1. Universidad Tecnológica De Torreón
Procesos Industriales Área Manufactura
Estadística
Alejandra Ríos Zamora
2°D
Lic. Edgar Gerardo Mata Ortiz

2. Distribuciones de probabilidad
En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una
variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la
variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de
probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los
sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.
Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la
distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de
distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable
aleatoria sea menor o igual que x.
Por lo tanto una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que
pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a
cabo. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro,
constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede
diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias
actuales de diversos fenómenos naturales.

3. Distribución Bernoulli
Un ensayo bernoulli es un experimento que tiene dos resultados. Al primero se le
llama “éxito” y al otro “fracaso”. La probabilidad de “éxito” se denota por p.
Por consecuencia, la probabilidad de “fracaso” es 1-p.
Para cualquier ensayo de bernoulli se define a la variable aleatoria x así: si el
experimento propicio “éxito”, entonces X = 1. De lo contrario, X = 0. De ahí que X
sea una variable aleatoria discreta, con función de masa de probabilidad p(X)
definida por
P (0) =P(X = 0) = 1-p
P (1) =P(X = 1) =p
Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución de bernoulli con
parámetro p la notación es X ~ Bernoulli (p)
Media y varianza de una variable aleatoria de Bernoulli.
Media = p
Varianza = p (1-p)

4. Ejemplos:
Cuando se lanza al aire una moneda hay una probabilidad de 0.5 de que caiga en
“cara”. Sea X = 1, si la moneda cae en “cara” y X = 0, si cae en “cruz”. ¿Cuál es la
distribución de X?
Probabilidad de que caiga “cara” = .5 ó 50%
Probabilidad
Eventos Sustituimos la formula Probabilidad
Éxito
X=1 P(1) =P(X = 1) =P 0.5 ó 50%
X=0 P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.5 ó 50%
Fracas
o
La probabilidad de éxito, P(X = 1), es igual a 0.5. Por lo tanto,
X~ Bernoulli (0.5)
Media: =P 0.50
Varianza: = P(1-P) 0.25
0.50 (1-0.50)

5. Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6. Sea X = 1,
si el dado cae seis y X = 0, en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X?
Eventos Probabilidad
X=1 P(1) =P(X = 1) =P 0.16 ó 1/6
X=0 P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.83 ó 5/6
La probabilidad de éxito, P(X = 1), es igual a 1/6. Por lo tanto,
X~ Bernoulli (1/6)
Media: =P 0.16 ó 1/6
Varianza: = P(1-P) 0.1344 /36
********************************************************************************
Diez por ciento de los componentes fabricados mediante determinado proceso
esta defectuoso. Se selecciona un componente aleatoriamente. Sea X = 1, si el
componente esta defectuoso y X =0, en cualquier otro caso. ¿Cuál es la
distribución de X?
Eventos Probabilidad
X=1 P(1) =P(X = 1) =P 0.10
X=0 P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.90
La probabilidad de éxito, P(X = 1), es igual a 0.1. Por lo tanto,
X~ Bernoulli (0.1)
Media: =P 0.1
Varianza: = P(1-P) 0.09

6. Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior del tablero.
La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55. Sea X = 1, si anota el tiro, si no lo
hace, X = 0. Determine la mediana y la varianza de X
Eventos Probabilidad
X=1 P(1) =P(X = 1) =P 0.55
X=0 P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.45
La probabilidad de éxito, P(X = 1), es igual a 0.1. Por lo tanto,
X~ Bernoulli (0.55)
Media: =P 0.55
Varianza: = P(1-P) 0.2475
*******************************************************************************
En un restaurante de comida rápida, 25% de las órdenes para beber es una
bebida pequeña, 35% una mediana y 40% una grande.
Sea X = 1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y X= 0
en cualquier otro caso.
Sea Y = 1 si la orden es una bebida median y Y = 0 en cualquier otro caso.
Sea Z = 1 si la orden es una bebida pequeña o mediana y Z = 0 en cualquier otro
caso.
Eventos Si la bebida es pequeña Probabilidad
X=1 P(1) =P(X = 1) =P 0.25
X=0 P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.75

7. Media: =P 0.25
Varianza: = P(1-P) 0.1875
Eventos Si la bebida es mediana Probabilidad
Y=1 P(1) =P(Y = 1) =P 0.35
Y=0 P(0) =P(Y = 0) = 1-P 0.65
Media: =P 0.35
Varianza: = P(1-P) 0.2275
Eventos Si la bebida es pequeña o Probabilidad
mediana
Z=1 P(1) =P(Z = 1) =P 0.60
Z=0 P(0) =P(Z = 0) = 1-P 0.40
Media: =P 0.60
Varianza: = P(1-P) 0.24

8. Distribución binomial
Extraer un solo componente de una población y determinar si está o no
defectuosa es ejemplo de un ensayo bernoulli. En la práctica, es posible extraer
varios componentes de una gran población y contar el número de elementos
defectuosos. Esto implica realizar diversos ensayos de bernoulli independientes y
contar el número de éxitos. El número de éxitos es una variable aleatoria, que
tiene una distribución binomial.
Suponga que se lleva a cabo una serie de n ensayos de bernoulli, cada uno con
la misma probabilidad de éxito p. además, suponga que los ensayos son
independientes: esto es, que el resultado de un ensayo no influyen en los
resultados de alguno de los otros ensayos. Sea la variable aleatoria X igual al
número de éxitos en n ensayos, entonces X tiene la distribución binomial con
parámetros n y p. la notación es X~Bin(n,p). X es una variable aleatoria discreta
y sus posibles valores son 0,1……n.
Entonces X tiene la
Cada ensayo tiene distribución
Se realiza un total X es el numero
Los ensayos son la misma binomial con
de n ensayos de de éxitos en los n
independientes probabilidad de parámetros n y p,
bernoulli y si: ensayos
éxito p que se denota
como X~Bin(n,p)

9. Si X ~Bin (n,p), la función de masa de probabilidad de X es:
P(X) = P(X =
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Ejemplos:
Se lanza al aire 8 veces un dado. Determine la probabilidad de que no salga mas
de dos números seis.
Cada lanzamiento del dado es un experimento Bernoulli con una probabilidad de
éxito de 1/6.
Sea X el número de seises en los 8 lanzamientos. Entonces X~ Bin (8 1/6). Se
necesita determinar a P(X=0), P(X=1) y P(X=2)

10. Determine la función de masa de probabilidad de la variable aleatoria X,
Si X ~Bin (10,0.4).
Determine P(X =5)
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Se toma una muestra de cinco elementos de una población grande, en la cual
10% de los elementos esta defectuosa
Sea X~ Bin(5, 0.1). Determine

11. Se lanza una moneda 10 veces y la probabilidad de obtener cara es de .5
Sea X~ Bin (10, 0.5). Determine

12. Sea X~ Bin(8, 0.4). Determine