2015年度春学期 画像情報処理 第８回 行列の直交変換と画像情報圧縮 (2015. 6. 10)
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関西大学総合情報学部 「画像情報処理」（担当：浅野晃）
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- 9. 2015 A.Asano,KansaiUniv. Karhunen-Loève変換（KL変換） 画像を主成分に変換してから伝送する p画素の画像 1 p 第１∼第p / 2 主成分だけを 伝達する 主成分に 変換 もとの画 素に戻す p画素の画像 （情報の損失が最小） 図 5: KL 変換による画像データの圧縮 の主成分を受け取ったほうでは，主成分への変換の逆変換（z から x への変換）を行って もどします。この逆変換は ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ データ量が半分でも 情報の損失は最小
- 20. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 画像を行列であらわす 素直に表せばいいのですが。 前回はベクトルで考えていたので， 配置されているものですから，画像は行列で表すほ みましょう。 を，行列 P によってベクトル z に変換するという操 z = P′ x ベクトル x と z は m2 個の要素でできているとし， x を画像を表す行列に書き換えてみます。列ベクト xm に分けます。すなわち ⎛ x1 ⎞
- 21. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 画像を行列であらわす 素直に表せばいいのですが。 前回はベクトルで考えていたので， 配置されているものですから，画像は行列で表すほ みましょう。 を，行列 P によってベクトル z に変換するという操 z = P′ x ベクトル x と z は m2 個の要素でできているとし， x を画像を表す行列に書き換えてみます。列ベクト xm に分けます。すなわち ⎛ x1 ⎞ 原画像を表すベクトル（m2要素）
- 22. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 画像を行列であらわす 素直に表せばいいのですが。 前回はベクトルで考えていたので， 配置されているものですから，画像は行列で表すほ みましょう。 を，行列 P によってベクトル z に変換するという操 z = P′ x ベクトル x と z は m2 個の要素でできているとし， x を画像を表す行列に書き換えてみます。列ベクト xm に分けます。すなわち ⎛ x1 ⎞ 原画像を表すベクトル（m2要素） 直交変換を表す行列（m2×m2）
- 23. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 画像を行列であらわす 素直に表せばいいのですが。 前回はベクトルで考えていたので， 配置されているものですから，画像は行列で表すほ みましょう。 を，行列 P によってベクトル z に変換するという操 z = P′ x ベクトル x と z は m2 個の要素でできているとし， x を画像を表す行列に書き換えてみます。列ベクト xm に分けます。すなわち ⎛ x1 ⎞ 原画像を表すベクトル（m2要素） 直交変換を表す行列（m2×m2） 変換後の画像を 表すベクトル （m2要素）
- 24. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 画像を行列であらわす 素直に表せばいいのですが。 前回はベクトルで考えていたので， ベクトルから行列に書き換える（戻す）ことを考える 配置されているものですから，画像は行列で表すほ みましょう。 を，行列 P によってベクトル z に変換するという操 z = P′ x ベクトル x と z は m2 個の要素でできているとし， x を画像を表す行列に書き換えてみます。列ベクト xm に分けます。すなわち ⎛ x1 ⎞ 原画像を表すベクトル（m2要素） 直交変換を表す行列（m2×m2） 変換後の画像を 表すベクトル （m2要素）
- 25. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルを行列に書き換える トル x と z は m2 個の要素でできているとし，P′ は m2 × m2 行列 画像を表す行列に書き換えてみます。列ベクトル x を m 個の m 要 に分けます。すなわち x = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 ... xj ... xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (2) 列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということです。分 べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm (3) から行列 Z を得ます。 x = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ xj ... xm ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ とします。例えば，9 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 けられた各列ベクトルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます X = x1 · · · xj · · · xm とします。同様にして，ベクトル z から行列 Z を得ます。 さて，m2 × m2 行列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を します。 C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · ... ... rm1 · · · m2要素ベクトル
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- 27. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルを行列に書き換える トル x と z は m2 個の要素でできているとし，P′ は m2 × m2 行列 画像を表す行列に書き換えてみます。列ベクトル x を m 個の m 要 に分けます。すなわち x = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 ... xj ... xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (2) 列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということです。分 べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm (3) から行列 Z を得ます。 x = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ xj ... xm ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ とします。例えば，9 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 けられた各列ベクトルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます X = x1 · · · xj · · · xm とします。同様にして，ベクトル z から行列 Z を得ます。 さて，m2 × m2 行列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を します。 C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · ... ... rm1 · · · m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素
- 28. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルを行列に書き換える トル x と z は m2 個の要素でできているとし，P′ は m2 × m2 行列 画像を表す行列に書き換えてみます。列ベクトル x を m 個の m 要 に分けます。すなわち x = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 ... xj ... xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (2) 列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということです。分 べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm (3) から行列 Z を得ます。 x = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ xj ... xm ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ とします。例えば，9 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 けられた各列ベクトルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます X = x1 · · · xj · · · xm とします。同様にして，ベクトル z から行列 Z を得ます。 さて，m2 × m2 行列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を します。 C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · ... ... rm1 · · · m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m要素
- 29. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルを行列に書き換える トル x と z は m2 個の要素でできているとし，P′ は m2 × m2 行列 画像を表す行列に書き換えてみます。列ベクトル x を m 個の m 要 に分けます。すなわち x = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 ... xj ... xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (2) 列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということです。分 べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm (3) から行列 Z を得ます。 x = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ xj ... xm ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ とします。例えば，9 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 けられた各列ベクトルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます X = x1 · · · xj · · · xm とします。同様にして，ベクトル z から行列 Z を得ます。 さて，m2 × m2 行列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を します。 C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · ... ... rm1 · · · m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m要素 m要素
- 30. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルを行列に書き換える トル x と z は m2 個の要素でできているとし，P′ は m2 × m2 行列 画像を表す行列に書き換えてみます。列ベクトル x を m 個の m 要 に分けます。すなわち x = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 ... xj ... xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (2) 列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということです。分 べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm (3) から行列 Z を得ます。 x = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ xj ... xm ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ とします。例えば，9 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 けられた各列ベクトルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます X = x1 · · · xj · · · xm とします。同様にして，ベクトル z から行列 Z を得ます。 さて，m2 × m2 行列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を します。 C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · ... ... rm1 · · · m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m要素 m要素 m要素
- 31. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルを行列に書き換える トル x と z は m2 個の要素でできているとし，P′ は m2 × m2 行列 画像を表す行列に書き換えてみます。列ベクトル x を m 個の m 要 に分けます。すなわち x = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 ... xj ... xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (2) 列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということです。分 べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm (3) から行列 Z を得ます。 x = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ xj ... xm ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ とします。例えば，9 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 けられた各列ベクトルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます X = x1 · · · xj · · · xm とします。同様にして，ベクトル z から行列 Z を得ます。 さて，m2 × m2 行列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を します。 C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · ... ... rm1 · · · m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m×m行列 m要素 m要素 m要素
- 32. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルを行列に書き換える トル x と z は m2 個の要素でできているとし，P′ は m2 × m2 行列 画像を表す行列に書き換えてみます。列ベクトル x を m 個の m 要 に分けます。すなわち x = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 ... xj ... xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (2) 列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということです。分 べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm (3) から行列 Z を得ます。 x = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ xj ... xm ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ とします。例えば，9 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 けられた各列ベクトルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます X = x1 · · · xj · · · xm とします。同様にして，ベクトル z から行列 Z を得ます。 さて，m2 × m2 行列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を します。 C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · ... ... rm1 · · · m2要素ベクトル m要素 m要素 m要素 m×m行列 zも同じ m要素 m要素 m要素
- 33. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 直交変換行列P′は？ P′がこういう形になっているのなら P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ P′ は，行列 R の各要素に行列 C を「貼り付け」たものになっています P′ = R ⊗ C が R と C の Kronecker 積 (Kronecker product) で表される」といいます
- 34. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 行列のKronecker積 P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ，行列 P′ は，行列 R の各要素に行列 C を「貼り付け」たものになっています。この関 P′ = R ⊗ C ，「P′ が R と C の Kronecker 積 (Kronecker product) で表される」といいます。 らの表現を使うと，ベクトル x の行列 P による変換は Z = CXR′ 列 X の行列 C, R による変換で表されます。
- 35. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 行列のKronecker積 P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ，行列 P′ は，行列 R の各要素に行列 C を「貼り付け」たものになっています。この関 P′ = R ⊗ C ，「P′ が R と C の Kronecker 積 (Kronecker product) で表される」といいます。 らの表現を使うと，ベクトル x の行列 P による変換は Z = CXR′ 列 X の行列 C, R による変換で表されます。 ⎜ ⎜ ⎝ ... xm ⎟ ⎟ ⎠ す。例えば，9 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということで た各列ベクトルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm す。同様にして，ベクトル z から行列 Z を得ます。 ，m2 × m2 行列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を使って，次のように表さ 。 C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m ... ... ... rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ／画像情報処理（2013 年度春学期） 第８回 (2013. 5. 29) http://racco.mikeneko.jp/
- 36. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 行列のKronecker積 P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ は，行列 の各要素に行列 を「貼り付け」たものになっています。この関 ⎜ ⎜ ⎝ ... xm ⎟ ⎟ ⎠ す。例えば，9 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということで た各列ベクトルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm す。同様にして，ベクトル z から行列 Z を得ます。 ，m2 × m2 行列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を使って，次のように表さ 。 C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m ... ... ... rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ／画像情報処理（2013 年度春学期） 第８回 (2013. 5. 29) http://racco.mikeneko.jp/ r11×C
- 37. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 行列のKronecker積 P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ は，行列 の各要素に行列 を「貼り付け」たものになっています。この関 ⎜ ⎜ ⎝ ... xm ⎟ ⎟ ⎠ す。例えば，9 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということで た各列ベクトルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm す。同様にして，ベクトル z から行列 Z を得ます。 ，m2 × m2 行列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を使って，次のように表さ 。 C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m ... ... ... rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ／画像情報処理（2013 年度春学期） 第８回 (2013. 5. 29) http://racco.mikeneko.jp/ r11×C r1m×C
- 38. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 行列のKronecker積 P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ は，行列 の各要素に行列 を「貼り付け」たものになっています。この関 ⎜ ⎜ ⎝ ... xm ⎟ ⎟ ⎠ す。例えば，9 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということで た各列ベクトルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm す。同様にして，ベクトル z から行列 Z を得ます。 ，m2 × m2 行列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を使って，次のように表さ 。 C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m ... ... ... rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ／画像情報処理（2013 年度春学期） 第８回 (2013. 5. 29) http://racco.mikeneko.jp/ r11×C r1m×C rm1×C
- 39. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 行列のKronecker積 P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ は，行列 の各要素に行列 を「貼り付け」たものになっています。この関 ⎜ ⎜ ⎝ ... xm ⎟ ⎟ ⎠ す。例えば，9 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということで た各列ベクトルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm す。同様にして，ベクトル z から行列 Z を得ます。 ，m2 × m2 行列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を使って，次のように表さ 。 C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m ... ... ... rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ／画像情報処理（2013 年度春学期） 第８回 (2013. 5. 29) http://racco.mikeneko.jp/ r11×C r1m×C rm1×C rmm×C
- 40. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 行列のKronecker積 Rの各要素に Cを貼付けたもの P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ は，行列 の各要素に行列 を「貼り付け」たものになっています。この関 ⎜ ⎜ ⎝ ... xm ⎟ ⎟ ⎠ す。例えば，9 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということで た各列ベクトルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm す。同様にして，ベクトル z から行列 Z を得ます。 ，m2 × m2 行列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を使って，次のように表さ 。 C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m ... ... ... rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ／画像情報処理（2013 年度春学期） 第８回 (2013. 5. 29) http://racco.mikeneko.jp/ r11×C r1m×C rm1×C rmm×C
- 41. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 行列のKronecker積 Rの各要素に Cを貼付けたもの P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ は，行列 の各要素に行列 を「貼り付け」たものになっています。この関 ⎜ ⎜ ⎝ ... xm ⎟ ⎟ ⎠ す。例えば，9 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということで た各列ベクトルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm す。同様にして，ベクトル z から行列 Z を得ます。 ，m2 × m2 行列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を使って，次のように表さ 。 C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m ... ... ... rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ／画像情報処理（2013 年度春学期） 第８回 (2013. 5. 29) http://racco.mikeneko.jp/ r11×C r1m×C rm1×C rmm×C ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ... ... ... · · · ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · ... ... ... · · · ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · 列 R の各要素に行列 C を「貼り付け」たもの P′ = R ⊗ C Kronecker積
- 42. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 行列のKronecker積 Rの各要素に Cを貼付けたもの P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ は，行列 の各要素に行列 を「貼り付け」たものになっています。この関 ⎜ ⎜ ⎝ ... xm ⎟ ⎟ ⎠ す。例えば，9 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということで た各列ベクトルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm す。同様にして，ベクトル z から行列 Z を得ます。 ，m2 × m2 行列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を使って，次のように表さ 。 C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m ... ... ... rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ／画像情報処理（2013 年度春学期） 第８回 (2013. 5. 29) http://racco.mikeneko.jp/ r11×C r1m×C rm1×C rmm×C ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ... ... ... · · · ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · ... ... ... · · · ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · 列 R の各要素に行列 C を「貼り付け」たもの P′ = R ⊗ C Kronecker積 こうなっているのなら
- 43. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 行列の変換に書き換える ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 P によってベクトル z に変換する z = P′ x x と z は m2 個の要素でできてい を表す行列に書き換えてみます。
- 44. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 行列の変換に書き換える ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 P によってベクトル z に変換する z = P′ x x と z は m2 個の要素でできてい を表す行列に書き換えてみます。 P′ = R ⊗ C 積 (Kronecker product) で表される」といい x の行列 P による変換は Z = CXR′ 表されます。 す。ベクトル x, z の内部にある（縦にならんで
- 45. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 行列の変換に書き換える ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 P によってベクトル z に変換する z = P′ x x と z は m2 個の要素でできてい を表す行列に書き換えてみます。 P′ = R ⊗ C 積 (Kronecker product) で表される」といい x の行列 P による変換は Z = CXR′ 表されます。 す。ベクトル x, z の内部にある（縦にならんで 行列Xから 行列Zへの 行列CとR′による変換
- 46. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 行列の変換に書き換える ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 P によってベクトル z に変換する z = P′ x x と z は m2 個の要素でできてい を表す行列に書き換えてみます。 P′ = R ⊗ C 積 (Kronecker product) で表される」といい x の行列 P による変換は Z = CXR′ 表されます。 す。ベクトル x, z の内部にある（縦にならんで 行列Xから 行列Zへの 行列CとR′による変換
- 47. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 行列の変換に書き換える ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 P によってベクトル z に変換する z = P′ x x と z は m2 個の要素でできてい を表す行列に書き換えてみます。 P′ = R ⊗ C 積 (Kronecker product) で表される」といい x の行列 P による変換は Z = CXR′ 表されます。 す。ベクトル x, z の内部にある（縦にならんで 行列Xから 行列Zへの 行列CとR′による変換
- 48. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 行列の変換に書き換える ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 P によってベクトル z に変換する z = P′ x x と z は m2 個の要素でできてい を表す行列に書き換えてみます。 P′ = R ⊗ C 積 (Kronecker product) で表される」といい x の行列 P による変換は Z = CXR′ 表されます。 す。ベクトル x, z の内部にある（縦にならんで 行列Xから 行列Zへの 行列CとR′による変換
- 49. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 行列の変換に書き換える ベクトルxから ベクトルzへの 行列P′による変換 P によってベクトル z に変換する z = P′ x x と z は m2 個の要素でできてい を表す行列に書き換えてみます。 P′ = R ⊗ C 積 (Kronecker product) で表される」といい x の行列 P による変換は Z = CXR′ 表されます。 す。ベクトル x, z の内部にある（縦にならんで 行列Xから 行列Zへの 行列CとR′による変換 証明は…ひたすら計算（(8),(9)式）
- 50. 2015 A.Asano,KansaiUniv. P′が正規直交行列であるためには P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 行列 P′ は，行列 R の各要素に行列 C を「貼り付け」たものになっています。この関係を P′ = R ⊗ C P′ が R と C の Kronecker 積 (Kronecker product) で表される」といいます。 表現を使うと，ベクトル x の行列 P による変換は Z = CXR′ の行列 C, R による変換で表されます。 異なる列の内積は０，同じ列同士の内積は１正規直交…
- 51. 2015 A.Asano,KansaiUniv. P′が正規直交行列であるためには P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 行列 P′ は，行列 R の各要素に行列 C を「貼り付け」たものになっています。この関係を P′ = R ⊗ C P′ が R と C の Kronecker 積 (Kronecker product) で表される」といいます。 表現を使うと，ベクトル x の行列 P による変換は Z = CXR′ の行列 C, R による変換で表されます。 異なる列の内積は０，同じ列同士の内積は１正規直交…
- 52. 2015 A.Asano,KansaiUniv. P′が正規直交行列であるためには P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 行列 P′ は，行列 R の各要素に行列 C を「貼り付け」たものになっています。この関係を P′ = R ⊗ C P′ が R と C の Kronecker 積 (Kronecker product) で表される」といいます。 表現を使うと，ベクトル x の行列 P による変換は Z = CXR′ の行列 C, R による変換で表されます。 異なる列の内積は０，同じ列同士の内積は１正規直交…
- 53. 2015 A.Asano,KansaiUniv. P′が正規直交行列であるためには P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 行列 P′ は，行列 R の各要素に行列 C を「貼り付け」たものになっています。この関係を P′ = R ⊗ C P′ が R と C の Kronecker 積 (Kronecker product) で表される」といいます。 表現を使うと，ベクトル x の行列 P による変換は Z = CXR′ の行列 C, R による変換で表されます。 x = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ... xj ... xm ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ す。例えば，9 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということで た各列ベクトルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm す。同様にして，ベクトル z から行列 Z を得ます。 ，m2 × m2 行列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を使って，次のように表さ 。 C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m ... ... ... rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ／画像情報処理（2013 年度春学期） 第８回 (2013. 5. 29) http://racco.mikeneko.jp/ r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... · · · ... ... ... r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... · · · ... ... ... rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (5) に行列 C を「貼り付け」たものになっています。この関係を P′ = R ⊗ C (6) (Kronecker product) で表される」といいます。 の行列 P による変換は Z = CXR′ (7) 異なる列の内積は０，同じ列同士の内積は１正規直交… なら
- 54. 2015 A.Asano,KansaiUniv. P′が正規直交行列であるためには C, Rそれぞれが正規直交なら，P′は正規直交 P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 行列 P′ は，行列 R の各要素に行列 C を「貼り付け」たものになっています。この関係を P′ = R ⊗ C P′ が R と C の Kronecker 積 (Kronecker product) で表される」といいます。 表現を使うと，ベクトル x の行列 P による変換は Z = CXR′ の行列 C, R による変換で表されます。 x = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ... xj ... xm ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ す。例えば，9 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということで た各列ベクトルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm す。同様にして，ベクトル z から行列 Z を得ます。 ，m2 × m2 行列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を使って，次のように表さ 。 C = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m ... ... ... rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ ／画像情報処理（2013 年度春学期） 第８回 (2013. 5. 29) http://racco.mikeneko.jp/ r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... · · · ... ... ... r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... · · · ... ... ... rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (5) に行列 C を「貼り付け」たものになっています。この関係を P′ = R ⊗ C (6) (Kronecker product) で表される」といいます。 の行列 P による変換は Z = CXR′ (7) 異なる列の内積は０，同じ列同士の内積は１正規直交… なら
- 55. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分離可能性 CXR′ = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m ... ... ... xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 ... ... ... r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
- 56. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分離可能性 CXR′ = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m ... ... ... xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 ... ... ... r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
- 57. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分離可能性 CXR′ = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m ... ... ... xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 ... ... ... r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
- 58. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分離可能性 CはXの列に作用 CXR′ = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m ... ... ... xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 ... ... ... r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
- 59. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分離可能性 CはXの列に作用 CXR′ = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m ... ... ... xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 ... ... ... r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
- 60. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分離可能性 CはXの列に作用 CXR′ = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m ... ... ... xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 ... ... ... r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
- 61. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分離可能性 CはXの列に作用 CXR′ = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m ... ... ... xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 ... ... ... r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ RはXの行に作用
- 62. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 分離可能性 CはXの列に作用 縦方向と横方向の作用を分離できる ことを，分離可能(separable)という CXR′ = ⎛ ⎜ ⎝ c11 · · · c1m ... ... ... cm1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m ... ... ... xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 ... ... ... r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ P′ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m ... ... ... · · · ... ... ... r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... ... rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m ... ... ... · · · ... ... ... rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ RはXの行に作用
- 63. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 行列の直交変換とユニタリー変換 縦横の作用を区別する必要はない場合， C=Rとする 「たいていの」画像について「なるべく多く」な う。この際，画像の行と列について異なる取り扱 と (8) 式は Z = RXR′ RR′ = I なので（I は単位行列），逆変換は X = R′ ZR 変換 (orthogonal transformation) といいます。ま なるような行列 R を用います。記号 ∗ は共役行列 Z = RXR′ 交行列ですから RR′ = I なので（I は単位行列），逆 X = R′ ZR 換を画像の直交変換 (orthogonal transformation) とい ，RR′∗ = I となるような行列 R を用います。記号 ∗ 意味します。このような行列をユニタリー行列 (unita ニタリー変換 (unitary transformation) といいます。 ただし RR′=I 行列Xの行列Cに よる直交変換
- 64. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 行列の直交変換とユニタリー変換 縦横の作用を区別する必要はない場合， C=Rとする 「たいていの」画像について「なるべく多く」な う。この際，画像の行と列について異なる取り扱 と (8) 式は Z = RXR′ RR′ = I なので（I は単位行列），逆変換は X = R′ ZR 変換 (orthogonal transformation) といいます。ま なるような行列 R を用います。記号 ∗ は共役行列 Z = RXR′ 交行列ですから RR′ = I なので（I は単位行列），逆 X = R′ ZR 換を画像の直交変換 (orthogonal transformation) とい ，RR′∗ = I となるような行列 R を用います。記号 ∗ 意味します。このような行列をユニタリー行列 (unita ニタリー変換 (unitary transformation) といいます。 ただし RR′=I 行列Xの行列Cに よる直交変換 要素が複素数の場合は，R′のかわりに R′*を用いる
- 65. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 行列の直交変換とユニタリー変換 縦横の作用を区別する必要はない場合， C=Rとする 「たいていの」画像について「なるべく多く」な う。この際，画像の行と列について異なる取り扱 と (8) 式は Z = RXR′ RR′ = I なので（I は単位行列），逆変換は X = R′ ZR 変換 (orthogonal transformation) といいます。ま なるような行列 R を用います。記号 ∗ は共役行列 Z = RXR′ 交行列ですから RR′ = I なので（I は単位行列），逆 X = R′ ZR 換を画像の直交変換 (orthogonal transformation) とい ，RR′∗ = I となるような行列 R を用います。記号 ∗ 意味します。このような行列をユニタリー行列 (unita ニタリー変換 (unitary transformation) といいます。 ただし RR′=I 行列Xの行列Cに よる直交変換 要素が複素数の場合は，R′のかわりに R′*を用いる 行列Xの行列Cによる ユニタリー変換
- 89. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？ 「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？ 鏡 実像 鏡像 水平回転 左右逆 上下正 垂直回転 上下逆 左右正
- 93. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 基底画像と (8) 式は Z = RXR′ RR′ = I なので（I は単位行列），逆変換は X = R′ ZR 変換 (orthogonal transformation) といいます。ま なるような行列 R を用います。記号 ∗ は共役行列 のような行列をユニタリー行列 (unitary matrix) unitary transformation) といいます。 どういうRを用いれば， 最適に画像データを圧縮できるか？ それは，依然わからない しかし，画像をベクトルでなく行列で表したことで， 直交変換の効果がヴィジュアルにわかる
- 94. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 基底画像 変換後の画像Zのm2個の要素を， それぞれ行列に分ける 底画像と画像情報圧縮 さて，どのような直交変換あるいはユニタリー変換を行なえば，つまりどんな R を選べば，「 の」画像を圧縮できるのでしょうか？ それは後で説明するとして，ここでは，とりあえず，ど ユニタリー変換 R を用いるかを決めたものとして，先に進みましょう。 変換後の画像 Z を，「要素のうち１つだけが 0 でない行列 m2 個の和」，すなわち Z = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · zmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ように分解すると考えます。このとき，行列 R を行ベクトルを使って r′ j = (rj1 · · · rjk · · · rjm) , R = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r′ 1 ... r′ j ... r′ m ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 表すと，(12) 式は ⎛ z11 0 · · · 0 ⎞ ⎛ 0 z12 · · · 0 ⎞ ⎛ 0 0 · · · 0
- 95. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 基底画像 変換後の画像Zのm2個の要素を， それぞれ行列に分ける を，上の各行列で行う。たとえば 底画像と画像情報圧縮 さて，どのような直交変換あるいはユニタリー変換を行なえば，つまりどんな R を選べば，「 の」画像を圧縮できるのでしょうか？ それは後で説明するとして，ここでは，とりあえず，ど ユニタリー変換 R を用いるかを決めたものとして，先に進みましょう。 変換後の画像 Z を，「要素のうち１つだけが 0 でない行列 m2 個の和」，すなわち Z = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · zmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ように分解すると考えます。このとき，行列 R を行ベクトルを使って r′ j = (rj1 · · · rjk · · · rjm) , R = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r′ 1 ... r′ j ... r′ m ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 表すと，(12) 式は ⎛ z11 0 · · · 0 ⎞ ⎛ 0 z12 · · · 0 ⎞ ⎛ 0 0 · · · 0 たいていの」画像について「なるべく多く」なるよう う。この際，画像の行と列について異なる取り扱いを と (8) 式は Z = RXR′ RR′ = I なので（I は単位行列），逆変換は X = R′ ZR 変換 (orthogonal transformation) といいます。また， るような行列 R を用います。記号 ∗ は共役行列（各要 のような行列をユニタリー行列 (unitary matrix) とい
- 96. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 基底画像 変換後の画像Zのm2個の要素を， それぞれ行列に分ける を，上の各行列で行う。たとえば 底画像と画像情報圧縮 さて，どのような直交変換あるいはユニタリー変換を行なえば，つまりどんな R を選べば，「 の」画像を圧縮できるのでしょうか？ それは後で説明するとして，ここでは，とりあえず，ど ユニタリー変換 R を用いるかを決めたものとして，先に進みましょう。 変換後の画像 Z を，「要素のうち１つだけが 0 でない行列 m2 個の和」，すなわち Z = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · zmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ように分解すると考えます。このとき，行列 R を行ベクトルを使って r′ j = (rj1 · · · rjk · · · rjm) , R = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r′ 1 ... r′ j ... r′ m ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 表すと，(12) 式は ⎛ z11 0 · · · 0 ⎞ ⎛ 0 z12 · · · 0 ⎞ ⎛ 0 0 · · · 0 たいていの」画像について「なるべく多く」なるよう う。この際，画像の行と列について異なる取り扱いを と (8) 式は Z = RXR′ RR′ = I なので（I は単位行列），逆変換は X = R′ ZR 変換 (orthogonal transformation) といいます。また， るような行列 R を用います。記号 ∗ は共役行列（各要 のような行列をユニタリー行列 (unitary matrix) とい るいはほとんど 0 とみなせる要素）が，「たいていの」画像について「なるべく多く」 という方向で話を進めることにしましょう。この際，画像の行と列について異なる取り は通常ないので，C = R とします。すると (8) 式は Z = RXR′ となります。R は正規直交行列ですから RR′ = I なので（I は単位行列），逆変換は X = R′ ZR となります。この形の変換を画像の直交変換 (orthogonal transformation) といいます。 に複素数を考えるときは，RR′∗ = I となるような行列 R を用います。記号 ∗ は共役行 素共役をとった行列）を意味します。このような行列をユニタリー行列 (unitary matr とき (12)(13) の変換をユニタリー変換 (unitary transformation) といいます。 基底画像と画像情報圧縮 さて，どのような直交変換あるいはユニタリー変換を行なえば，つまりどんな R を いの」画像を圧縮できるのでしょうか？ それは後で説明するとして，ここでは，とりあ なユニタリー変換 R を用いるかを決めたものとして，先に進みましょう。 変換後の画像 Z を，「要素のうち１つだけが 0 でない行列 m2 個の和」，すなわち Z = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 · · · ... ... ... 0 0 · · · zm のように分解すると考えます。このとき，行列 R を行ベクトルを使って ⎛ ′ ⎞
- 97. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 基底画像 変換後の画像Zのm2個の要素を， それぞれ行列に分ける を，上の各行列で行う。たとえば 底画像と画像情報圧縮 さて，どのような直交変換あるいはユニタリー変換を行なえば，つまりどんな R を選べば，「 の」画像を圧縮できるのでしょうか？ それは後で説明するとして，ここでは，とりあえず，ど ユニタリー変換 R を用いるかを決めたものとして，先に進みましょう。 変換後の画像 Z を，「要素のうち１つだけが 0 でない行列 m2 個の和」，すなわち Z = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · zmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ように分解すると考えます。このとき，行列 R を行ベクトルを使って r′ j = (rj1 · · · rjk · · · rjm) , R = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r′ 1 ... r′ j ... r′ m ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 表すと，(12) 式は ⎛ z11 0 · · · 0 ⎞ ⎛ 0 z12 · · · 0 ⎞ ⎛ 0 0 · · · 0 たいていの」画像について「なるべく多く」なるよう う。この際，画像の行と列について異なる取り扱いを と (8) 式は Z = RXR′ RR′ = I なので（I は単位行列），逆変換は X = R′ ZR 変換 (orthogonal transformation) といいます。また， るような行列 R を用います。記号 ∗ は共役行列（各要 のような行列をユニタリー行列 (unitary matrix) とい · · · x1m ... ... · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 ... ... ... r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ (5) r c · · · r c ⎞ るいはほとんど 0 とみなせる要素）が，「たいていの」画像について「なるべく多く」 という方向で話を進めることにしましょう。この際，画像の行と列について異なる取り は通常ないので，C = R とします。すると (8) 式は Z = RXR′ となります。R は正規直交行列ですから RR′ = I なので（I は単位行列），逆変換は X = R′ ZR となります。この形の変換を画像の直交変換 (orthogonal transformation) といいます。 に複素数を考えるときは，RR′∗ = I となるような行列 R を用います。記号 ∗ は共役行 素共役をとった行列）を意味します。このような行列をユニタリー行列 (unitary matr とき (12)(13) の変換をユニタリー変換 (unitary transformation) といいます。 基底画像と画像情報圧縮 さて，どのような直交変換あるいはユニタリー変換を行なえば，つまりどんな R を いの」画像を圧縮できるのでしょうか？ それは後で説明するとして，ここでは，とりあ なユニタリー変換 R を用いるかを決めたものとして，先に進みましょう。 変換後の画像 Z を，「要素のうち１つだけが 0 でない行列 m2 個の和」，すなわち Z = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 · · · ... ... ... 0 0 · · · zm のように分解すると考えます。このとき，行列 R を行ベクトルを使って ⎛ ′ ⎞
- 98. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 基底画像 変換後の画像Zのm2個の要素を， それぞれ行列に分ける を，上の各行列で行う。たとえば 底画像と画像情報圧縮 さて，どのような直交変換あるいはユニタリー変換を行なえば，つまりどんな R を選べば，「 の」画像を圧縮できるのでしょうか？ それは後で説明するとして，ここでは，とりあえず，ど ユニタリー変換 R を用いるかを決めたものとして，先に進みましょう。 変換後の画像 Z を，「要素のうち１つだけが 0 でない行列 m2 個の和」，すなわち Z = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · zmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ように分解すると考えます。このとき，行列 R を行ベクトルを使って r′ j = (rj1 · · · rjk · · · rjm) , R = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r′ 1 ... r′ j ... r′ m ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 表すと，(12) 式は ⎛ z11 0 · · · 0 ⎞ ⎛ 0 z12 · · · 0 ⎞ ⎛ 0 0 · · · 0 たいていの」画像について「なるべく多く」なるよう う。この際，画像の行と列について異なる取り扱いを と (8) 式は Z = RXR′ RR′ = I なので（I は単位行列），逆変換は X = R′ ZR 変換 (orthogonal transformation) といいます。また， るような行列 R を用います。記号 ∗ は共役行列（各要 のような行列をユニタリー行列 (unitary matrix) とい · · · x1m ... ... · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 ... ... ... r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ (5) r c · · · r c ⎞ るいはほとんど 0 とみなせる要素）が，「たいていの」画像について「なるべく多く」 という方向で話を進めることにしましょう。この際，画像の行と列について異なる取り は通常ないので，C = R とします。すると (8) 式は Z = RXR′ となります。R は正規直交行列ですから RR′ = I なので（I は単位行列），逆変換は X = R′ ZR となります。この形の変換を画像の直交変換 (orthogonal transformation) といいます。 に複素数を考えるときは，RR′∗ = I となるような行列 R を用います。記号 ∗ は共役行 素共役をとった行列）を意味します。このような行列をユニタリー行列 (unitary matr とき (12)(13) の変換をユニタリー変換 (unitary transformation) といいます。 基底画像と画像情報圧縮 さて，どのような直交変換あるいはユニタリー変換を行なえば，つまりどんな R を いの」画像を圧縮できるのでしょうか？ それは後で説明するとして，ここでは，とりあ なユニタリー変換 R を用いるかを決めたものとして，先に進みましょう。 変換後の画像 Z を，「要素のうち１つだけが 0 でない行列 m2 個の和」，すなわち Z = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 · · · ... ... ... 0 0 · · · zm のように分解すると考えます。このとき，行列 R を行ベクトルを使って ⎛ ′ ⎞ x = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 ... xj ... xm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (2) ，9 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということです。分 トルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm (3) して，ベクトル z から行列 Z を得ます。 行列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を使って，次のように表されると 11 · · · c1m ... ... m1 · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , X = ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m ... ... ... xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m ... ... ... rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ (4) （2013 年度春学期） 第８回 (2013. 5. 29) http://racco.mikeneko.jp/ 1/6 ページ
- 99. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 基底画像 · · x1m ... ... · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 ... ... ... r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ (5) r1mc11 · · · r1mc1m · · · ... ... ... r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... rmmc11 · · · rmmc1m · · · ... ... ... rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (6) 「貼り付け」たものになっています。この関係を R ⊗ C (7) r product) で表される」といいます。 さて，どのような直交変換あるいはユニタリー変換を行なえば，つまりどんな R を選べ いの」画像を圧縮できるのでしょうか？ それは後で説明するとして，ここでは，とりあえ なユニタリー変換 R を用いるかを決めたものとして，先に進みましょう。 変換後の画像 Z を，「要素のうち１つだけが 0 でない行列 m2 個の和」，すなわち Z = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · zmm のように分解すると考えます。このとき，行列 R を行ベクトルを使って r′ j = (rj1 · · · rjk · · · rjm) , R = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r′ 1 ... r′ j ... r′ m ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第８回 (2013. 5. 29) http://racco.mikeneko. 列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を使って，次のように表されると · · · c1m ... ... · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , X = ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m ... ... ... xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m ... ... ... rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ (4) 13 年度春学期） 第８回 (2013. 5. 29) http://racco.mikeneko.jp/ 1/6 ページ · · x1m ... ... · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 ... ... ... r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ (5) r1mc11 · · · r1mc1m · · · ... ... ... r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... rmmc11 · · · rmmc1m · · · ... ... ... rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (6) となります。この形の変換を画像の直交変換 (orthogonal transformation) といいます。ま に複素数を考えるときは，RR′∗ = I となるような行列 R を用います。記号 ∗ は共役行列（ 素共役をとった行列）を意味します。このような行列をユニタリー行列 (unitary matrix) とき (12)(13) の変換をユニタリー変換 (unitary transformation) といいます。 基底画像と画像情報圧縮 さて，どのような直交変換あるいはユニタリー変換を行なえば，つまりどんな R を選べ いの」画像を圧縮できるのでしょうか？ それは後で説明するとして，ここでは，とりあえ なユニタリー変換 R を用いるかを決めたものとして，先に進みましょう。 変換後の画像 Z を，「要素のうち１つだけが 0 でない行列 m2 個の和」，すなわち Z = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · zmm のように分解すると考えます。このとき，行列 R を行ベクトルを使って r′ j = (rj1 · · · rjk · · · rjm) , R = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r′ 1 ... r′ j ... r′ m ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということです。分 ルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm (3) て，ベクトル z から行列 Z を得ます。 列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を使って，次のように表されると · · · c1m ... ... · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , X = ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m ... ... ... xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m ... ... ... rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ (4) 13 年度春学期） 第８回 (2013. 5. 29) http://racco.mikeneko.jp/ 1/6 ページ
- 100. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 基底画像 · · x1m ... ... · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 ... ... ... r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ (5) r1mc11 · · · r1mc1m · · · ... ... ... r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... rmmc11 · · · rmmc1m · · · ... ... ... rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (6) 「貼り付け」たものになっています。この関係を R ⊗ C (7) r product) で表される」といいます。 さて，どのような直交変換あるいはユニタリー変換を行なえば，つまりどんな R を選べ いの」画像を圧縮できるのでしょうか？ それは後で説明するとして，ここでは，とりあえ なユニタリー変換 R を用いるかを決めたものとして，先に進みましょう。 変換後の画像 Z を，「要素のうち１つだけが 0 でない行列 m2 個の和」，すなわち Z = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · zmm のように分解すると考えます。このとき，行列 R を行ベクトルを使って r′ j = (rj1 · · · rjk · · · rjm) , R = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r′ 1 ... r′ j ... r′ m ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第８回 (2013. 5. 29) http://racco.mikeneko. 列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を使って，次のように表されると · · · c1m ... ... · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , X = ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m ... ... ... xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m ... ... ... rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ (4) 13 年度春学期） 第８回 (2013. 5. 29) http://racco.mikeneko.jp/ 1/6 ページ · · x1m ... ... · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 ... ... ... r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ (5) r1mc11 · · · r1mc1m · · · ... ... ... r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... rmmc11 · · · rmmc1m · · · ... ... ... rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (6) となります。この形の変換を画像の直交変換 (orthogonal transformation) といいます。ま に複素数を考えるときは，RR′∗ = I となるような行列 R を用います。記号 ∗ は共役行列（ 素共役をとった行列）を意味します。このような行列をユニタリー行列 (unitary matrix) とき (12)(13) の変換をユニタリー変換 (unitary transformation) といいます。 基底画像と画像情報圧縮 さて，どのような直交変換あるいはユニタリー変換を行なえば，つまりどんな R を選べ いの」画像を圧縮できるのでしょうか？ それは後で説明するとして，ここでは，とりあえ なユニタリー変換 R を用いるかを決めたものとして，先に進みましょう。 変換後の画像 Z を，「要素のうち１つだけが 0 でない行列 m2 個の和」，すなわち Z = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · zmm のように分解すると考えます。このとき，行列 R を行ベクトルを使って r′ j = (rj1 · · · rjk · · · rjm) , R = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r′ 1 ... r′ j ... r′ m ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということです。分 ルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm (3) て，ベクトル z から行列 Z を得ます。 列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を使って，次のように表されると · · · c1m ... ... · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , X = ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m ... ... ... xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m ... ... ... rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ (4) 13 年度春学期） 第８回 (2013. 5. 29) http://racco.mikeneko.jp/ 1/6 ページ
- 101. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 基底画像 · · x1m ... ... · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 ... ... ... r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ (5) r1mc11 · · · r1mc1m · · · ... ... ... r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... rmmc11 · · · rmmc1m · · · ... ... ... rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (6) 「貼り付け」たものになっています。この関係を R ⊗ C (7) r product) で表される」といいます。 さて，どのような直交変換あるいはユニタリー変換を行なえば，つまりどんな R を選べ いの」画像を圧縮できるのでしょうか？ それは後で説明するとして，ここでは，とりあえ なユニタリー変換 R を用いるかを決めたものとして，先に進みましょう。 変換後の画像 Z を，「要素のうち１つだけが 0 でない行列 m2 個の和」，すなわち Z = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · zmm のように分解すると考えます。このとき，行列 R を行ベクトルを使って r′ j = (rj1 · · · rjk · · · rjm) , R = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r′ 1 ... r′ j ... r′ m ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 浅野 晃／画像情報処理（2013 年度春学期） 第８回 (2013. 5. 29) http://racco.mikeneko. 列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を使って，次のように表されると · · · c1m ... ... · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , X = ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m ... ... ... xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m ... ... ... rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ (4) 13 年度春学期） 第８回 (2013. 5. 29) http://racco.mikeneko.jp/ 1/6 ページ · · x1m ... ... · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · rm1 ... ... ... r1m · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ (5) r1mc11 · · · r1mc1m · · · ... ... ... r1mcm1 · · · r1mcmm ... ... rmmc11 · · · rmmc1m · · · ... ... ... rmmcm1 · · · rmmcmm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (6) となります。この形の変換を画像の直交変換 (orthogonal transformation) といいます。ま に複素数を考えるときは，RR′∗ = I となるような行列 R を用います。記号 ∗ は共役行列（ 素共役をとった行列）を意味します。このような行列をユニタリー行列 (unitary matrix) とき (12)(13) の変換をユニタリー変換 (unitary transformation) といいます。 基底画像と画像情報圧縮 さて，どのような直交変換あるいはユニタリー変換を行なえば，つまりどんな R を選べ いの」画像を圧縮できるのでしょうか？ それは後で説明するとして，ここでは，とりあえ なユニタリー変換 R を用いるかを決めたものとして，先に進みましょう。 変換後の画像 Z を，「要素のうち１つだけが 0 でない行列 m2 個の和」，すなわち Z = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ z11 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 z12 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + · · · + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · zmm のように分解すると考えます。このとき，行列 R を行ベクトルを使って r′ j = (rj1 · · · rjk · · · rjm) , R = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ r′ 1 ... r′ j ... r′ m ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 要素からなる列ベクトルを 3 要素の列ベクトル 3 個に分けるということです。分 ルを行方向に並べ替えて，m × m 行列 X を得ます。すなわち， X = x1 · · · xj · · · xm (3) て，ベクトル z から行列 Z を得ます。 列 P′ が，次のような２つの m × m 行列 C と R を使って，次のように表されると · · · c1m ... ... · · · cmm ⎞ ⎟ ⎠ , X = ⎛ ⎜ ⎝ x11 · · · x1m ... ... ... xm1 · · · xmm ⎞ ⎟ ⎠ , R = ⎛ ⎜ ⎝ r11 · · · r1m ... ... ... rm1 · · · rmm ⎞ ⎟ ⎠ (4) 13 年度春学期） 第８回 (2013. 5. 29) http://racco.mikeneko.jp/ 1/6 ページ
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