
La componente horizontal del empuje hidrostático
sobre la superficie cilíndrica de ancho b, es igual al área
sombreada del trapecio, es decir de acuerdo con las
Ecs.
𝑷 = 𝜸 𝒃 𝑫(𝒁 +
𝒅
𝟐
)
Y su posición corresponde a la profundidad del
centro de gravedad del trapecio:
𝒁𝒌 =
𝑫
𝟑
𝟑𝒛+ 𝟐𝑫
𝟐𝒛 + 𝑫
+ 𝒛
La componente vertical del empuje se puede
obtener siguiendo este razonamiento: sobre la sobre la
superficie BG se ejerce un empuje vertical P, ASCENDE
que equivale al peso de la columna virtual del liquido
sobre esa superficie, como se muestra en la figura. La
resultante de ambas fuerzas es igual al empuje vertical
total ascendente sobre toda la superficie; esto equivale
al peso de la columna virtual de líquido encerrado por la
superficie AGB, y aplicada en el centro de gravedad del
área encerrada. Resulta
𝑷 = 𝜸 𝒃
𝝅
𝟖
𝑫 𝟐;e=0.2122 D
El empuje total sobre la superficie será la
resultante de las dos componentes:
𝑷 = √ 𝑷 𝟐 + 𝑷 𝟐
Esta fuerza debe ser radical al cilindro.

Problema 4.
Determinar la altura h a la que asciende un liquido
por encima de la cresta de un vertedor de pared
delgada, por efecto de la tensión superficial
Solución
Al introducir una placa plana vertical dentro de un
liquido de peso especifico 𝛾 , la superficie liquida adopta
una forma cilíndrica cóncava hacia arriba en la
proximidad de la placa, De acuerdo con la Ecuación
para 𝑟2 = ∞ 𝑦 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙, la preción en un liquido
cerca de la placa, sobre la horizontal que coincide con
el nivel original del liquido, vale
𝜸 𝒛 =
𝝈
𝒓𝟏
O bien, 𝒚 𝒛 𝒅𝒛 = 𝝈
𝒅𝒛
𝒓𝟏
Por otra parte, si r1 d 𝜽 = 𝒅𝒔 =
𝒅𝒛
𝒔𝒆𝒏
𝜽,de aquí resulta
dz
r1
= sen θ dθ y se puede escribir 𝛾𝑧 𝑑𝑧 = 𝜎 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃, cuya
integración conduce a
𝜸𝒛 𝟐
𝟐
= −𝝈 𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒄.
Siendo 𝜽 = 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒛 = 𝟎 , la constante de
integración vale 𝒄 = 𝝈 𝒚, 𝒂𝒔𝒊𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐 para 𝒛 = 𝒉, 𝜽 = 𝟗𝟎° −
𝜽𝒘 se obtiene
−
𝜸 𝒉 𝟐
𝟐
= 𝝈[ 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬( 𝟗𝟎° − 𝜽𝟎)] = 𝝈(𝟏 − 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟎)
De este modo la cresta del vertedor que alcanza
la superficie libre del liquido por efecto de la tensión
superficial, antes de producirse el vertido, resulta de
considerar que 𝜃0 = 0 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟, a saber:
𝒉 = √
𝟐𝝈
𝜸
para los medios agua-aire, 𝜎 = 0.077
𝑔
𝑐𝑚
; 𝛾 =
1 𝑔/𝑐𝑚3, h vale
𝒉 = √
𝟐( 𝟎. 𝟎𝟕𝟕)
𝟏
= 𝟎. 𝟑𝟗𝟐 𝒎

Problema 5
N|1
Determinar para los siguientes campos de flujo
incompresible aquellos que satisfagan la ecuación de
continuidad e indicar cuales son rotacionales (típicos de
un fluido viscoso) y cuales irrotacionales (típicos de un
fluido no viscoso).
a) 𝒗𝝈 = ( 𝒙 − 𝟐𝒚) 𝒕; 𝒗𝜸 = −( 𝟐𝒙 + 𝒚) 𝒕
𝝏𝒗𝝈
𝝏𝒙
= 𝒕;
𝝏𝒗𝜸
𝝏𝒚
= −𝒕
𝒅𝒊𝒗 𝒗 = 𝒕 − 𝒕 = 𝟎
𝝏𝒗𝝈
𝝏𝒙
= −𝟐𝒕;
𝝏𝒗𝜸
𝝏𝒚
= −𝟐𝒕
[ 𝒓𝒐𝒕 𝒗] 𝝈 = 𝟎;[ 𝒓𝒐𝒕 𝒗] 𝜸 = 𝟎;[ 𝒓𝒐𝒕 𝒗] 𝒙 = (
𝝏𝒗𝝈
𝝏𝒙
−
𝝏𝒗𝜸
𝝏𝒚
)
[ 𝒓𝒐𝒕 𝒗] 𝝈 = −𝟐𝒕 + 𝟐𝒕 = 𝟎
El flujo es no permanente, incomprensible e
irrotacional
Problema 6
b) 𝒗𝝈 = 𝒙 𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝒚; 𝒗𝜸 = −𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒚
𝝏𝒗𝝈
𝝏𝒙
= 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒚;
𝝏𝒗𝜸
𝝏𝒚
= −𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒚
𝒅𝒊𝒗 𝒗 = 𝟎
𝝏𝒗𝝈
𝝏𝒙
= 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒚;
𝝏𝒗𝜸
𝝏𝒚
= −𝒙 𝟐
𝒔𝒆𝒏 𝒚
[ 𝒓𝒐𝒕 𝒗] 𝝈 = ( 𝒙 𝟐 − 𝟐) 𝒔𝒆𝒏 𝒚 ≠ 𝟎
El flujo es permanente, incomprensible y
rotacional.
Problema 7
c) 𝒗𝝈 = 𝒙 + 𝒚; 𝒗𝜸 = 𝒙 − 𝒚
𝝏𝒗𝝈
𝝏𝒙
= 𝟏;
𝝏𝒗𝜸
𝝏𝒚
= −𝟏
𝝏𝒗𝝈
𝝏𝒙
= 𝟏;
𝝏𝒗𝜸
𝝏𝒚
= 𝟏
El flujo es permanente, incomprensible e irrotacional

Problema 8
Calcule el ángulo de inclinación de una pared
plana y rectangular, respecto al fondo del depósito
(aguas arriba de la pared) que sostiene un tirante de
agua a cada lado, lo cual genera un Empuje
hidrostático (E) de 344.2 N, el tirante aguas arriba de la
pared es de 65 cm y el tirante aguas abajo es de 45 cm,
el ancho de la pared es de 30 cm.
Datos
Pe = 1000 kg/m3
E = 344.2 N = 35.12 kg
b = 30 cm = 0.3 m
h1 = 65 cm = 0.65 m
h2= 45 cm = 0.45 m
 = ¿?
Yk = ¿?
 
E
hh
bPesen
*2
**
2
2
2
1 

 
kg
mm
m
m
kg
sen
12.35*2
)45.0()65.0(
*)3.0(*
3
1000
22








sen  = 0.9396
Sen-1 (0.9396) = 69.98  = 69.98°
El ángulo  calculado es el ángulo de inclinación de la
pared con respecto a la superficie libre del agua (aguas
arriba de la pared); el valor buscado es el ángulo de
inclinación de la pared con respecto al fondo del
depósito () entonces considerando ángulos alternos 
= 180 -   = 180 – 69.98 = 110.02
El ángulo buscado es  = 110.02°
Si la pared es inclinada con  = 69.98° entonces, seno
69.98° = 0.9396








 2
2
2
1
3
2
3
1
1
3
1
hh
hh
hyk








 22
33
)45.0()65.0(
)45.0()65.0(
3
1
65.0
mm
mm
myk yk = 0.372 m
=37.2 cm
 = 69.98°
 =110.02°
h1 =65 cm
Yk =37.2 cm
h2 =45 cm
E =35.12 kg
 
sen
hh
bPeE
*2
**
2
2
2
1 


Problema 9
Calcule el ángulo de inclinación de una pared
plana y rectangular, respecto a la superficie libre del
agua (aguas arriba de la pared) que sostiene un tirante
de agua a cada lado, lo cual genera un Empuje
hidrostático (E) de 811.6 kg, el tirante aguas arriba de la
pared es de 2 m y el tirante aguas abajo es de 1.3 m, el
ancho de la pared es de 70 cm.
+6
Datos
Pe = 1000 kg/m3
E = 811.6 kg
b = 70 cm = 0.7 m
h1 = 2 m
h2= 1.3 m
 = ¿?
Yk = ¿?
 
E
hh
bPesen
*2
**
2
2
2
1 

 
kg
mm
m
m
kg
sen
6.811*2
)3.1()2(
*)7.0(*
3
1000
22








sen  = 0.9962
Para calcular el valor del ángulo se utiliza la función
inversa del seno (sen-1)
Sen-1 (0.9962) = 85
 = 85°








 2
2
2
1
3
2
3
1
1
3
1
hh
hh
hyk








 22
33
)2()8(
)2()8(
3
1
8
mm
mm
myk
yk = 1.163 m
 = 85°
h1 =2 m Yk =1.163 m
h2 =1.3 m
E =811.6 kg
 
sen
hh
bPeE
*2
**
2
2
2
1 


Problema 11
Calcule el ancho que debe tener una pared
plana y rectangular con agua en ambos lados, inclinada
a 65° con respecto a la superficie libre del agua (aguas
arriba de la pared). Considere la altura del agua (aguas
arriba de la pared) de 3.2 m y la altura del agua (aguas
abajo) de 2.6 m. El Empuje hidrostático que recibe la
pared es de 28,222 N.
Datos
h1 = 3.2 m
h2 = 2.6 m
Pe = 1000 kg/m3
E = 28222 N = 2879.8 kg
b = ¿?
Yk = ¿?
Si la pared es inclinada con  = 65° entonces, seno 65° =
0.9063
 
sen
hh
bPeE
*2
**
2
2
2
1 

 2
2
2
1*
**2
hhPe
Esen
b



 22
3
)6.2()2.3(*1000
8.2879*9063.0*2
mm
m
kg
kg
b


b = 1.5 m








 2
2
2
1
3
2
3
1
1
3
1
hh
hh
hyk








 22
33
)6.2()2.3(
)6.2()2.3(
3
1
2.3
mm
mm
myk
yk = 1.744 m
h1 =3.2m Yk =1.744 m
h2 =2.6 m
E =2879.8 kg
 = 65°

Problema 12:
Calcule el tirante que existe aguas abajo de una pared
plana vertical y rectangular, considerando que recibe un
Empuje hidrostático de 2793 N, cuando el tirante aguas
arriba de la pared es de 1.2 m y el ancho de la misma es
de 60 cm.
Datos
Pe = 1000 kg/m3
E = 2793 N = 285 kg
b = 60 cm = 0.6 m
h1 = 1.2 m
h2= ¿?
Yk = ¿?
Si la pared es vertical entonces  = 90° por tanto, seno
90° = 1
 
sen
hh
bPeE
*2
**
2
2
2
1 

bPe
Esen
hh
*
**22
12


)6.0(*1000
285*1*2
)2.1(
3
2
2
m
m
kg
kg
mh







h2 = 0.7 m = 70 cm








 2
2
2
1
3
2
3
1
1
3
1
hh
hh
hyk








 22
33
)2()8(
)2()8(
3
1
8
mm
mm
myk
yk = 0.714 m = 71.4 cm
h1 =1.2 m
Yk =71.4 cm
h2 =70 cm
E =285 kg

Problema 13:
Calcule el tirante que existe aguas arriba de una
pared plana vertical y rectangular, considerando que
recibe un Empuje hidrostático de 39,200,000 dinas,
cuando el tirante aguas abajo de la pared es de 30 cm y
el ancho de la misma es de 50 cm.
Datos
h2 = 30 cm = 0.3 m
Pe = 1000 kg/m3
E = 39,200,000 dinas = 392 N = 40 kg
b = 50 cm = 0.5 m
h1 = ¿?
Yk = ¿?
90° = 1
 
sen
hh
bPeE
*2
**
2
2
2
1 

2
21
*
**2
h
bPe
Esen
h 

2
3
1 )3.0(
)5.0(*1000
40*1*2
m
m
m
kg
kg
h 







h1 = 0.5 m = 50 cm








 2
2
2
1
3
2
3
1
1
3
1
hh
hh
hyk








 22
33
)3.0()5.0(
)3.0()5.0(
3
1
5.0
mm
mm
myk
yk = 0.295 m = 29.5 cm
h1 =50 cm Yk =29.5 cm
h2 =30 cm
E =40 kg

Problema 14:
Calcule el ancho que debe tener una pared
plana, vertical y rectangular con agua en ambos lados.
Considere la altura del agua (aguas arriba de la pared)
de 2.3 m y la altura del agua (aguas abajo) de 1.6 m. El
Empuje hidrostático que recibe la pared es de 10701.6 N.
Datos
h1 = 2.3 m
h2 = 1.6 m
Pe = 1000 kg/m3
E = 10701.6 N = 1092 kg
b = ¿?
Yk = ¿?
90° = 1
 
sen
hh
bPeE
*2
**
2
2
2
1 

 2
2
2
1*
**2
hhPe
Esen
b



 22
3
)6.1()3.2(*1000
1092*1*2
mm
m
kg
kg
b


b = 0.8 m = 80 cm








 2
2
2
1
3
2
3
1
1
3
1
hh
hh
hyk








 22
33
)6.1()3.2(
)6.1()3.2(
3
1
3.2
mm
mm
myk
yk = 1.31 m
h1 =2.3 m Yk =1.31 m
h2 =1.6 m
E =1092 kg

Problema 15:
Calcule el Empuje hidrostático (E) que se genera
sobre una pared plana vertical y rectangular con agua
en ambos lados de la misma. El tirante aguas arriba de la
pared (h1) es de 1.8 m y el tirante aguas abajo (h2) es de
80 cm. Considere el ancho de la pared de 1.5 m.
Calcule también el centro de presiones (yk).
Datos
h1 = 1.8 m
h2 = 80 cm = 0.8 m
b = 1.5 m
Pe = 1000 kg/m3
E = ¿?
Yk = ¿?
90° = 1
 
sen
hh
bPeE
*2
**
2
2
2
1 

 
1*2
)8.0()8.1(
*5.1*1000
22
3
mm
m
m
kg
E














E = 1950 kg








 2
2
2
1
3
2
3
1
1
3
1
hh
hh
hyk








 22
33
)8.0()8.1(
)8.0()8.1(
3
1
8.1
mm
mm
myk
yk = 1.12 m
h1 =1.8 m
Yk =1.12 m
h2 =0.8 m
E =1950 kg

Problema 16:
Calcule el diámetro que debe tener una
compuerta plana, vertical y circular que recibe un
Empuje hidrostático de 300 kg. En este caso la altura del
agua coincide con el diámetro de la compuerta.
Calcule además el punto de aplicación del Empuje.
Datos:
E = 300 kg
Pe = 1000 kg/m3
D = ¿?
Yk = ¿?
3
** rPeE 
3
1
* 




Pe
E
r
3
1
3
1416.3*1000
300



















m
kg
kg
r
r = 0.457 m D = 2* r D= 2*0.457 m = 0.914 m
)457.0)(25.1()457.0(
4
5
4
5
mmryk 
yk = 0.571 m
h = 0.914 m Yk =0.571 m
E =300 kgD

Problema 17:
Calcule la altura de agua que existe en un dique (desde
el fondo hasta la superficie libre del agua), considerando
que el agua es retenida por una compuerta plana,
vertical y rectangular, con un ancho de 2 m La
compuerta se encuentra sumergida bajo una lámina de
50 cm de profundidad. El Empuje hidrostático generado
sobre una compuerta (E) es de 154350 N. Calcule
también el centro de presiones (yk).
b1 = 2 m
b2 = 3 m
h2 = 50 cm = 0.5 m
E1 = 154350 N = 15750 kg
Pe = 1000 kg/m3
h1 =¿?
2
21
*
*2
h
bPe
E
h 
2
3
1 )5.0(
)2(*1000
)15750(*2
m
m
m
kg
kg
h 







h1 = 4 m








 2
2
2
1
3
2
3
1
1
3
1
hh
hh
hyk








 22
33
)5.0()4(
)5.0()4(
3
1
4
mm
mm
myk
yk = 2.65 m
h1 =4 m Yk =2.65 m
E1 = 15750 kg
h2 =0.5 m

Problema18:
Calcule el ancho que debe tener una compuerta plana,
vertical y rectangular que se encuentra sumergida bajo
una lámina de agua de 50 cm; esta compuerta debe
soportar un Empuje hidrostático de 2500 kg, cuando la
altura del agua desde el fondo hasta la superficie libre
de la misma es de 9.8 pies. Determine el punto de
aplicación del Empuje.
Datos:
h2 = 50 cm = 0.5 m
E = 2500 kg
h1 = 9.8 pies = 2.987 m
Pe = 1000 kg/m3
b = ¿?
Yk = ¿?
 2
2
2
1*
*2
hhPe
E
b


 22
3
)5.0()987.2(*1000
2500*2
mm
m
kg
kg
b


b = 0.58 m = 58 cm








 2
2
2
1
3
2
3
1
1
3
1
hh
hh
hyk








 22
33
)5.0()987.2(
)5.0()987.2(
3
1
987.2
mm
mm
myk
yk = 1.97 m
b
(h1 - h2)
h2 =0.5 m
h1 =2.987 m Yk =1.97 m
E =2500 kg

Problema 19:
Calcule el tirante de agua que existe sobre una
compuerta plana, vertical y rectangular. Considerando
que ésta tiene un ancho de 2 m y la altura del agua
desde el fondo del dique hasta la superficie libre del
agua es de 8 m. El empuje que la compuerta recibe es
de 60,000 kg. Calcule el punto de presiones del Empuje
hidrostático.
Datos:
b = 2 m
h1 = 8 m
E = 60,000 kg
Pe = 1000 kg/m3
h2 = ¿?
Yk = ¿?
bPe
E
hh
*
*22
12 
)2(*1000
)60000(*2
)8(
3
2
2
m
m
kg
kg
mh







h2 = 2 m








 2
2
2
1
3
2
3
1
1
3
1
hh
hh
hyk








 22
33
)2()8(
)2()8(
3
1
8
mm
mm
myk
yk = 5.2 m
h1 =8 m
Yk =5.2 m
E =60000 kg
h2 =2 m
b
(h1 - h2)

Problema 20:
Calcule el empuje hidrostático que se genera sobre una
pared plana, vertical y rectangular de 90 cm de ancho
que se encuentra sumergida bajo una lámina de agua
de 30 cm de altura; considere que la altura desde el
fondo del canal hasta la superficie libre del agua es de
2.5 m. Calcule el centro de presiones del Empuje
hidrostático.
Datos:
b = 90 cm = 0.9 m
h2 = 30 cm = 0.3 m
h1 = 2.5 m
Pe = 1000 kg/m3
E = ¿?
Yk = ¿?
 
2
**
2
2
2
1 hh
bPeE


 
2
)3.0()5.2(
*9.0*1000
22
3
mm
m
m
kg
E














E = 2772 kg








 2
2
2
1
3
2
3
1
1
3
1
hh
hh
hyk








 22
33
)3.0()5.2(
)3.0()5.2(
3
1
5.2
mm
mm
myk
yk = 1.66 m
h1 =2.5 m Yk =1.66 m
E =2772 kg
h2 =0.3 m
b
(h1 - h2)

Problema 21:
Calcule el empuje hidrostático que se genera
sobre una compuerta plana vertical y de forma circular,
considerando que el la altura del agua coincide con el
diámetro de la compuerta y es igual a 60 cm. Determine
el punto de aplicación del Empuje hidrostático sobre la
compuerta.
Datos:
h = D = 60 cm = 0.6 m
Pe = 1000 kg/m3
E = ¿?
Yk = ¿?
Utilizando la Ecuación General
AysenPeE G *** 
Si la compuerta es vertical =90° entoncesel Sen 90° = 1
AyPeE G **
ryG  myG 3.0
2
22
10225.0
4
)3.0(
4
m
mr
Ix 
m
m
m
m
y
I
yy
G
x
Gk 375.0
3.0
0225.0
3.0
2

222
283.0)3.0)(1416.3(* mmrA 
   kgmm
m
kg
E 9.84283.03.01000 2
3







Utilizando la ecuación particular
3
** rPeE 
  kgm
m
kg
E 8.843.01416.31000
3
3













mmmryk 375.0)3.0)(25.1()3.0(
4
5
4
5

h = 0.6 m Yk =0.375 m
E =84.9 kgD

Problema 22:
Calcule el Empuje hidrostático que se genera sobre una
compuerta plana y vertical de forma trapezoidal, donde
la base mayor mide 1.2 m y la base menor mide 80 cm.
La altura de agua coincide con la altura de la
compuerta y es igual a 1.5 m. Calcule el centro de
presiones del Empuje hidrostático.
Datos:
B = 1.2 m
b = 80 cm = 0.8 m
h = 1.5 m
Pe = 1000 kg/m3
E = ¿?
Yk = ¿?
Utilizando la Ecuación General
AysenPeE G *** 
Si la compuerta es vertical =90° entonces el Sen 90° = 1
AyPeE G **









bB
bBh
yG
2
3
mm
m
m
m
mm
mmm
yG 8.0)6.1)(5.0(
2
2.3
5.0
)8.02.1(
8.0)2.1(2
3
5.1















2
2
2
2
2
2
2
4
92.1
1)125.0(
)8.02.1(
)8.0)(2.1(2
1
18
)5.1(
)(
2
1
18 m
m
m
mm
mmm
bB
Bbh
Ix 

















m
m
m
m
y
I
yy
G
x
Gk 03.1
8.0
185.0
8.0
2

2
5.1)5.1(
2
8.02.1
2
mm
mm
h
bB
A 




 





 

   kgmm
m
kg
E 12005.18.01000 2
3







h = 1.5 m
Yk =1.03 m
E =1200 kg
b
h
B

Utilizando la ecuación particular





























)8.02.1(
)8.0()8.0)(2.1(*3)2.1(*2
6
)5.1(
1000
)(
32
6
222
3
222
mm
mmmmm
m
kg
bB
bBbBh
PeE
  kgmm
m
kg
12002.3375.01000 2
3













Problema 23
Determinar la presión en el fondo de un depósito que
contiene glicerina bajo presión, tal como se muestra en
la Figura.
Solución:
Presión en el fondo = 50 + 𝑌𝑔𝑙𝑖𝑐𝑒𝑟𝑖𝑛𝑎(ℎ)
Presión en el fondo = 50 + (12.34) (2) = 74.68 kPa
Problema 24
a) Convertir una altura de presión de 5 m de agua
en altura de aceite, de densidad relativa 0.750.
b) Convertir una altura de presión de 60 cm de
mercurio en altura de aceite, de densidad relativa
0.750.
Solución:
a. ℎ 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 =
ℎ 𝑎𝑔𝑢𝑎
𝑑𝑒𝑛. 𝑟𝑒𝑙. 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡 𝑒
=
5
0.750
= 6.67𝑚
b. ℎ 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 =
ℎ 𝑎𝑔𝑢𝑎
𝑑𝑒𝑛. 𝑟𝑒𝑙. 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡 𝑒
=
(13.57)(0.60)
0.750
= 10.86𝑚

Problema 25
¿Cuál es la presión atmosférica en kilopascales si la
lectura de un barómetro de mercurio es de 742 mm?
Solución:
𝑝 = 𝑦ℎ = (133.1) (742/1000) = 98.8 𝑘𝑃𝑎
Problema 26
Tal como se muestra en la Figura, un depósito abierto,
con dos piezómetros laterales, contiene dos líquidos
inmiscibles.
Encontrar
a) la altura de la superficie líquida libre en el
piezómetro A,
b) la elevación de la superficie del líquido en el
piezómetro B
c) la presión total en el fondo del depósito.
Solución:
a. El líquido A ascenderá sencillamente en el
piezómetro A hasta el mismo nivel que el líquido A
en el depósito, es decir, a 2 m.
b. El líquido B ascenderá en el piezómetro B 0.3 m,
como resultado de la presión ejercida por el
líquido B, más una cantidad adicional, hA, debida
a la sobrepresión PA, ejercida por el líquido
𝑃𝐴 = 𝑦ℎ = (0.72)(9.79)(1.7) = 11.98 𝑘𝑃𝑎
ℎ𝐴 = 𝑝/𝑦 = 11.98/(2.36 · 9.79) = 0.519 𝑚.
El líquido B alcanzará en el piezómetro B la altura
0.3 + 0.519 = 0.819 m.

c. Presión en el fondo = (0.72)(9.79) (1.7) +
(2.36)(9.79)(0.3) = 18.9 kPa.
Problema 27
Determinar la presión manométrica en A en kp/cm2
debida a la columna de mercurio (den. rel. 13.57) en el
manómetro en U mostrado en la Figura.
Solución:
B y C están al mismo nivel y en el mismo líquido, el
mercurio; por tanto, podemos igualar las presiones en B y
C en kp/m2 (man).
𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝐵 = 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝐶
𝑃𝐴 + 𝑦ℎ (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 = 𝑃𝐷 + 𝑦ℎ (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜)
𝑃𝐴 + 1000 (3.60 – 3.00) = 𝑂 + (13.57)(1000)(3.80 – 3.00)
𝐴𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟, 𝑃𝐴 = 10256 𝑘𝑝/𝑚2 𝑦 𝑃𝐴 = 10256/10 4
= 1.0256 𝑘𝑝/𝑐𝑚2 (𝑚𝑎𝑛).
Problema 28
Aceite de densidad relativa 0.750 está fluyendo a través
de la boquilla mostrada en la Figura y desequilibra la
columna de mercurio del manómetro en U. Determinar
el valor de h si la presión en A es de 1.40 kp/cm2.
Solución:
Presión en B = presión en C
Al utilizar como unidad kp/cm2: 𝑃′
𝐴 +
𝛾ℎ
104
( 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒) = 𝑃′
𝐷 +
𝛾ℎ
104
( 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜)
1.40 +
(0.750)(1000)(0.825) + ℎ
104 =
(13.57)(1000)ℎ
104 ,
𝑦 ℎ = 1.14𝑚

Problema 29
Un manómetro diferencial está unido a dos secciones
rectas A y B de una tubería horizontal por la que circula
agua. La lectura en el manómetro de mercurio es de
0.60 m, siendo el nivel más cercano a A el más bajo.
Calcular la diferencia de presiones entre A y B en
kp/cm². Véase la siguiente Figura.
Solución:
Nota: Un croquis o dibujo ayuda a esclarecer el análisis
de todos los problemas y a reducir las equivocaciones.
Aun un simple diagrama de una línea puede servir.
Altura de presión en C = altura de presión en D
Al utilizar como unidad el m de agua:
𝑃𝐴/𝛾 − 𝑧 = [𝑃 𝐵/𝛾 − (𝑧 + 0.60)] + (13.57) (0.60)
De aquí,
𝑃𝐴
𝛾
−
𝑃 𝐵
𝛾
= 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛
= (0.60)(13.57 − 1) = 7.54𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎
y 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = (7.54)(1000)/10 4 = 0.754 𝑘𝑝/𝑐𝑚2
Problema 30
Los recipientes A y B
contienen agua a las
presiones respectivas de
276 kPa y 138 kPa. ¿Cuál
es la lectura en el
manómetro diferencial
de mercurio mostrado en
la Figura?
Solución:
Altura de presión en C = altura de presión en D
276
9.79
+ 𝑥 + ℎ =
138
9.79
− 𝑦 + 13.57ℎ (𝑒𝑛 𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎)
Ordenando 14.096 + 𝑥 + 𝑦 = (13.57 − 1) ℎ.
Al sustituir 𝑥 + 𝑦 = 1.829 𝑚 y despejar se obtiene

Problema 31
altura de presión al nivel A-A es de 0.091 m de agua y los
pesos específicos del gas y del aire son,
respectivamente, 5.50 y 12.35 N/m3.
Determinar:
La lectura en el manómetro de agua de tubo en U, que
mide la presión del gas al nivel B, según se muestra en la
Figura.
Solución:
Se supone que tanto el peso específico del aire como el
del gas permanecen constantes en los 91 m de
diferencia en elevación. Como los pesos específicos del
gas y del aire son del mismo orden de magnitud, debe
tenerse en cuenta el cambio en la presión atmosférica
con la altitud. Se utilizarán presiones absolutas.
(𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎) 𝑃𝐶 = (𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎) 𝑃𝐷 (𝑝𝑎)
(𝐴𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎) 𝑃𝐸 + 9790ℎ = (𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎) 𝑃𝐴 – 5.50 · 91
Se calcula ahora la presión absoluta en A en función de
la presión atmosférica en E, obteniendo primero la
presión atmosférica en F y luego PA.
(𝑎𝑏𝑠.) 𝑃𝐴 = [(𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠.) 𝑃𝐸 + 12.35 (ℎ + 91 – 0.091)]
+ (0.091 · 9790) (𝑃𝑎)
Sustituyendo este valor en (A), eliminando PE y
despreciando los términos muy pequeños, se obtiene:
9790ℎ = (91)(12.35 – 5.50) + (0.091)(9790),
𝑦 ℎ = 0.155 𝑚,
𝑜 155 𝑚𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎

Problema 32
Determinar la diferencia de presiones entre A y B para el
sistema mostrado en la Figura.
Solución:
𝑃𝐴 − 9.79𝑥 − (0.8)(9.79)(0.70) + (9.79) (𝑥 − 0.80) = 𝑃 𝐵
𝑃𝐴 − 9.79𝑥 – 5.482 + (9.79𝑥 − 7.832) = 𝑃 𝐵
𝑃𝐴 − 𝑃 𝐵 = 13.3 𝑘𝑝𝑎
Problema 33
Un manómetro diferencial está acoplado entre dos
depósitos tal como se muestra en la Figura. Calcular la
diferencia de presiones entrelas cámaras A y B.
Solución:
𝛾 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜 = 132.8
𝑘𝑁
𝑚3 , 𝛾 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒𝑆𝐴𝐸30 = 8,996
𝑘𝑁
𝑚3 ,
𝛾 𝑡. 𝑐𝑙𝑜𝑟𝑢𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑏𝑜𝑛𝑜 = 15,57
𝑘𝑁
𝑚3
𝑃𝐴 + (8.996) (1.1) + (132.8) (0.3) − (15.57) (0.8) = 𝑃𝐵
𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = − 37.28 kPa (es decir, 𝑃𝐵 > 𝑃𝐴)

Problema 34
Un gato hidráulico tiene las dimensiones que se muestran
en la figura adjunta; si se ejerce una fuerza de 100 N en
la palanca del gato, se pide:
a) Presión ejercida en A1 expresada en bares.
b) Carga F2 que puede soportar el gato expresado en
daN.
r) 62,2 bar; 1.221,3 daN.

Problema 35
Desarrollar
a) la ecuación que da la fuerza hidrostática que
actúa sobre un área plana
b) localizar la fuerza.
Solución:
a) La traza AB representa un área plana cualquiera
sobre la que actúa un fluido y que forma el
ángulo θ con la horizontal, como se muestra en la
Figura 3.2. Se considera un área elemental de
forma que todas sus partículas están situadas a la
misma distancia h por debajo de la superficie libre
del líquido. En la figura viene representada por la
banda con rayado inclinado, y la presión sobre
esta área es uniforme. Por tanto, la fuerza que
actúa sobre esta área dA es igual al producto de
la presión p por el área dA o bien:
dF = pdA = yhdA
Sumando todas las fuerzas elementales y considerando
que h = y sen θ,
F = ∫ 𝑦 ℎ 𝑑𝐴 = ∫ 𝑦 (𝑦 sen θ) 𝑑𝐴 =
= (y sen θ) ∫ 𝑦𝑑𝐴 = (y sen θ) Ycg A
Donde y y θ son constantes y, por estática, ∫ 𝑦 𝑑𝐴 =
YcgA.
Como hcg = Ycg senθ

F = y hcg A,
b) Para situar la fuerza F se procede a tomar
momentos como en estática. El eje OX se escoge
como la intersección del plano que contiene la
superficie con la superficie libre del agua. Todas
las distancias y se miden a partir de este eje, y la
distancia a la fuerza resultante se presenta por
YcP' que mide la distancia al centro de presión.
Como la suma de los momentos de todas las
fuerzas respecto del eje OX = momento de la
fuerza resultante, se obtiene
∫(𝑑𝐹 · 𝑦) = 𝑝. 𝑌𝑐𝑃
Pero 𝑑𝐹 = 𝑦ℎ 𝑑𝐴 = 𝑌 (𝑦 sen θ) 𝑑𝐴 Y 𝐹 = (𝑦 sen θ) (𝑌𝑐𝑔𝐴).
De aquí. (𝑦 sen θ) ∫ 𝑦2 𝑑𝐴 = (𝑦 sen θ) (𝑌𝑐𝑔𝐴 ) 𝑌𝑐𝑝
Como: ∫ 𝑦2 𝑑𝐴 es el momento de inercia del área plana
respecto del eje OX,
𝐼0
𝑦𝑐𝑔 𝐴
= 𝑦𝑐𝑝
En forma más conveniente, a partir del teorema de
Steiner,
Se observa que la posición del centro de presión está
siempre por debajo del centro de gravedad de la
superficie o bien (YcP - Ycg) es siempre positivo, ya que
Icg es esencialmente positivo.

Problema 36
Situar lateralmente la posición del centro de presión.
Referirse a la Figura 3.2.
Solución:
Si bien, en general, no se requiere conocer la posición
lateral del centro de presión, en algunas ocasiones es
necesaria dicha información. Utilizando el dibujo del
problema precedente, el área elemental dA está ahora
formada por (dx dy) de forma que para los momentos
puede tomarse la distancia x convenientemente.
Tomando momentos respecto de un eje "𝑌1,𝑌1"
𝐹 𝑥 𝑒𝑝 = ∫(𝑑𝐹 𝑥)
Al utilizar los valores obtenidos en el Problema (5)
anterior,
(𝑦 ℎ𝑐𝑔 𝐴 )𝑥𝑐𝑝 = ∫ 𝑝 (𝑑𝑥 𝑑𝑦)𝑥 = ∫ 𝑦ℎ (𝑑𝑥 𝑑𝑦 )𝑥
(𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝜃) (𝑌𝑐𝑔 𝐴 )𝑥𝑐𝑝 = (𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝜃) ∫ 𝑥 𝑦(𝑑𝑥 𝑑𝑦)
Ya que h = y sen θ. La integral representa el producto de
inercia del área plana respecto de los ejes
X e Y seleccionados, representado por 𝐼 𝑥𝑦. Por tanto,
𝑥 𝑐𝑝 =
𝐼 𝑥𝑦
𝑦𝑒𝑔 𝐴
=
(𝐼 𝑥𝑦) 𝑒𝑔
𝑦𝑒𝑔 𝐴
+ 𝑥 𝑒𝑔
Si uno u otro de los ejes centroidales fuera un eje de
simetría del área plana 𝐼 𝑥𝑦. Sería nulo y la posición lateral
del centro de presión estaría sobre el eje Y que pasa a
través del centro de gravedad (no se muestra en la
figura). Obsérvese que el producto de inercia respecto
de un sistema de ejes que pasan por el centro de
gravedad (𝐼 𝑥𝑦) 𝑒𝑔, puede ser positivo o negativo, de

forma que la posición lateral del centro de presión
puede caer a uno u otro lado del eje centroidal y.
Problema 37
El agua alcanza el nivel E en la tubería unida al depósito
ABCD que se muestra en la Figura, Despreciando el peso
del depósito y de la tubería de elevación.
Solucionar los siguientes puntos:
a) determinar y situar la fuerza resultante que actúa
sobre el área AB de 2.40 m de anchura.
b) Encontrar la fuerza total sobre el fondo del
depósito.
c) Comparar el peso total del agua con la resultante
obtenida en b) y explicar la diferencia.
Solución:
a) La profundidad del centro de gravedad del área AB,
respecto de la superficie libre del agua en E, es de 4,50
m.
Por tanto: 𝐹 = 𝑦ℎ𝐴 = 1.000 (3,60 +
0,90) (1,80 .2,40) = 19.440 kp
Que actúa a la distancia: 𝑦𝑐𝑝 =
2.4(1.8)3/12
4.5(1.8∙ 2.4)
+
4.5 = 4.56 𝑚 𝑑𝑒 𝑂
b) La presión en el fondo BC es uniforme; por
consiguiente, la fuerza:
𝐹 = 𝑃𝐴 = ( 𝑦ℎ) 𝐴 = 1.000 (5,40)(6 .2,40) = 77.760 𝑘𝑝
c) El peso total del agua es:
𝑊 = 1.000 (6 .1,8 .2,4 + 3,6 . 𝑂, 10) = 26.280 𝑘𝑝.
El cuerpo libre constituido por la parte inferior del
depósito (cortado por un plano horizontal justamente
encima del nivel BC) pondrá de manifiesto una fuerza,
dirigida hacia abajo, sobre el área BC de 77.760 kp,
fuerza vertical de tracción sobre las paredes del
depósito y fuerza de reacción sobre el plano soporte. La
reacción ha de ser igual al peso total del agua, es decir,

26.280 kp, La tracción en las paredes del depósito es
producida por la fuerza vertical, dirigida hacia arriba,
que actúa sobre la parte superior AD del depósito, que
es igual
𝐹𝐴𝐷 = ( 𝑦ℎ) 𝐴 = 1.000 (3,6)(14,4 − 0,1)
= 51.480 𝑘𝑝 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎
Se ha aclarado así una aparente paradoja, pues el
cuerpo libre considerado, la suma de las fuerzas
verticales es igual a cero, es decir:
77.760 − 26.280 − 51.480 = 𝑂
Con lo que se satisface la condición de equilibrio.
Problema 38
La compuerta AB de la Figura (a) tiene 1,20 m de
anchura y está articulada en A. La lectura mano métrica
en G es = 0,15 kp/cm² y el aceite que ocupa el depósito
de la derecha tiene una densidad relativa de 0,750.
¿Qué fuerza horizontal debe aplicarse en B para que la
compuerta AB se mantenga en equilibrio?
Solución:
Deben calcularse el valor de las fuerzas debidas a la
acción de los líquidos y su posición. Para el lado
derecho,
𝐹𝑎𝑐 = 𝑦ℎ𝑐𝑔𝐴 = (0,750 .1.000)(0,9)(1,8 .1,2)
= 1.460 𝑘𝑝 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎
Y actúa en: 𝑦𝑐𝑝 =
1.2 (1.8)3/12
0.9(1.2∙ 1.8)
+ 0.9 = 1.2 𝑚 𝑑𝑒 𝐴
Se observa que la presión que actúa sobre la parte
derecha de la compuerta AB rectangular varía
linealmente desde una presión manométrica nula hasta
el valor que corresponde a los 1,80 m de aceite (p = yh
es una ecuación lineal). El diagrama de cargas ABC
pone de manifiesto este hecho.
Sólo para el caso de áreas rectangulares, el centro de
gravedad de este diagrama de cargas coincide con el
centro de presión. El centro de gravedad está localizado
a (2/3) (1,8) = 1,2 m de A, como ya se ha obtenido.

Para el lado izquierdo, es necesario convertir la presión
negativa, debida al aire, en su equivalente en metros de
agua.
ℎ = −
𝑃
𝛾
= −
0.15(104 𝑘𝑝/𝑚2)
(1000 𝑘𝑝/𝑚3)
= −1.5 𝑚
Esta altura de presión negativa es equivalente a un
descenso del nivel del agua de 1,50 m. Es útil y
conveniente el empleo de una superficie de agua
imaginaria (IWS: Imaginary Water Surface) 1,50 m por
debajo de la superficie real y resolver el problema por
aplicación directa de las ecuaciones fundamentales.
Así,
𝐹𝑎𝑔 = 1.000 (2,1 + 0,9) (1,8 .1,2) = 6.480 𝑘𝑝
Que actúa hacia la derecha sobre el centro de presión.
Para el área rectangular sumergida 𝑦𝑐𝑝 =
1.2 (1.8)3/12
3(1.8·1.2)
+ 3 =
3.09 𝑚 𝑑𝑒 𝑂,
o bien el centro de presión está a (3.09 – 2.10) = 0.99 m
de A.
En la Figura (b) se muestra el diagrama del cuerpo libre
de la compuerta AB con las fuerzas actuantes. La suma
de momentos respecto de A debe ser igual a cero.
Tomado como positivo el giro de las agujas del reloj.
+ 1460(1.2) + 1,8𝐹 − 6480(0.99) = 𝑂 𝑦 𝐹
= 2590 𝑘𝑝 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎

Problema 39
El depósito de la Figura, contiene aceite y agua.
Encontrar la fuerza resultante sobre la pared ABC, que
tiene 1.20 m de anchura.
Solución:
La fuerza total
sobre ABC es
igual a ( 𝐹𝐴 𝐵 +
𝐹𝐵𝐶 ). Hay que
encontrar cada
una de las
fuerzas, situar su posición y, aplicando el principio de los
momentos, hallar la posición de la fuerza total resultante
sobre la pared ABC.
a) 𝐹𝐴 𝐵 = (0.800)(1000) (1.5) (3)(1.2) = 4320 kp, que actúa
en el punto (2/3) (3) m de A, o sea, 2m por debajo.
Puede obtenerse este mismo valor aplicando la fórmula
conocida, como sigue:
𝑦𝑐𝑝 =
1,2 (3)³/12
1.5(1.2 ∗ 3)
+ 1.5 = 2 𝑚 𝑑𝑒 𝐴
b) El agua actúa sobre la cara BC y la acción del líquido
superior puede tenerse en cuenta por la altura o
profundidad de agua equivalente. Se emplea en este
segundo cálculo la superficie de agua imaginaria (IWS),
situando la IWS por cambio de los 3 m de aceite en los
0,800 (3) = 2,40 m de agua. Por tanto,
𝐹𝐵𝐶 = 1.000 (2,4 + 0,9)(1,8 .1,2)
= 7.128 𝑘𝑝 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑐𝑡ú𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛
𝑦𝑐𝑝 =
1,2
(1.8)3
12
3.3(1.2 ∗ 1.8)
+ 3.3 = 3.38 𝑚 𝑑𝑒 𝑂 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛,
0.6 + 3.38 = 3.98 𝑚 𝑑𝑒 𝐴
La fuerza resultante total = 4320 + 7128 = 11448 kp, que
actúa en el centro de presión que corresponde al área
total. El momento de esta resultante = la suma de los
momentos de las dos fuerzas parciales anteriores.
Tomando momentos respecto de A.

11448 Ycp = 4320(2) + 7128(3.98) e Ycp =
3.23 de A
Pueden emplearse para estos cálculos otros métodos,
pero el presentado aquí reduce los errores tanto en el
planteamiento como en los cálculos.
Problema 40
En la Figura, la compuerta ABC está articulada en B y
tiene 4 m de longitud. Despreciando el peso de la
compuerta, determinar el momento no equilibrado
debido a la acción del agua sobre la compuerta.
Solución:
𝐹𝐴𝐵 = (9.79)(4)(9.24 · 4) = 1447 kN,que actúa a (
2
3
)(9.24)
= 6.16 m de 𝐴
𝐹𝐵𝐶 = (9.79) (8) (3 · 4) = 940 kN, que actúa sobre el centro
de gravedad de BC, ya que la presión es uniforme sobre
BC. Tomando momentos respecto de B (positivo el
sentido de giro de las agujas de un reloj).
𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜 = + (1447 · 3.08) − (940)(1.50) =
= + 3.047 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 (𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑔𝑢𝑗𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑜𝑗)

Problema 41
La compuerta AB de 2 m de diámetro de la Figura 3.9
puede girar alrededor del eje horizontal C situado 40 mm
por debajo del centro de gravedad. ¿Hasta qué altura h
puede ascender el agua sin que se produzca un
momento, no equilibrado respecto de C, en el sentido
de las agujas de un reloj?
Solución:
Cuando el centro de presión coincida con el eje C no
actuará sobre la compuerta ningún momento no
equilibrado. Calculando la distancia del centro de
presión:
𝑦𝑐𝑝 =
𝐼𝑐𝑔
𝑦𝑐𝑔 𝐴
+ 𝑦𝑐𝑔 =
𝜋𝑑4/64
𝑦𝑐𝑔(𝜋𝑑2/4)
+ 𝑦𝑐𝑔
De aquí tenemos: 𝑦𝑐𝑝 − 𝑦𝑐𝑔 =
𝜋22/64
(ℎ+1)(𝜋22/4)
=
40
1000
𝑚 (𝑑𝑎𝑑𝑜)
De donde ℎ = 5.25 𝑚 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐴

Problema 42
Determinar y situar las componentes de la fuerza debida
a la acción del agua sobre la compuerta del sector AB
de la Figura de abajo, por metro de longitud de
compuerta.
Solución:
𝐹𝐻 = fuerza sobre la proyección vertical de CB =
𝑦 ℎ 𝑐𝑔 𝐴 𝐶𝐵 =
= (9.79) (3) (6 · 1) = 176 𝑘𝑁 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑐𝑡ú𝑎 𝑎 (2/3 ) (6) =
4 𝑚 𝑑𝑒 𝐶
𝐹1 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝐴𝐵 = (9.79) (𝑛6² /
4 .1) = 277 𝑘𝑁
Que pasa por el centro de gravedad del volumen de
líquido. El centro de gravedad del cuadrante de un
círculo está situado a una distancia de (4/3) · (𝑟/𝜋) de
cada uno de los radios perpendiculares que lo limitan.
Por tanto,
𝑋𝑐𝑝 = (4/3) ∙ (6/𝜋) = 2.55 𝑚 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝐵𝐶
Nota: Cada una de las fuerzas elementales dF actúa
normal a la curva AB y, por tanto, su línea de acción
pasa por el eje C. La fuerza resultante también pasará
por C. Para confirmar esta proposición, se toman
momentos respecto de C, como sigue:
∑ 𝑀𝑐 = − (176)(4) + (277)(2,55) ≅ 𝑂

Problema 43
El cilindro de la Figura 3.11, de 2 m de diámetro, pesa
2500 kp Y tiene una longitud de 1.50 m. Determinar las
reacciones en A y B despreciando el rozamiento.
Solución:
a) La reacción en A es debida a la componente
horizontal de la fuerza que el líquido ejerce sobre el
cilindro, o bien,
𝐹𝐻 = (0.800 ∙ 1000) (1) (2 ∙ 1.5) = 2400 𝑘𝑝
Dirigida hacia la derecha. Por tanto, la reacción en A es
igual a 2.400 kp dirigida hacia la izquierda.
b) La reacción en B es igual a la suma algebraica del
peso del cilindro y la componente vertical neta de la
fuerza debida a la acción del líquido. La acción del
líquido sobre la superficie curvada CDB se compone de
la fuerza sobre la parte CD, dirigida hacia abajo, y la
fuerza sobre DB, dirigida hacia arriba. La componente
vertical neta es la suma algebraica de estas dos fuerzas.
𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝐹1
= 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜(𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑜 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜) 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐷𝐵 =
= (0.800) ∙ (1.000) · (1 ,5) (á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐷𝑂𝐵
+ á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝐷𝑂𝐶𝐸)
𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝐹1 = (0.800) ∙ (1.000) ∙ (1 ,5) (á𝑟𝑒𝑎 𝑟𝑎𝑦𝑎𝑑𝑎 𝐷𝐸𝐶)
Se observa que el cuadrado DOCE menos el área
DEC es igual al cuadrante del círculo DOC, y la
componente vertical neta será:
(Neta) 𝐹𝐼 = (0.800) · (1000) · (1 ,5)(𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐷𝑂𝐵 +
𝐷𝑂𝐶) ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 =
= (0 .800) ∙ (1000) ∙ (1.5)[(1/2)𝜋2)] = 1894 𝑘𝑝 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎
Finalmente, ∑ 𝑌 = O, 2500 − 1894 − 𝐵 = 𝑂, 𝑦 𝐵 =
606 𝑘𝑝 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎

En este problema particular la componente hacia arriba
(empuje) es igual al peso del líquido desplazado a la
izquierda del plano vertical COB.
Problema 44
la Figura se muestra el cilindro de 2,4 m de diámetro que
pesa 250 kp y reposa sobre el fondo de un depósito de 1
m de longitud. Se vierten agua y aceite en la parte
izquierda y derecha del depósito hasta unas
profundidades de 0.6 y 1.2 m, respectivamente. Hallar los
módulos de las componentes horizontal y vertical de la
fuerza que mantiene al cilindro justamente en contacto
con el depósito en B.
Solución: = 1290 𝑘𝑝 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎
(Neta) 𝐹𝐻 = 𝑐𝑜𝑚𝑝. 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐴𝐵 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 −
𝑐𝑜𝑚𝑝. 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐶𝐵 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎
= (0.750)(1.000)0.6(1.2 ∙ 1) − (1000)0.3(0.6 · 1)
= 360 𝑘𝑝 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎.
(Neta) 𝐹𝑣 = 𝑐𝑜𝑚𝑝.ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐴𝐵 +
𝑐𝑜𝑚𝑝.ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝐶𝐵
= 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒
+ 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 ( 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 − 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) 𝑎𝑔𝑢𝑎
= (0.750 · 1000 · 1 ∙
1
4
𝜋1.22)
+ {1000 · 1 [ (
1
6
𝜋1.22) − (−
1
2
∙ 0.6 ∙ √1.08)]}
= 1290

Problema 45
El estribo semicónico ABE, que se muestra en la Figura, se
utiliza para soportar la torre semicilíndrica ABCD. Calcular
las componentes horizontal y vertical debidas a la fuerza
que produce la acción del agua sobre el estribo ABE.
Solución:
FH = fuerza sobre la
proyección vertical del
semicono =
= (9.79)(3 + 2) (
1
2
∙ 6 ∙ 4) = 587 𝑘𝑁 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎
F v = peso del volumen de agua sobre la superficie
curvada (imaginaria) =
= (9.79)( 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐𝑜𝑛𝑜 + 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜)
=
1000 (
1
2
· 3
𝜋12
3
+
1
2
𝜋12) (9.79) [(
1
2
∙ 6
𝜋22
3
) + (
1
2
𝜋22 ∙ 3)]
= 308 𝑘𝑁 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎
Problema 46
Una piedra pesa 90 N en el aire y 50 N cuando está
sumergida en el agua. Calcular el volumen y la densidad
relativa de la piedra.
Solución:
Todos los problemas en
trabajos de ingeniería se
analizan mucho mejor
mediante el empleo del
diagrama del cuerpo libre.
Con referencia a la Figura,

se indica en ella el peso total de 90 N que actúa hacia
abajo, la tracción en la cuerda de unión a la balanza de
50 N dirígida hacia arríba y el empuje FB que actúa
también hacia arriba. De aquí:
∑ 𝑌 = 0
se tiene: 90 − 50 − 𝐹𝐵 = 𝑂, 𝐹𝐵 = 40 𝑁
Como  𝑒𝑚𝑝𝑢𝑗𝑒 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜
40 = 9790 𝑁/𝑚3(𝑣), 𝑦 𝑣 = 0.00409 𝑚³
𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑙 =
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑖𝑒𝑑𝑟𝑎
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑣𝑜𝑙. 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎
=
90𝑁
40𝑁
= 2.25
Problema 47
Un objeto prismático de 20 cm de espesor por 20 cm de
anchura y 40 cm de longitud se pesa en el agua a una
profundidad de 50 cm, dando la medida 5 kp. ¿Cuánto
pesa en el aire y cuál es su densidad relativa?
Solución:
Con referencia al diagrama
del cuerpo libre de la Figura
∑ 𝑌 = 0
de aquí: 𝑊 − 𝐹𝐵 − 5 = 0, ( 𝐴) 𝑊 = 5 + 𝐹𝐵
𝑒𝑚𝑝𝑢𝑗𝑒 𝐹𝐵 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜
= 1000(0.2 ∙ 0.2 ∙ 0.4) = 16 𝑘𝑝
𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑑𝑒 ( 𝐴) 𝑊 = 5 + 16 = 21 𝑘𝑝,
𝑦 𝐷𝑟 =
21
16
= 1.31

Problema 48
Una gabarra rectangular, de 7.6 m por 3 m de base y 3.7
m de profundidad, pesa 350 kN y flota sobre agua dulce.
Determinar
a) ¿Qué profundidad se sumerge?
b) Si el agua tiene una profundidad de 3,7 m, ¿qué
peso de piedras debe cargarse en la gabarra
para que ésta repose sobre el fondo?
Solución:
a. 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑎𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑎
350 = (9.79)(76)(3 . 𝑌), 𝑌 =
350
(9.79)(7.6)(3)
𝑌 = 1.57 𝑚 𝑠𝑢𝑚𝑒𝑟𝑔𝑖𝑑𝑎
b. 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑎𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑚á𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑖𝑒𝑑𝑟𝑎𝑠 =
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑎
350 + 𝑊𝑠 = (9.79)(7.6)(3)(3.7),
𝑊𝑠 = 476 𝑘𝑁 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑒𝑑𝑟𝑎𝑠
Problema 49
Un bloque de madera flota en el agua sobresaliendo de
la superficie 50 mm. Cuando se pone en glicerina, de
densidad relativa 1.35, sobresalen 76 mm de la superficie
del líquido. Determinar la densidad relativa de la
madera.
Solución:
El peso total de la pieza es (𝑎) 𝑊 = 𝐷𝑟(9.79)(𝐴 · ℎ), Y los
pesos del agua y la glicerina desplazados son,
respectivamente, (𝑏) 𝑊𝑤 = (9.79 𝐴)(ℎ − 50)/1000, y
(𝑐) 𝑊𝐺 = 1.35(9.79 𝐴 )(ℎ − 76)/1000.
Como cada uno de los pesos de líquidos desplazados es
igual al peso del bloque, (b) = (c), o bien:
(9.79 𝐴)(ℎ − 50)/1000 = 1.35 ∙ (9.79 𝐴)(ℎ − 76)/1000,
ℎ = 150𝑚𝑚
𝐶𝑜𝑚𝑜( 𝑎) = (𝑏), 𝐷𝑟 ∙ 9.79 𝐴(
150
1000
) = 9.79 ∙ 𝐴
(150 − 50)
1000
,
𝐷𝑟 = 0,667

Problema 50
Un hidrómetro pesa 0,0216 N Y su extremo superior
es un vástago cilíndricode 0,28 cm de diámetro. ¿Cuál
será la diferencia entre las longitudes de emergencia del
vástago cuando flota en aceite de densidad relativa
0,780 Y en alcohol de densidad relativa 0,821?
Solución:
Peso del hidrómetro = peso del líquido desplazado
 0,0216 = 0,821 ·9.790· V1
De donde VI = 2,69 .10−6'm3 (en alcohol).
Para la posición 2,
 0,0216 = 0,780 . 9.790 (VI + Ah) =
 9.790 [(2,69· 10-6) + (
1
4
𝜋 n) (2,8/1.000)2h]
 de donde h = 0,0225 m = 2,25 cm.

PROPIEDADES DE LOSFLUIDOS
Se denomina fluido a un tipo de medio
continuo formado por alguna sustancia entre cuyas
moléculas hay una fuerza de atracción débil. Los fluidos
se caracterizan por cambiar de forma sin que existan
fuerzas restituidas tendentes a recuperar la forma
"original" (lo cual constituye la principal diferencia con
un sólido deformable). Un fluido es un conjunto de
partículas que se mantienen unidas entre si por fuerzas
cohesivas débiles y/o las paredes de un recipiente; el
término engloba a los líquidos y los gases. En el cambio
de forma de un fluido la posición que toman sus
moléculas varía, ante una fuerza aplicada sobre ellos,
pues justamente fluyen. Los líquidos toman la forma del
recipiente que los aloja, manteniendo su propio
volumen, mientras que los gases carecen tanto de
volumen como de forma propios. Las moléculas no
cohesionadas se deslizan en los líquidos, y se mueven
con libertad en los gases. Los fluidos están conformados
por los líquidos y los gases, siendo los segundos mucho
menos viscosos (casi fluidos ideales).
 La posición relativa de sus moléculas puede cambiar
de forma abrupta.
 Todos los fluidos son compresibles en cierto grado. No
obstante, los líquidos son fluidos igual que los gases.
 Tienen viscosidad, aunque la viscosidad en los gases
es mucho menor que en los líquidos.
 Compresible: Esta propiedad de los fluidos les permite
mediante un agente externo al cambio de su
velocidad y volumen, esta características son muy
usadas para la industria como palancas de presión.
CLASIFICACIÓN DE LOSLIQUIDOS
Los fluidos se pueden clasificar de acuerdo a diferentes
características que presentan en:
 Newtonianos
 No newtonianos
O también en:
 Líquidos
 Gases

PESO ESPECÍFICO.
Es el peso del fluido por unidad de volumen:
Cambia de lugar dependiendo de la magnitud
de la aceleración de la gravedad g.
Sus dimensiones físicas son y
sus unidades en el S.I. son N/m3
El peso específico de una sustancia es su peso por
unidad de volumen
Peso = m.g
Peso = r.Volumen.g
Peso específico = g
g =
Peso
=
masa.gravedad
= r.g
Volumen Volumen
Peso de un cuerpo = g.Volumen
Unidades para el peso específico: [ g ] = [ F/L3 ]
Peso específico del agua
Temperatura
Peso
Específico
°C N/m3
0 9805
5 9806
10 9803
20 9786
40 9737
60 9658
80 9557
100 9438
g agua 4 °C = 9,8 kN/m3

DENSIDAD.
Se define como masa por unidad de volumen:
Sus dimensiones físicas son y sus
unidades en el S.I. son kg/m3
La densidad o densidad absoluta es la magnitud que
expresa la relación entre la masa y el volumen de una
sustancia. Su unidad en el Sistema
Internacional es kilogramo por metro cúbico (kg/m3),
aunque frecuentemente también es expresada en
g/cm3. La densidad es una magnitud intensiva.
Siendo , la densidad; m, la masa; y V, el volumen de la
sustancia.
DENSIDAD RELATIVA
La densidad relativa de una sustancia es
la relación existente entre su densidad y la de otra
sustancia de referencia; en consecuencia, es
una magnitud a dimensional (sin unidades)
Donde es la densidad relativa, es la densidad de la
sustancia, y es la densidad de referencia o absoluta.
Para los líquidos y los sólidos, la densidad de referencia
habitual es la del agua líquida a la presión de 1 atm y la
temperatura de 4 °C. En esas condiciones, la densidad
absoluta del agua destilada es de 1000 kg/m3, es decir,
1 kg/dm3.
Para los gases, la densidad de referencia habitual es la
del aire a la presión de 1 atm y la temperatura de 0 °C.

VISCOCIDAD CINEMATICA.
Esta propiedad es una de las más importantes en el
estudio de los fluidos y se pone de manifiesto
cuando los fluidos están en movimiento.
La viscosidad de un fluido se define como su
resistencia al corte. Se puede decir que es
equivalente a la fricción entre dos sólidos en
movimiento relativo.
Cuando deslizamos un sólido sobre otro, es preciso
aplicar una fuerza igual en dirección y magnitud a la
fuerza de rozamiento pero de sentido opuesto:
,
donde (m) es el coeficiente de rozamiento y ( ) es
la fuerza normal, para que el sólido se mueva con
velocidad constante ( ) en dirección, sentido y
magnitud.
Tipos de viscosidad:
Viscosidad absoluta o dinámica: h
-Unidades en el S.I.: N s/m2
-Unidades en el cgs: dina
s/cm2 (poise)
Viscosidad cinemática: es la relación entre la
viscosidad absoluta y la densidad de masa del
fluido
-Unidades en el S.I.: m2/s
-Unidades en el cgs: cm2/s (stoke)
PRESIONES EN LOS FLUIDOS.
Con el término “fuerza” describimos la interacción
mecánica entre dos cuerpos. En estática de fluidos
esta variable resulta ser un poco abstracta, por lo que
nos interesa más la fuerza dividida por el área sobre la
que se aplica dicha fuerza.
En mecánica de sólidos la variable correspondiente se
denomina “esfuerzo”, esto es, cuando realizamos un
esfuerzo sobre un objeto que tiene una forma
determinada, estamos ejerciendo una fuerza por
unidad de área y podemos deformar el objeto, es
decir, le podemos cambiar su forma.
En un punto en reposo dentro de un fluido la presión
tiene la misma magnitud en todas las direcciones.
Esto significa que si tenemos un área muy pequeña
(dA), libre de girar dentro del fluido en torno a su
centro, la fuerza debida a la presión tendrá

magnitud constante y actúa sobre el área en todas
direcciones a pesar de la orientación de dicha área.
Vamos a demostrarlo:
Tenemos un elemento de fluido en forma de cuña
de grosor 1 unidad de longitud, cuya densidad es
y cuyo peso es:
Sobre el lado horizontal (dx) se estará ejerciendo una
presión (py) y la fuerza correspondiente será:
Sobre el lado vertical (dy) se estará ejerciendo una
presión (px ) y la magnitud de la fuerza
correspondiente será:
Sobre el lado inclinado de la cuña, la presión sobre
(ds) corresponderá a una fuerza cuya magnitud es:
Como el volumen considerado está en equilibrio
traslacional, se cumple la Primera Ley de Newton:
En esta última ecuación se puede despreciar el
término debido al peso:

Por otro lado, sabemos que:
Por tanto,
Con esto queda demostrado que la presión en un
punto dentro de un fluido estacionario tiene la
misma magnitud en todas direcciones.
Si el fluido se encuentra en movimiento, de manera
que una capa horizontal se mueve con respecto a
la capa adyacente, y dicho fluido tiene viscosidad
diferente de cero, se producen esfuerzos de cizalla y
las presiones normales aplicadas en un punto ya no
son iguales en magnitud en todas direcciones. En
este caso, la presión en dicho punto se define como
el promedio de todas las presiones aplicadas sobre
él:
Si el fluido no es viscoso, no se producen esfuerzos de
cizalla, aunque el fluido se esté moviendo, y por
tanto la presión en un punto es la misma en todas las
direcciones.

PRINCIPIO DE ARQUIMIDES:
Cuando un objeto sumergido se pesa
suspendiéndolo de un dinamómetro, la lectura del
dinamómetro (peso aparente) es inferior al peso del
objeto (Figura 6-1). Esto se conoce como Principio de
Arquímedes, que puede enunciarse como:
Todo cuerpo parcial o totalmente sumergido en un
fluido experimenta una fuerza ascensional igual al peso
del fluido desplazado.
El principio de Arquímedes puede deducirse
determinando el empuje total, debido a la presión, que
el fluido ejerce sobre la superficie que delimita el sólido
(Figura 6-2).
PRINCIPIO DE PASCAL: EJEMPLO
Se desea elevar un cuerpo de 1000 kg utilizando
una elevadora hidráulica de plato grande circular de 50
cm de radio y plato pequeño circular de 8 cm de radio,
calcula cuánta fuerza hay que hacer en el émbolo
pequeño.
En este ejercicio nos dan datos para calcular las dos
superficies y para el peso a levantar, es decir calculamos
previamente S1, S2, F2 y calculamos F1 despejando.
S2 = π R2 = π 0,52 = 0,785

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