Derivada de funciones dadas en forma paramétrica

1. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
08/06/2018
MATEMATICA I 1
RJAL
UNIDAD IV: CÁLCULO DIFERENCIAL DE
FUNCIONES DE UNA VARIABLE
08/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS
MATEMATICA I
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RJAL
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Supongamos que f y g son dos funciones de valores reales
cuyos dominios son Dom f y Dom g respectivamente y
supongamos que Dom f ∩ Dom g.
Entonces C = {(x,y)/ x = f(t), y = g(t), t Ɛ Dom f ∩ Dom g} es
un conjunto de puntos, que generalmente forman una curva
C en el plano XY.
Las ecuaciones x = f(t) y y = g(t) se llaman ecuaciones
paramétricas de C y la variable t se llama parámetro.
Por ejemplo: x = acost, y = asent con t Ɛ [0,2π] son las
ecuaciones paramétricas de una circunferencia de radio a,
con centro en el origen.
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PARAMETRICAS

2. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
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Sean f y g funciones derivable de t. Entonces el sistema
x = f(t)
y = g(t)
Define a “y” como función derivable de “x” y la derivada
dy/dx puede expresarse como:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑔′(𝑡)
𝑓′(𝑡)
𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑓′
𝑡 ≠ 0
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PARAMETRICAS
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1. Derive las siguientes funciones paramétricas.
a) x = t2 y = t3 + 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
3𝑡2
2𝑡
=
3
2
𝑡
b) x = a cos3 t, y = b sen3t
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
3𝑏 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 (𝑐𝑜𝑠𝑡)
3𝑎 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 (−𝑠𝑒𝑛𝑡)
= −
𝑏 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑎 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡
= −
𝑏 𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑡
=
𝑏
𝑎
𝑡𝑎𝑛𝑡
c) x = t lnt y = lnt / t en t = 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
1
𝑡
1
𝑡
−
1
𝑡2 𝑙𝑛𝑡
1 𝑙𝑛𝑡 +
1
𝑡
𝑡
=
1
𝑡2 −
1
𝑡2 𝑙𝑛𝑡
𝑙𝑛𝑡 + 1
=
1−𝑙𝑛𝑡
𝑡2
𝑙𝑛𝑡 + 1
=
1−𝑙𝑛𝑡
𝑡2 (𝑙𝑛𝑡 + 1)
=
1−𝑙𝑛1
12 (𝑙𝑛1 + 1)
= 1
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PARAMETRICAS

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2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva
x = 2t + 4 , y = t2 + lnt en t = 1
Si t = 1 entonces x = 2(1) + 4 = 6 y = 12 + ln1 = 1
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 2𝑡 +
1
𝑡
=
2𝑡2+1
𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
2𝑡2+1
𝑡
2
=
2𝑡2+1
2𝑡
si t = 1 entonces m =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3
2
La ecuación de la recta tangente será y – 1 = (3/2) (x – 6)
2y – 2 = 3x -18
3x - 2y -16 = 0
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PARAMETRICAS
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Revisar en el libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas de Dennis G.
Zill, resolver en el Ejercicio 10.3 los No. 1 al
12 de la pág. 572.
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PARAMETRICAS

4. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
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MATEMATICA I 4
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El punto de partida de la derivada
fue la consideración de que
𝑚 𝑠𝑒𝑐=
𝑓 𝑥+ ∆𝑥 −𝑓(𝑥)
∆𝑥
=
∆𝑦
∆𝑥
Para valores pequeños de Δx,
msec ≈ mtan
, o bien ΔY/ΔX ≈ mtan , pero
sabiendo que mtan = f’(x) puede
escribirse como:
∆𝑦
∆𝑥
≈ 𝑓′
𝑥 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 ∆𝑦 ≈ 𝑓′
𝑥 ∆𝑥
INCREMENTO Y DIFERENCIAL DE UNA FUNCION
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Definición: Al incremento Δx se le llama
diferencial de la variable x y se denomina dx, esto
es, dx = Δx.
Definición: A la función 𝑓′
𝑥 ∆𝑥 se le llama
diferencial de la variable y y se denota por dy , es
decir dy = 𝑓′
𝑥 𝑑𝑥
INCREMENTO Y DIFERENCIAL DE UNA FUNCION

5. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
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MATEMATICA I 5
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CALCULO APROXIMADO
Dado que Δy ≈ f’(x)dx cuando Δx es suficientemente
pequeño concluimos que el diferencial de la variable “y” lo
cual es dy y el incremento de “y” como Δy son
aproximadamente iguales cuando dx es suficientemente
cercano a 0.
∆𝑦 ≈ 𝑑𝑦
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥 ≈ 𝑓′
𝑥 𝑑𝑥
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 ≈ 𝑓′
𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥
INCREMENTO Y DIFERENCIAL DE UNA FUNCION
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Ejemplos:
1. Encontrar Δy y el dy de la función f(x) = 5x2 - 2x + 7 y comparar
sus valores para x = 1 si Δx = dx = 0.01
∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥 = 5 𝑥 + ∆𝑥 2 − 2 𝑥 + ∆𝑥 + 7 − [5𝑥2 − 2𝑥 + 7]
∆𝑦 = 10𝑥(∆𝑥) + 5(∆𝑥)2
−2∆𝑥
𝑑𝑦 = 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 = 10x − 2 dx
Evaluando en x = 1 y dx = 0.01
∆𝑦 = 10 1 0.01 + 5 0.01 2
− 2 0.01 = 0.0805
𝑑𝑦 = 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 = 10 1 − 2 0.01 = 0.08
∆𝑦 ≈ 𝑑𝑦
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6. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
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MATEMATICA I 6
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2. Encontrar un valor aproximado para 25.4
Primero identificamos la funcion f x = 𝑥 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎𝑚𝑜𝑠
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 = 𝑥 + ∆𝑥 haciendo
x = 25 y ∆𝑥 = 0.4, 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑑𝑦 = 𝑓′
𝑥 𝑑𝑥 =
1
2 𝑥
𝑑𝑥
𝑆𝑖 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 ≈ 𝑓′
𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 entonces
25.4 ≈
1
2 25
0.4 + 25 = 5.04
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08/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.12
Revisar en el libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas de Dennis G.
Zill, leer el inciso 4.9 Liberalización y
diferenciables págs. 247-251.
Resolver en el Ejercicio 4.9 los No. 25 al 28
y del 35 al 44 de la pág. 252.
INCREMENTO Y DIFERENCIAL DE UNA FUNCION

7. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
08/06/2018
MATEMATICA I 7
RJAL
08/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.13
BIBLIOGRAFIA
Textos Autor
Año de
Edición
Título
Lugar de
Publicación
Editorial
Básicos Larson-
Hostetler
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Mc. Graw
Hill
Comple-
mentarios
Earl W.
Swokosky
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Dennis G.
Zill
1985 Cálculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Alpha Chiang /
.
1999 Métodos Fundamentales
de
Economía Matemática
España Mc. Graw
Hill
Carlos Walsh 2016 Matemática I Managua
Jagdish C.
Ayra
Robin. W.
Lardner
2009 Matemáticas Aplicadas a
la Administración y la
economía
México Pearson
Educación
Dennis G. Zill 2011 Cálculo Trascendentes
tempranas
México Mc. Graw
Hill
RJAL
08/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.14
MUCHAS GRACIAS
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ