El documento explica el razonamiento deductivo, que consiste en aplicar una verdad general ya demostrada a casos particulares. Proporciona ejemplos de cómo se deduce la última cifra de números elevados a ciertas potencias, y resuelve ejercicios aplicando estas reglas deductivas.

1. Método Deductivo

2. El razonamiento deductivo consiste en
aplicar una verdad general (ya
demostrada) en ciertos casos
particulares. El razonamiento deductivo
es la base de las demostraciones
matemáticas. Demostrar una propiedad
es deducirlas de otras anteriormente ya
demostradas. Por ejemplo; una vez
demostrado el teorema de Pitágoras
sabemos que es válido para cualquier
triangulo rectángulo.
Esta generalización que produce la
demostración permite la aplicación de un
teorema dado a cualquier caso
particular.
C
A
S
O
G
E
N
E
R
A
L
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Casos
Particulares
Razonamiento Deductivo

3. Ejercicios de Aplicación
Ejemplo 1
Halle el valor de E:
𝐸 = (7000)3−(6999)3−(6999)2−7 6999 . 103
Resolución
Sabemos que: 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 + 𝑏2 + 𝑎𝑏)
Luego tenemos que:
𝐸 = (7000)3−(6999)3−(6999)2−7 6999 . 103
𝐸 = 7000 − 6999 70002
+ 69992
+ 7000.6999 − 69992
− 7 6999 . 103
𝐸 = 70002 + 69992 + 7 6999 . 103 − 69992 − 7 6999 . 103
𝐸 = 70002

4. Resolución
Calcular:
𝐸 =
3
99𝑥100𝑥101 + 10
3
9𝑥10𝑥11 + 10
Ejemplo 2
Trabajando por partes:
3
9𝑥10𝑥11 + 10
3
(10 − 1)𝑥10𝑥(10 + 1) + 10
3
(102 − 1)𝑥10 + 10
3
(103 − 10) + 10 =
3
103 = 10
Reemplazando en la expresión:
𝐸 =
3
99𝑥100𝑥101 + 10
3
9𝑥10𝑥11 + 10
𝐸 =
3
99𝑥100𝑥101 + 10𝑥(10)
𝐸 =
3
(100 − 1)𝑥100𝑥(100 + 1) + 102
𝐸 =
3
1002 − 1 𝑥100 + 102
𝐸 =
3
1003 − 100 + 102
𝐸 =
3
1003 − 102 + 102
𝐸 =
3
1003
𝐸 = 100
Diferencia de cuadrados
Diferencia de cuadrados

5. Ejemplo 3
Deduzca el valor de “x”, sabiendo que 𝑥 ≠ 1 y además:
𝑥 − 1
3
+
3
𝑥 − 1
= 2
Resolución
Hacemos un cambio de variable: 𝑥 − 1 = 𝑎
𝑎
3
+
3
𝑎
= 2
𝑎2
+ 9
3𝑎
= 2
𝑎2 + 9 = 6𝑎
𝑎2
− 6𝑎 + 9 = 0
(𝑎 − 3)2= 0
𝑎 − 3 = 0
𝑎 = 3
Reemplazando
𝑥 − 1 = 𝑎
𝑥 − 1 = 3
𝑥 − 1 = 9
𝑥 = 10
𝑥 = 100
𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎 = 3

6. Ejemplo 4
Si: 𝑥 + 𝑦 − 𝑥 − 𝑦 = 12 𝑦; 𝑦 ≠ 0
Además: 𝑀 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 − 𝑦
Resolución
Dato:
12 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑥 − 𝑦
𝑀 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 − 𝑦
x
12 𝑦𝑀 = ( 𝑥 + 𝑦 − 𝑥 − 𝑦)( 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 − 𝑦)
Diferencia de cuadrados
12 𝑦𝑀 = 𝑥 + 𝑦
2
− 𝑥 − 𝑦
2
12 𝑦𝑀 = 𝑥 + 𝑦
2
− 𝑥 − 𝑦
2
12 𝑦𝑀 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑥 + 𝑦 = 2 𝑦
12 𝑦𝑀 = 2 𝑦
𝑀 = 1/6

7. En esta parte nos dedicamos a calcular la última cifra del resultado de un número que va a
ser expuesto a sucesivas operaciones.
Caso I
Caso II
Para números que terminen en: 0, 1, 5 ó 6
(… 0) 𝑛
= ⋯ 0
(… 1) 𝑛
= ⋯ 1
(… 5) 𝑛
= ⋯ 5
(… 6) 𝑛
= ⋯ 6
𝑛 ∈ ℤ+
Para números que terminen en: 4 ó 9
41
= 4
42 = 16
43
= 64
44 = 256
(… 4) 𝑝𝑎𝑟
= ⋯ 6
(… 4)𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟= ⋯ 4
91
= 9
92
= 81
93 = 729
94
= 6561
(… 9) 𝑝𝑎𝑟
= ⋯ 1
… 9 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
= ⋯ 9

8. Caso III Para números que terminen en: 2, 3, 7 ó 8
Como:
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24
= 16
25
= 32
26
= 64
27
= 128
28 = 256
Cada grupo
de 4 la
última cifra
se repite
(… 4)4= ⋯ 6

9. Ejemplo 1
En que cifra termina el resultado de A:
𝐴 = 20022003
Resolución
Busquemos la relación existente entre el
exponente y el múltiplo de 4
2000 500
3
2003 4
2003 = 4 + 3
Así:
𝐴 = (… 2)4+3
= (… 2)3
= (… 8)
Ejemplo 2
En que cifra termina E:
𝐸 = 20023000 + 20013001 + 20023002 + ⋯ + 20093009
Resolución
Analicemos la última cifra de cada caso:
(2000)3000= (… 0)3000= (… 0)
(2001)3001
= (… 1)3001
= (… 1)
(2002)3002= (… 2)4+2= (… 2)2= (… 4)
(2004)3004= (… 4) 𝑝𝑎𝑟= (… 6)
(2003)3003= (… 3)4+3= (… 3)3= (… 7)
(2005)3005
= (… 5)3005
= (… 5)
(2006)3006
= (… 6)3006
= (… 6)
(2007)3007
= (… 7)4+3
= (… 7)3
= (… 3)
(2008)3008= (… 8)4+4= (… 8)4= (… 6)
(2009)3009
= (… 9)𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
= (… 9)
Luego
𝐸 = … 0 + … 1 + … 4 + … 7 + … 6 + … 5 + … 6 + … 3 + … 6 + (… 9)
𝐸 = (… 7)