PPNA

2. Triángulos: Semejanza - Congruencia Pág. 01
Triángulo:Sedenominatriánguloalaunióndetres puntosno colineales,siendoestala figurageométrica
conmenorcantidaddelados.
1. Vértices: 𝐴, 𝐵, 𝐶
Elementos 2. Lados: 𝐴𝐵̅̅̅̅, 𝐵𝐶̅̅̅̅,𝐴𝐶̅̅̅̅
3. Ángulos Interiores:∢𝐴; ∢𝐵; ∢𝐶
Exteriores:∢𝐸𝐴𝐵; ∢𝐹𝐵𝐶; ∢𝐵𝐶𝐻
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
1. Según sus lados
Triángulo Escaleno: (a  b  c)
Se cumple:
    
Triángulo Isósceles: (a = c  b)
Se cumple:
 =  < 90°
AC : Base
Triángulo Equilátero: (a = b = c)
Se cumple:
 =  =  = 60°
TEMA
NOCIONES PREVIAS DE TRIÁNGULOS
A
B
C HE
F
A
B
C
a
b
c



B
ac

A Cb
 
A C
a
b
c



B

3. Triángulos: Semejanza - Congruencia Pág. 01
2. Según su ángulos
Triángulos Oblicuángulos
- Triángulo Acutángulo
 < 90° ;  < 90° ;  < 90°
- Triángulo Obtusángulo
 > 90° ;  < 90° ;  < 90°
PROPIEDADES BÁSICAS
1. Suma de las medidas de los ángulos
interiores.
Se cumple:
 +  +  = 180°
2. Cálculo de la medida de un ángulo exterior.
Se cumple:
z =  + 
3. Suma de medidas de ángulos exteriores
considerando uno por cada vértice.
Se cumple:
x + y + z =360°
4. De correspondencia.
Si:  >  > 
Se cumple:
a > b > c
5. Relación de existencia del triángulo.
Si: a > b > c
Se cumple:
b – c < a < b + c
a – c < b < a + c
a – b < c < a + b
Observación:
Para que el triángulo exista es suficiente que se
verifique sólo una de las relaciones anteriores.
PROPIEDADES ADICIONALES:
1.
Se cumple:
x =  +  + 
A
B
C



A
B
C








z
x
y
z



a
bc
a
bc
x



4. Triángulos: Semejanza - Congruencia Pág. 02
2. Se cumple:
 +  = m + n
3.
Se cumple:
x =
2
nm 
4.
Se cumple:
 +  = m + n
TRIÁNGULO (líneas y puntos notables)
ALTURA
Es el segmento perpendicular trazado desde una
vértice al lado opuesto o a su prolongación. En todo
triángulo se pueden trazar tres alturas, las cuales se
cortan en un punto que recibe el nombre de
“Ortocentro (O)” el cual se ubica:
a. En el interior del triángulo, en el caso de
triángulo acutángulo.
b. En el vértice del ángulo recto, en el caso de
triángulo rectángulo.
c. Fuera de triángulo, en el caso de triángulo
obtusángulo.
MEDIANA
Es el segmento de recta que une un vértice del
triángulo con el punto medio del lado opuesto. En
todo triángulo se pueden trazar tres medianas, las
cuales se cortan en un punto interior al triángulo que
recibe el nombre de “Baricentro (G)”, “Centroide” o
“Centro de Gravedad”.
Propiedad del Baricentro:
En todo triángulo, el baricentro divide a cada
mediana en dos partes cuya relación es 2 a 1.
m
n

m
n


m
x
n
 

A
B
C
O
A
B
CP
N M
2y
2
x
2z
z
y
x
G
C
O
A
C
A
B
O

5. Triángulos: Semejanza - Congruencia Pág. 03
Así, en el triángulo ABC, cuyo baricentro es G, se
verifica que:
AG =
3
2
AM ; BG =
3
2
BP ; CG =
3
2
CN
Mediana relativa a la hipotenusa de un Triángulo
Rectángulo
La mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo
rectángulo mide la mitad de la hipotenusa.
AM =
2
BC
Además, se forman dos triángulos isósceles (ABM y
AMC)
BISECTRIZ
Es el rayo que parte de un vértice y divide al ángulo
en dicho vértice en dos ángulos congruentes. En
todo triángulo se pueden trazar tres bisectrices de
los ángulos interiores (bisectrices interiores), las
cuales se cortan en un punto interior al triángulo que
recibe el nombre de “Incentro”.
Propiedad de la Bisectriz:
Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángulo
equidista de los lados de dicho ángulo.
En la figura. OM : bisectriz del ángulo AOB
Si : P  OM, Entonces: PQ = PR OQ = OR
* Lo recíproco de este problema es cierto.
Propiedad del Incentro:
El incentro equidista de los tres lados deltriángulo y
además, es el centro de la circunferencia inscrita en
el triángulo. El radio de la circunferencia recibe el
nombre de “Inradio” r.
I - incentro
IH = IJ = IK = r
r – radio de la circunferencia inscrita (inradio)
A
B
CK
H r r
r
I
J


A
B
M
R
Q
Q
O
a
a
P
m
m
A
B C
M

6. Triángulos: Semejanza - Congruencia Pág. 04
MEDIATRIZ
Es la recta perpendicular a un lado del triángulo,
trazada desde su punto medio. En todo triángulo se
pueden trazar tres mediatrices, las cuales se cortan
en un punto llamado “Circuncentro”, el cual se ubica:
a. En el interior del triángulo, en el caso de
triángulo acutángulo.
b. En el punto medio de la hipotenusa en el caso
de triángulo rectángulo.
c. Fuera del triángulo, en el caso de triángulo
obtusángulo.
Propiedad de la Mediatriz:
Todo punto situado sobre la mediatriz de un
segmento equidista de los extremos del segmento.
Propiedad del Circuncentro:
El circuncentro equidista de los tres vértices del
triángulo y además, es el centro de la circunferencia
circunscrita al triángulo. El radio de la circunferencia
recibe el nombre de “circunradio”.
P – circuncentro
AP = BP = CP = R
R – radio de la circunferencia circunscrita
(Circunradio )
BA
P
Q
Mediatriz
AP = PB
AQ = QB
Q
P R
C
A
B C
P
P R
Q
C
Q
P R
C

7. Triángulos: Semejanza - Congruencia Pág. 05
PROPIEDADES
1. En un triángulo isósceles se cumple:
Altura
Mediana
Bisectriz
Mediatriz
2. En un triángulo equilátero; el ortocentro,
baricentro, incentro y circuncentro coinciden en
un mismo punto interior del triángulo.
Ortocentro
Baricentro
Incentro
Circuncentro
3. En un triángulo rectángulo el ortocentro,
baricentro y circuncentro se alinean a lo largo de
la mediana relativa a la hipotenusa.
6
BC
3
AM
2
AG

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS CON LAS
LÍNEAS NOTABLES
1.
 = 90° + 2

2.
 =
2

3.
∅ = 90° −
𝛽
2
4.
 = 2

A
B
C
H
 
P
A C
B
P
30°30°
30°
30°
30°
30°






A
B
C




 
A

 


B
C
Ortocentro
Baricentro
Circuncentro
3m3m
2m
G
m
A
B C
M






BH