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2022年度秋学期 応用数学(解析) 第10回 生存時間分布と半減期 (2022. 12. 1)
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2022年度秋学期 画像情報処理 第11回 逆投影法による再構成 (2022. 12. 9)
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2022年度秋学期 応用数学(解析) 第11回 振動と微分方程式 (2022. 12. 8)
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2022年度秋学期 統計学 第11回 分布の「型」を考える - 確率分布モデルと正規分布 (2022. 12. 6)
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2022年度秋学期 画像情報処理 第10回 Radon変換と投影切断面定理 (2022. 12. 2)
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2022年度秋学期 統計学 第10回 分布の推測とはー標本調査,度数分布と確率分布 (2022. 11. 29)
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2022年度秋学期 統計学 第8回 問題に対する答案の書き方 (2022. 11. 15)
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2022年度秋学期 画像情報処理 第9回 離散フーリエ変換と離散コサイン変換 (2022. 11. 25)
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2022年度秋学期 統計学 第9回 確からしさを記述するー確率 (2022. 11. 22)
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2022年度秋学期 画像情報処理 第8回 行列の直交変換と基底画像 (2022. 11. 18)
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2022年度秋学期 応用数学(解析) 第8回 2階線形微分方程式(2) (2022. 11. 17)
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2022年度秋学期 画像情報処理 第7回 主成分分析とKarhunen-Loève変換 (2022. 11. 11)
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2022年度秋学期 統計学 第8回 問題に対する答案の書き方(講義前提供用) (2022. 11. 15)
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2022年度秋学期 応用数学(解析) 第10回 生存時間分布と半減期 (2022. 12. 1)
1.
浅野 晃 関西大学総合情報学部 2022年度秋学期 応用数学(解析) 第3部・微分方程式に関する話題
生存時間分布と半減期 第10回
2.
2
3.
2 今日は,「寿命」を扱う微分方程式🤔🤔
4.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 寿命は「確率変数」 3 人間の寿命は,各個人によってばらばら 機械の寿命も,同じ型でも個体によってばらばら
5.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 寿命は「確率変数」 3 人間の寿命は,各個人によってばらばら 機械の寿命も,同じ型でも個体によってばらばら その理由は「偶然」
6.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 寿命は「確率変数」 3 人間の寿命は,各個人によってばらばら 機械の寿命も,同じ型でも個体によってばらばら その理由は「偶然」 寿命は[確率変数]であるという
7.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 寿命は「確率変数」 3 人間の寿命は,各個人によってばらばら 機械の寿命も,同じ型でも個体によってばらばら その理由は「偶然」 寿命は[確率変数]であるという 寿命がいくらである確率がどのくらいであるかを 表すのが[確率分布]
8.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 寿命の確率分布を考える 4 寿命を表す確率変数 T (時刻0に誕生した人が死亡する時刻) l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t)
9.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 寿命の確率分布を考える 4 寿命を表す確率変数 T (時刻0に誕生した人が死亡する時刻) l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) 時刻 t までは確かに生存している人が 時刻 t 以後,時間Δの間に死亡する確率
10.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 寿命の確率分布を考える 4 寿命を表す確率変数 T (時刻0に誕生した人が死亡する時刻) l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) 時刻 t までは確かに生存している人が 時刻 t 以後,時間Δの間に死亡する確率
11.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 寿命の確率分布を考える 4 寿命を表す確率変数 T (時刻0に誕生した人が死亡する時刻) l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) 時刻 t までは確かに生存している人が 時刻 t 以後,時間Δの間に死亡する確率
12.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 寿命の確率分布を考える 4 寿命を表す確率変数 T (時刻0に誕生した人が死亡する時刻) l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) 時刻 t までは確かに生存している人が 時刻 t 以後,時間Δの間に死亡する確率
13.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 寿命の確率分布を考える 4 寿命を表す確率変数 T (時刻0に誕生した人が死亡する時刻) l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) 時刻 t までは確かに生存している人が 時刻 t 以後,時間Δの間に死亡する確率 単位時間 あたり
14.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 寿命の確率分布を考える 4 寿命を表す確率変数 T (時刻0に誕生した人が死亡する時刻) l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) 時刻 t までは確かに生存している人が 時刻 t 以後,時間Δの間に死亡する確率 単位時間 あたり
15.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 寿命の確率分布を考える 4 寿命を表す確率変数 T (時刻0に誕生した人が死亡する時刻) l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) 時刻 t までは確かに生存している人が 時刻 t 以後,時間Δの間に死亡する確率 単位時間 あたり 次の瞬間
16.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 寿命の確率分布を考える 4 寿命を表す確率変数 T (時刻0に誕生した人が死亡する時刻) l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) 時刻 t までは確かに生存している人が 時刻 t 以後,時間Δの間に死亡する確率 単位時間 あたり 次の瞬間 l(t) は 時刻tまで生存している人が 次の瞬間に死ぬ危険の度合
17.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 寿命の確率分布を考える 4 寿命を表す確率変数 T (時刻0に誕生した人が死亡する時刻) l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) 時刻 t までは確かに生存している人が 時刻 t 以後,時間Δの間に死亡する確率 単位時間 あたり 次の瞬間 l(t) は 時刻tまで生存している人が 次の瞬間に死ぬ危険の度合 [ハザード関数]
18.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 累積分布関数と「生存関数」 5 確率変数 T に対して [累積分布関数] F(t) = P(T ≤ t)
19.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 累積分布関数と「生存関数」 5 確率変数 T に対して [累積分布関数] F(t) = P(T ≤ t) この場合,寿命が t 以下である確率
20.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 累積分布関数と「生存関数」 5 確率変数 T に対して [累積分布関数] F(t) = P(T ≤ t) この場合,寿命が t 以下である確率 S(t) = 1 − F(t) = P(T > t) [生存関数]
21.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 累積分布関数と「生存関数」 5 時刻 t の時点でまだ生きている確率 確率変数 T に対して [累積分布関数] F(t) = P(T ≤ t) この場合,寿命が t 以下である確率 S(t) = 1 − F(t) = P(T > t) [生存関数]
22.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 累積分布関数と「生存関数」 5 時刻 t の時点でまだ生きている確率 ハザード関数は「瞬間瞬間の死亡の危険」 確率変数 T に対して [累積分布関数] F(t) = P(T ≤ t) この場合,寿命が t 以下である確率 S(t) = 1 − F(t) = P(T > t) [生存関数]
23.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 累積分布関数と「生存関数」 5 時刻 t の時点でまだ生きている確率 ハザード関数は「瞬間瞬間の死亡の危険」 確率変数 T に対して [累積分布関数] F(t) = P(T ≤ t) この場合,寿命が t 以下である確率 S(t) = 1 − F(t) = P(T > t) [生存関数] 生存関数は,ある時間がたったとき,まだ生きている確率
24.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 (ところで)累積分布関数と確率密度関数 6 ヒストグラム 柱の面積が確率を表す t グレーの部分の面積 P(T ≤ t) t 連続型になると グレーの部分の面積 = P(T ≤ t) ヒストグラム(だったもの)の「へり」 [確率密度関数] f(t) [累積分布関数] F(t)
25.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 (ところで)累積分布関数と確率密度関数 6 ヒストグラム 柱の面積が確率を表す t グレーの部分の面積 P(T ≤ t) t 連続型になると グレーの部分の面積 = P(T ≤ t) ヒストグラム(だったもの)の「へり」 [確率密度関数] f(t) [累積分布関数] F(t) t t + Δt
26.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 (ところで)累積分布関数と確率密度関数 6 ヒストグラム 柱の面積が確率を表す t グレーの部分の面積 P(T ≤ t) t 連続型になると グレーの部分の面積 = P(T ≤ t) ヒストグラム(だったもの)の「へり」 [確率密度関数] f(t) [累積分布関数] F(t) t t + Δt 青い部分 の面積 = P(t ≤ T ≤ t + Δt) = F(t + Δt) − F(t)
27.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 (ところで)累積分布関数と確率密度関数 6 ヒストグラム 柱の面積が確率を表す t グレーの部分の面積 P(T ≤ t) t 連続型になると グレーの部分の面積 = P(T ≤ t) ヒストグラム(だったもの)の「へり」 [確率密度関数] f(t) [累積分布関数] F(t) t t + Δt 青い部分 の面積 = P(t ≤ T ≤ t + Δt) = F(t + Δt) − F(t) 青い部分 の高さ = F(t + Δt) − F(t) Δt
28.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 (ところで)累積分布関数と確率密度関数 6 ヒストグラム 柱の面積が確率を表す t グレーの部分の面積 P(T ≤ t) t 連続型になると グレーの部分の面積 = P(T ≤ t) ヒストグラム(だったもの)の「へり」 [確率密度関数] f(t) [累積分布関数] F(t) t t + Δt 青い部分 の面積 = P(t ≤ T ≤ t + Δt) = F(t + Δt) − F(t) 青い部分 の高さ = F(t + Δt) − F(t) Δt その の極限 Δt → 0 lim Δt→0 F(t + Δt) − F(t) Δt = F′(t)
29.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 (ところで)累積分布関数と確率密度関数 6 ヒストグラム 柱の面積が確率を表す t グレーの部分の面積 P(T ≤ t) t 連続型になると グレーの部分の面積 = P(T ≤ t) ヒストグラム(だったもの)の「へり」 [確率密度関数] f(t) [累積分布関数] F(t) t t + Δt 青い部分 の面積 = P(t ≤ T ≤ t + Δt) = F(t + Δt) − F(t) 青い部分 の高さ = F(t + Δt) − F(t) Δt その の極限 Δt → 0 lim Δt→0 F(t + Δt) − F(t) Δt = F′(t) すなわち f(t) = F′(t)
30.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)
31.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)
32.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) (条件付確率の定義) 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)
33.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) (条件付確率の定義) 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)
34.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) (条件付確率の定義) 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)
35.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) (条件付確率の定義) 含まれる 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)
36.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) (条件付確率の定義) 含まれる 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)
37.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) (条件付確率の定義) 含まれる F(t) = P(T ≤ t) 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)
38.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) (条件付確率の定義) 含まれる F(t) = P(T ≤ t) (累積分布関数の定義) 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)
39.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) (条件付確率の定義) 含まれる F(t) = P(T ≤ t) (累積分布関数の定義) 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)
40.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) (条件付確率の定義) 含まれる F(t) = P(T ≤ t) (累積分布関数の定義) 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)
41.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) (条件付確率の定義) 含まれる F(t) = P(T ≤ t) (累積分布関数の定義) 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)
42.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) (条件付確率の定義) 含まれる F(t) = P(T ≤ t) (累積分布関数の定義) 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)
43.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 7 l(t) = lim ∆→0 1 ∆ P(t < T < t + ∆|T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P{(t < T < t + ∆) and (T > t)} P(T > t) = lim ∆→0 1 ∆ · P(t < T < t + ∆) P(T > t) (条件付確率の定義) 含まれる F(t) = P(T ≤ t) (累積分布関数の定義) = 1 P(T > t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ 寿命 T ハザード関数 l(t) 累積分布関数 F(t)
44.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 8 = 1 P(T > t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t)
45.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 8 = 1 P(T > t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t)
46.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 8 (微分の定義) = 1 P(T > t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t)
47.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 8 (微分の定義) = 1 P(T > t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t) ( ) = 1 P(T > t) F (t)
48.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 8 (微分の定義) = 1 P(T t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t) ( ) = 1 P(T t) F (t) (確率密度関数) f(t) = F(t)
49.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 8 (微分の定義) = 1 P(T t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t) ( ) = 1 P(T t) F (t) (確率密度関数) f(t) = F(t) = f(t) S(t) l(t)
50.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 8 (微分の定義) = 1 P(T t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t) ( ) = 1 P(T t) F (t) (確率密度関数) f(t) = F(t) = f(t) S(t) l(t)
51.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 8 (微分の定義) = 1 P(T t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t) ( ) = 1 P(T t) F (t) (確率密度関数) f(t) = F(t) = f(t) S(t) l(t) S(t) = P(T t)
52.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 8 (微分の定義) (生存関数の定義) = 1 P(T t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t) ( ) = 1 P(T t) F (t) (確率密度関数) f(t) = F(t) = f(t) S(t) l(t) S(t) = P(T t)
53.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 8 (微分の定義) (生存関数の定義) = 1 P(T t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t) ( ) = 1 P(T t) F (t) (確率密度関数) f(t) = F(t) = f(t) S(t) l(t) S(t) = P(T t)
54.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 8 (微分の定義) (生存関数の定義) = 1 P(T t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t) ( ) = 1 P(T t) F (t) (確率密度関数) f(t) = F(t) = f(t) S(t) l(t) S(t) = P(T t) S (t) = (1 − F(t)) = −F (t) = −f(t)
55.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 8 (微分の定義) (生存関数の定義) = 1 P(T t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t) ( ) = 1 P(T t) F (t) (確率密度関数) f(t) = F(t) = f(t) S(t) l(t) S(t) = P(T t) S (t) = (1 − F(t)) = −F (t) = −f(t)
56.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 生存関数とハザード関数 8 (微分の定義) (生存関数の定義) = 1 P(T t) lim ∆→0 F(t + ∆) − F(t) ∆ l(t) ( ) = 1 P(T t) F (t) (確率密度関数) f(t) = F(t) = f(t) S(t) l(t) S(t) = P(T t) S (t) = (1 − F(t)) = −F (t) = −f(t) 以上から l(t) = − S(t) S(t) という微分方程式が得られる
57.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S(t) S(t) = − d dt (log S(t))
58.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S(t) S(t) = − d dt (log S(t)) (両辺を積分)
59.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S(t) S(t) = − d dt (log S(t)) (両辺を積分) − t 0 l(u)du = log S(t) + C
60.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S(t) S(t) = − d dt (log S(t)) (両辺を積分) − t 0 l(u)du = log S(t) + C 時刻0,つまり誕生の瞬間に生存している確率は1 つまり S(0) = 1
61.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S(t) S(t) = − d dt (log S(t)) (両辺を積分) − t 0 l(u)du = log S(t) + C 時刻0,つまり誕生の瞬間に生存している確率は1 つまり S(0) = 1 t = 0 のとき S(0) = 1 だから
62.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S(t) S(t) = − d dt (log S(t)) (両辺を積分) − t 0 l(u)du = log S(t) + C 時刻0,つまり誕生の瞬間に生存している確率は1 つまり S(0) = 1 t = 0 のとき S(0) = 1 だから 0
63.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S(t) S(t) = − d dt (log S(t)) (両辺を積分) − t 0 l(u)du = log S(t) + C 時刻0,つまり誕生の瞬間に生存している確率は1 つまり S(0) = 1 t = 0 のとき S(0) = 1 だから 0 0
64.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S(t) S(t) = − d dt (log S(t)) (両辺を積分) − t 0 l(u)du = log S(t) + C 時刻0,つまり誕生の瞬間に生存している確率は1 つまり S(0) = 1 t = 0 のとき S(0) = 1 だから 0 0 0
65.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S(t) S(t) = − d dt (log S(t)) (両辺を積分) − t 0 l(u)du = log S(t) + C 時刻0,つまり誕生の瞬間に生存している確率は1 つまり S(0) = 1 t = 0 のとき S(0) = 1 だから 0 0 0 1
66.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S(t) S(t) = − d dt (log S(t)) (両辺を積分) − t 0 l(u)du = log S(t) + C 時刻0,つまり誕生の瞬間に生存している確率は1 つまり S(0) = 1 t = 0 のとき S(0) = 1 だから 0 0 0 1 0
67.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S(t) S(t) = − d dt (log S(t)) (両辺を積分) − t 0 l(u)du = log S(t) + C 時刻0,つまり誕生の瞬間に生存している確率は1 つまり S(0) = 1 t = 0 のとき S(0) = 1 だから 0 0 0 1 0 C = 0
68.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S(t) S(t) = − d dt (log S(t)) (両辺を積分) − t 0 l(u)du = log S(t) + C よって という解が得られる S(t) = exp − t 0 l(u)du 時刻0,つまり誕生の瞬間に生存している確率は1 つまり S(0) = 1 t = 0 のとき S(0) = 1 だから 0 0 0 1 0 C = 0
69.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 微分方程式を解く 9 l(t) = − S(t) S(t) = − d dt (log S(t)) (両辺を積分) − t 0 l(u)du = log S(t) + C よって という解が得られる S(t) = exp − t 0 l(u)du 時刻0,つまり誕生の瞬間に生存している確率は1 つまり S(0) = 1 t = 0 のとき S(0) = 1 だから 0 0 0 1 0 C = 0 ハザード関数と生存関数の関係
70.
10
71.
10 ワイブル分布と指数分布📈📈
72.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布 11 ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1 と仮定する
73.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布 11 ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1 と仮定する S(t) = exp − t 0 l(u)du に代入
74.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布 11 ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1 と仮定する S(t) = exp − t 0 l(u)du に代入 S(t) = exp − t 0 λp(λu)p−1 du = exp − [(λu)p ]u=t u=0 = exp (−(λt)p )
75.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布 11 ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1 と仮定する S(t) = exp − t 0 l(u)du に代入 S(t) = exp − t 0 λp(λu)p−1 du = exp − [(λu)p ]u=t u=0 = exp (−(λt)p )
76.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布 11 ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1 と仮定する S(t) = exp − t 0 l(u)du に代入 S(t) = exp − t 0 λp(λu)p−1 du = exp − [(λu)p ]u=t u=0 = exp (−(λt)p ) 微積分の関係
77.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布 11 ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1 と仮定する S(t) = exp − t 0 l(u)du に代入 S(t) = exp − t 0 λp(λu)p−1 du = exp − [(λu)p ]u=t u=0 = exp (−(λt)p ) 微積分の関係 F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p )
78.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布 11 この形の累積分布関数をもつ確率分布を[ワイブル分布]とよぶ ハザード関数を l(t) = λp(λt)p−1 と仮定する S(t) = exp − t 0 l(u)du に代入 S(t) = exp − t 0 λp(λu)p−1 du = exp − [(λu)p ]u=t u=0 = exp (−(λt)p ) 微積分の関係 F(t) = 1 − S(t) = 1 − exp (−(λt)p )
79.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1
80.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと,ハザード関数が全体に大きくなる
81.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと,ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる
82.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと,ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p 1 のときは,
83.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと,ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p 1 のときは, l(t) = λp(λt)p−1 の指数が正
84.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと,ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p 1 のときは, l(t) = λp(λt)p−1 の指数が正
85.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと,ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p 1 のときは, l(t) = λp(λt)p−1 の指数が正 時間が経つにつれて,死亡・故障する危険が大きくなる
86.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと,ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p 1 のときは, l(t) = λp(λt)p−1 の指数が正 時間が経つにつれて,死亡・故障する危険が大きくなる
87.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと,ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p 1 のときは, l(t) = λp(λt)p−1 の指数が正 時間が経つにつれて,死亡・故障する危険が大きくなる [摩耗故障]
88.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと,ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p 1 のときは, l(t) = λp(λt)p−1 の指数が正 時間が経つにつれて,死亡・故障する危険が大きくなる [摩耗故障] 0 p 1 のときは,
89.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと,ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p 1 のときは, l(t) = λp(λt)p−1 の指数が正 時間が経つにつれて,死亡・故障する危険が大きくなる [摩耗故障] 0 p 1 のときは, l(t) = λp(λt)p−1 の指数が負
90.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと,ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p 1 のときは, l(t) = λp(λt)p−1 の指数が正 時間が経つにつれて,死亡・故障する危険が大きくなる [摩耗故障] 0 p 1 のときは, l(t) = λp(λt)p−1 の指数が負 時間が経つにつれて,死亡・故障する危険が小さくなる
91.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと,ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p 1 のときは, l(t) = λp(λt)p−1 の指数が正 時間が経つにつれて,死亡・故障する危険が大きくなる [摩耗故障] 0 p 1 のときは, l(t) = λp(λt)p−1 の指数が負 時間が経つにつれて,死亡・故障する危険が小さくなる
92.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布のパラメータ 12 パラメータは λ と p l(t) = λp(λt)p−1 λ が大きいと,ハザード関数が全体に大きくなる 死亡・故障する危険が どの時刻でも大きくなる p 1 のときは, l(t) = λp(λt)p−1 の指数が正 時間が経つにつれて,死亡・故障する危険が大きくなる [摩耗故障] 0 p 1 のときは, l(t) = λp(λt)p−1 の指数が負 時間が経つにつれて,死亡・故障する危険が小さくなる [初期故障]
93.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブル分布のパラメータ 13 t F(t) F(t) = 1 – e–t4 F(t) = 1 – e–t2 経過時間 累積分布関数 (ある時刻までに死亡・ 故障したものの割合) p = 2 の場合と p = 4 の場合 どちらも摩耗故障(時間につれて故障しやすくなる) p = 4 のほうが,急激に故障が増える
94.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブルプロット 14 実務では,たくさんの個体で耐久試験を行い, ワイブル分布を仮定して,パラメータを推測する
95.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブルプロット 14 実務では,たくさんの個体で耐久試験を行い, ワイブル分布を仮定して,パラメータを推測する S(t) = exp (−(λt)p ) より 1 S(t) = exp ((λt)p )
96.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブルプロット 14 実務では,たくさんの個体で耐久試験を行い, ワイブル分布を仮定して,パラメータを推測する S(t) = exp (−(λt)p ) より 1 S(t) = exp ((λt)p ) log log 1 S(t) = log {log (exp ((λt)p ))} 両辺の対数を2回とる
97.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブルプロット 14 実務では,たくさんの個体で耐久試験を行い, ワイブル分布を仮定して,パラメータを推測する S(t) = exp (−(λt)p ) より 1 S(t) = exp ((λt)p ) log log 1 S(t) = log {log (exp ((λt)p ))} 両辺の対数を2回とる = log {(λt)p } = p(log t + log λ)
98.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブルプロット 14 実務では,たくさんの個体で耐久試験を行い, ワイブル分布を仮定して,パラメータを推測する S(t) = exp (−(λt)p ) より 1 S(t) = exp ((λt)p ) log log 1 S(t) = log {log (exp ((λt)p ))} 両辺の対数を2回とる = log {(λt)p } = p(log t + log λ) Y
99.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブルプロット 14 実務では,たくさんの個体で耐久試験を行い, ワイブル分布を仮定して,パラメータを推測する S(t) = exp (−(λt)p ) より 1 S(t) = exp ((λt)p ) log log 1 S(t) = log {log (exp ((λt)p ))} 両辺の対数を2回とる = log {(λt)p } = p(log t + log λ) Y X
100.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブルプロット 14 実務では,たくさんの個体で耐久試験を行い, ワイブル分布を仮定して,パラメータを推測する S(t) = exp (−(λt)p ) より 1 S(t) = exp ((λt)p ) log log 1 S(t) = log {log (exp ((λt)p ))} 両辺の対数を2回とる = log {(λt)p } = p(log t + log λ) Y X Y = p(X + log λ)
101.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 ワイブルプロット 14 実務では,たくさんの個体で耐久試験を行い, ワイブル分布を仮定して,パラメータを推測する S(t) = exp (−(λt)p ) より 1 S(t) = exp ((λt)p ) log log 1 S(t) = log {log (exp ((λt)p ))} 両辺の対数を2回とる = log {(λt)p } = p(log t + log λ) Y X Y = p(X + log λ) 時刻を上の X ,その時刻での生存割合を上の Y に変換してプロット →並びを近似する直線の傾きが p
102.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 指数分布 15 で p = 1 の場合 l(t) = λp(λt)p−1
103.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 指数分布 15 で p = 1 の場合 l(t) = λp(λt)p−1 ハザード関数は l(t) = λ
104.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 指数分布 15 で p = 1 の場合 l(t) = λp(λt)p−1 死亡・故障する危険が時刻によらず一定 ハザード関数は l(t) = λ
105.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 指数分布 15 で p = 1 の場合 l(t) = λp(λt)p−1 死亡・故障する危険が時刻によらず一定 [偶発故障] ハザード関数は l(t) = λ
106.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 指数分布 15 で p = 1 の場合 l(t) = λp(λt)p−1 死亡・故障する危険が時刻によらず一定 [偶発故障] ハザード関数は l(t) = λ 累積分布関数は F(t) = 1 − e−λt S(t) = e−λt 生存関数は
107.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 指数分布 15 で p = 1 の場合 l(t) = λp(λt)p−1 死亡・故障する危険が時刻によらず一定 [偶発故障] ハザード関数は l(t) = λ [指数分布] 累積分布関数は F(t) = 1 − e−λt S(t) = e−λt 生存関数は
108.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 指数分布 15 で p = 1 の場合 l(t) = λp(λt)p−1 死亡・故障する危険が時刻によらず一定 [偶発故障] ハザード関数は l(t) = λ [指数分布] 累積分布関数は F(t) = 1 − e−λt S(t) = e−λt 生存関数は 放射性原子核は,どの時刻においても,その時点で 存在する核のうち一定の割合が崩壊する
109.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 指数分布 15 で p = 1 の場合 l(t) = λp(λt)p−1 死亡・故障する危険が時刻によらず一定 [偶発故障] ハザード関数は l(t) = λ [指数分布] 累積分布関数は F(t) = 1 − e−λt S(t) = e−λt 生存関数は 放射性原子核は,どの時刻においても,その時点で 存在する核のうち一定の割合が崩壊する ハザード関数が一定で,指数分布にしたがう
110.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が,その半分になるまでの時間は, どの時刻でも一定
111.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が,その半分になるまでの時間は, どの時刻でも一定 時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする t t′
112.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が,その半分になるまでの時間は, どの時刻でも一定 時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする t t′ S(t ) = 1 2 S(t)
113.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が,その半分になるまでの時間は, どの時刻でも一定 指数分布の生存関数 時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする t t′ S(t ) = 1 2 S(t) S(t) = e−λt
114.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が,その半分になるまでの時間は, どの時刻でも一定 指数分布の生存関数 時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする t t′ S(t ) = 1 2 S(t) S(t) = e−λt
115.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が,その半分になるまでの時間は, どの時刻でも一定 指数分布の生存関数 時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする t t′ S(t ) = 1 2 S(t) S(t) = e−λt e−λt = 1 2 e−λt
116.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が,その半分になるまでの時間は, どの時刻でも一定 指数分布の生存関数 時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする t t′ S(t ) = 1 2 S(t) S(t) = e−λt e−λt = 1 2 e−λt 対数をとる
117.
17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が,その半分になるまでの時間は, どの時刻でも一定 指数分布の生存関数 時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする t t′ S(t ) = 1 2 S(t) S(t) = e−λt e−λt = 1 2 e−λt −λt = − log 2 − λt t − t = log 2 λ 対数をとる
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17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が,その半分になるまでの時間は, どの時刻でも一定 原子核の数が半分になるまでの時間 指数分布の生存関数 時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする t t′ S(t ) = 1 2 S(t) S(t) = e−λt e−λt = 1 2 e−λt −λt = − log 2 − λt t − t = log 2 λ 対数をとる
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17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が,その半分になるまでの時間は, どの時刻でも一定 原子核の数が半分になるまでの時間 指数分布の生存関数 時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする t t′ S(t ) = 1 2 S(t) S(t) = e−λt e−λt = 1 2 e−λt −λt = − log 2 − λt t − t = log 2 λ 対数をとる t によらず一定
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17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 半減期 16 ある時刻に存在する原子核の数が,その半分になるまでの時間は, どの時刻でも一定 原子核の数が半分になるまでの時間 指数分布の生存関数 時刻 に存在する原子核の数が半分になる時刻を とする t t′ S(t ) = 1 2 S(t) S(t) = e−λt e−λt = 1 2 e−λt −λt = − log 2 − λt t − t = log 2 λ 対数をとる t によらず一定 [半減期]
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17 2022年度秋学期 応用数学(解析) /
関西大学総合情報学部 浅野 晃 今日のまとめ 17 集団中の個体の数が 死亡・故障によって減少して行く この現象を表す 微分方程式 解に仮定を持ち込むことで, ワイブル分布,指数分布といった 「死亡・故障による現象のモデル」が導かれる
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