Aplicaciones de la derivada a funciones de una variable real

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
13/06/2018
MATEMATICA I 1
RJAL
UNIDAD V: APLICACIONES DE LA DERIVADA A
FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL
13/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS
MATEMATICA I
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ
RJAL
Definición: Se dice que una función f, sobre un intervalo I, es
a) Creciente: si para cualesquiera dos números x1 y x2 en el
intervalo, x1 < x2 entonces f(x1) ≤ f(x2).
b) Decreciente: si para cualesquiera dos números x1 y x2 en
el intervalo, x1 < x2 entonces f(x1) ≥ f(x2).
c) Estrictamente creciente: si para cualesquiera dos
números x1 y x2 en el intervalo, x1 < x2 entonces f(x1) <
f(x2).
d) Estrictamente decreciente: si para cualesquiera dos
números x1 y x2 en el intervalo, x1 < x2 entonces f(x1) >
f(x2).
e) Cuando una función en todo su dominio es únicamente
creciente o únicamente decreciente decimos que es
monótona.
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES.
VALORES EXTREMOS

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MATEMATICA I 2
RJAL
Sea f una función definida en un intervalo I, si para un numero
c ϵ I se cumple:
a) f(c) ≥ f(x), para toda x ϵ I, entonces decimos que f(c) es un
máximo absoluto de f en I.
b) f(c) ≤ f(x), para toda x ϵ I, entonces decimos que f(c) es un
mínimo absoluto de f en I.
c) Si existe un intervalo abierto I, que contiene a c, en el cual
f(c) es una máximo, entonces f (c) recibe el nombre de
máximo local o máximo relativo de f y decimos que f tiene
un máximo relativo en el punto (c, f(c)).
d) Si existe un intervalo abierto I, que contiene a c, en el cual
f(c) es una mínimo, entonces f (c) recibe el nombre de
mínimo local o mínimo relativo de f y decimos que f tiene
un mínimo relativo en el punto (c, f(c)).
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES.
VALORES EXTREMOS
RJAL
Teorema de Fermat.
Sea f una función en un intervalo cerrado [a,b] y
c es un punto de dicho intervalo en el cual la
función alcanza su valor máximo o su valor
mínimo si f es derivable en el punto c entonces
f’(c) = 0
El teorema anterior no es valido si el punto c se
supone que es uno de los extremos del intervalo
[a,b]
TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES

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MATEMATICA I 3
RJAL
Teorema de Rolle.
Sea f una función continua en
el intervalo cerrado [a,b] y
derivable en el intervalo
abierto (a,b). Si
f(a) = f(b)
existe al menos un numero c
en (a,b) tal que f’(c) = 0.
RJAL
Ejemplo: Determine si la función f(x) = x3 – 5x2 + 4x satisfice las
condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [0,4]. Si es así
encuentre el o los valores de c.
Sol.: Primero encontramos f(a) = f(0) = 0 y f(b) = f(4) = 0 y
observamos que f(a) = f(b)= 0.
Seguido calculamos f’(x) = 3x2 - 10x + 4 y con esto hacemos
f’( c ) = 0 para calcular el valor de c
f’(c) = 3c2 – 10c + 4 = 0 entonces resolviendo la ecuación
cuadrática c = 2.86 y c = 0.46
Podemos observar que los dos valores de c pertenecen al
intervalo (0,4) y se cumple el Teorema de Rolle.

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MATEMATICA I 4
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Teorema del valor medio.
Sea f una función continua en el
intervalo cerrado [a,b] y derivable en
el intervalo abierto (a,b) entonces
existe número c en (a,b) tal que
f’(c) = f(b) – f(a).
b - a
Geométricamente el TVM afirma que la pendiente de la
recta tangente en (c, f(c)) es igual a la pendiente de la recta
secante que pasa por (a, f(a)) y (b, f(b)). También pueden
haber mas de un numero c en (a,b) para los cuales las
rectas tangentes y secantes son paralelas.
RJAL
Ejemplos:
1. Determine si la función f(x) = x(x2 – x - 2) satisfice las condiciones del
teorema del valor medio en el intervalo [-1,1]. Si es así encuentre todos los
valores de c que satisfacen dicho teorema.
Primero analizaremos las condiciones del teorema del valor medio
i) f es continua en [-1,1] por ser función polinomial.
ii) f es diferenciable en (-1,1) ya que es función polinomial.
entonces encontraremos el número c en (-1, 1) tal que f’(c) = f(b) – f(a).
b - a
a = -1 ⇒ f(a) = f(-1) = (-1)((-1)2 – (-1) - 2) = 0
b = 1 ⇒ f(b) = f(1) = 1(12 – 1 - 2) = -2
f’(x) = 3x2 - 2x – 2 ⇒ f’(c) = 3c2 – 2c – 2
3c2 – 2c – 2 = [(-2) – 0]/[1-(-1)]= -1
3c2 – 2c – 1 = 0 entonces resolviendo la ecuación cuadrática c = -1/3 y c = 1
Por tanto, el valor de c = -1/3 que pertenece al intervalo (-1,1) satisfice las
condiciones del teorema del valor medio.

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MATEMATICA I 5
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2. Determine si la función f(x) = (x+1)/(x-1) satisfice las condiciones del teorema del valor
medio en el intervalo [-2,-1]. Si es así encuentre todos los valores de c que satisfacen dicho
teorema.
Primero analizaremos las condiciones del teorema del valor medio
i) f es continua en [-2,-1] por ser discontinua en x = 1 nada mas.
ii) f es diferenciable en (-2, -1)
entonces encontraremos el número c en (-2, -1) tal que f’(c) = f(b) – f(a).
b - a
a = -2 ⇒ f(a) = f(-2) = [(-2) + 1] / [(-2) – 1] = 1/3
b = -1 ⇒ f(b) = f(-1) = [(-1) + 1] / [(-1) – 1] = 0
f’(x) = (x -1)(1) – (x+1) = - 2 ⇒ f’(c) = – 2 .
(x – 1)2 (x – 1)2 (c – 1)2
– 2 . = 0 – (1/3) = -1 ⇒ 6 = (c – 1)2
(c – 1)2 -1 – (-2) 3
c2 – 2c – 5 = 0 entonces resolviendo la ecuación cuadrática c = 3.45 y c = -1.45
Por tanto, el valor de c = -1.45 que pertenece al intervalo (-2,-1) satisfice las condiciones
del teorema del valor medio.
RJAL
Teorema de Cauchy.
Supongamos que las funciones f y g son continuas en el
intervalo cerrado [a,b] y derivables en (a,b), g’(x) ≠ 0.
Entonces existe un numero c ϵ (a, b) tal que:
f’(c) = f(b) - f(a)
g’(c) g(b) - g(a)

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MATEMATICA I 6
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Ejemplo: Dadas las funciones f(x) = 3x2 + 3x – 1 y g(x) = x3 – 4x + 2, encuentre
un numero c en [0,1] según el Teorema de Cauchy.
Las funciones f y g son continuas y diferenciables para todo x en (0,1)
f(a) = f(0) = 5 f(b) = f(1) = -1 g(a) = g(0) = 2 g(b) = g(1) = -1
f’(x) = 6x + 3 f’(c) = 6c + 3
g’(x) = 3x2 - 4 g’(c) = 3c2 - 4
f’(c) = f(b) - f(a) ⇒ 6c + 3 = 5 – (-1)
g’(c) g(b) - g(a) 3c2 – 4 -1 – 2
(6c + 3)(-3) = 6(3c2 – 4) ⇒ -18c – 9 = 18c2 – 24
18c2 + 18c – 15 = 0
entonces resolviendo la ecuación cuadrática c = 0.54 y c = -1.54
Por tanto, el valor de c = 0.54 que pertenece al intervalo (0,1) satisfice las
condiciones del teorema de Cauchy.
RJAL
Revisar en el libro de Cálculo
Trascendentes Tempranas de Dennis G.
Zill, resolver en el Ejercicio 4.4 los No. 1 al
20 de la pág. 215.
DERIVADA DE FUNCIONES DADAS EN FORMA
PARAMETRICAS

LOPEZ
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MATEMATICA I 7
RJAL
BIBLIOGRAFIA
Textos Autor
Año de
Edición
Título
Lugar de
Publicación
Editorial
Básicos Larson-
Hostetler
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Mc. Graw
Hill
Comple-
mentarios
Earl W.
Swokosky
1989 Calculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Dennis G.
Zill
1985 Cálculo con Geometría
Analítica
México Ibero
Americana
Alpha Chiang /
.
1999 Métodos Fundamentales
de
Economía Matemática
España Mc. Graw
Hill
Carlos Walsh 2016 Matemática I Managua
Jagdish C.
Ayra
Robin. W.
Lardner
2009 Matemáticas Aplicadas a
la Administración y la
economía
México Pearson
Educación
Dennis G. Zill 2011 Cálculo Trascendentes
tempranas
México Mc. Graw
Hill
RJAL
MUCHAS GRACIAS
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