Números y Álgebra. Los números enteros.

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BLOQUE II Números y Álgebra.
UNIDAD 3 Los números enteros.
Objetivos del bloque:
1. Divisibilidad de los números naturales. Criterios de divisibilidad. Números
primos y compuestos. Descomposición de un número en factores primos.
2. Múltiplos y divisores comunes a varios números. Máximo común divisor y
mínimo común múltiplo de dos o más números naturales de os cifras. Números
negativos. Significado y utilización.
3. Números enteros. Representación, ordenación en la recta numérica.
4. Fracciones equivalentes. Comparación de fracciones y ordenación Números
decimales. Representación y ordenación.
5. Operaciones con números enteros.
6. Operaciones con fracciones.
7. Operaciones con decimales.
8. Elaboración y utilización de estrategias para el cálculo mental, para el cálculo
aproximado y para el cálculo con calculadora u otros medios tecnológicos.
9. Potencias de números enteros con exponente natural. Cuadrados perfectos.
10. Raíces cuadradas. Estimación y obtención de raíces aproximadas.
11. Jerarquía de las operaciones.
12. Resolución de problemas con números naturales, enteros, fraccionarios y
decimales.
13. Iniciación al lenguaje algebraico. Traducción de expresiones muy sencillas del
lenguaje cotidiano al algebraico y viceversa.
14. Operaciones con expresiones algebraicas o simbólicas muy sencillas.
15. Ecuaciones. Resolución de ecuaciones sencillas.
Procedimiento:
1. Los apuntes como los ejercicios se deben realizar en el cuaderno de clase.
Ten en cuenta, que, dentro de la evaluación de esta unidad, hay una prueba
que se hace con los apuntes.
2. Utilizamos bolígrafo de color negro para los apuntes, de color verde, para los
títulos, azul, para los enunciados de los problemas y el lápiz para la resolución
de estos.

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Evaluación:
Actitud en
clase
Cuaderno
Examen con
apuntes
Examen sin
apuntes
Nota Final
10% 20% 30% 40% 100%
Temario:
1. Los números enteros.
2. Representación de los números enteros en una recta.
3. Ordenación de los números enteros.
4. El valor absoluto y el valor opuesto de los números enteros.
5. La suma y la resta en los números enteros.
6. La multiplicación y la división en los números enteros.
7. Operaciones combinadas y jerarquía de operaciones en los números
enteros.
8. Potencia con los números enteros.
9. Raíces con los números enteros.
1. Los números enteros.
En la vida real, hay multitud de situaciones, donde los números naturales no sirven
para expresar situaciones, por ejemplo, si queremos saber entre que altura esta un
avión y un buzo, para situar al buzo por debajo del nivel del mar, necesitamos los
números enteros, ya que son los que pueden ponerse en negativo.
Un número entero es un elemento del conjunto numérico que contiene los números
naturales, el cero y sus opuestos. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos
uno», «menos tres», etc.), son menores que cero y todos los enteros positivos.
Idea Clave
ℤ = {∞, … − 𝟑𝟑, −𝟐𝟐, −𝟏𝟏, 𝟎𝟎, 𝟏𝟏, 𝟐𝟐 𝟑𝟑, … ∞}
Un poco de historia.
Los números negativos antiguamente conocidos como “números deudos” o “números
absurdos”, datan de una época donde el interés central era la de convivir con los
problemas cotidianos a la naturaleza. Las primeras manifestaciones de su uso se
remontan al siglo V, en oriente, y no llega hasta occidente hasta el siglo XVI. En
oriente se manipulaban números positivos y negativos, estrictamente se utilizaba los
ábacos, usando tablillas o bolas de diferentes colores. Sin embargo, los chinos no
aceptaron la idea de que un número negativo pudiera ser solución de una ecuación.

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Corresponde a los indios (de la India) la diferenciación entre números positivos y
negativos, que interpretaban como créditos y débitos, respectivamente,
distinguiéndolos simbólicamente. Además, el cero también es atribuida a esta
cultura, hacia el año 650 d. C. La notación muy difundida para los números positivos
y negativos fue gracias a Stifel. La difusión de los símbolos germánicos (+) y (-), se
popularizó con el matemático alemán Stifel (1487 – 1567) en el siglo XV, antes de
ello se utilizaba la abreviatura de p para los positivos y m para los negativos.
Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal, en su Anteitung Zur Algebra
(1770) trata de “demostrar” que (-1) · (-1) = +1; argumentaba que el producto tiene
que ser +1 o -1 y que, sabiendo que se cumple (1) · (-1) =-1, tendrá que ser: (-1) · (-1)
= +1.
Cuestión 2.3.1. Responde a las siguientes cuestiones:
• Busca información mediante Internet, sobre el siguiente filósofo, Filolao; e
indica que relación tienen con los números.
• Busca información sobre los ábacos, su origen, como se utilizaban, … etc.
• Responde:
o Cómo indicarías, que has dejado el coche en el sótano 4.
o Cómo indicarías, que en una cuenta bancaria, hay un saldo negativo, de
780€
o Cómo expresarías, que un avión se encuentra a 8.000 metros sobre el
nivel del mar.
o Cómo expresarías, que un submarino se encuentra a 250 metros por
debajo del nivel del mar.
Idea Clave
• Los números naturales, son enteros positivos, y pueden ir precedidos por
el signo +
• Los enteros negativos van precedidos del signo –
• El 0 es un entero, pero ni positivo ni negativo.
2. Representación de los números enteros en una recta.
Los números enteros pueden ordenarse de menor a mayor en la recta numérica.
Ilustración 1.
http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matematica1/representacin_de_los_nmeros_enteros_en_la_recta_num
rica.html

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Debemos trazar una recta y pintar el cero en el centro; dividir la recta en segmentos
iguales; colocar los núm. positivos a partir del cero a la derecha. y los núm. negativos
a partir del cero a la izquierda.
Cuestión 2.3.2. Representa los siguientes números enteros, teniendo en cuenta las
indicaciones:
• Representa -3, 4, -5, 1 y -2, en una recta donde 1 cm equivale a una unidad.
• Representa -11, 10, 11 y -7, en una recta donde 1 cm equivale a una unidad.
• Representa 25, -10, 15 y -5, en una recta donde 1 cm equivale a cinco unidades.
3. Ordenación de los números enteros.
Idea Clave
Cuanto más a la derecha esté un número situado en la recta numérica mayor es.
Cuanto más a la izquierda esté situado menor es.
Ejemplo: -14 es más pequeño que -7, porque el primero esta situado más a la
izquierda que el -7; en cambio 7 es más pequeño que 14.
Lo mismo que en los números naturales utilizaremos los símbolos:
Ejemplos: -7 > -14; 7 < 14
Cuestión 2.3.3. Ordenar números enteros:
• De mayor a menor: -100, 44, 55, 0, 2, -2 y -17
• De menor a mayor: 66, 0, -14, 22, -34 y 1.200
4. El valor absoluto y el valor opuesto de los números enteros.
El valor absoluto de un numero entero.
El valor absoluto de un número entero es su valor numérico sin tener en cuenta su
signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de
+3 y de -3.
Idea Clave
El valor absoluto de un número entero es la distancia que le separa del cero. Se
escribe entre dos barras | |y es el número sin su signo, por ejemplo:
• |+a| = a; |-a| = a
• |+3| = 3; |-3| = 3

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Cuestión 2.3.4. Calcular el valor absoluto de:
• |-100| =
• |+5| =
• |-11| =
• |+2| =
El valor opuesto de un entero.
Idea Clave
El opuesto de un número entero es su simétrico respecto del cero. Se escribe
así:
• Op (+a) = -a; Op (+3) = -3
• Op (-a) = +a; Op (-5) = 5
Cuestión 2.3.4. Calcular el valor opuesto de:
• Op (-20) =
• Op (+45) =
• Op (-7) =
• Op (+144) =
5. La suma y la resta en los números enteros.
Suma de dos enteros:
• Con signos iguales:
Se pone el signo, y se suman sus valores absolutos.
+3 +4 = +7
-3 -4 = -7
• Con signos diferentes:
Se pone el signo de valor absoluto mayor, y se restan sus valores absolutos:
-13 + 8 = - 5
-2 +10 = 8
Suma de más dos enteros:
Primero se suman todos los números negativos, y luego todos los positivos, y después
se resuelve:
-5 +6 -12 +8 +9 -15 = -32 +23 = -9
Diferencia de dos enteros:

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Veamos un ejemplo: (+3) – (-5), en este caso, el menos que hay delante (-5), cambia
el signo del número que hay dentro del paréntesis: (+3) – (-5) = 3 + 5 = 8
Suma y diferencia combinadas:
Tomemos la siguiente operación como ejemplo:
(+2) - (+6) + (-5) =
Lo primero quitamos paréntesis, teniendo en cuenta que un – delante de un paréntesis
cambia el signo del número que contiene:
+2 -6 -5 =
+2 -11 = -9
Cuestión 2.3.5. Calcular:
• (-3) + (-5) - (-7) =
• (-2) – (-5) + (-3) – (-2) =
• (-3) + (-4) – (-3) + (-1) =
• -(+2) + (-1) + (-4) – (-5) =
• -(+1) - (+3) - (-4) – (-5) =
6. La multiplicación y la división en los números enteros.
Antes debemos conocer la regla de los signos. Cuando multiplicamos o dividimos
enteros, para saber que signo debemos poner, hay que seguir la siguiente regla:
• signos iguales, es positivo
• signos diferentes, es negativo
Idea Clave
(+) · (+) = +; (+) : (+) = +
(-) · (-) = +; (-) : (-) = +
(+) · (-) = -; (+) : (-) = -
(-) · (+) = -; (-) : (+) = -
Multiplicación.
Para multiplicar enteros debemos:
• multiplicar los valores absolutos de los números.
• aplicar la regla de los signos
Ejemplo: (+15) · (-10) = -150
División.
Para dividir enteros debemos:

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• dividir los valores absolutos de los números
• aplicar la regla de los signos
Ejemplo: (-100) : (-5) = 20
Cuestión 2.3.6. Calcular:
• (+24) : (+3) =
• (-6 ) · (+4) =
• (-20 ) : (-5 ) =
• (+4) · (-2 ) =
• (+14) : (-2 ) =
• (-16 ) : (+2) =
• (-2 ) · (-5 ) =
• (+4) · (+3) =
7. Operaciones combinadas y jerarquía de operaciones en los números enteros.
Para poder realizar operaciones combinadas con los números enteros, debemos tener
presente la regla de la jerarquía de operaciones:
Primero, un signo – delante de paréntesis o corchete cambia el signo de lo que
contiene en su interior.
Segundo, un número delante de paréntesis o corchete multiplica lo que contiene en
su interior. Si el número que hay delante tiene el signo -, a la hora de multiplicar
tendremos en cuenta la regla de los signos.
Tercero, primero quitamos paréntesis o corchetes. Si hay varios paréntesis, se
opera de dentro hacia fuera (se hacen primero los más internos)
Cuarto, después realizamos los productos o los cocientes.
Quinto, al final realizamos las sumas o restas.
Veamos un ejemplo:
15 – [8 – (2 – 10 : 2 + 2)] : 3 =
15 - [8 – (2 -5 + 2)] : 3 =
15 - [8 – (-1)] : 3 =
15 - [8 + 1] : 3 =
15 - [9] : 3 =
15 – 9 : 3 =
15 – 3 = 12

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Cuestión 2.3.7. Calcular:
• 28 : 7 · 3 – 2 · 5 – 1 + (– 15) : – (– 3) ·2 + 10 =
• 3[4 – 2(5 – 11)] - 18 =
8. Potencia con los números enteros.
Repasar las propiedades de las potencias de los números naturales.
En este curso, solo vamos a ver, las potencias, con base positiva o negativa, pero con
exponente positivo.
Las potencias con base positiva se calculan como los números naturales; en cambio
las potencias con base negativa, debemos saber cual es el signo final. Se puede
calcular teniendo en cuenta la regla de los signos; pero hay una regla:
Idea Clave
• El resultado de una potencia de un número positivo es positivo.
• El resultado de una potencia de un número negativo:
o Si el exponente es impar, negativo
o Si el exponente es par, positivo
Ejemplos:
- (+2)3
= +8
- (+2)4
= +16
- (-2)3
= -8
- (-2)4
= +16
Cuestión 2.3.8. Calcular:
• (+3)2
=
• (-5)3
=
• (-3)4
=
• (-3)5
=
• (-2)4
=
10. Raíces con los números enteros.
Raíz cuadrada de un número positivo.
Un número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa:
√𝟏𝟏𝟏𝟏 = b ⇔ b2
= 16
b = ± 𝟒𝟒 ⇔ (+4) · (+4) o (-4) · (-4)

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Raíz cuadrada de un número negativo.
Un número negativo no tiene raíz cuadrada, porque no se cumple:
√−𝟏𝟏𝟏𝟏 = b ⇔ b2
≠ -16
Ya que no hay ningún número que multiplicado por si mismo de como resultado un
número negativo.
Cuestión 2.3.9. Calcular:
• √25 =
• √−36 =
• √81 =
PRACTICAS CON CALCULADORA.
Resuelve con la calculadora científica todos los ejercicios anteriores, a partir -
incluida- de la Cuestión 2.3.5.
PRACTICAS CON HOJA EXCEL.
Calcular el valor absoluto con EXCEL.
Importante, no todas las versiones de EXCEL permiten este cálculo.
En la columna B, a partir de la celda B2, y de forma horizontal hacia abajo,
introducimos los siguientes números: -250; 334; -1.288; -33 y 100.
En la celda C2, escribiremos =ABS(B2)

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Damos al intro.
Si desde la celda C2, desplazamos hacia abajo,
calcularemos el valor absoluto del resto de celdas.
Calcular el valor opuesto con EXCEL.
Es muy sencillo, siguiendo como ejemplo los datos anteriores, si en la celda C2,
escribimos =C2*-1, le damos intro, y luego desplazamos hacia abajo, tendremos los
opuestos. El resultado debe ser el siguiente:
11. Ejercicios.
1. Calcular el valor absoluto:
a. |-5| =
b. |-25| =
c. |+6| =
d. |+15| =

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e. |-555| =
f. |+255| =
g. |+33| =
h. |+105| =
i. |-20| =
j. |-7| =
2. Calcular el valor opuesto:
a. Op (+6) =
b. Op (+16) =
c. Op (-88) =
d. Op (-100) =
e. Op (+36) =
f. Op (-42) =
g. Op (+106) =
h. Op (-300) =
3. Calcular el valor absoluto y opuesto utilizando Excel: en un archivo, que ya te
indicará el docente, en la primera hoja calcula el valor absoluto del ejercicio
1 y en la hoja 2 el valor opuesto del ejercicio 2.
4. Representa en una recta los siguientes números enteros, tener en cuenta las
indicaciones:
a. -7, 7, -5, 5 -4, 0 y 4
b. -11, 4, -3, 2 y 10
5. Ordena de mayor a menor:
a. – 18, 45, -9, 35, 44, -56, 118, -219, 332, -425
b. 8, −6, −5, 3, −2, 4, −4, 0, 7
c. −4, 6, −2, 1, −5, 0, 9
6. Ordena de menor a mayor:
a. -82, 24, 0, -9, -71, -23, -7, -65, 44, 23
b. - 4, 0, +7, +3, -9, +8
c. -12, -9, -4, 0, +3, +7, +8
7. Responde a las siguientes cuestiones:
a. Mariola tiene en el banco, 3.800,00€.
b. David debe a Luis, 150 euros.
c. Sandra vive en el séptimo piso.
d. Juan, tiene aparcado el coche en el segundo sótano.
e. Ayer el termómetro marcaba 18 grados.
f. En Moscú, el termómetro ha llegado a menos 15 grados.
8. Calcular las siguientes operaciones:
a. (3 − 8) + [5 − (−2)] =
b. 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =
c. 9 : [6 : (− 2)] =

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d. [(−2)5
− (−3)3
]2
=
e. (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2)2
=
f. (7 − 2 + 4) − (2 − 5) =
g. 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2] =
h. −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =
i. 2 · [( −12 + 36) : 6 + (8 − 5) : (−3)] =
j. [(−2)5 · (−3)2] : (−2)2 = (−32 · 9) : 4 =
k. 6 + {4 − [(17 − (4 · 4)] + 3} – 5
l. (12 + 15 – 18) + (20 – 14) =
m. (– 27 + 35 + 16) + (36 – 4 – 7) =
n. (-6)(-5)(+7) =
o. – 3 + (-4 – 2) + [- 7 – (4 – 7) + 3] =
p. (6 + 4) : (2 + 3) =
q. [-17 + (11 – 16)] – [(-2 + 7) · (25 – 20)] =
r. (5 – 2) · (2 – 5) (-2) : (-3) =
s. 4 + 5 · (6 - 4) + 8 : 2 =
t. [8 - (-10 +14)]: [9 - (4 +2 ·3)]
9. Calcular las potencias:
a. (−2)2
· (−2)3
· (−2)4
=
b. (−2)5
· (−2)2
· (−2)6
=
c. -22
: -23
=
d. (−3)1
· (−3)3
· (−3)4
=
e. (-5)2
: (-5)3
=
f. (-1)122
=
10. Calcular las raíces cuadradas:
a. √144 =
b. √−36 =
c. √111 =
d. √144 =
e. √81 =
f. √−100 =
11. Calcular con los ejercicios 6, 7 y 8 con la calculadora científica.