maths

1. 1
é
é à
L’usage de la calculatrice scientifique est autorisé : durée : 3h
Exercice 1 : 3pts
L’espace rapporte à un repère orthonormé direct ; ; ;O i j k . On considère
 2;2; 1A  ; le plan (P) d’équation : 2x+y+2z-13=0 et (S) la sphère de centre
 1;0;1 et de rayon 3.
1-determiner l’équation cartésienne de la sphère (S)
2- vérifie que  A S
2-calculer   ;d P et déduire que le plan (P) est tangent à la sphère (S).
3-Soit (D) la droite orthogonale au plan (P) et qui passe par A.
a-montrer que :  2;1;2u est un vecteur directeur de la droite (D).
b-déduire que  6; 6; 3A u   
c- calculer
A u
u
 
en déduire que la droite (D) est tangente à la sphère (S) au
point A
Exercice 2 : 3pts
Un sac contient 9 boules indiscernables au toucher portant respectivement les
nombres : 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2. On tire simultanément au Hazard deux
boules du sac.
1-montrer que les nombres de cas possibles est 36
2-Soit X la variable aléatoire qui correspond à la somme des deux nombre portés
par les deux boules tirées.

2. 2
a-Montrer que  
12
2
36
p X  
b-copier le tableau ci-contre et le compléter en justifiant la réponse.
Exercice 3 : 3pts
On considère la suite  nu définie par : 1 0
1 3
: 4
2 2
n nn IN u u et u    
1-verifier que :   1
1
: 3 3
2
n nn IN u u    
2-montrer que : : 3nn IN u 
3-a-verifier que :    1
1
: 3
2
n nn IN u u u

     en déduire que la suite  nu est
décroissante
b-déduire que la suite  nu est convergente.
4-on pose : : 3n nn IN v u   
a-montrer que la suite  nv est géométrique de raison
1
2
b-calculer nv en fonction de n
c-déduire que
1
: 3
2
n
nn IN u
 
    
 
et calculer lim n
n
u

d-Montrer que : 0 1
1
: 3 5 .......
2
n n nn
n IN S n telque S u u u         et calculer
lim n
n
S

Exercice 4 : 3pts
1-resoudere dans l’équation suivante : 2
18 82 0z z  
2-on considère dans le plan complexe rapporte au repère orthonormé  ; ;O u v
d’les points A ;B ;C d’affixes respectifs 9 ; 9 ; 11a i b i c i     
Soit    ' 'M z et M z son image par la rotation R de centre B et d’angle
3
2

a-montrer que : ' 10 8z iz i   

3. 3
b-vérifier que : ' 9 3c i  est l’affixe du point C’ l’image du point C par la
rotation R.
c-montrer que
c b
i
a b

 

en déduire que le triangle ABC est rectangle en B
d-déterminer   arg 4 1 i et prouver que :    4 1c a c b i   
e-en déduire que : 4 2AC BC  .
Exercice 5 : 8pts
Soit    2
2 3 3 x
f x x x e
   tel que x IR
1-verifier que :  
2
2 3 3
: x x x
x x
x IR f x
e e e
    
2-calculer    lim lim
x x
f x et f x
 
et donner une interprétation graphique de ce
résultat.
3-montrer que :     : ' 2 3 2 x
x IR f x x x e
     
4-donner le tableau de variation de f
5-donner l’équation de la tangente (T) à la courbe  fC au point A d’abscisse 0.
6-deteminer les coordonnées du point d’intersection de la courbe  fC avec l’axe
des abscisses.
7-tracer la courbe  fC dans un repère orthonormé  ; ;O i j . (Unité : 1cm)
8-soit    2
2 7 4x
F x e x x telque x IR
    
a-vérifier que F est une primitive de f sur IR
c-prouver que l’aire du domaine délimite par la courbe fC , l’axe des abscisses,
les droites d’équation x= -1 et x=2 est égale à 2
1,26cm .