CompLit - Journal of European Literature, Arts and Society - n. 7 - Table of ...
Exercice sur logarithme népérien propose par le prof18
1. Exercice sur logarithme népérien propose par le
prof : Ennaji Ahmed pour le bac 2018 sciences
expérimentales biof
Partie 1 :
Soit la fonction g définie sur 0, par :
4
2
1
4ln
x
g x x
x
1-montrer que :
22
3
1
0: ' 2
x
x g x
x
2-en déduire que g est strictement croissante sur 0,
3-etablir que 0g x pour 0;1x et 0g x pour 1;x
(Remarquer : g(1)=0).
Partie2 :
On considère la fonction f définie sur 0, par
4
2
2
1 1
ln
4
x
f x x
x
1-a-verifier que :
2
2
4
1 1 ln
0:
4 4
x
x f x x
x x
b-en déduire que lim
x
f x
c-calculer lim
x
f x
x
et interpréter le résultat obtenu géométriquement
2-a-verifier que : 2
2 4
1 1 1
0: ln
4 4
x f x x x
x x
b- en déduire que 0
lim
x
f x
et interpréter ce résultat
géométriquement.
3-montrer que :
0: '
2
g x
x f x
x
4-a-montrerque g est strictement décroissante sur 0;1 et g est
strictement croissante sur 1;
b-donner le tableau de variation de f
2. 5-a-montrer que :
1
0:x f x f
x
b-montrer que l’équation f x x admet une solution unique sur 0;1
c- montrer que l’équation
1
f x
x
admet une solution unique sur
1;
d-vérifier que : 1
e-donner un encadrement de d’amplitude 2
10
et en déduire un
encadrement de
6-construire la courbe fC dans un repère orthonormé ; ;O i j
7-a-en utilisant une intégration par partie .montrer que 1
ln 1
e
xdx
b-en déduire que : 2
1
ln 2
e
x e
8-determiner l’aire du domaine plan limite par la courbe fC , l’axe des
abscisses et les droites d’équations
Exercice 2